混凝土的强度准则

的几何意义进行说明。其详细的推导过程可在一般的弹塑性力学中查到，这里仅对
我们要用到的一些表达式作简要的说明。
一点的应力状态可以用一个二阶张量
σ来表示，它是一个对称张量，即有
ij
σ=。其中6个分量是独立的，所以在有限元分析中也常用6×1阶的矩阵(应力
ijσ
ji
向量)来表示。常用的应力状态表示方法有
σ=
分别称为应力偏量的第一、第二、第三不变量。因1=0
J，故求主应力偏量比求主应
力稍方便些。
为了求得主应力偏量，需要解一元三次方程，比较麻烦，这里介绍一个等代三
角方程的解法。
令
S=rcosθ（4-12）
代入式(4-10)可得
JθJ
cos3θ−cos−=0（4-13）
23
rr
23
若取
⎧J
2
2
⎪
⎪
r
⎨
J
⎪
3
f或
c
f)Baidu Nhomakorabea行了；在双向受力
t
状态下，对不同的应力比
σ1σ作了大量的实验，可通过
2
f，
c
f和
t
f（等轴双压强
bc
度）的包络曲线来表示，在三向受力状态下．问题更加复杂，混凝土的强度要考虑
不同应力分量之间的相互影响，就要用应力状态的某种函数来表达，在三维空间可
用一个破坏包络曲面来表示。这一问题很早就得到了研究．在材料力学中就提出过5
123
式中：
I1=σ+σ+σ
112233
I2=σσ+σσ+σσ−σ−σ−σ
222 112222333311122331
I3=σσσ+2σσσ−σσ−σσ−σσ(4-5)
222 112233122331112322313312
分别称为应力状态的第一、第二和第三不变量。
现定义平均应力
σ为
m
1I
σ(4-6)
当然，我们也可令
S=θ（4-17）
rsin
σ
取
⎧2
r=
⎪
⎪
3
⎨
⎪
sin3θ=
⎪
σ
⎩
−
J
2
4J
3
r
3
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
（4-18）
代入(4-10)式可得
JJ31
sin3θσ−θ−≡3θ−θ+θ≡
2sinsinsin3
sin
3
σσσσ
rr44
23
0
（4-19）
同样可求得主应力偏量，进而求出主应力值。其公式为
主应力偏量的3个主值(三次方程有3个根)。
进而可求出3个主应力值
⎧σ⎫
1
⎪⎪
σ
⎨⎬
2
⎪⎪
σ
⎩⎭
3
=
⎧S
⎪
1
2
3
⎨S
⎪
S
⎩
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
+σ
m
⎧1⎫
⎪⎪
⎨1⎬
⎪⎪
1
⎩⎭
=
2
J
2
3
⎧
⎪
cosθ
⎪
⎪
⎨
cos(θ
cos(θ
⎪
⎪
⎪
⎩
−
+
⎫
⎪
⎪
2⎪
π)
⎬
3
⎪
2
⎪
π)
⎪
⎭
3
+
1
3
⎧I⎫
1
⎪⎪
⎨I
⎬
1
⎪⎪
I
⎩⎭
1
(4-16)
如开始开裂、屈服、极限强度等都可定义为破坏。对于混凝土强度准则来说，一般
是指极限强度而言。混凝土的单轴拉力、压力和剪力强度不能反映混凝土破坏强度
的普通情况。通常采用空间坐标的破坏曲面来描述混凝土的破坏情况，因而，混凝
土强度准则就是建立混凝土空间坐标破坏曲面的规律。近年来，不少学者对混凝土
强度准则进行了研究，建立了从简单的一参数一直到五参数的强度准则。为了对混
个古典强度理论。近十多年来，根据混凝土不同应力比(1σσ
σ：：)下所作破坏实验
23
的结果、又提出了不少破坏准则。
这些破坏准则，是应力状态
σ或其主应力(,,)
σ1σσ的函数。为了表达方便，ij23
3
往往又表示为应力状态不变量或某种应力状态代表值(如八面体应力σoct,τ)的函
oct
数。为了应用方便，我们把应力状态的不变量和一些常用的代表值及其在应力空间
tρ
cc
值接近0.8。可以认为，在静水压小时，偏平面上的断面形状接近光滑的三角形，在
静力压大时．偏平面上断面形状接近圆形，
(4)在纯静水压下会不会发生破坏，还没有试验资料证实，理论上似乎不会。
2
Chinn和Zimmerman(1965)试验做到第一应力不变量
I=−79′
1f还没有破坏迹象，压
c
子午线没有趋向静水压力轴。但也有人有不同见解，因为混凝土材料实际上为非均
实际上是一种柱坐标．这一坐标就是前面所提到的Haigh-Westergaard坐标，相应地
它所表示的空间也可称为Haigh-Westergaard坐标应力空间。用(ξ,ρ,θ)来表示混凝土
的破坏状态的包络曲面，显得非常直观。可以证明ξ,ρ,θ三个参数与应力不变量有如
下关系
Iσσ ξ=1=3=3
moct
σ
23
即表示某一点的应力状态．如图4-5所示。
图4-5
取oN为等倾轴(也称等压轴)，即在oN轴上的任一点均有1σσ
σ==。矢量oP
23
8
可分解为沿oN轴方向的分量ξ和垂直于oN轴的分量ρ。oP在π平面上的投影长度
oC和PN本身相等，设ρ在π平面上的投影与σ轴在π平面上的投影之间的夹角为
1
θ，它通常称为相似角，由三个量ξ,ρ和θ也可决定空间某点的应力状态。(ξ,ρ,θ)
达，如图4-2a ,b所示。偏平面就是与静水压力轴垂直的平面，通过原点的偏平面称π
平面。拉压子午面为静水压力轴与一主应力轴(如σ轴)组成的平面，同时通过另两
3
个主应力轴(σ和σ)的等分线。此平面与破坏包络面的交线，分别称为拉、压子午
12
线。
拉子午线的应力条件为
σ1≥σ=σ，线上的特征强度点有单轴受拉(
3
ρ=22=3
Jτ
oct
33J
cos3θ=·（4-27）
3
2J
32 2
2.一参数混凝土强度准则模型
在以拉应力为主且有较小侧压应力的受力状态时，混凝土呈脆断破坏，破坏前
有很小的塑性流动。在很高的静水压下，混凝土破坏时象某些延性材料那样发生流
动。较简单的混凝土强度准则如一参数混凝土强度准则，能适用于混凝土脆断破坏
4.4混凝土的强度准则
钢筋混凝土结构和构件的非线性分析中的一个重要问题是建立混凝土强度准
则。在单向应力状态下，建立强度破坏条件是比较容易的，但在复杂应力条件下，
如何建立强度破坏条件一直是个研究中的问题。因而建立混凝土强度准则模型的意
图是能尽可能地概括不同受力状态下混凝土的强度破坏条件。
建立混凝土在复杂应力下的强度准则，首先需了解破坏的意义；对于不同情况，
mlimτ2⎥
=∫
⎢
r→0
⎣⎦
S
经积分运算后可得
1I
σ1（4-25）
m=σ+σ+σ=
()
123
33
12
τm=σ−σ+σ−σ+σ−σ=（4-26）
()()()
222
J
135
22312
15
以下说明应力和应力偏量的几何意义：今取
σ为坐标轴，称为主应力坐
1,σ,σ
23
标轴。这一坐标轴所示的空间称为主应力空间。在此坐标系中取任一点P(1,σ,σ)
σ8.4111
3=−+.333=
2.923
求得了主应力值，进而可确定主应力的方向，这里不再细述。
在弹塑性力学中，有几个与应力张量或应力偏量不变量相关的特殊应力，它也
常作为某点应力状态的表征。最常用的是八面体应力。以主应力为坐标轴，与主应
力轴等倾的面有8个。组成一个八面体，如图4-4。等倾面上的应力称为8面体应力，
根据一些试验结果，混凝土破坏面的子午线与偏平面有下列特征：
(1)子午线形成光滑曲线，并与静水压应力I或ξ值有关；
1
(2)偏平面上ρ≤1，下标t、c分别表示拉、压子午线；
tρ
c
(3)对于各向匀质的材料，其破坏曲面在偏平面上形成三轴对称，形状如图4-2a
所示。
ρ比值随静水压值增大而增大，在π平面上接近0.5；当ξ=−7f′时，比
ij
⎡σ
11
21
31
⎢
σ
⎢
⎢σ
⎣
σ
σ
σ
12
22
32
σ⎤
13
⎥
σ
⎥
23
σ⎥
⎦
33
=
⎡σ
⎢
x
τ
⎢
yx
zx
⎢
τ
⎣
τ
xy
σ
τ
y
zy
τ
xz
τ
yz
σ
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
（4-1）
[][][]
σ＝σxσστττ=σ11σ22σ33σ12σ23σ13（4-2）
TT
yzxyyzzx
(4-1)式第一、二列为张量表达式，便于公式堆导，第三列为工程界常用表示法。(4-2)
⎪
⎩r
3
=
=
3
4
cos3θ
4
即
⎧
4J
r=
2
⎪
⎪
3
⎨
4J
⎪
cos3θ=
3
⎪
⎩r
3
（4-14）
5
则与下列三角恒等式相同
31
cos3θ−θ−θ≡（4-15）
coscos30
44
所以由式(4-14)决定的r，θ必可满足求主应力偏量的三次方程(4-10)。由r，θ即
可求得主应力偏量S。由式(4-14)求θ时，在0~2π范围内有3个角值，正好可求出
面)上截面的外形曲线还是在子午面(θ＝常量的平面)上的截线均是光滑的凸曲线。
(3)在θ＝常数的子午面上的截线是曲线，不是直线；在ξ＝常数偏平面上的外
形曲线是非圆曲线，但随着ξ的增大而越来越接近圆形。
图4-3
4.4.2一参数至五参数混凝土强度准则模型
1.应力状态不变量及其几何意义
在单轴应力状态下确定混凝土的强度用一个指标(
将八面体应力分解为正应力(与等倾面垂直)与剪应力(在等倾面内)，称为八面体正应
力与剪应力，常用
σ与τ表示。由微体平衡条件可以求得其与主应力及应力状态
octoct
的不变量有如下关系：
图4-4
1
Iσ
σ=1++==（4-21）
()
σσσ
1
oct23m
33
7
12
τoct=σ−σ2+σ−σ+σ−σ=(4-22)
()()()
22
J
13
223312
3
还有一组常用的应力值为平均正应力与平均剪应力(又称均方剪应力)。对某点应
力状态，在该点邻域内取一微球体，球半径r，球表面积为S。作用在球面上的应力
分解为正应力
σ与剪应力τ，则平均应力为
n
σlim1
=σ
m∫
S
r→0
dS
n
（4-23）
平均剪应力为：
1⎡1⎤
2
τdS（4-24）
23
f，0，0)
t
和二轴等压(
0,−,)，偏平面上的夹角为θ＝0°；压子午线的应力条件则为
fbc−f
bc
σ1=σ≥σ，线上有单轴受压(
23
0,f)和二轴等拉(f,,0)，偏平面上的夹角θ＝
0,−ttf
ctt
60°。拉压子午线与静水压力轴同交于一点，即三轴等拉(
f,,)。
tttff
tttttt
图4-2破坏曲面的偏平面与子午线
1JJ
23
圆柱坐标系统亦称为Haigh-Westergaard坐标(即ξ、ρ、θ)来表示，也用八面体应力
坐标铀来表示。因此，破坏曲面的函数方程式可表达为
f
(σ1,σ,σ)=
23
0
f
(I1,J,J)=
23
0
f(ξ,ρ,θ)=0
f
(σ,τ,θ)=
octoct
0
图4-1混凝土弹性极限面与破坏面
1
混凝土的破坏面一般可用破坏面与偏平面相交的断面和破坏曲面的子午线来表
⎧σ⎫
1
⎪⎪
σ
⎨⎬
2
⎪⎪
σ
⎩⎭
3
=
2
J
2
3
⎧
⎪
⎛+
sin⎜θ
σ
⎝
⎪
⎪
⎨
sinθ
σ
⎪
⎪⎛−
sin⎜θ
⎪
σ
⎩⎝
2
3
π
2
3
π
⎞⎫
⎟
⎠
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎞⎪
⎟
⎪
⎠⎭
+
1
3
⎧I⎫
1
⎪⎪
⎨I
⎬
1
⎪⎪
I
⎩⎭
1
（4-20）
例：已知某应力状态
σ
ij
=
⎡16
⎢
8
⎢
⎢
6
⎣
8
10
−5
6⎤
⎥
−5
⎥
⎥
8
⎦
试求其主应力。
6
1++=解：(16108)11.333
式为向量矩阵表达式，便于公式计算及程序设计。
已知一点应力状态的6个分量，可以求出该应力状态的主应力，此主应力可由
应力张量矩阵所决定的特征方程求出，即：
⎡σ
⎢
11
σ
⎢
⎢σ
⎣
−σ
21
31
σ
12
σ−σ
22
σ
32
σ
σ
13
23
σ−σ
33
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=0（4-3）
展开后可得三次方程
σ3−Iσ2+Iσ−I=0(4-4)
σ=
m
3
S422=−1.3333=−
11=
.67SS3.34
J198
2=94.3J
3=
4×=
94.3
由r=11.21
3
cos3θ=
4×198
3=
11.21
0.5623
3θ=55°47',θ=18°35
'
代入公式可得σ1=10.64+11.333=21.973
σ2=−2.216+11.333=9.117
质材料，骨料水泥浆之间有空隙，也有可能在高静水压下，骨料压酥。
江见鲸教授在总结混凝土的破坏面的特点时指出（见图4-3）：
(1)三向应力下混凝土的破坏面是与三个方向应力都有关的函数，是一个在等压
轴方向开口的曲面．即在三向等压情况下，混凝土的强度随着压力的增加而提高。
(2)这个曲面是一个光滑的凸曲面。无论在偏平面(ξ＝常量、与π平面平行的平
凝土强度性能能更好、更广泛地进行描述，强度准则的参数有愈来愈多的趋势。本
章除对常用的一至五参数强度准则加以阐述外，还对各强度准则加以分析比较。
4.4.1混凝土破坏面的描述
σ、、来表示，如
1σσ
23
混凝土的弹性极限面和破坏曲面可用三个主应力坐标轴
图4-1所示。为了用数学方法表达方便，又可用应力不变量
I、、来表示，或用
Sij−Sδ=0（4-9）
ij
展开后可得三次方程
S3−JS2−JS−J=(4-10)
0123
式中：
J1=S+S+S=
112233
0
J=−−−+2+2+2
2SSSSSSSSS
112222333311122331
J3=SSS+2SSS−SS2−SS2−SS2(4-11)
112233122331112322313312
m=σ+σ+σ=
()
1 112233
33
4
然后定义应力偏量
S=σ−σδ（4-7）
ijijmij
式中
δ为δ函数，有
ij
⎧=
1i
当
δ
＝⎨
ij≠
⎩当i
0
j
j
显然．知道了平均应力和应力偏量的各分量，则很易求得应力张量的各分量，
即
σ=+（4-8）
ijSσδ
ijmij
与应力张量相似，我们可以求出应力偏量的主应力偏量，其相应的特征方程为