相似原理与相似三定理
3相似理论
C C1 1 C CE
p m p E p m Em
模型的相似判据：
p p C mC m C C m m p E p C mCE Em C CE m Em
1
——相似指标
C2
C C C CE
p p m m p E p m Em
所以k的量纲为 [k ] [MT 1 ] ，表示质量随时间的变化率。
同理可知，α表示速度。 例2：伯努利方程
p1 1V12 p2 2V22 z1 z2 hw g 2 g g 2 g
各项皆为长度的量纲，满足量纲一致性原理。
否则就会出现长度加时间的错误结论。
同时也可确定α是无量纲数。 2、确定方程式中物理量的指数：
所以可用薄膜比拟法来解扭转问题。
2、相似理论的基本概念： （1）相似系数：两个相似现象中同类物理量成常数比，其比值称为相似
系数。
如广义虎克定律： x 原型： p , p , E p , p 模型： m , m , Em , m
1 x y z E
p C m
1 xp p yp zp 原型： xp Ep 1 C xm C xm C m C ym zm C E Em
xm
1 Em
C C C xm m ym zm C E C C E C
X截面的弯矩：
M x PL x
Wz Wz
X截面的最大应力： max M ( x) P( L x) X截面的挠度：
Px 2 y ( x) (3L x) 6 EI
相似理论
相似理论相似理论，是说明自然界和工程中各相似现象相似原理的学说。
是研究自然现象中个性与共性，或特殊与一般的关系以及内部矛盾与外部条件之间的关系的理论。
在结构模型试验研究中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验结果推算出原型结构的相应结果。
1特点编辑相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等。
随着计算机技术的不断进步，相似理论不但成为物理模型试验的理论而继续存在，而且进一步扩充其应用范围和领域，成为计算机“仿真”等领域的指导性理论之一。
随着“相似”概念日益扩大，相似理论有从自然科学领域扩展到包括经济、社会科学以及思维科学和认知哲学领域的趋势。
相似理论从现象发生和发展的内部规律性(数理方程)和外部条件(定解条件)出发，以这些数理方程所固有的在量纲上的齐次性以及数理方程的正确性不受测量单位制选择的影响等为大前提，通过线性变换等数学演绎手段而得到了自己的结论。
相似理论的特点是高度的抽象性与宽广的应用性相结合，相似理论的内容并不多，甚至不被当作一个单独的学科。
相似理论是试验的理论，用以指导试验的根本布局问题，它为模拟试验提供指导，尺度的缩小或放太，参数的提高或降低，介质性能的改变等，目的在于以最低的成本和在最短的运转周期内摸清所研究模型的内部规律性。
相似理论在现代科技中的最主要价值在于它指导模型试验上。
尽管相似理论本身是一个比较严密的数理逻辑体系，但是，一旦进入实际的应用课题，在很多情况下，不可能是很精确的。
因为相似理论所处理的问题通常是极其复杂的。
2理论基础编辑相似理论中的三个定理赖以存在的基础为：(1)现象相似的定义；(2)自然界中存在的现象所涉及到的各物理量的变化受制于主宰这种现象的各个客观规律，它们不能任意变化；(3)现象中所涉及的各物理量的大小是客观存在的，与所采用的测量单位无关。
3相关概念编辑(1)相似及相似常数如果原型和模型相对应的各点及在时间上对应的各瞬间的一切物理量成比例，则两个系统相似。
流体力学第十章 相似原理和因次分析
例如： 粘滞力相似：由 Re m Re p 得
vmlm
m
v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm l
重力相似：由 Frm Frp 得
vm g m lm vp g pl p
gm g p
lp vm 1 vp lm l
由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能 的，只能考虑主要因素做近似模型实验。
Fm mVm vm tm 3 1 2 2 l v t l v Fp pVp v p t p
也可写成：
F 1 2 2 l v
令：
F
l v
2 2
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与 惯性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性 力的比值，是无量纲数。由此可知，模型 与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必 相等。
qv g H f
f const 2 时， 2
当重力加速度 g 不变时，三角堰流量与堰
顶水头 H 的关系为：
qv CH ~ H
5 2 5 2
其中 c 只能用实验方法或其他方法确定。
【例】 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道 的压强降 p 与管道长度 L ，内径 d ，绝对粗糙度 ，流体的平均 流速 v ，密度 和动力粘度 有关。试用瑞利法导出压强降的表 达式。 【解】 按照瑞利法可以写出压强降 p kLa d a a v a a a （b）
第三节
动力相似的准则(模型率)
一.相似准则的提出
相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、 运动相似和动力相似三个方面都得到满足。 但实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相 似，因为通常原型的流动是未知的。这就产生一个问
相似理论
第8章相似理论8.1 概述1 实验是检验和获取理论的重要方法实验对流体力学的发展曾起过重要作用，现在它对流体力学的发展仍然有着十分重要的意义。
实验流体力学已成为流体力学的重要分支之一。
流体的流动问题，有些可以作适当简化，得出解析结论，但得出的结论还必须通过必要的实验验证，才能用于实际。
描述粘性流体运动的N—S方程是二阶偏微分方程组，除少数简单的流动可获得解析解外，对于复杂的三维流动，难以用理论方法获得精确解，即使使用高性能的计算机也难以获得精确的数字解。
另外，由于流体运动的复杂性和人们认识的局限性，对于许多复杂的流动现象，从理论上也难以用运动微分方程描述。
再者，流体的某些力学现象，并非随时都存在，而出现的时间又往往比较短暂，为了进行较长期的探索和多次观察分析，实验就是一个必不可少的方法。
2模型实验是流体力学研究的常用手段最权威的实验就是原型或实体实验，但随着科学技术的发展，出于经济和技术上的限制，这种实验将会遇到很大困难，特别是原型尚未出现之前，只能通过模型实验作出预测。
例如新型航空航天器研究，要取得初步可靠的设计资料，常先制成模型，在风洞中进行系统的实验研究。
新型舰船和水库堤坝设计，也是先制作模型进行实验研究。
将设想的实体（原型）制成模型而进行实验研究，节省经费和时间，测试也比较方便。
在某些情况下，即使实物已经存在，但由于各种条件限制，也难以进行实体实验。
因为更多是在实验室内进行模型实验，这是研究流体流动问题的常用手段。
3 相似理论是模型实验的依据进行模型实验研究，必须解决如何设计、制作模型及将模型实验的结果折算到实体上等问题。
相似理论对如何进行模型实验以获得正确的结果，可以提供指示或答案，及总结实验结果，也只有对力学相似的流动才有可能。
说明相似方法的基本原理称为相似理论。
所以相似原理是研究、支配力学相似的系统的性质及如何用模型实验解决实际问题的一门科学，是进行模型实验研究的依据。
相似方法是一种科学的方法，但不是一门独立的科学研究方法，而是实验和分析研究的方法。
相似理论王璐2013452059
一般系统 General System
（1）系统结构相似 （2）系统功能、性能相似 （3）系统人机界面相似 （4）系统存在和演化相似
Similarity Theory
（1）连续系统动力学 （2）离散系统动力学 （3）场 （4）概率、模糊集、粗糙集 （5）图的相似
Complex System （1）非线性相似 （2）涌现性相似 （3）自治性相似 （4）突变性相似
复杂系统
Methods
（1）模式相似方法（统计决策法和句法或结 构法） （2）模糊相似方法 （3）组合相似方法（个体满足未必系统整体 满足，综合补偿处 理） （4）坐标变换相似方法（运动：飞行器、视 景系统）
Steps
Step 4 Step 3 Step 2 Step 1
根据相似第二定理 建立相似准则
1)物理模型的建立 2)模型中过程及方法 模拟
Engineering Technology
工程技术学
1)进行相似设计工程, 相 似制造工程, 相似管理工 程的研究。 2)进行相似工程机械制 造、电子、电器产品的 研制, 以及人工智能、机 器人的制造。
Systems
实物模型 Physical prototype （1）几何相似 （2）运动学相似 （3）动力相似 数学模型 Mathematical model
相似理论 Similarity Theory
主讲人：王璐
Definition
相似理论是说明自然界和工程中各相似现象 相似原理的学说。是研究自然现象中个性与共性 ，或特殊与一般的关系以及内部矛盾与外部条件 之间的关系的理论。它是模型实验的理论基础。 主要内容是相似三定理。两大分支为量纲分析法 和方程分析法。一般有这样几种类型：几何相似、 模拟、数学相似、感觉信息相似、逻辑思维相似、 生理相似等。
材料工程《相似理论》课件
材料工程基础及设备多媒体课件
2、积分类比法
❖ 基本原理：置换法则
❖ 二个体系： ❖ 等比公式
1 1
2 2
c
1 1
2 2
1 1
c
lim
0
d d基础及设备多媒体课件
步骤：
写出描述现象的基本方程和单值条件 用方程中任意一项除以其他各项 各项中所有导数用积分类比项代替
❖ Ho 谐时性准数：H0=wτ/L
❖ Fo（Fourier）准数： 温度场、速度场随时间的变化关系
F0
a
l2
❖ Pr（Prandtl）准数：Pr=ν/a
分子动量扩散率与热扩散率之比；速度场与温度场的关系
❖ Pe（Peclet）准数
❖ Nu（Nusselt）准数
边界层内温度梯度与平均温度梯度之比；对流换热强度与
相似准数的数值不变。 ❖ 已定准则和待定准则（定性准则和非定性准则）
材料工程基础及设备多媒体课件
8.3.2 相 似 三 定 理
❖相似第一定理（相似正定理） 凡相似现象，对应部位上各同名相似准则分
别等值。 (规定了现象相似的必要条件)
❖相似第三定理（相似逆定理） 凡同类现象，当单值条件相似，对应部位的
材料工程基础及设备多媒体课件
8.3.1 基本概念
1、物理量相似 ❖ 标量场相似 ❖ 矢量场相似
相似倍数——Cφ
1 1
2 2
c
x
x
y
y
z
z
c
材料工程基础及设备多媒体课件
❖几何相似 ❖时间相似 ❖运动相似 ❖动力相似 ❖热相似
材料工程基础及设备多媒体课件
2、现象相似
❖ 描述现象各单值条件彼此相似的同类现象 ❖ 单值条件相似
相似原理知识点总结
相似原理知识点总结相似原理是几何学中的基本概念之一，它在几何学的许多领域中都有重要的应用。
相似原理主要是指两个几何图形在形状上相似，但尺寸可能不同的原理。
在这篇文章中，我们将会对相似原理进行深入的探讨，包括其定义、性质、常见的应用以及相关的定理。
一、相似原理的定义相似原理是指两个几何图形在形状上相似，但尺寸可能不同。
两个图形相似的条件是它们的对应角相等，对应边成比例。
简而言之，如果两个几何图形的所有对应角相等，且对应边的比例相等，那么这两个几何图形就是相似的。
在直角三角形中，有一种特殊的相似原理叫做“AA相似原理”。
当两个直角三角形的一个角相等时，另外一个角也相等，那么这两个三角形就是相似的。
另外，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们也是相似的。
除了直角三角形外，对于其他类型的多边形和圆的相似原理也有一些特殊的条件。
但其核心思想都是相似的，即对应角相等，对应边成比例。
二、相似原理的性质相似原理有一些重要的性质，下面我们将逐一介绍这些性质：性质1：相似三角形的对应角相等相似三角形的一个重要性质是它们的对应角相等。
这意味着如果两个三角形是相似的，那么它们的对应角一定相等。
性质2：相似三角形的对应边成比例相似三角形的另一个重要性质是它们的对应边成比例。
即如果两个三角形是相似的，那么它们的对应边的比例一定相等。
性质3：相似三角形的周长成比例如果两个三角形是相似的，那么它们的周长也是成比例的。
这是因为相似三角形的对应边成比例。
性质4：相似三角形的面积成比例如果两个三角形是相似的，那么它们的面积也是成比例的。
这是因为相似三角形的对应边成比例。
以上的性质都是相似原理的基本性质，它们在解题过程中非常有用。
三、相似原理的应用相似原理在几何学的许多领域中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用：应用1：求图形面积在求解图形的面积时，如果我们知道图形的相似图形，并且知道两者的比例关系，那么我们就可以利用相似原理来求解图形的面积。
三角形相似的三个判定定理
三角形相似的三个判定定理在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形是几何学中的重要概念，它们在许多数学问题中都有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍三角形相似的三个判定定理。
第一个判定定理：AA相似定理AA相似定理是指，如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，且∠B=∠E，则这两个三角形是相似的。
这个定理的证明可以通过角度对应原理来完成。
因为∠A=∠D，所以角A和角D是对应角；同理，角B和角E也是对应角。
因此，根据角度对应原理，我们可以得出这两个三角形是相似的。
第二个判定定理：SAS相似定理SAS相似定理是指，如果两个三角形的两个角分别相等，并且它们的对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=BC/EF，则这两个三角形是相似的。
这个定理的证明可以通过相似三角形的定义来完成。
因为∠A=∠D，所以角A和角D是对应角；同理，角B和角E也是对应角。
又因为AB/DE=BC/EF，所以这两个三角形的对应边的比例相等。
因此，根据相似三角形的定义，我们可以得出这两个三角形是相似的。
第三个判定定理：SSS相似定理SSS相似定理是指，如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE=BC/EF=AC/DF，则这两个三角形是相似的。
这个定理的证明可以通过相似三角形的定义来完成。
因为AB/DE=BC/EF=AC/DF，所以这两个三角形的对应边的比例相等。
因此，根据相似三角形的定义，我们可以得出这两个三角形是相似的。
总结三角形相似的三个判定定理分别是AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理。
这些定理在几何学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决许多数学问题。
在实际应用中，我们可以根据这些定理来判断两个三角形是否相似，从而更好地理解和应用几何学知识。
相似三角形判定定理
探讨相似三角形判定定理的逆命题
9字
两三角形如果对应边成比例， 那么这两个三角形是否一定 相似？
9字
两三角形如果面积比等于相 似比的平方，那么这两个三 角形是否一定相似？
9字
回答是肯定的。如果两个三 角形的对应边成比例，那么 它们的对应角必然相等，因 此这两个三角形一定相似。
9字
回答也是肯定的。如果两个 三角形的面积比等于相似比 的平方，那么它们的对应边 必然成比例，因此这两个三 角形一定相似。
该定理是相似三角形判定的基础，也是 应用最广泛的判定方法之一。
判定定理二：两边对应成比例且夹角相等
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例， 并且夹角相等，则这两个三角形相似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知两边和夹 角的情况。
判定定理三：三边对应成比例
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相 似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知三边长度的情况。
以上三个判定定理是相似三角形判定的主要方法，它们在实际应用中具有广泛的适 用性和实用性。同时，这些定理也是学习相似三角形知识的基础和关键。
03
相似三角形证明方法
综合法证明
综合运用相似三角形的性质
01
通过已知条件，结合相似三角形的对应角相等、对应边成比例
飞机的位置。
建筑设计中的应用
比例缩放
在建筑设计中，相似三角形可以帮助 设计师按比例缩放模型，使得不同大 小的建筑保持相同的比例和美感。
透视绘图
在绘制建筑透视图时，相似三角形原 理可以帮助准确表现物体的远近关系 和立体感。
结构分析
在建筑结构分析中，相似三角形可以 帮助工程师理解和计算结构的稳定性 和承重能力。
流体静力学-相似原理与量纲分析
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。
模型与原型用同一种流体时， 1 ，则：
v
1
l
（b）
FT
A dv
dy
lv
lv
FI ma l 2v2
vpl p vmlm
p m
无量纲数 Re vl
雷诺数——粘性力的相似准数
三、压力相似准则
2、实验法：是指对某一正在发生的现象或正在 进行的过程进行系统的观察和参量的测定，再通过对 取得的数据进行加工、分析，以找出各参量的分布规 律及其相互间的依变关系。
实验法可分为原型测试和模型实验两类。 原型测试法：就是对正在运行的设备及过程进行实际
测试，掌握第一手资料，从而可为设备及过程的最优化提出 改进依据。
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相 等，即它们的速度场（加速度场）相似。
图10-2 速度场相似
第一节 流动的力学相似
时间比例尺:
t
tn tm
速度比例尺:
ln
v
vn vm
tn lm
tm
l t
加速度比例尺:
Ca
v' a' t'
1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt
表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运 动随时间变化的情况 2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl
表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所 起的影响程度 3 Euler 相似准数 Eu=p/v2
表示压力和惯性力的比值
4 Renolds 相似准数 Re=ul/= ul/
相似理论及应用-part11相似理论基本原理
L3ˊ
L1
L3
L2 L2ˊ
L1 L1
L2 L2
L3 L3
CL
• 动力相似：在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力
（时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量 图都相似，即相应点力的大小成比例，方向相同。并且五种成 分力的相似比例数也相同，即力多边形相似。
长度比尺llp /lm 时间比尺ttp /tm 作用力比尺 FFp /Fm
相似理论：人们通过长期实践、总结，一种用于指导自然规律 研究的全新理论。
相似理论是说明自然界和工程中各种相似原理的学说。其理论 基础：相似三定理。
相似方法：以相似理论为指导，形成一种具体研究自然界和工 程中各种相似现象的新方法，是一种可以把个别现象的研究结果， 推广到所有相似的现象上去的科学方法。
相似
相似
单自由度振动系统的电模拟
单自由度振动系统：k、m、µ 串联电路：L、R、C
举例
相似应用
相似理论用于航空、水运方面已有较长的研究历史。在物理、 化学、工程结构、热力学、气象等等领域以及一些尖端项目，如火 箭、导弹、人造卫星、月球车等的研究。
相似理论的重要应用是在一些并不成熟领域开展模型研究。
相似与模化 相似理论与模化 相似与弹药模化 量纲与相似理论 量纲分析
§0 绪 论
弹药的模型实验是解决弹药工程复杂问题的重要手 段。弹药的相似设计和模拟设计是现代设计方法之一。
模型实验：通常指用简化的可控制的方法再现实际发生 的物理现象。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的 侧重点是再现所述现象的物理本质；只有保证模型实验和原 型中现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。
数学模拟规整化 函数的规整化 代数方程的规整化 常微分方程的规整化 偏微分方程的规整化
相似原理
相似理论 (principle of simulitude) 论述物理现象相似的条件和相似现象的性质的学说。
是模拟的理论基础。
相似理论的重要课题是确定各种物理现象的相似准数。
几何相似的概念可以推广到其他物理量的相似，例如时间相似是指两个系统中相对应的时间间隔保持相同的比例；力相似是指两个系统对应点上的作用力方向一致，大小保持相同的比例；温度相似是指两个系统对应点上的温度保持相同的比例；等等。
两个现象的物理相似是指两个现象的物理本质相同，且各对应点上和各对应瞬间内与该现象有关的各同名物理量都分别保持相同的比例，亦即与该现象有关的各同名物理量都保持相似。
相似现象中同名物理量的这种比例系数称为相似常数。
由于物理现象中各有关物理量必须服从一定的物理定律，它们之间受一定的关系方程约束，因此有关相似常数之间也存在一定关系。
相似常数之间的这种关系，称为模型定律。
它可由描述相似现象的物理方程或相似准数得出，是设计物理模型时为保证物理相似所必须遵循的依据。
相似理论的核心是相似三定理。
相似第一定理是以现象相似为前提研究彼此相似的现象具有的性质，可以表述为：彼此相似的现象，其相似准数的数值相同。
这样，根据在与原型相似的模型上得出的相似准数的数值，就可得出原型上相应相似准数的数值，进而得出所研究的物理量的值。
这样，在模型上的试验结果就可推广到其他与之相似的现象上。
根据相似现象的相似准数数值相同可确定出各物理量的相似常数之间的关系(即模型定律)，这是设计模型试验的依据。
相似第二定理是关于物理量之间函数关系结构的定理，可以表述为：一个包含n 个物理量G1，G2，…，G n(其中有k个具有独立量纲的物理量)的物理方程，可以转换为m=(n-k)个由这些物理量组成的无量纲数群(指数幂乘积)π1，π2，…πm之间的函数关系，即f(G i)=0可以转换为φ(πj) =0，i=1，2，…n。
j=1，2，…m 。
相似第二定理是用量纲分析法推导相似准数的依据。
《流体力学》第十章相似性原理与因次分析
FGn FIn FGm FIm
FIn FIm FGn FGm
v v gln glm
Fr v2 gl
2 n
2 m
FI Qv
v l v l l l
2 2 n n 3 n
2 2 m m 3 m
Frn Frm
弗诺得数相等
由π定理得：
l 3 d
K 4 d
p l K F ( , , Re) 2 v d d
函数的具体形式由实验确定,由实验可知：
K l v p ( , Re) d d 2
2
这样,运用π定理,结合实验,得到达西公式
因次分析法不仅可导出相似准数和结合实验得到 准则方程,同样可用于实验方案的确定、模型的设 计同和实验数据的整理等。
以上提出的一系列数：欧拉数、弗诺得数、 雷诺数、马赫数都是反映动力相似的相似 准数。
欧拉数是压力的相似准数 弗诺得数是重力的相似准数 雷诺数是粘性力的相似准数 马赫数是弹性力的相似准数。
两个流动现象如果是动力相似的，则它们 的同名准则数相等。
相似理论中的定理：
第一定理：两个相似的现象，它们的同名相 似准数必定相等。 第二定理：由定性物理量组成的相似准数， 相互间存在函数关系。 第三定理：两个现象相似的充分必要条件除 例如：在考虑不可压缩流体流动的动力相似时， 了相似准数相等外，还包括单值性条件相似。 决定流动平衡的四种力，粘滞力、压力、重力 单值性条件相似包括几何相似，边界条件和 和惯性力并非都是独立的，其中必有一力是被 动的，只要三个力分别相似，则第四个力必然 初始条件相似，以及由单值性条件所导出的 相似。因此，在决定动力相似的三个准则数Eu, 相似准数相等。
相似定律——精选推荐
相似第一定理：两个相似的系统，单值条件相同，其相似判据的数值也相同。
相似第二定理：当一现象由n个物理量的函数关系来表示，且这些物理量中含有m种基本量纲时，则能得到(n-m)个相似判据。
相似第三定理：凡具有同一特性的现象，当单值条件(系统的几何性质、介质的物理性质、起始条件和边界条件等)彼此相似，且由单值条件的物理量所组成的相似判据在数值上相等时，则这些现象必定相似。
相似第一定律是关于相似准则存在的定理。
相似第二定律解决了实验数据的整理方法和实验结果的应用的问题。
相似第三定律确定了现象相似的充分必要条件。
相关概念(1)相似及相似常数如果原型和模型相对应的各点及在时间上对应的各瞬间的一切物理量成比例，则两个系统相似。
相似常数(也称为相似比、比尺、模拟比、相似系数等)是模型物理量同原型物理量之比。
主要有几何相似比、应力、应变、位移、弹性模量、泊松比、边界应力、体积力、材料密度、容重相似比等。
在这些相似常数中，长度、时间、力所对应的相似常数称为基本相似常数。
(2)相似指标及相似判据模型和原型中的相似常数之间的关系式称为相似指标。
若两者相似，则相似指标为1。
由相似指标导出的无量纲量群称为相似判据。
(3)同类物理现象具有相同的物理内容，并能用同一微分方程描述的物理现象。
如果两个物理现象的微分方程的形式一样，但物理内容不同，就不是同类物理现象。
(4)时间对应点是指从起始时刻起，具有的瞬时，不是从起始时刻起具有相同时间的点。
(5)空间对应点显然只有几何相似的体系才具有空间对应点，它是物理现象相似的前提。
相似模拟实验基本概念1、岩石力学模拟方法：根据相似原理，运用矿山岩石力学的理论与法则，在模型上研究岩体在各种不同受力状态下产生变形和破坏规律的方法。
岩石力学模拟方法，包括数学模拟和物理模拟。
数学模拟灵活方便，随着电子计算机的发展，用以解决的问题越来越广泛和富有成效。
物理模拟，既能全面模拟原型，又能直观地显示岩石的力学过程。
工程流体力学 第四章相似原理及量纲分析
第一节 流动的力学相似
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比例相 等，即它们的速度场（加速度场）相似。
图4-2速度场相似
第一节 流动的力学相似
运动相似的两个流动系统中，对应流体质点位
移对应距离所需的时间间隔成比例：
时间比例尺:
Ct
相似三定理回答了模型试验中必须解决的问 题，归纳如下：
（1）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型 系统的特征长度、特征速度，流动介质等。
2020/10/28
（2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量，并把它们整理成相似准则。
（3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线），以便应用到原形 流动中去。
2020/10/28
第一节 流动的力学相似
表征
流动
按性 质分
过程
的物
理量
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
如质量力、表面力、动量等
几何
相似 流 应运动动满 足相似相
的 条
动力 似 件
相似
第一节 流动的力学相似
一. 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线形长度的 比值为一定常数 。
t '1 t1
t '2 t2
t '3 t3
（4-4）
速度比例尺:
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
加速度比例尺:
v'
Ca
a' a
相似原理与量纲分析
对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析包思远摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。
量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。
相似原理与量纲分析的主要内容为物理方程的量纲齐次性，π定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。
本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。
关键字模型试验，相似原理，量纲分析1 模型实验相似原理基础模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N倍，进行相应的实验，得到相应的规律，来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。
模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。
回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。
第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。
它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。
现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。
实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。
目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。
方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。
在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以求出无量纲的二数。
这种方法对实验者知识的掌握程度要求较高。
第七章 相似原理与量刚分析
第七章相似原理与量纲分析第一节相似的概念在几何学的学习中，人们已建立起几何图形的相似概念。
工程中很多物理现象也有相似的特点。
人们把可用同样形式数学式表达的物理现象群称为同类现象。
但属于同类现象的不同物理现象不一定都相似，只有当同类不同物理现象中，它们的各自空间中相对应的各点上的表征现象特性的同类物理量的比例，在时间上相对应的瞬间为常数时，两个同类的不同物理现象才相似。
由于物理现象都是在一定的空间中进行的，相似的物理现象应在相似的空间中进行。
所以完整的物理现象相似应包含两个相似概念，即几何相似和物理现象本身的相似，其中包括初始条件和边界条件的相似。
后者习惯被称为物理现象相似。
一、几何相似几何相似即几何图形相似，如两个相似三角形的对应边长成比例，其比例常数可称为相似常数。
如教材85页图7-1所示。
其中的C l称为相似常数，由于相似常数是同类量之比值，因此相似常数无量纲。
二、物理现象相似如教材86页图7-2所示为物理现象相似。
质点A、B沿几何相似的路径作相似运动。
针对物理现象相似，有如下推论：（1）如果物理现象相似，则在相应的时刻，它们空间任意相应点上的任意同名物理量应该成比例关系；（2）如果物理现象相似，在选取相似的物理量作为量度单位后，将描述物理现象的数学方程式转换成的无量纲方程式应该一样。
需要注意的是，在几何相似时，相似常数只有一个，而物理相似时，由于方程式中的物理量有很多种，不同名的物理量都有各自的相似常数，如空间相似常数C l=l/l’，时间相似常数Ct=t/t’，速度相似常数Cv=v/v’等。
各相似常数又有一定的约束关系，如对两相似质点A和B运动的物理现象，v=l/t和v’=l’/t’，则即或这就是相似物理现象中相似常数关系的附加条件，C称为相似指示数或相似指标，用它来控制相似常数的关系。
如果两现象相似，则其相似指标等于1。
由教材86页图7-2所示物理现象：此式等号左右由物理参数组成的项为无量纲的不变量，或称定数，可取定数的统一符号表示，即此式说明，像质点运动那样的物理现象相似时，则对应点上由各相关参数组成的无量纲数在对应的时间上具有相同的数值，如Ho。
流动相似、相似原理、相似准则及量纲分析全析
02 基本相似准则-相似准则的导出
将比例系数代入相似模型方程
非定常运动特征惯性力 定常运动特征惯性力
特征体积力 特征压力
令比例系数等于1
特征粘性力
知自行强合不一息、 厚经 德世 载致 物用
①
斯特劳哈尔数
②
弗劳徳数
③
欧拉数
④
雷诺数
T s i n g hCue an t Ur anl i vSeorustiht yU on if v Ce rhsi int ay
在两个几何相似的流动中，如果各对应点的温度之比为常值，则称为热力学 相似。如果各对应点的密度之比为常值，则称为质量相似。 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相 似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现；
在低速风洞试验中，主要是实现模型试验和实物运行（或飞行）的几何相似、 运动相似和动力相似。
知自行强合不一息、 厚经 德世 载致 物用
Central South University
01 流动相似基本理论——几何相似
几何相似是流动相似最基本的条件，简单讲一个物体经过各向等比例变形后能够与另一个物体完全 重合，则说明这两个物体几何相似。变形后能够相互重合的点称为“对应点”，同一物体上对应点 之间的连线称为“对应线”。两个几何相似物体的对应线长度成比例。 几何相似：指的是试验研究对象的缩比模型与所研究对象的实物(原型)之间的全部线性长度成同一 比例。比如管道，线性长度包括管道内径d、管道长度L等，即几何相似应满足:
欧拉数(Euler number)
物理意义：压力与惯性力之比
它是表征压力对流动影响的相似准则，流体力学中的压力系数Cp即是欧拉数。如果模型试验流场与实物相 似，那么两者表面各对应点的压力系数相等。
什么是相似原理
什么是相似原理
相似原理是一种科学原理，指的是在同一系统中，具有相似结构或相似属性的物体或现象往往会表现出相似的行为或规律。
根据相似原理，我们可以通过在某一模型或实验条件下观察和研究，得出关于其他相似系统的推论或结论。
相似原理的应用十分广泛。
在物理学中，我们常常通过构建相似模型来研究一些复杂的物理现象，如流体力学和电磁学等。
通过改变模型的尺寸或时间比例，我们可以将实验室中的小尺度现象映射到真实世界中的大尺度实际问题上，从而获得更简便、经济的解决方案。
在工程领域，相似原理也被广泛应用。
通过建立相似模型或进行相似性仿真实验，工程师可以在设计初期预测和评估产品或结构的行为，避免因误差而带来的不一致。
相似原理在航空航天、建筑结构和交通运输等领域中的应用尤为重要。
总之，相似原理为我们理解复杂系统和现象提供了一种简化方法，通过寻找相似性，我们可以在不同系统之间进行推论和应用，从而为科学研究和工程设计提供指导和便利。
2.2 相似原理
a Ca C L a A 2 C A CL A W 3 CW CL W
一、相似第二定理
§2.2 相似理论 Fa F F a F 1 1 W A W A CF CL F a CF F 1 C CW W C C A A
第2章
相 似 原 理
§2.2 相似理论
相似现象具有什么样的性质？
一、相似第一定理 二、相似第二定理
三、相似第三定理
§2.2 相似理论
dl （1 ） d l v 质点的运动微分方程 v dt dt dl v （2 ） dt l C d l l Cl l Cl l C v v l （3） C d t t t Ct t t Cl Ct v C v 1 v t C C t v
得：
无量纲量
a 1
q K Ey
b 1
§2.4 量纲分析法
y
q K3 L
量纲：
2
q
x
L
f ( , q, L) 0
: [ FL ] q : [ FL ]
1
2
L : [ L]
1 a
C L Cq C E
两个基本独立项
FL F ~ a a b ba 2 a b q L F L L L
相似判据
K 1 Lf
§2.3 用方程式分析结构相似
二、一般弹性力学问题 ☆位移方程
K 1 Lf
u v w x x , y y , z z u v xy y x w v yz y z w u xz x z
q
§2.3 用方程式分析结构相似
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(一)关于量纲的基本知识
物理量 量制 量纲
基本物理量 导出物理量 基本单位 导出单位
量纲与单位的区别：
相似第二定理：“现象的各物理量之间的关系，可以化 为各相似准则之间的关系。”
相似第三定理：“如两个现象的单值条件相似，而且由 单值量组成的同名相似准则数值相同，则这两个现象相似 。”
完全相似和部分相似 SIMILARITY PARAMETERS
现象相似
单值条件相似+同名相似准则相同
1-2 量纲分析
量纲只涉及量的本质或特点(种类)，而单位除涉及量的本质或 特点外，还涉及量的大小。通常单位仅限于表达定量关系，而用 量纲来表达定性关系。
在一定的量制中，量纲又分为基本量纲和导出量纲，
与基本单位和导出单位相对应。基本量纲就是该量制中的
基本量。
在国际单位制所采用的量制中，力学的三个基本量纲
是：长度、质量和时间，相应的量纲符号是：L、M和T。
Ft F t 常数 mV mV
Ft／(mV)是由相似指标等于l这一制约条件导出的
、由几个特征物理量组合而成的无量纲量，称为牛顿数，并用符号Ne 表示，即
Ne Ft mV
(1-7)
当两个力学现象相似时，牛顿数的数值必然相同。牛 顿数数值相同，是两个力学现象相似的特征和标志之一。
彼此相似的现象所必具有的数值相同的由若于个特征量组成的同 名无量纲量，称为相似准则。
的量纲。
在一定的量制中，任一物理量的量纲，都决定于该物 理量的物理本质。因此，可通过有关的物理定律或定义， 将量纲式中的量纲指数确定出来。
如速度v的量纲dimv=L1M0T-1Θ0=L1T-1
若所有的量纲指数都为零，则为无量纲量。无量纲量 可以是两个同类量的比值，也可以是几个有量纲量的乘 除组合。无量纲量不是一个单纯的数字，它具有特定的 物理意义，具有量的特征和品质。如：展弦比
有量纲量的数值随所选用的单位制不同而改变，而无 量纲量的数值不随所选用的单位制不同而改变。量纲分 析的目的之一，就是要把有关的物理量正确地组合成完 备的无量纲量。
原型流场的数据？
解决这两个问题的理论基础是相似理论。在本章中，阐述相 似理论的基本内容，并介绍导出相似准则的量纲分析法，不 能完全模拟应该模拟的相似准则又该怎么办？
空气动力学实验的理论基础——相似理论
1-1 相似和相似定理
(一) 相似的基本概念
1. 几何相似 以三角形为例，彼此相似的三角形。
L1ˊ
CF CT 1 (1-6)
CmCV
式(1-6)表明，在相似现象中，各物理量的相似常数不 能任意选择，而是相互制约的。在上例中只有满足式(1-6)，两力学现 象的相似才能存在； (1-6) 式所示的这种相似常数的组合称为相似指 标。在相似现象中，相似指标必等于1。这是相似现象的重要性质。
将式(1-4)代入式(1-6)，可得
现象相似
单值条件相似+同类现象
（二）．相似准则
F
V
M
Fˊ
Vˊ
Mˊ
F m dV （1-2） dt
F F
CF
F m dV dt
（1-3）
V V CV
将相似变换式(1-4)代入（1-2），得：
CF CT F m dV
CmCV
dt
m m
Cm
t t
Ct
（1-5）
（1-4）
比较式(1-3)和（1-5）应有：
B） 两个流场的空间、时间对应点上所有表征流场的对应 的物理量都保持各自的固定的比例关系(如果是矢量还包括方 向相同)，则两个流场相似。
(1) 几何相似
L L
CL
(2)
运动相似
V V
CV
(3) 动力相似 (4) 热相似
F F
CF
T T CT
(5) 质量相似
C
3．同类现象和单值条件
若两个现象服从同一规律，即两个现象可以用同一物 理方程描述，则称这两个现象为同类现象。
两个现象如相似，则必为同类现象。这是两个现象相 似的一个必要条件。
能够把一个现象从同类现象中区分出来的条件，称为 单值条件。涉及单值位条件的物理量，称为单值件。单值 条件一般有以下几类：
几何条件 物性条件 边界条件 时间条件
4．单值条件相似
有了描述现象的物理方程，并给定了单值条件后，对现 象的数学描述才是完整的。如果两个现象相似，除了物理 方程相同外，单值条件还应保持相似。所谓单值条件相似， 是指对单值条件分布的描述相同，且各对应单值量之间保 持固定的比例。
涉及热现象时，再增加一个基本量纲：热力学温度，相应
的量纲符号是：Θ。
量纲是用量制中的基本量的幂的乘积表示该物理量的
表达
dimq=Lc1Mc2Tc3Θc4
(1-27)式(1-2来自)称为量纲式，又称量纲积。c1、c2、c3、c4 称为量纲指数。式(1—27)中的等号结出量纲之间的相等
关系，只表示性属不涉及量的大小。加减运算不会产生新
L1
L3
L3ˊ
L2 L2ˊ
L1 L1
L2 L2
L3 L3
CL
——通过不同的相似常数来变换相似图像的大小，称为相似 变换。
2. 物理现象的相似
物理现象(过程)的相似是以几何相似为前提的，并且是几何 相似概念的扩展。
A） 两个属于同一类的物理现象，如果在空间、时间对应 点上所有表征现象的对应的物理量都保持各自的固定的比例 关系(如果是矢量还包括方向相同)，则两个物理现象相似。
1．列出物理方程， 2．列出各物理量成比例的关系式，即相似变换式， 3．得出由相似常数组成的相似指标，令其等于1， 4．将相似变换式代人相似指标，整理可得相似准则。
（三）．相似定理
相似第一定理：“彼此相似的现象，其同名相似准则 的数值相同。”
相似第一定理又可表述为：彼此相似的现象的相似指 标等于1。
第一章 相似理论
问题：
如何进行实验？测量那些参数？
现代的空气动力学实验，通常都是在各式各样的风洞中 进行模型实验，以取得原型流场(如飞机在大气中飞行)的空 气动力数据。要做到这一点须解决两个重要的问题：
1. 在模型实验前和实验中，如何使绕流模型的流场模拟
原型流场？
2. 在模型实验后，如何将模型实验的数据正确地转换为
同名相似准则数值相同，是两个现象相似的特征和标志。有些相似 准则还是衡量现象相似与否的判据。
相似准则，又称相似参数。（SIMILARITY PARAMETERS）
空气动力学中常见的相似准则还有雷诺数Re、马赫数Ma、普朗特 数Pr、弗劳德数Fr、期特劳哈尔数Sr和比热比γ等。
上例中由式(1-2)~式(1-7)，由物理方程导出相似准则的方法，称为 相似变换法。相似变换法导出相似准则的步骤如下：