定积分的应用之微元法

A = ∫ [ϕ( y) −ψ( y)]dy.
c
d
y d
y
1
x = ϕ ( y)
(1,1)
y + dy
x = ψ( y )
y
O
c
x
O
x x + dx
x
例 1 求两条抛物线y2 = x, y = x2 所围成的图形的面积 .
（ 画出 图形简 （如 上图 并求 曲 图 右 ） 出 线交 解 1） 点以确定积分区间： 点以确定积分区间：
解
取坐标系如图， 取坐标系如图，则底圆方程为
在 x 处垂直于 x 轴作立体的截 − R 得一直角三角形， a 面，得一直角三角形，两条直角边分 a 2 2 别为 y 及 y tanα ，即 R − x 及 O R2 − x2 tanα ， 其 面 积 为 R 1 A(x) = (R2 − x2 ) tanα ，从而得楔形体 2 R R 1 2 2 积为 V = ∫ (R − x ) tanαdx = tanα∫ (R2 − x2 )dx −R 2 0
妨设 述 线为 x轴 则在 x处 截面 积 上 直 不 ， 的 面 A(x) 是x 的已知连续函数，求该物体介于 x = a 和 的已知连续函数， x = b(a < b)之间的体积（如右下图）. 之间的体积（如右下图
求 微 ， 微 间 为 体积 元 在 小区 [x, x + dx]上 A(x) 不 视 [ 为底， 变，即把 x, x + dx]上的立体薄片近似看作 A(x) 为底， dx为高的柱片，于是得 为高的柱片， y A( x )
n i=1
第三步：写出整体量 F 的近似值，F = ∑∆F ≈∑ f (ξi )∆xi ； 的近似值， 第三步： i
i=1
n
第四步： 极限， 第四步：取λ = max{∆xi } →0时的∑ f (ξi )∆xi 极限，则得
i=1
n
F = lim∑ f (ξi )∆xi = ∫ f (x)dx .
b
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
一、 定积分应用的微元法
用定积分计算的量的特点： 用定积分计算的量的特点： 有关， (1) 所 求量 设为 F ） （ 与一个给定 间 [a,b] 有关， 区 且在该区间 上具有可 加性 就 . 是说 F 是确定于[a,b] 上 ， 的整体量， 的整体量，当把 [a,b] 分成许多小区间时，整体量等于 分成许多小区间时，
a b
y
y = f ( x)
y y = f ( x)
O
O a x x + dx b x
a
x + dx b x y = g ( x) x
两条曲线x =ψ ( y), x = ϕ( y)及y = c, y = d 所 （3）由左右 下页） 积微元 注意， 围成图 （图见 形 下页） 积微元 注意， 时就应取 面 （ 这 横条矩 形 dA，即取 y为积分变量）dA = [ϕ( y) −ψ ( y)]dy，面积 为积分变量）
定积分应用的微元法： 定积分应用的微元法
) (一 在 区间 [a,b] 上任取一 个微小 区间 [x, x + dx] ，然后写 出 值， 为 在 个 这 小区 上的 分 ∆F 的 似 ，记 dF = f (x)dx (称 F 间 部 量 近 值 为 的微元) 的微元);
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[ 上积分（无限累加） d ，即得 （二） 将微元 F 在a,b] 上积分（无限累加） 即得 ，
二、用定积分求平面图形的面积
1. 直角坐标系下的面积计算
用微元法不难将下列图形面积表示为定积分. 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.
1 （ ） 曲 y = f (x)( f (x) ≥ 0), x = a, x = b 及 Ox 轴 围 线 所 图形， 如下页左图， 图形，如下页左图，面积微元dA = f (x)dx ，面积
r =1+ cosθ , r = 3cosθ.
r = 3cosθ
r = 1+ cosθ
2 3 x
1 π 1 π 2 2 3 2 A = 2 ∫ (1+ cosθ ) dθ + ∫π (3cosθ ) dθ 2 3 2 0
=∫
π 3 0
1+ cos 2θ 9 π (1+ 2cosθ + )dθ + ∫π2(1+ cos 2θ )dθ 2 23
x2 + y2 = R2 ,
y
x 2 + y2 = R2
x
x2 = tanα(R2 x − ) 3
R 0
2 3 = R tanα . 3
2、 旋转体体积 、 设 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 y = f (x) 和 直 线 x = a, x = b(a < b)，及 x 轴 所围 的曲 梯形 x 轴 成 边 绕 旋转 而 如下图） ，我们来求它的体积 成（如下图） 我们来求它的体积 V . ， 在区间 [a, b] 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为 A(x) = πf 2 (x).
2. 极坐标下的面积计算
θ 曲边扇形： ： 由曲线r = r(θ )及两条 曲边扇形 是指 射线 =α,θ = β 所围 成的图形（ 右下图 成的图形（如右下图）.
量， 取 θ 为积 变 ， 变 范围 [α, β ]， 微 分 量其 化 为 在 小区 [θ,θ + dθ ] 间 变” 上 以 “ 常代 ” 即 小 变 ， 以 扇形面 dA作 小 积 为 曲边 形 扇 面积的 似 近 值，于是得面积微元为
1 2 dA= r (θ )dθ , 2 上积分,便得曲边 将dA在[α, β ]上积分,便得曲边
扇形面积为
r = r (θ)
β O
dθ
1 β 2 A = ∫ r (θ )dθ. 2α
α
x
例 4 计算双纽线r2 = a2 cos 2θ (a > 0) 所围成的图形 所围成的图形 面积（如下图所示） 的面积（如下图所示）.
dA = ( x − x )dx,
(3)将 表示成定积分，并计算 (3)将A表示成定积分，
2 1 A = ∫ ( x − x2 )dx = x − x3 3 0 3
1 3 2 1
=
0
1 3.
所围成图形面积. 图形面积 例 2 求y2 = 2x及y = x − 4 所围成图形面积. 作图（如下图） 解 作图（如下图） y
i=1
n
用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 用定积分概念解决实际问题的四个步骤：
第一步： 分为部分量之和， 第一步：将所求量 F分为部分量之和，即: 分为部分量之和
F = ∑∆F ; i
i=1 n
第二步：求出每个部分量的近似值， 第二步：求出每个部分量的近似值， ∆F ≈ f (ξi )∆xi (i =1,2,L, n); i
n
λ→0
i=1
a
四步 们发 ，第二 我 现， 步最关键 因 ， 为最 的被 后 积表 观察上述 现 达 式的 形式 是 就 在这 步被 一 确定 ， 只要 近 的 这 把 似式f (ξi )∆xi 中的 变量记号改变一下即可（ 变量记号改变一下即可（ ξi 换为 x ；∆xi 换为 dx ）.
而第三、 第 以合并成 一步 在 ： 区间 [a,b] 上 累加， 而第三、 四两步可 无限 累加， 步， 加性， 即在 [a,b] 上积分 至于第一 ， . 步 它只 是指明所求 量具有可 加性， 是， 步简化后形成 这是 F能用定积 分计算的 前提 于 ， 述四 ， 是 上 步简化后形成 用 实 的微元法. 的微元法.
9 1 + θ + sin 2θ 2 2 0
π 3 π 2 π 3
1 3 = θ + 2sinθ + sin 2θ 4 2
5 = π. 4
三、用定积分求体积
1. 平行截面面积为已知的立体体积
设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求， 设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体 于某直线的平面所截 可求 可用定积分求其体积. 可用定积分求其体积.
y+dy
4 y
B
O -2
x A
出 坐 为 知， 求 交点 标 A(2,−2), B(8,4) . 观 图 知 宜 察 得 ， 取 y 为积 变 ， y 变 范 为 – ， （ 虑 下 若 4]（ 下， 分 量 化 围 [ 2 4] 考 一 ， 为积分变量，即竖条切割， 什么不方便之处） 什么不方便之处） 取 x为积分变量，即竖条切割，有 ， 1 于是得 dA = [( y + 4) − y2 ]dy, 2 4 4 1 1 1 A = ∫ [( y + 4) − y2 ]dy = y2 + 4y − y3 =18. −2 2 6 −2 2
A = ∫ f (x)dx.
a b
（2） 由 、 上 下两 曲 y = f (x), y = g(x)( f (x) ≥ g(x)) 及 条 线 x = a, x = b所围成的图形，如下页右图，面积微元 所围成的图形，如下页右图，
dA = [ f (x) − g(x)]dx,，面积A = ∫ [ f (x) − g(x)]dx .
y
θ = π4
O a x
的对称性， 积， 解 由 于图形 的对称性 只需 其在第一象 ， 求 限中的面 ， 积 π 倍即可， 的变化范围为 再 4 倍即可，在第一象限 θ 的变化范围为 [0, ]，于是 4 π
π 1 4 2 A = 4× ∫ a cos2θ dθ = a2 sin2θ 4 = a2. 0 2 0
例 5 求 形 r =1+ cosθ 及 r = 3cosθ 所 成 阴 心 线 圆 围 的 影 部分面积（ 下图） 部分面积 如右下图）. （
先求两线交点， 的变化范围， 解 先求两线交点，以确定 θ 的变化范围，解方程组
1 由3cosθ =1+ cosθ 得 cosθ = ，故 2 O π θ = ± ，考虑到图形的对称性，得所求 考虑到图形的对称性， 3 面积为
y = x2 , 得交点（ 解方程组 2 得交点（0，0）及（1，1）. y = x,
选择积分变量，写出面积微元， (2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA均可 习惯上 x 均可， 取竖条， 取 为积分变量， 围为[0 [0， ， 取竖条 即 x 为积分变量， 变化范 ， 围为 ， [0 1]， 1]，于是 2
各部分量之和， 各部分量之和，即F = ∑F . i
上的分布是不均匀的， (2) 所求量 F 在区间 [a,b] 上的分布是不均匀的， 比. 也 是说 F 的 与 就 ， 值 区间 [a,b] 的 不 正 .（ 则 长 成 比 否 的 得， 了） 话 F使 初 方 ， 用 等 法即 求 ， 勿 可 得 而 需用 分 法 ） 积 方 了 .
dV = A(x)dx,
[ 上积分， 再在x的变化区间 a,b] 上积分， 则得公式
V = ∫ A(x)dx.
a
b
O
a
x x + dx
b x
柱， 例 6 设 底圆 径 R 的 柱， 一与 柱 交 有 半 为 圆 被 圆 面 成 α 角且过底圆 径的平 所截， 截 的楔形体 （如右 积（ 直 面 截， 求 下 积 下图）.
(2) 具 怎 键， 体 样求 元 ? 这是 题 微 呢 问 的关 ， 要分 问 键 这 析 的实 际意 义及数 系， 题 实 意 及数 关 ， 般 着在 部 [x, x + dx] 上 的 际 义 量 系 一 按 局 ， 曲” 以 常 变 、 匀代 匀 、 直代 ” 思 （ 部 “ 代 ” “ 不 ” “ 曲 的 路 局 线 性化） 写出局部上所求量的近似值， ，写出局部上所求量的近似值 性化 ） 写出局部上所求量的近似值 ， 即为微元 ， dF = f (x)dx .
[ 在x的变化区间 a, b] 内积分，得旋转体体积为 内积分，
V = π∫ f 2 (x)dx.
a
b
类似地， 类似地，由曲线x = ϕ(y) ，直线 y = c, y = d 及 y 轴所围成的曲边梯形 轴旋转，所得旋转体体积（ 绕 y 轴旋转，所得旋转体体积（如下 页左图） 页左图）为
F = ∫ f (x)dx.
a b
微元法中微元的两点说明： 微元法中微元的两点说明：
∆ 式， 该足够准确， (1) f (x)dx作为 F 的近似值表达 ， 该足够准确 确切 式 应 ， ∆ 的 说 ， 就 是 要 求 其差 是 关于 x 的 高阶 无 穷 小 . 即 ∆F − f (x)dx = o(∆x) . 这样我们就知道了，称作微元的量 这样我们就知道了， f (x)dx，实际上是所求量的微分 dF ;