三角形垂心的性质
三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD BC即可。
因为CF AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得 (2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
三角形垂心性质
三角形垂心性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1中考数学重点：三角形垂心性质三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形。
、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/APtanB+AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松（Simson）定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
中考数学重点：三角形的重心定义与性质三角形的重心定义：重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的重心的性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
三角形的垂心外心和重心
三角形的垂心外心和重心三角形的垂心、外心和重心三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。
其中，垂心、外心和重心是三角形内的三个重要点，它们在许多几何问题中起着重要的作用。
本文将对三角形的垂心、外心和重心进行详细介绍，以及它们的性质和应用。
一、垂心垂心是指三角形三条高的交点，通常用H表示。
在任何三角形中，三条高（垂直于对边，并经过对边顶点的切线）的交点都是唯一的，这一点被称为垂心。
垂心的特点如下：1. 垂心到三角形三边的距离是相等的。
也就是说，垂心到三角形任意一边的距离都相等。
2. 垂心和三个顶点之间的连线都是垂直的。
也就是说，垂心到三个顶点之间的线段都是垂直的。
3. 垂心趋于三角形的边缘时，它会接近于三角形的外接圆。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常用O表示。
外接圆是能够完全包围三角形的圆，通过三角形的三个顶点。
外心的特点如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离都相等。
2. 外心到三角形三个顶点的连线都相等，也就是说，外心到三个顶点之间的距离都相等。
3. 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，也就是说，外心到三角形的每条边都是相等距离。
4. 三角形的外心是垂心和重心连线的中点，也就是说，连接垂心和重心的线段经过外心。
三、重心重心是指三角形三条中线的交点，通常用G表示。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
重心的特点如下：1. 重心将每条中线划分为2:1的比例。
也就是说，从重心出发到达对边中点的距离是从重心到顶点的距离的两倍。
2. 重心到三角形三个顶点的距离之和最小。
3. 连接重心和垂心的线段被称为Euler线，它经过外心。
4. 重心位于三角形内部的2/3处，到三角形每条边的距离都小于到相应顶点的距离。
以上是关于三角形的垂心、外心和重心的基本性质。
这三个重要点在求解三角形的面积、判定三角形的形状以及解析几何中都有广泛应用。
研究它们的性质和关系，有助于深入理解三角形的结构和性质，进一步拓展数学几何的知识。
三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
三角形的垂心与外心的性质比较
三角形的垂心与外心的性质比较三角形是几何学中最常见且重要的形状之一，而三角形的垂心和外心是与三角形内部和外部关联紧密的重要点。
本文将比较三角形的垂心和外心的性质，探讨它们在几何学中的应用。
一、垂心垂心是指三角形内部三条高的交点，也是垂直于三边的高线交于一点的位置。
垂心的性质如下：1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
也就是说，垂心到三个顶点的距离都相等，即AH = BH = CH。
2. 垂心到三角形三边的距离之和最小。
也就是说，垂心到三边的距离之和比其他任何一个点到三边的距离之和都要小。
3. 垂心到三角形三个顶点的连线上，每条连线的中垂线都会经过垂心。
也就是说，三角形的垂心是三条边上中垂线的交点。
垂心在几何学中具有重要的作用。
例如，垂心是三角形三条高的交点，可以用来确定三角形的高线长度与位置，寻找三角形的垂直平分线等。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，也是三角形三边的垂直平分线的交点。
外心的性质如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离相等。
也就是说，外心到三个顶点的距离都相等，即OA = OB = OC。
2. 外心在三角形的外部。
也就是说，三角形的三个顶点、外心和外接圆上的一点是共圆的。
3. 外心是三角形内部角的中垂线的交点。
也就是说，三角形的外心是三个内角平分线的交点。
外心在几何学中也具有重要的作用。
例如，外心可以用来确定三角形的外接圆的位置、半径和性质，计算三角形的外心角等。
三、垂心与外心的比较垂心和外心都是与三角形内部和外部关联紧密的重要点，它们具有一些相似的性质，比如到三角形的顶点的距离相等等。
但垂心和外心也存在一些区别。
首先，垂心与三角形内部的关系更加密切，是三个高线的交点，而外心则是与三角形外接圆关联紧密的点。
其次，垂心在三角形内部，而外心则在三角形外部。
垂心到三角形三边的距离之和最小，而外心到三角形三点的距离相等。
最后，垂心和外心在几何学中的应用也有所不同。
垂心常用于确定三角形的高线、中垂线等属性，而外心常用于确定三角形的外接圆的性质以及计算外心角等。
三角形顶角和垂心角的关系
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
三角形垂心性质定理3：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
三角形垂心性质定理4：锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
垂直；三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心,所以顶点与垂心的连线其实就是过顶点的高,与顶点对边肯定是垂直的。
三角形五心及其性质
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形垂心的性质设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△A BC的外接圆上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且A H•HD=BH•HE=CH•HF。
5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△AB C，△ABH，△BC H，△ACH的外接圆是等圆。
7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP•tanB+AC/A Q•tanC=tan A+tanB+tan C。
8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13、设锐角△ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*P A*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
垂心的向径定义设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，则h=(ta nA a +tanB b +tanC c)/(tanA+ta nB+tanC).垂心坐标的解析解：设三个顶点的坐标分别为(a1，b1)(a2，b2)(a3，b3)，那么垂心坐标x=Δx/2/Δ，y=-Δy/2/Δ。
三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE错误!于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
错误!因为CF⊥AB，BE错误!所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在错误!中，若点O满足错误!，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由错误!得错误!，所以错误!。
同理OB错误!，错误!，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数错误!的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为错误!的垂心，则上面的向量表示得错误!因为错误!的三个顶点都在函数错误!的图象上，所以设错误!，错误!因为错误!，所以错误!所以错误!所以错误! (1)同理：由错误!得错误! (2)三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
三角形的垂心与垂直定理
三角形的垂心与垂直定理垂心是指三角形内某个角的三条高线所交于一点的点，它有着重要的几何性质，垂心与三角形的垂直定理也是与垂心相关的重要定理之一。
本文将从几何角度对三角形的垂心与垂直定理进行探讨。
一、垂心的定义与性质垂心的定义是：在三角形内部，三条高线（垂直于对立边的连线）所交于一点，这个点就是垂心。
由于垂心是三角形内三条高线的交点，因此垂心到三角形三个顶点的连线都与对应边垂直。
换句话说，三角形的三个顶点在垂心所在直线上的三条高线上。
此外，垂心还有一个重要性质是：垂心到三角形三个顶点的连线所围成的三个角的顶点都在三角形外接圆上。
二、垂直定理的说明1. 边垂直定理对于一个三角形ABC，如果垂心H与顶点A在一条直线上，那么AH是边BC的垂线，即AH⊥BC。
同样的，如果垂心H与顶点B在一条直线上，那么BH⊥AC；如果垂心H与顶点C在一条直线上，那么CH⊥AB。
可以看出，垂心与顶点在一条直线上时，垂心到对应顶点的连线垂直于对边。
2. 角垂直定理对于一个三角形ABC，如果端点是顶点A和垂心H的边AH与BC 平行，那么BC是∠A的角平分线，也就是说BC⊥AH。
同样的，如果端点是顶点B和垂心H的边BH与AC平行，那么AC是∠B的角平分线，如果端点是顶点C和垂心H的边CH与AB平行，那么AB是∠C的角平分线。
可以看出，如果垂心到某个顶点的连线与对边平行，那么对边就是对应角的角平分线。
三、垂心与垂直定理实例分析为了帮助读者更好地理解垂心与垂直定理的应用，下面以一个具体的三角形ABC为例进行实例分析。
给定三角形ABC，已知顶点A(3, 2)，B(7, 4)，C(5, 6)，求垂心H的坐标。
首先，我们可以通过计算三角形的两条边的斜率来确定两条高线的方程，即求出两条高线的直线方程。
1. 求BC边的直线方程及斜率BC边上两个点的坐标分别为B(7, 4)和C(5, 6)。
根据两点之间的斜率公式：k = (y2-y1)/(x2-x1)，可以计算得到BC边的斜率为kBC = (6-4)/(5-7) = 1/(-2) = -1/2。
(整理)三角形垂心的质总结
三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。
三角形的垂心与外切圆的性质解析
三角形的垂心与外切圆的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，具有许多有趣的性质和特征。
其中，垂心与外切圆是三角形中重要的概念和性质之一。
本文将对三角形的垂心和外切圆的性质进行详细解析。
一、垂心的定义与性质1. 垂心的定义对于任意一个三角形ABC，我们可以找到三条高分别由顶点A、B、C引出，而这三条高线交于同一点H，这个点H就被称为三角形ABC的垂心。
2. 垂心的性质（1）垂心到三角形三边的距离相等垂心H到三角形ABC的三边AB、BC、AC上的垂足分别为D、E、F，则有DH=EH=FH。
（2）垂心是三角形外接圆圆心垂心H是经过三角形ABC三个顶点的外接圆的圆心。
（3）垂心到三角形外心的连线上等分角垂心H到三角形ABC外心O的连线OH将角BAC分成两个相等的角。
二、外切圆的定义与性质1. 外切圆的定义对于任意一个三角形ABC，如果存在一个圆，既能够与三角形的三条边相切，又能够经过三角形的三个顶点，则这个圆被称为三角形ABC的外切圆。
2. 外切圆的性质（1）外切圆的半径等于三角形的外接圆半径三角形ABC的外切圆的半径R等于三角形ABC的外接圆半径R。
（2）外切圆的圆心与垂心和重心共线外切圆的圆心和垂心、重心共线，并且位于垂心和重心连线的延长线上。
（3）外切圆的圆心到三角形三边的距离相等外切圆的圆心与三角形ABC的三边的距离相等，且等于外切圆的半径R。
三、垂心和外切圆的关系通过上面的介绍可以看出，垂心和外切圆在三角形中具有密切的联系和重要的性质。
下面将介绍垂心和外切圆的一些关系。
1. 垂心到外切圆的距离等于外切圆的半径若垂心H到外切圆的圆心O的距离为d，则有d = OH = R，其中R为三角形ABC的外接圆半径。
2. 外切圆的圆心和垂心、外心共线外切圆的圆心O与垂心H、外心G（三角形ABC的外接圆圆心）共线，并且位于HG的延长线上。
3. 外切圆的半径与垂心到三角形三边的距离的关系设垂心H到三角形的三边AB、BC、AC的距离分别为x、y、z，则外切圆的半径R满足以下关系式：1/R = 1/x + 1/y + 1/z。
三角形的垂直平分线与垂心性质解析
三角形的垂直平分线与垂心性质解析在三角形的几何学中，垂心是一个非常重要的概念。
垂心是指三条垂直平分线交于一个点的点，它与三角形的垂直平分线和其他特性相关联。
本文将对三角形的垂直平分线和垂心的性质进行解析，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、垂心的定义及性质垂心是指三角形三条垂直平分线的交点，记为H。
垂心的性质如下：1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等：设三角形的顶点为A、B、C，垂心为H，那么HA=HB=HC。
2. 垂心到三角形边界的距离最短：垂心到三角形三边的距离之和最小。
3. 垂心到三条垂直平分线的距离相等：设AD、BE、CF分别为三角形ABC的垂直平分线，垂心为H，那么HA=HD=HB=HE=HC=HF。
二、垂直平分线的定义及性质垂直平分线是指将一条线段分成两个相等部分的垂直线。
对于三角形ABC的边AB、BC、CA，我们可以分别找到它们的垂直平分线DE、EF、FD。
垂直平分线的性质如下：1. 垂直平分线上的点到两个顶点的距离相等：对于垂直平分线DE，DE上的点到顶点A、B的距离相等。
2. 垂直平分线上的点到三个顶点的距离相等：对于垂直平分线DE，DE上的点到顶点A、B、C的距离相等。
3. 垂直平分线上的任意一点都在边界的垂直平分线上：对于垂直平分线DE上的点点P，P到边AB的垂直距离等于P到边AC的垂直距离。
三、垂直平分线与垂心的关系垂直平分线与垂心之间存在以下关系：1. 垂直平分线与垂心共线：垂直平分线DE、EF、FD与垂心H共线，且它们在垂心处交于一点。
2. 三角形的垂直平分线与垂心的连线垂直：以垂直平分线DE为例，连接DE与垂心H，可得到一条垂直线。
3. 垂心到三边的垂直距离最短：垂心到三边的垂直距离之和最小。
四、实际应用三角形的垂直平分线与垂心在实际生活中具有广泛应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，垂心可用于确定建筑物的重心和平衡点，以确保结构的稳定性。
2. 地理测量：在地理测量中，垂心可用于确定地球上的某个点与其他点之间的最短距离，从而实现路径规划等功能。
三角形的外心与垂心的性质比较
三角形的外心与垂心的性质比较在数学几何学中，三角形是一种基本的图形。
而三角形的外心与垂心是关于三角形最重要的几何点之一。
本文将对三角形的外心与垂心的性质进行比较。
一、三角形的外心性质三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，它具有以下性质：1. 外心到三角形各顶点的距离相等：三角形的外心到每个顶点的距离相等，即OA = OB = OC。
2. 外接圆半径最小：三角形的外心是外接圆的圆心，外接圆的半径是三角形各边距离外心的最远距离。
因此，外接圆的半径最小。
3. 外心到三边的距离相等：外心到三角形的三边的距离（OD、OE、OF）相等。
4. 三角形外心角度的关系：三角形的外心角等于各顶点的两倍，即∠BOC = 2∠BAC，∠COA = 2∠CBA，∠AOB = 2∠ACB。
二、三角形的垂心性质三角形的垂心是三条高线的交点，它具有以下性质：1. 垂心到顶点连线的垂直性：垂心到三角形各顶点连线上的投影垂直分别于三条边，即AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB。
2. 垂心到三角形边的距离之和最小：三角形的垂心到三条边的距离（HD、HE、HF）之和最小。
3. 与三条高线的关系：三角形的垂心到三条高线（AD、BE、CF）的距离相等。
4. 垂心角度的关系：垂心到三角形各顶点的连线与三边的夹角后紧紧贴着垂心角一起的顶角，即∠HBC = ∠BAC，∠HAC = ∠CBA，∠HAB = ∠ACB。
三、外心与垂心的比较外心和垂心是与三角形相关的两个重要点，它们具有以下比较：1. 位置关系：外心位于三角形的外部，而垂心位于三角形内部。
外心是三边垂直平分线的交点，垂心是三条高线的交点。
2. 直线关系：外心与三角形各顶点连线确定了三条边，而垂心与三角形各顶点连线形成的角构成了三条高线。
3. 距离关系：外心到三角形的三边距离相等，垂心到三角形的三边距离不等。
4. 圆心关系：外心是外接圆的圆心，垂心没有与之对应的圆。
通过比较可以看出，外心和垂心在位置、直线、距离和圆心等方面有所不同。
三角形的垂心与重心的性质比较
三角形的垂心与重心的性质比较垂心和重心是三角形中两个重要的点，它们在几何学中有着独特的性质和作用。
本文将比较三角形的垂心和重心的性质，探讨它们在三角形中的作用以及它们的区别。
一、垂心垂心是指三角形三个顶点所决定的三条垂直线的交点，通常用H表示。
垂心的性质如下：1. 垂心到三角形三边的距离相等：垂心到三角形的三条边分别做垂线，这三条垂线的长度都相等。
2. 垂心到顶点的连线是垂直的：垂心与三个顶点之间的连线都是垂直的，即与所对边相垂直。
3. 垂心到三角形外心的连线上的点是等边点：垂心到三角形外心的连线上的点与三个顶点的连线长度相等。
二、重心重心是指三角形三个顶点与对边中点连线的交点，通常用G表示。
重心的性质如下：1. 重心到三角形顶点的距离成比例：重心到三个顶点的距离成比例，其中顶点距离重心的距离之比为2:1。
2. 重心到各边中点的距离相等：重心到三角形的三条边中点的距离都相等。
3. 重心是三角形内心与垂心的线段的两倍：重心位于内心与垂心的连线上，并且被分成内心和垂心之比为2:1的位置。
三、垂心与重心的区别1. 定义方式不同：垂心是通过三角形三个顶点的垂线交点定义的，而重心是通过三角形三边的中点连线的交点定义的。
2. 位置不同：垂心位于三角形内部，重心位于三角形外部。
3. 距离特性不同：垂心到三个顶点的距离相等，而重心到顶点的距离成比例。
4. 对称性不同：垂心具有三角形的对称性，而重心不具备对称性。
5. 作用不同：垂心主要用于探究三角形的垂线性质，而重心主要用于探究三角形的重心性质。
总结：垂心和重心是三角形中两个重要的点，它们在几何学中扮演着重要的角色。
垂心通过三角形三个顶点的垂线交点定义，具有距离相等、到顶点连线垂直等特性；而重心通过三角形三边的中点连线的交点定义，具有距离成比例的特性，且位于内心和垂心的连线上。
垂心用于探究垂线性质，而重心用于研究重心性质。
虽然垂心和重心有所不同，但它们共同构成了三角形这一几何形状的重要属性与特点。
三角形垂心的所有结论
三角形垂心的所有结论三角形垂心是指三条高所交于的一点，常以H表示。
在三角形的研究中，垂心是一个非常重要的概念，与三角形的其他特殊点（如重心、外心、内心）共同构成了三角形的几何性质和特征。
下面将详细介绍三角形垂心的相关结论。
1. 垂心存在定理：任意一个非等腰三角形都有一个垂心。
垂心存在定理是数学上的一个基本定理，它表明在三角形中垂心一定存在。
垂直是三角形重要的特征，因此垂心的存在保证了垂直关系在任意三角形中的普遍适用性。
2. 垂心与三角形两边的关系：垂心到三角形各边的距离相等。
垂心到三角形三边的距离分别为h_a, h_b, h_c，那么有h_a =h_b = h_c。
这个结论表明，垂心与三角形各边的关系是一种共线关系，其所在的直线被称为垂心线。
3. 垂心与三角形三个顶点的关系：垂心到三个顶点的连线分别为三条高，且交于一点。
即AH ⊥ BC, BH ⊥ AC, CH ⊥ AB，且这三条高线交于一个点H，即垂心。
这个结论说明了垂心与三角形的顶点之间具有特殊的关系，即垂心是三条高的交点。
4. 垂心与三角形外接圆的关系：垂心是三角形外接圆的圆心。
外接圆是指可以恰好通过三角形三个顶点的圆，垂心恰好是外接圆的圆心。
这个结论说明了垂心与外接圆的关系，可用于证明外接圆的性质或构造外接圆。
5. 垂心与三角形欧拉线的关系：垂心、重心、外心三点共线。
欧拉线是指三角形的垂心、重心、外心三点所在的直线，这三点共线的特点说明了垂心与重心、外心的联系和共同作用。
6. 垂心与等角变换的关系：垂心经过等角变换后仍然在新三角形中。
等角变换是指在平面上保持角度大小不变的变换，例如平移、旋转、镜像等。
这个结论表明，在等角变换下，垂心作为三角形的特殊点仍然保持其特性。
以上是关于三角形垂心的一些常见结论，它们构成了三角形几何性质的重要组成部分，对于解决与三角形相关的问题以及求解相关的几何量具有重要意义。
三角形垂心定理
三角形垂心定理1. 什么是三角形垂心定理三角形垂心定理是指在一个三角形中，三条高（从顶点到对边的垂线）的交点被称为垂心。
根据这个定理，垂心与三角形的顶点连线所组成的三条线段相互垂直。
2. 如何证明三角形垂心定理三角形垂心定理可以通过几何证明进行验证。
首先，假设ABC是一个三角形，其中AD、BE和CF分别是从顶点A、B和C到对边BC、CA和AB的垂线。
要证明这三条线段互相垂直，我们可以使用两种方法之一：向量法或角度法。
使用向量法，我们可以将向量表示垂线AD、BE和CF，然后计算它们的内积。
如果内积等于零，则说明这两个向量垂直。
通过运用向量的性质和定理，可以证明这三个向量的内积等于零，从而得出它们相互垂直的结论。
使用角度法，我们可以观察到，如果我们能证明两个角度是互补角，那么这两个角所对应的边就是垂直的。
通过观察垂心与三角形三个顶点所形成的角度，可以发现它们是互补角，因为它们的和等于180度。
因此，我们可以得出垂心与三个顶点连线所形成的线段互相垂直的结论。
3. 三角形垂心定理的应用有哪些三角形垂心定理在几何学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：a. 证明三角形的垂心存在并且是唯一的。
根据垂心定理，我们可以证明在任何一个非等腰三角形中都存在一个垂心，并且这个垂心是唯一的。
b. 求解三角形的性质和关系。
通过垂心定理，我们可以得出三角形的高线互相垂直的性质。
这可以用来推导出其他的三角形性质，如垂心到三角形顶点的距离相等等。
c. 构造垂心。
在实际的几何问题中，我们可以利用垂心定理来构造垂心。
通过画出三角形的高线并找到它们的交点，我们就可以得到垂心。
d. 解决三角形的面积和周长问题。
垂心定理可以用来求解三角形的面积和周长。
通过计算垂心到三角形顶点的距离，我们可以得到三角形的高，进而计算出面积。
而周长则可以通过计算三边长度的和来得到。
总结起来，三角形垂心定理是几何学中重要的定理之一，它描述了三角形中垂心与顶点连线之间的垂直关系。
5.4 三角形的特殊巧合点-三角形的垂心的性质及应用--沈文选
5.4三角形的垂心性质及应用三角形的三条高线恰巧相交于一点，三角形三条高线的 交点叫做三角形的垂心．锐角三角形的垂心在三角形内，钝角三角形的垂心在三角形外，直角三角形的垂心就是直角顶点． 三角形的垂心有下列基本性质：性质1 三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边，性质2 三角形的垂心与三个顶点组成一个垂心组（即这四点中以任意三点为三角形顶点，则另一点为这个三角形的垂心），或者这四点中任两点的连线垂直于另两点的连线，性质3 设H 为△ABC 的垂心，则,2222HC HB AC AB -=-,(222HC HA r B BA -=- (5.4-1).2222HB HA CB CA -=-性质4 设H 为△ABC 的垂心，则,180A C B BHC ∠-=∠+∠=∠,180B A C CHA ∠-=∠+∠=∠ (5.4-2).180C B A AHB ∠-=∠+∠=∠性质5 设H 为△ABC 的垂心，则点H 关于三边的对称点均在△ABC 的外接圆上，事实上，如图5-24，连AH 并延长交BC 于D ，交外接圆于1D ，连,,/CD HC 则 ,/BCD HAB HCD ∠=∠=∠从而 ,/CD D Rt HCD Rt ∆≅∆ 故 ./DD HD =同理可证得其余情形，在上述证明中，若连,/BD BH 、则/BCD BCH ∆≅∆,从而知△BHC 的外接圆与/BCD ∆的外接圆（就是△ABC 的外接圆）相等．故有性质6 设H 为△ABC 的垂心，则△ABC、△BCH、△ACH、△ABH 的外接圆是等圆．性质7 设H 为△ABC 的垂心，R 为△ABC 的外接圆半径，则.2|cos ||cos ||cos |R C CH B BH A AH =∠=∠=∠ (5.4-3)事实上，如图5-25，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，且△ABC 为锐角三角形，显然有∠AHE＝∠ACB，则⋅=∠=∠AHAE AHE ACB sin sin 在Rt△ABE 中， ,cos BAC AB AE ∠⋅= 则 ,cos 2sin cos BAC R ACBBAC AB AH ∠⋅=∠∠⋅= 从而 .|cos |2cos .2A R A R AH ∠⋅=∠=（因∠A 为锐角）同理， ⋅∠⋅=∠⋅=.|cos |2|,cos |2C R CH B R BH当△ABC 为钝角三角形时，不妨设∠A 为钝角．此时，只需在图5-25中调换字母A 与H 、E 与F 的位置，图形不变，就可得钝角△ABC 的图形，同理可得|,cos |2A R AH ∠⋅=以及 .|cos |2|,cos |2C R CH B R BH ∠⋅=∠⋅=当△ABC 为直角三角形时，不妨设∠A 为直角．此时，垂心H 与A 、E 、F 重合，显然有,0|cos |2=∠⋅=A R AH以及 .|cos |2|,cos |2C R CH B R BH ∠⋅=∠⋅=性质8 在非直角三角形中，过垂心H 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ，则C AQAC B AP AB ∠⋅+∠⋅tan tan .tan tan tan C B A ∠+∠+∠= (5.4-4)事实上，如图5-25，注意到Rt△AHE ∽ Rt△B CE ，有,tan A AEBE AH BC ∠== 从而 ⋅∠⋅=BCA AD AH AD tan 又由 ,tan ,tan C CDAD B BD AD ∠=∠= 有 ⋅∠⋅=∠⋅=CBC AD BC CD B BC AD BC BD tan ,tan 将以上各式代人式(5.1-4)得⋅∠+=∠CAP AB B AQ AC A tan 1.tan 1.tan 再注意到非直角三角形中，有C B A C B A tan tan tan tan tan tan ++=⋅⋅（此式可构图由三角函数定义证明），即得(5.4—4)．性质9 设AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，垂心为H ，则图中有三组（每组4个）相似三角形，且 AH ×HD ＝BH ×HE ＝ CH ×HF ．例1 设△ABC 的垂心为K ，已知CK ＝ AB .求∠ACB.（1970年基辅奥林匹克题）解 当点K 在△ABC 内时，如图5-26，作AD⊥BC 于D ，则AD 过点K.由CK ＝AB ，∠CKD＝∠B ，则Rt△CKD ≌ Rt△ABD.于是 CD ＝AD ．故 .45o ACD ACB =∠=∠当点K 在△ABC 外时（只需在图5-26中，交换点C 与点K 的位置），此时，可证得-=∠o ACB 180 =∠+∠-=∠+∠)(180)(AKC BKC CBA CAB o =∠-AKB o 180.13545180 =-（易得AD ＝KD ） 例2 设H 是等腰三角形ABC 的垂心．在底边BC 保持不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积.,HBC ABC S S ∆∆⋅的值是变小、变大、还是不变？证明你的结论．（1993年全国联赛题）解 不妨设角A 为锐角，连AH 并延长交BC 于D ，延长BH 、CH 分别交AC 、AB 于E 、F ．由 ∠BHD＝∠AHE，有 ∠HBD＝∠CAD．因此， Rt△BDH ∽ Rt△ADC, ⋅=HDBD AD 、/α 又 ,21BC DC BD == 则.41.2BC DC BD D H AD =⋅= 于是 .161)21()21(4BC BC HD BC AD s S HBC ABC =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆∆ 当 90≥∠A 时，同理可证上式也成立，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积⋅⋅∆∆HBC ABC S S 保持不变，例3 设ABCD 是矩形，K 为矩形所在平面上一点，直线KA 与KD 均与边BC 相交．由点B 向直线DK 引垂线，由点C 向直线AK 引垂线，两垂线相交于点M.求证：MK ⊥ AD.（第17届全俄奥林匹克题）证明 设BE 和CF 分别是由B 和C 向DK 和AK 所作的垂线，E 和F 为垂足，同时平行移动AK 和DK ，使点A 移至点B ，点D 移至点C ，此时点K 移到点P ，从而，PK ／／AB ／／CD,PK ＝ BA ＝ CD,PK⊥BC,由于 DK∥CP，BE ⊥ DK，所以， BE⊥CP.同理， CF ⊥ BP.由于线段BE 和CF 分别位于△BPC 的两条高线之上，从而点M 是△BPC 的垂心，因而PM ⊥ BC.所以PM 、PK 都在从P 点向BC 所作的垂线上．因此PM 与PK 所在直线重合，故有MK ⊥BC，即MK⊥AD.例4 如图5-29，设H 为△ABC 的垂心，P 是△ABC 所在平面内任一点．由H 向PA 、PB 、PC 引垂线HL 、HM 、HN ，与直线BC 、CA 、AB 分别相交于X 、y 、Z ．证明：X 、y 、Z 三点在同一直线上．证明 设△ABC 的三条高线AD 、BE 、CF 的垂足为D 、E 、F ．则HA × HD = HB ×HE ＝ HC × HF.又 Rt △HDX ∽ Rt△ HLA,有HL ×HX = HA × HD.同理, HM ×HY = HB × HE, HN ×HZ = HC ×HF.于是， HL ×HX=HM ×HY ＝ HN ×HZ.连PH 并延长在其上取点Q ，使HP ×HQ = HL ×HX ,则 △PLH ∽ △XQH ,因此 ,90=∠=∠PLH HQX即 PH ⊥QX.同理，有 PH ⊥QY，PH⊥QZ.因此，X 、y 、Z 都在过Q 且与PH 的一条直线上．例5 已知锐角△ABC，以sin ∠A 、sin ∠B、sin ∠C 为三边作一个,///C B A ∆以///C B A 、、为圆心，分别以C B A ∠∠∠cos cos cos 、、为半径画圆，则三圆必交于一点H ，且H 正好是///C B A ∆的垂心，证明 由正弦定理有,sin sin sin CB A ∠=∠=∠ 可知 ,~///ABC C B A ∆∆且 .,,///C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠如图5-30，在///C B A ∆中， ,sin ,sin ,sin //////B A C A C B C B A ∠=∠=∠=/H 是///C B A ∆的垂心，由正弦定理，有//////////sin cos cos H B A H A A H A A H A ∠=∠=∠ )180sin(sin ////////C B A B H A B A ∠-=∠= ,1sin sin /=∠∠=C C 即 .cos //A H A =同理， .cos ,cos ////C H C B H B ==因此，/H 就是所画三个圆的公共点．问题得证．习 题 5.41 △ABC 的外心为0，AB=AC ，D 是AB 的中点，E 是△ACD 的重心．求证：OE⊥CD.（1991年加拿大训练题）2 在△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC 于D ，DF⊥AB 于F ，AE⊥CF 于E 且交DF 于M.求证：M 为DF 的中点．3 凸四边形ABCD 的对角线互相垂直．过AB 、AD 的中点K 、M 分别引对边CD 、CB 的垂线KP 、MT ，P 、T为垂足，证明：KP 、MT 、AC 三直线共点．4 设0为锐角△ABC 的外心，H 为△ABC 内部一点，若∠BAO＝∠HAC，∠ABO＝∠HBC，则点H 为△ABC 的垂心．5 A 、B 、C 三点不共线，证明：平面ABC 上存在一个惟一的点X ，=++222AB XB XA =++222BC XC XB .222CA XA C X++ （第36届IMO 预选题）答案。
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三角形垂心的性质总结
山西省原平市第一中学任所怀
三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE
所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形
所以∠AFC=∠ADC=90°
即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）
由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE
所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：
在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：
若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得
因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，
因为，所以
所以
所以 (1)
同理：由得(2)
联立（1）（2）两式，就可解出
显然有垂心O在函数的图象上。
点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。
（2005年全国一卷理科）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m =
分析：H显然为的垂心，我们可取特殊情况来猜想m的值。
于是我取为直角三角形，角A为直角，此时H点与A点重合，且O为BC的中点（如图所示）。
此时
，于是猜想m=1.
而对于一般情况，上面问题，我们不妨称之为三角形的垂心性质定理3：
的外心为O，垂心为H，则。
证明：作出的外接圆和外接圆直径AD，连接BD,CD。
因为直径所对圆周角为直角，所以有，
因为H为的垂心，所以
所以HC//BD，BH//DC,所以四边形BDCH为平行四边形，所以。
因为，且
所以。
点评：这条性质联系了三角形的外心与垂心，所得向量关系也相当简洁。
以此为背景出高考题，也确实体现了命题者深厚的知识功底。
三角形垂心性质定理3：
三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
即：的外心为O，垂心为H，D为BC中点，则AH=2OD。
证明：因为D为BC中点
所以
由性质2知：得
所以AH=2OD。
点评：性质定理3，也可看做是性质定理2的推论。
三角形垂心性质定理4：
锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
分析：应用上面的性质定理3，上面这一结论可改为
锐角三角形的外接圆与内切圆径之和等于外心到三角形三边距离之和。
即：如图在锐角中，O为外心，D,E,F分别为三边的中点。
设外接圆半径为R，内切圆半径为r,则OD+OE+OF=R+r.
证明：在锐角中，O为外心，D,E,F分别为三边的中点，则OF，
，
所以有
=
设中角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.
在圆O中，弧AB所对的圆心角=2C
又因OA=OB，OF，所以
OF=OA*cosC=RcosC。
同理OD=R*cosB, OE=R*cosA
所以
而由三角形内切圆的性质知：
所以
这个式子就指出了内切圆半径与外接圆半径的关系。
而要证OD+OE+OF=R+r，
需证：RcosA+RcosB+RcosC=R+
即需证
需证(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c
而对上式的证明我们可采用正弦定理，化角为边，
即需证：
sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sinB+sinC 需证：sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC
而因为A+B+C=所以sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC显然成立所以命题得证。
点评：此题的证明充分联系我们初高中的大量知识，真是做到了“八方联系，浑然一体”（孙维刚老师语）。
通过这样的一个问题，我们的数学能力将大大提高。
三角形垂心性质定理5：
H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
此定理的证明相对简单，读者不妨自已试试。
在此提出这个性质，主要是看到这里存在的一种广义对称性，即四个点中每一点都可为垂心。
这个结论进一步提醒我们要经常换个角度相问题。
三角形垂心性质定理6：
H为△ABC的垂心，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
分析：要证两圆为等圆，只要证明它们的半径（或直径）相等就可以啦。
而这两圆都是三角形的外接圆，于是我们就想到了正弦定理。
的直径为，的直径为，
因为HD，
所以四边形BEHD是圆内接四边形
所以
所以sinB=sin
所以=
所以，的外接圆为等圆。
同理△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
证明略。
点评：该题的证明过程中，应用到了性质1中的圆内接四边形性质和正弦定理。
这也正是在提示我们要注意八方联系。
以上我对与三角形垂心有关的性质做了一些总结，当然也难免还有其它性质，我还没有发现。
我写文章的目的，也就是在于启发读者经常进行总结，在总结中我们才会有新的发现和创新。
作者简介：任所怀，山西省原平市第一中学一级教师。
1996年毕业于山西师范大学数学系，在中学任教15年，一直从事高中数学教学与研究工作。