轴向受力杆件

第五章 轴向受力杆件

工程中有许多结构中的杆件仅承受轴向拉伸或压缩载荷。例如图5－1中起重机，其起重杆受轴向压力。这一类杆件受力的特点是杆端外力的作用线与杆的轴线重合，称为轴力杆件。建筑结构中的钢屋架，空间网架等都由细长杆件连接而成。虽然杆件的连接处采用焊接或铆接，但受载时杆件产生的弯矩只局限在节点附近区域，杆件可以近似认为是轴力杆，结构可以看作是桁架。这一章将分析轴力杆的应力、应变和变形，轴力杆的强度条件，连接件的强度条件，简单桁架的节点位移，以及拉压静不定问题。

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§5－1 拉压杆的应力与变形

一、拉压杆的应力与变形 如图5－2a 和b 所示，等截面杆在作用于两端的轴向拉力F 作用下产生拉伸变形。从分离体的平衡条件可知，截面

上的轴力F N = F （图5－2c ）

。那么截面上的应力是怎么分布的？是不是均匀分布？我们需要作进一步的分析。截面上应力分布与变形有关。为此，考虑变形前等间距的一系列杆段‘ab ’、‘bc ’，…（图5－2d ），这些单元处于相同的受力条件，它们的变形也应相同。假如单元‘ab ’的aa ′截面变形后成为向外凸起

的形状（见图5－2d ），根据‘ab ’单元

对自身中间截面的对称性，bb ′截面也应向外凸起。‘bc ’单元的情况应该与‘ab ’相同。可见变形后的几何协调条件被破坏。由此推断，杆件横截面在变形后仍然保持为平面，并且与轴线垂直。这一叙述在许多材料力学教材中称

图5－1

(d)

F F N

(c)

(a)

F (b)

为平面截面假设（plane cross-section hypothesis ）。在轴向拉压问题中杆件内各点都处于单向应力状态，x σ是唯一非零的应力分量。根据平面截面的几何关系可以推断，截面上各点的轴向正应变为常数。根据单向拉伸的胡克定律可知

x x E σε=

可见截面上应力也为常数，即截面上的正应力为均匀分布力，所以 N

x F A

σ=

（5－1） 式中A 是截面面积。

由于各截面的轴力都等于F ，所以对于等截面杆，x σ沿轴向也是常数。由此，沿轴向的应变x ε也是常数。原长为l 的杆的总伸长 0d l

x

N x x F l l x l l l F E

EA EA

σεεΔ===

=

=∫ （5－2）

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上式表明拉（压）杆的总伸长量Δl 与轴向力F 之间呈线性关系。如果将/EA l 比作弹簧系数，轴力杆件的力学行为与弹簧完全类似。

二、轴力杆的应变能

图5－3所示轴力杆，由于外力f 与伸长δ 成线性关系，假设f k δ=，力f 在微伸长d δ上做功d f δ。如果最终力达到F 时的伸长为Δ，那么力F 做的功为 l ΔΔ0

Δ1

d d Δ22

l l

k l Δk l F l δδδ===

=∫

∫W f （5－3） 外力做功等于图5－3的()f δ曲线下的面积。这部分功全部转换为杆的应变能，即

211Δ22F l

U W F l EA

==⋅=

（5－4）

三、圣维南原理

一般情况下外力将通过夹具、销钉、铆钉、焊接等方式从端部传递给杆件。式（5－1）对于外力F 作用点附近的区域并不适用。在F 力的作用点附近应力分布并不均匀。然而，只要作用于杆端的分布力的合力的作用线与杆的轴线重合，则可近似地用轴力杆的模型对杆件做力学分析。法国力学家圣维南（Saint-Venant ）指出，作用在弹性体某一局部区域内的外力系可以用等效力系来代替，这种代替仅仅对原力系作用区域附近的应力有影响。这就是圣维南原理（Saint-Venant’s principle ）。对轴力杆来说，外力作用于杆端的方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内的应力分布受到影响，在较远距离处应力分布不受影响。

δ

图5－4所示的等直矩形截面杆，F 以集中力方式作用于杆件端部表面。图上给出了在距离端点h /4、h /2和h 处的1－1、2－2和3－3截面上正应力的分布。在1－1截面上最

大正应力为2.575倍平均值，应力集中在力的作用点附近。随着与端点的距离增加，应力分布逐渐趋于均匀。在3－3截面上，应力已经基本上均匀分布。

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例5

－1 图5－5a 所示为一同轴变截面圆杆，所用材料的弹性模量E ＝210GPa 。已知轴向力F 1＝25kN ，F 2＝45kN

，F 3＝65kN ，长度l 1＝l 3

＝300mm ，l 2＝400mm 。三段圆杆直径依次为d 1＝16mm ，d 2＝20mm ，d 3＝24mm 。求杆的最大正应力max σ，杆的总伸长Δ。 l 解：对图示的结构和载荷情况可以做如下假设：（1）集中力F 1，F 2 ，F 3 表示作用在A 、B 、C 处的合力，其作用点在截面中心，方向与轴线一致。外载荷具体施加方式及对局部应力分布的影响忽略不计。（2）轴向拉压变形的平面截面假设成立，应力和应变逐段均匀分布。

先利用分离体平衡条件，求各段轴向力F N ，并将结果用轴力图表示(图5－5b)。三段相应的正应力为

31122

12510N

124.34MPa 0.016m 4N F A σπ×=

==× 322222

2010N

63.66MPa 0.02m 4

N F A σπ−×=

==−× 图5－4

F 1

x

−20kN

图5－5

(b)

333223

4510N

99.47MPa 0.024m 4

N F A σπ×=

==× 所以最大正应力在AB 段，max 124.34MPa σ=。 杆的总伸长

31122331239

212333

2222

42510N 0.ΔΔΔΔ(21010Pa 0.016m 20100.4m 4510N 0.3m

)0.198mm

0.020m 0.024m N N N F l F l F l l l l l EA EA EA N π××=++=++=××××××−

+=23m

§5－2 轴力的平衡微分方程

在一般情形下，杆件横截面积A (x )可以是x 的函数，沿杆的轴线也可以有轴向分布载荷f (x )（图5－6）。假定此时平面截面假设仍然成立，由此可以推断同一截面上的应力仍为均匀分布，但不同截面上的应力是变化的，即

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()x x σ是x 的函数。公式（2－9）已给出轴力的平衡微分关系

d ()d N

F f x x

=− （2－9） 由于同一截面上的应力均匀分布，因此 ()

()()

N x F x x A x σ=

这里我们仍然近似地假设x σ是杆件中唯一的非零应力分量。根据单向应力的胡克定律可以将应变表示为

()

()

()()

x N x x F x x E

EA x σε=

=

根据平面截面假设，位移u 仅为x 的函数。根据轴线方向的应变－位移关系，我们有 ()d ()d (N x )

F x u x x EA x ε=

＝ （5－5） 上式的积分可以得到轴向位移u （x ）。

对于等截面杆，A 为常数。将上式微分一次，并将方程（2－9）代入，可以得到关于轴向位移u 的微分方程：