振动的合成
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第6章 振动2(振动合成、其它振动)
A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数： 时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 在欠阻尼情况下， 振幅 振动能量E： 振动能量 ： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其 值 它
15
二、李萨如图： 李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比， 如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运 动具有稳定的封闭的运动轨迹。 动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象： ３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象． 合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T
14振动的合成、拍
上式表示一个长短轴在任意方向的椭圆。
17
五. 相互垂直、不同频率谐振动的合成
合成结果为不同形式的李萨如图形。
y :x
18
合成后仍为谐振动。
o
2 1 A1 1 x x
x A cos(t )
7
A和可由矢量求和方 法求解。
4 3
A
A Ai
Ai sin i arctg Ai cos i
o
A4 A3 3 2 A2
2 1 A1 1 x x
2 2
A2
o x
是长短轴分别在x、y 方向上的椭圆。 当A1=A2时是圆形。
A1
16
一般情况下
X=A1cos(ωt+φ1) ， Y=A2cos(ωt+φ2)
变换：
令：
Y=A2cos(ωt+φ2)= A2cos(ωt+ φ1 +φ2-φ1)
α= ωt+φ1 、 β= φ2-φ1
得：Y=A2[cos α cos β - sin α sin β] A2 [cos cos 1 cos2 sin 改写为： y cos cos 1 cos2 sin 两边平方，利用 cos α=X/A1
9
对有n+1个边的多边形，内角和为（n-1)π。 相邻的两个矢量夹角为（ π- δ），共有n-1个 角。A1、An与A夹角相等。
(n-1) π=(n-1)(π- δ）+2 φ φ =(n-1) δ/2
合振动的方程：
sin(n / 2) X A1 cos(t (n 1) / 2) sin( / 2)
4 2 22 2 4 2 cos( / 3 0) 2 7
17
五. 相互垂直、不同频率谐振动的合成
合成结果为不同形式的李萨如图形。
y :x
18
合成后仍为谐振动。
o
2 1 A1 1 x x
x A cos(t )
7
A和可由矢量求和方 法求解。
4 3
A
A Ai
Ai sin i arctg Ai cos i
o
A4 A3 3 2 A2
2 1 A1 1 x x
2 2
A2
o x
是长短轴分别在x、y 方向上的椭圆。 当A1=A2时是圆形。
A1
16
一般情况下
X=A1cos(ωt+φ1) ， Y=A2cos(ωt+φ2)
变换：
令：
Y=A2cos(ωt+φ2)= A2cos(ωt+ φ1 +φ2-φ1)
α= ωt+φ1 、 β= φ2-φ1
得：Y=A2[cos α cos β - sin α sin β] A2 [cos cos 1 cos2 sin 改写为： y cos cos 1 cos2 sin 两边平方，利用 cos α=X/A1
9
对有n+1个边的多边形，内角和为（n-1)π。 相邻的两个矢量夹角为（ π- δ），共有n-1个 角。A1、An与A夹角相等。
(n-1) π=(n-1)(π- δ）+2 φ φ =(n-1) δ/2
合振动的方程：
sin(n / 2) X A1 cos(t (n 1) / 2) sin( / 2)
4 2 22 2 4 2 cos( / 3 0) 2 7
第2节_简谐振动的合成
2
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
光波的叠加
合振动的大小和方向都是随时间变化的。消去参数t 合振动的大小和方向都是随时间变化的。消去参数t，得 合振动矢量末端运动轨迹方程为： 合振动矢量末端运动轨迹方程为：
Ex E y E + 2 −2 cos(α 2 − α1 ) = sin 2 (α 2 − α1 ) a a2 a1a2
其中
2 x 2 1
§11-5 11-
光波的叠加
一、波的叠加原理（振动的合成） 波的叠加原理（振动的合成） 两个或多个光波在空间某一区域相遇时，发生光波的叠加。 两个或多个光波在空间某一区域相遇时，发生光波的叠加。 频率、振幅、位相都不相同的光波叠加较复杂， 频率、振幅、位相都不相同的光波叠加较复杂，本章只讨 频率相同或频率相差很小的单色光波的叠加 的单色光波的叠加。 论频率相同或频率相差很小的单色光波的叠加。 实际光源发出的光波不能认为是余弦或正弦函数表示的单 色光波， 色光波，但可以将任何复杂的波动分解为一组由余弦函数 和正弦函数表示的单色波之和。 和正弦函数表示的单色波之和。因此讨论单色光波有实际 意义。 意义。 波的叠加原理： 波的叠加原理：几个波在相遇点产生的合振动是各个波单 独产生的振动的矢量和。 独产生的振动的矢量和。 叠加原理是波动光学的基本原理。 叠加原理是波动光学的基本原理。
2 Ex E y E x2 E y + 2 −2 cos δ = sin 2 δ a12 a2 a1a2 （1） δ = 0, ± 2π 整数倍时 E = a2 E y x a1
表示合矢量末端的运动沿着一条经过坐标原点其斜率 的直线进行，其合成光波是线偏振光。 为 a2 a1 的直线进行，其合成光波是线偏振光。 在垂直于传播方向的平面内， 在垂直于传播方向的平面内，光矢量只沿某一个固定方向 振动，则称为线偏振光，又称为平面偏振光或线偏振光。 振动，则称为线偏振光，又称为平面偏振光或线偏振光。 13
大学物理学课件-振动的合成与分解
大学物理学
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4.2 振动的合成与分解
分析：
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1 )
（1）若两分振动同相：
2 1 2 k
A A1 A2
k 0,1, 2,
两分振动相互加强
（2）若两分振动反相:
2 1 ( 2 k 1)
×
×
−
()
()
得
−
= ( − )
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4.2 振动的合成与分解
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
分振动
x A1 cos( t 1 )
y A2 cos( t 2 )
= 0
= /4
P
.
·
= /2
= 3/4
= 3/2
= 7/4
Q
=
= 5/4
0 时，逆时针方向转动。
0 时，顺时针方向转动。
大学物理学
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四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成
两振动的频率成整数比
2
1
2
2
A1 A2
A1 A2
(1)2 1 0
x
y 2
(
) 0
A1 A2
y
A2
y
x
A1
x
质点离开平衡位置的位移
S
大学物理学
x2 y2
A12 A2 2 cos( t )
振动的合成(黄颂翔
x1 A cos1t 0 x2 A cos2t 0
利用三角函数关系式：
cos cos 2 cos cos
2
2
它们的合运动为
x x1 x2 A cos1t 0 A cos2t 0
x
10
上式是个椭圆方程，形状由相位差 (20 10 ) 决
定。
２．讨论：
1）当
20
10
0时， x A1
y A2
2
0
y A2 s
y A2 x 轨迹为过原点的直线 A1
O A1
直线的斜率为
tan A2
A1
任意时刻的位移为 s
两振动合成时，相位差起决定性作用。
（1）当两振动同相位，即
20 10 2k , k 0 ， 1 , 2 ， 时
cos20 10 1
A2
A
A1
A A12 A22 2 A1 A2 A1 A2
合振动的振幅达到最大。合振动初相位与分振动 相同。
结果表明：两同方向同频率简谐振动的合成仍为一
简谐振动。合振动与分振动在同一方向上，频率与
分振动相同，振幅及初位相分别由（3）、（4）式
决定。 ２．矢量合成方法
A
设t 0时刻对应两振动的
旋 转矢 量 A1 和 A2 与 x 轴的
夹角分别为10 、20 ，它们
A2
y2
y2
y
200 10 A1 y1
单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
显然，拍频是振动cos(2 1 t)的频率的两倍。即
利用三角函数关系式：
cos cos 2 cos cos
2
2
它们的合运动为
x x1 x2 A cos1t 0 A cos2t 0
x
10
上式是个椭圆方程，形状由相位差 (20 10 ) 决
定。
２．讨论：
1）当
20
10
0时， x A1
y A2
2
0
y A2 s
y A2 x 轨迹为过原点的直线 A1
O A1
直线的斜率为
tan A2
A1
任意时刻的位移为 s
两振动合成时，相位差起决定性作用。
（1）当两振动同相位，即
20 10 2k , k 0 ， 1 , 2 ， 时
cos20 10 1
A2
A
A1
A A12 A22 2 A1 A2 A1 A2
合振动的振幅达到最大。合振动初相位与分振动 相同。
结果表明：两同方向同频率简谐振动的合成仍为一
简谐振动。合振动与分振动在同一方向上，频率与
分振动相同，振幅及初位相分别由（3）、（4）式
决定。 ２．矢量合成方法
A
设t 0时刻对应两振动的
旋 转矢 量 A1 和 A2 与 x 轴的
夹角分别为10 、20 ，它们
A2
y2
y2
y
200 10 A1 y1
单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
显然，拍频是振动cos(2 1 t)的频率的两倍。即
振动合成与分解
从数学上讲 任何形式的周期函数都可通过付里叶级数分解 成一系列不同频率、不同振幅的谐振动之和； 成一系列不同频率、不同振幅的谐振动之和；而非 周期振动可通过傅里叶积分把它展成无数个频率连 续分布的谐振动。 续分布的谐振动。 将任一周期性振动 x(t +T) = x(t) 按付立叶级数展开 a0 ∞ x (t ) = + ∑ (an cos nω t + bn sin nω t ) 2 n=1 2 π 若周期振动的频率为： 若周期振动的频率为：ν ω =2 = πν T 则各分振动的频率为:ν、2ν、3ν、… 则各分振动的频率为: （基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , …） ） 由于所包含的频率取分立值，这类频谱称为离散谱。 由于所包含的频率取分立值，这类频谱称为离散谱。
二. 同方向不同频率简谐振动的合成 分振动 合振动
x2 = Acos(ω2t +ϕ2)
x = x + x2 1
1 1 x = 2 A cos [(ω 2 − ω1 )t + (ϕ 2 − ϕ1 )] ⋅ cos [(ω 2 + ω1 )t + (ϕ 2 + ϕ1 )] 2 2
x = Acos(ω t +ϕ1) 1 1
图(a) 中实线所代表的周期性振动可分解为基频 倍频的两个简谐振动的叠加。 和3倍频的两个简谐振动的叠加。 倍频的两个简谐振动的叠加 而图(b)则是一种“方波”振动信号， 而图 则是一种“方波”振动信号，它所包含 则是一种 的简谐振动成分就多了。 的简谐振动成分就多了。 这里用竖直线段在横坐标上的位置代表所包含 简谐振动的频率，竖直线高度代表所对应振幅， 简谐振动的频率，竖直线高度代表所对应振幅，该 称为振动频谱 图(c)称为振动频谱。 称为振动频谱。
光波的叠加
π
2
的奇数倍时， 的奇数倍时， E +
a
2 x 2 1
2 Ey
a
2 2
=1
这是一个正椭圆方程，其长、短轴分量分别在X 这是一个正椭圆方程，其长、短轴分量分别在X、Y坐标 轴上，表示合成光波是椭圆偏振光。 轴上，表示合成光波是椭圆偏振光。 若
a1 = a2 = a
则
E +E =a
2 x 2 y
2Hale Waihona Puke 合矢量末端运动轨迹是一个圆， 合矢量末端运动轨迹是一个圆，此时合成光波是圆偏振 光。
I 0 = a 2 表示单个光波在P点的强度 表示单个光波在P δ = α 2 − α1 表示两光波在P点的相位差 表示两光波在P
2 I = A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
P点合振动的光强得
I = 4 I 0 cos
2
δ
2
在P点叠加的合振动的光强I取决于两光波在叠加点的相位差。 点叠加的合振动的光强I取决于两光波在叠加点的相位差。 4
A = 2a cos(kz + ) 2
不同的Z值处有不同的振幅， 不同的Z值处有不同的振幅，但极大值和极小值的位置不 随时间而变。 随时间而变。 振幅最大值的位置称为波腹， 振幅最大值的位置称为波腹，其振幅等于两叠加光波的 波腹 振幅之和，而振幅为零的位置称为波节 波节。 振幅之和，而振幅为零的位置称为波节。 波腹的位置由下式决定 波节的位置由下式决定
11
把合矢量以角频率周期旋转， 把合矢量以角频率周期旋转，其矢量末端运动轨迹 为椭圆的光称为椭圆偏振光。 为椭圆的光称为椭圆偏振光。 椭圆偏振光 两个频率相同， 两个频率相同，振动方向互相垂直且具有一定位相差的 光波的叠加，一般可得到椭圆偏振光。 光波的叠加，一般可得到椭圆偏振光。 椭圆的形状取决于两叠加光波的振幅比 a2 a1 和相位差 光矢量在垂直于光的传播方向的平面内， 光矢量在垂直于光的传播方向的平面内，按一定频率旋 转(左旋或右旋)。如果光矢量的端点轨迹是一个椭圆， 左旋或右旋) 如果光矢量的端点轨迹是一个椭圆， 这种光叫做椭圆偏振光。 这种光叫做椭圆偏振光。
振动的合成——精选推荐
二、振动的合成实际生活中，一个系统往往会同时参与两个或更多的振动。
例如悬挂在颠簸船舱中的钟摆，两列声波同时传入人耳等。
一般的振动合成显然是比较复杂，下面仅讨论几种间单情况的简谐振动合成。
一、同方向同频率简谐振动的合成若两个同方向的简谐振动，频率都是，它们的运动方程分别为因振动是同方向的，所以这两个谐振动在任意时刻的和位移应在同一直线上，且等于这两个振动位移的代数和，即合位移仍为简谐振动二、两个同方向不同频率简谐振动的合成拍如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那么合成后的振动仍与原振动方向相同但不再是简谐振动。
现设两简谐振动的振幅都为A，初相位为零，它们的振动方程分别为合成振动方程为若两个分振动的频率都较大且其差很小时，即，合振动可看作为振幅随时间缓慢变化的近似谐振动，振幅随时间变化且具有周期性，表现出振动或强或弱的现象，称拍，变化的频率称拍频，变化的振幅为变化的频率为三、相互垂直的简谐振动的合成李萨如图如果两个简谐振动分别在x轴和y轴上进行，他们的振动方程分别为合成后，可得质点的轨迹为椭圆方程若两分振动有不同的频率，且两频率之比为有理数时，则合成后的质点运动具有稳定、封闭的轨迹。
称其为李萨如图形。
程序编写我们已经在第一讲中体验了matlab的编程，可是你一定会生出这样的问号，辛辛苦苦在命令窗口写的一大堆代码怎么不保留？不用担心，matlab程序和其他编程工具一样，也有专门的文件格式，称m文件，文件名形式为“文件名.m”。
你可以用matlab自带的编辑器来输入你的程序代码，当然你也可以用其它编辑器或最经济的文本编辑器，不过别忘记添加文件名的后缀“.m”。
下面，请跟我一起用m文件编辑器来编写matlab程序。
例题：两个振动方向相同而频率不同的简谐振动方程分别为合成后的方程是请用matlab程序描述合成波和拍频现象。
编程：第一步：点击matlab图标，打开程序窗口。
第二步：选file—new—m-file,打开编辑器。
同方向、不同频率的简谐振动的合成
合振幅 Acos cost Asin sin t
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
的仍 简然 谐是 振同 动频 。率
Acos(t )
3
式中：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
可见：
2 1 2k
k 0,1,2,
A A1 A2
2Acos (2 1）t cos[ (2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 | 视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动.
这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。 10
arctg A1 sin 1 A2 sin 2
讨论一：
A1 cos1 A2 cos2
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2A1
A1
6
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A
1动、的2相位1 差0在视缓为慢同地频变率化的，合所成以，质不点过运两动个的振轨
道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
4-(4)振动合成
3) 2k 2 1 (2k 1) ,
k 0, 1, 2
A1 A2 A A1 A2
15 – 8
例、N个同方向、同频率的谐振动，振幅相等 相位依次相差，求合振动的振幅与相位。 设：（N=5）
多普勒效应
第十五章 机械波
x1 a cos t x2 a cos(t ) x3 a cos(t 2 ) x4 a cos(t 3 ) x5 a cos(t 4 )
A2 , v20 0 2 2 2
3
15 – 8
2 x1 5cos( t ) 2 3 2 x2 5cos( t ) 2 3
2 A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 ) 2 2
多普勒效应
第十五章 机械波
（2）A
4 5 5 2 5 5 cos 5cm 3 A1 sin 1 A2 sin 2 0 arctan arctan A1 cos 1 A2 cos 2 1
第十五章 机械波
2 1 / 2
2 1 / 2
x2 y 2 2 1 2 A1 A2
Y X
Y
X
15 – 8
多普勒效应
第十五章 机械波
2、作图法 依次描出坐标值
15 – 8
例、 两个同方向、同频率的谐振动，其位移曲 线如图，求（1）分别求出两个谐振动方程；2）合 振动方程。
1
第十五章 机械波
A2
A
对边 A1 sin1 A2 sin 2
2
O
A1 cos 1
A1 2
1
A2 sin 2
邻边 A1 cos 1 A2 cos 2
8.5 简谐运动的合成
ν 2 ν 1
2
t ) cos( 2 π
ν 2 +ν 1
2
t +)
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
ν = (ν 1 + ν 2 ) 2
A = 2 A1 cos 2π
ν 2 ν 1
2
t
Amax = 2A1
Amin = 0
振幅是随时间变化的， 振幅是随时间变化的，由于振幅的改变也是周期 性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。 性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。
y A2
A2 y= x A1
o
A1
x
x 2 y 2 2 xy + 2 cos( 2 1 ) = sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2） 2 1 = π
3） 2 1 = ± π 2
2 2
A2 y= x A1
o
y
A2
x y + 2 =1 2 A1 A2
π y = A2 cos(ωt + ) 2
合成振动为： 合成振动为： x = x1 + x2 = A1 cos(ω1t + ) + A2 cos(ω 2 t + ) 利用三角函数公式可得
x = 2 A cos(
ω2 ω1
2
t ) cos(
ω2 + ω1
2
t +)
= 2 A cos( 2 π
ν 2 ν 1
2
t ) cos( 2 π
ν 2 +ν 1
两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率相近的两个同方向简谐振动的合振动是振幅随 频率相近的两个同方向简谐振动的合振动是振幅随 相近的两个同方向简谐振动的合振动是 时间周期性变化的特殊简谐振动 称为拍振动 的特殊简谐振动， 拍振动。 时间周期性变化的特殊简谐振动，称为拍振动。 单位时间内振动加强或减弱的周期数叫拍频。 单位时间内振动加强或减弱的周期数叫拍频。 拍频 由
物理-相互垂直的简谐运动的合成
y A2 x A1
质点离开 平衡位置 的位移
r(t) A12 A22 cos(t 1 )
y
A2
o A1 x
合振动是与分振动同频率的简谐振动
一、两个相互垂直的谐振动的合成
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2 A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
(3)
若
2
1
2
x2 A12
y2 A22
合运动的 轨道方程
( x )2 ( y )2 2xycos sin2
A1
A2
A1 A2
其中： (2 1 )t (2 1 ) ——随时间变化
一般情况下，合运动的轨迹是不稳定的。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
分振动： x A1 cos(ω1t φ1 ) y A2 cos(ω2t φ2 )
二、振动频谱分析
数学上已经证明：
任意周期函数（周期为T）：x(ωt) 其中 ω 2π /T
均可展开为三角级数
基频
x(ωt ) a0 (ak cos kωt bk sin kωt )
k 1
k次谐频
1 T/2
a0 T
f (ωt )dt
T / 2
2
ak T
T /2
f (ωt)cos kωtdt (k 0)
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2
A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
合运动一般是在 x A1, y A2 范围内的一个椭圆。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
2
2
x A1
y A2
振动能量 振动合成
五、两个垂直方向不同频率简谐运动的合成 五、两个垂直方向不同频率简谐运动的合成
合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论
情况1：两个分振动的频率相差很小
ν 2 −ν1 ≈ 0 视为同频率的合成：两个振动的相位差缓
θ
l
2、运动方程
F = − mg sin θ ≈ − mgθ
2
T
（摆角小于5°)
2
d x dθ = m 2 = ml 2 dt dt
F
v mg
dθ − mgθ = ml 2 dt
2
2
d θ g + θ =0 2 dt l
2
g g 单摆的圆频率 ω = ω= l l l 1 1 频率 ν = ＝ 周期 T ＝2π T 2π g
2π (3) ωt + ϕ = 3
O
ω
t=0.5s 0.12m
ωt + ϕ =
x
π
6
ϕ
A
t=0
3π 5 3π 2π ′+ϕ = ωt ) /ω = s Δt = ( − 2 6 2 3
v
5π ϕ = − (或 ) 3 3
π
单摆——数学摆 单摆——数学摆 1、概念
单摆是一个理想化的振动系统： 它是由一根无弹性的轻绳挂一 个摆锤构成。
| A1 − A 2 |< A < | A1 + A 2 |
v A2
三、同方向、不同频率谐振动的合成 设两个初相相同，振幅、频率不同的简谐振动 t=0时合振动振幅最大，为A=A1+A2; 设ω2>ω1,则A2矢量比A1旋转更快，经历 时间 t1 =
x1 = A1 cos ω1t x2 = A2 cos ω 2t
两个互相垂直的简谐振动合成
拍的振幅为)cos(t A 2212 振幅的周期为121222)(T 拍频为122121T拍的振动曲线如右图三、两个互相垂直的简谐振动的合成两简谐振动为)cos( t A x （1）)cos( t B y （2）以cos 乘以(3)式，cos 乘以(4)式，后相减得改写为 sin sin cos cos t t A xsin sin cos cos t t By（3）（4）)sin(sin cos cos t ByA x （5）)(sin )cos( 222222ABxy B y A x 以sin 乘以(3)式，sin 乘以(4)式后相减得(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程)sin(cos sin sin t ByA x （6）医学物理学此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差（ － ）。
xA o -A-BB a b y 讨论：1. － 0 或 时02 )(B y A x 即x A B y 合振动的轨迹是通过坐标原点的直线，如图所示。
－ 0时，相位相同，取正号，斜率为B /A 。
－ 时，相位相反，取负号，斜率为-B /A 。
合振动的振幅22BA C医学物理学2. 当2时xAy B22221合振动的轨迹是以坐标轴为主轴的正椭圆，如右图所示。
－ = /2时，合振动沿顺时针方向进行；－ = /2时，合振动沿逆时针方向进行。
A =B ，椭圆变为正圆，如右图所示。
xAB o y-A-BxA A -A-Ay o医学物理学3.如果( )不是上述数值，那么合振动的轨迹为椭圆，其范围处于边长分别为2A (x 方向)和2B (y 方向)的矩形内。
两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，合振动曲线称为利萨如图形。
同方向、不同频率的简谐振动的合成
02 x
h cos
pt
• 共振
同方向、同频率的简谐振动的合成(干涉)
A A12 A22 2A1A2 cos2 1
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
同方向、不同频率的简谐振动的合成(拍) 21
垂直方向、同(不同)频率简谐振动的合成
李萨如图
23
mghsin I
O
mgh 0Iຫໍສະໝຸດ 2 0mgh IC
简谐振动的能量
mg
E
Ek
E p
1 4
kA2
1 4
kA2
1 2
kA2
* 任一简谐振动总能量 与振幅的平方成正比
22
• 谐振子的阻尼振动
mx kx x
令
2 0
k ;
m
；h
2m
H m
• 谐振子的受迫振动
d 2x dt 2
2
dx dt
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2
24
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
质点沿顺时针方向运动；当 2 时，
质点沿逆时针方向运动。
当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。13
x2 A12
用李萨如图形在 无线电技术中可 以测量频率：
Tx :Ty 1: 2
在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入 两个振动，已知其中一个频率，则可根据所 成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就 可得知另一个未知的频率。
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2k 多边形闭合 A=0 n k nk k 0,1,2,
已知:
练 习
教材 P.411 13-15/P.41 12-14
A A1 A2 A1 8cm A 10cm
A与A1 相差 6
求： A2 及A1，A2的相差 解： 作平行四边形
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos( t ) 2 1 2k π
A
A2
1
t
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
2）相位差 2 1 (2k 1)π
(k 0 ， 1, )
A2
2
o
1
x
多个同方向同频率简谐振动合成仍为简谐振动
特例：
A2
An A
封闭多边形: Amin 0
A1
A1 A2
An
直线: Amax A1 A2 An
A
例：教材 P.395 [例1] / P.19 [例1] 同一直线上 n 个同频率简谐振动，其振幅 相等而初相依次相差一个恒量，求合振动。
2 1
录象
讨论:
（２）*当 1 2 可化为整数比时，合振动为周期性 振动，否则合振动为非周期振动。
重要意义： 周期性 非周期性 非谐振动
}
谐振动
研究一切振动的基础
{
讨论：（3）*振动的频谱
任何一个振动都可以分解为一系列谐振动 基频： 谐频： 主频： 频谱： 分振动角频率的最小值
四. 孤立谐振动系统的能量 五. 谐振动的合成
共振的危害
自学教材第四节（P28）: 阻尼振动、受迫振动和共振
R
C
n
按多边形法则叠加
M
an
A a1 a2 an
A
a2
构成正多边形的一部分
设该正多边形外接圆半径R
a1 2 Rsin 2
A a1 sin n sin 2 2
O
a1
x
n A 2 R sin 2
P
1 1 1 2 2 E Ek Ep mv kx kA2 2 2 2
五、振动的合成
在实际生活中，一个系统往往会同时参与 两个或多个振动。
简谐振动遵从叠加原理，其合成分解工具： 合成：矢量合成的平行四边形法则 分解：傅立叶级数展开
（一）两个同方向同频率简谐振动的合成
A2
O
2 1
2 k
(2k 1)
A Amax A1 A2
A Amin A1 A2
A1
(k 0,1,2 )
A A1 A2
A1
A2
O
O
x
A A1 A2 A2
x
一般情况 A A2 A A A2 1 1
(二)多个同方向同频率简谐振动的合成 ——多边形法则
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )
A
A3
3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
A1
min
为基频整数倍的成分
分振动中振幅最大的成分
A 曲线
周期性振动的频谱是分立的线状谱
（四）两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 两个分振动频率相同，振动方向互相垂直
x A1cos t 1
y A2cos t 2
消去t :
x 2 y 2 2 xy 2 cos 2 1 sin2 2 1 A12 A2 A1 A2
上讲内容
一.简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）
F kx
d2 x 2x 0 dt 2
x A cos(t 0 )
角频率
k m
2 v0 A x 2 2 0
二.
特征量
振幅
初相
v0 0 arctg( ) x 0
三.旋转矢量法
四.能量（以平衡位置为坐标原点和势能零点）
2 1
2
2 1
2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍” 调制
可用音叉演示“拍”现象
2 1 2 1 x x1 x2 2 A cos( t ) cos( t ) 2 2
调制频率:
2 1 2
载频:
2 1 2
拍频:单位时间中合振动最强（或最弱）的次数
1 0
π π 3π π 2 0, , , , 8 4 8 2
1 m 2 n
测量振动频率 和相位的方法
LSRT2.exe
小 谐振动的合成
结
(一) 两个同方向同频率简谐运动的合成 (二) 多个同方向同频率简谐运动的合成 (三) 两个同一直线上不同频率的谐振动的合成 —拍现象 (四) 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 物理实验课
2 1 2 1 x x1 x2 2 A cos( t ) cos( t ) 2 2
x x1 x2 2 A cos(
2 1
2 振幅随时间变化
t ) cos(
2 1
2 振动
t )
讨论:
(1) 1 , 2均很大，但彼此相差很小，
o
A1
x
用 旋 转 矢 量 描 绘 振 动 合 成 图
几种不同相差情况下合运动轨迹 两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
LSRT1.exe
（五）两相互垂直不同频率(频率成简单整数比)的简 谐运动的合成 李 萨 如 图
x A1 cos(1t 1 ) y A2 cos(2t 2 )
arctg
A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
讨论
1）相位差
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
x
x
o A
（三） 两个同一直线上不同频率的谐振动的合成
x1 A1 cos( 1t 1 ) x2 A2 cos( 2t 2 )
A
1 2
平行四边形形状变化
A2
1 A 1
2
1
2
x
A1 A2
设
大小变化，不表示谐振动。
1 2
A1 2 A2 cos( t 2 )
A A1 A2
2
1
A1
x1
x2
x x
x x1 x2 Acos( t )
两个同方向同频 率简谐振动合成 后仍为简谐振动
A
2 2 A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A2 A A 2 A1 A cos
2 1 2
6
A2
5.04 cm
2 A12 A2 A2 2 A2 A cos
2 A12 A2 A2 arccos 52.47 o 2 A2 A 82.47 o 6
A
6
o
A1
(五) 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
13 章 小 结
一. 简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）
F kx
d2 x 2x 0 dt 2
x A cos(t 0 )
角频率 k m 二. 特征量
振幅
初相
v02 A x 2
2 0
三. 旋转矢量法
v0 0 arctg( ) x 0
x1 A1 cost x2 A2 cos( t π )
x ( A2 A1 ) cos( t π)
x
x
o 2
A2
A1
A A1 A2 2
T
o
t
A
合振动的强弱与两分振动相位差的关系
A A12 A12 2 A1 A2 cos( 2 1 )
R
C
n
M
A
a2
an
A a1
sin n sin
2 2
1 1 n 1 ( ) ( n ) 2 2 2
O
a1
x
x A cos( t )
直线
P
合振动最强： 合振动最弱：
2k . 多边形
A na1
一般情况下为椭圆方程
1） 2 1 0 或 2π
y A2
A2 y x A1
2） 2 1 π
o
A1
A2 y x A1
x
y
A2
3） 2 1 π 2
o
x y 2 1 2 A1 A2
2
2
A1
x
A2 y
π y A2 cos( t ) 2
x A1 cost