正态云的数学性质

回归曲线
主曲线
正态云模型云滴的期望曲线
该期望曲线函数为： − (E ( X )− Ex )2
y = e 2 En2
正态期望曲线性质
z μ=3，σ=5
驻点
拐点
-2 3 8
此结论可以推广到高维论域空 间里的概念，其定量实现——云滴X 与确定度Y的联合分布（X, Y）的期 望曲面（超曲面）呈现为高斯形态。
正态云模型是产生泛正态分布的算法，它利用 三个独立的数字特征：期望Ex、熵En和超熵He， 通过二阶正态分布在论域空间生成泛正态分布的云 滴，由高斯隶属函数计算得出云滴的确定度，构造 出定性概念及其定量表示之间的转换算法。
当He=0时，云滴分布为正态分布。
重要说明：
对于一个严格意义的正态分布的随机变量， 如果期望已知，则方差的共轭先验分布为倒伽玛 分布，这种先验分布显示了期望与方差的相关性。
=
1
− ( x−Ex)2 − ( y−En)2
e 2y2
2He2 dy
−∞ 2 He y
此函数没有解析形式。
云滴的统计特性
云滴X 的期望 E(X)=Ex ；
方差D(X) = ∫ ∫ +∞ (
x
−
Ex
) 2dx
−∞
+∞ 1 −∞ 2πHe
y
exp ⎜⎜⎝⎛ −
( x − Ex ) 2 2y2
−
( y − En ) 2 2 He 2
模糊集合中常用的隶属函数形态
1、线性隶属函数 2、三角型隶属函数 3、凸形隶属函数 4、梯型隶属函数 5、岭型隶属函数 6、高斯隶属函数
隶属函数中会出现拐点吗？
高斯隶属函数的普适性
¾大量模糊概念，用高斯隶属函数刻画， 接近人类认知；
¾在众多的模糊控制文献中，高斯隶属函 数使用最频繁；
¾其他隶属函数常常和高斯隶属函数有相 当的吻合。
雾化过程分析
z 通过研究X的概率分布可知，X的分布函数 没有解析形式
∫ f X (x) =
fEn' (x) ×
f
X
(
x
|
En'
)
=
∞ −∞
1 2πHe
|
− ( x−Ex)2 − ( y−En)2
e 2y2
2He2 dy
y|
超熵变大的过程
z 当He逐渐增大的时候，云滴开始离散，云 滴的凝聚性变差了
云滴分布规律
7
5 正态云的数学性质四
思考
在云发生器算法中，通常选用较小 的超熵He生成云滴，如He较大（概 念的共识差，离散性强），会产生 什么样的分布形态？
如果一个概念缺少共识，反映其数字特 征的超熵会变得很大，云的整体轮廓不再清 晰可见，云逐渐“雾化”。但雾化过程中， 始终可保持云滴在靠近中心部分占优势。
在正态云中，Ex、En、He是三个独立的数 字特征，通过设计特定结构算法，生成定性概念 的随机量化值，并得出云滴的随机确定度，创造 出崭新的随机变量形态，形成定性定量转换模型， 云模型没有用解析的形式表述。
两类主要不确定性
随机性——概率论 模糊性——模糊集合论
云模型的贡献是通过概率测度空间研究模糊 性对随机性的关联性！
云模型揭示了这样的认知机理：
尽管概念蕴涵有不同范畴，尽管不同人、 不同时期对同一概念有不同认识，定性概念 转换成大量的定量云滴，云滴表现出不同的 确定度，但是要形成普遍的共识，它们在不 同人中反映出的云滴确定度的统计认知规律 是一致的，用不同语言值表示的不同定性概 念之间存在共同的认知机理。
4 正态云的数学性质三
y ∈(0,1)
而当 y ≥ 1 时，FYi (y) = 1；当y ≤ 0
( ) 云模型反映
时，FYi y 的=概0。念的三个数
字特征无关
因此，
fYi
(
y)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩0
− ,
1 π ln 1
y
,
0
< y <1 else
f(y)
云滴确定度的Yi 概率密度函数曲线
y
这一性质反映了不同语言值 表示的不同定性概念的不确定性， 存在认知上的共同规律性——确 定性。
fX (x) =
1 2π En'
exp⎛⎜⎜⎝
−
(
x − Ex)2 2En'2
⎞⎟⎟⎠
而En’的概率密度为:
fEn' (x) =
1 2π
Heຫໍສະໝຸດ Baidu
exp⎜⎜⎝⎛
−
(x − En)2 2He2
⎟⎟⎠⎞
4
故 X 的概率密度函数为:
f X (x) = f En' (x) × f X (x En' )
∫ π ∞
是否可以通过弱化形成正态分布的条件， 即假定产生某随机变量的诸随机因素间不完 全独立，个别随机因素对该随机变量的作用 不那么微小，通过一个参数来衡量该随机变 量分布偏离正态分布的程度，从而将正态分 布弱化为“泛正态分布”？
1
泛正态分布的产生条件没有正态分布苛 刻，它比正态分布复杂，但是比联合分布简 便可行。
云心上的云滴个数与云心长度之比称为 云心线密度。
z 随着He的增大，云心线密度与云线密度均 减小，但二者之比却增大。即云心区的云 滴离散速度较慢。体现了雾化过程中，期 望附近云滴仍然保持了相当的稳定性。
云长度
云心长度
云心相对线密度（凝聚离散系数）：云心线密度/云线密度
9
综合分析：
He增加（雾化）
云心线密度
当
lim
He→∞
y2
→
y1
， 两条函数曲线趋向重合。
50 49
雾化的临界点
z 正态云模型在He=En/3时出现临界状态， He较小时，呈泛正态分布；He增大时，云 开始雾化。
为了进一步考察超熵变大时， 云雾化过程中的云滴分布性 质，我们定义了云的线密度 等概念。
z 定义 云C(X)中， x轴上全体云滴个数与 长度之比称为云的线密度。区间（Ex-δ ， Ex+δ）称为云心，2δ称为云心长度；
假设云心长度为常数2δ，则云心线密度为
NP{ X − Ex ≤ δ}/ 2δ
≈ NP{ En' ≤ δ } 3
≈ N[Φ(δ − 3En ) − Φ( − δ − 3En)]/ 2δ
产生的一个样本。
当 y ∈ (0,1) 时，
FYi (y) = P{Yi
} ≤ y
=
P
⎪⎨⎧e
−( X −Ex)2 2(En'i )2
≤ y⎪⎬⎫ =
⎪⎩
⎪⎭
P⎧⎨−
− 2 ln y ≤ X − Ex ≤
−
2
ln
y
⎫ ⎬
⎩
En'i
⎭
Q
( ) X ~ N Ex, En'i2
∴
X − Ex ~ N (0,1)
一维云模型云滴的期望曲线
研究数据集分布的几何规律性，寻 找数据集的“中间”结构——“脊梁 骨”，用一条光滑曲线代替数据集，几 何上非常直观。
研究数据集分布的几何规律性，寻找数据集的 “中间”结构——“脊梁骨”，用一条光滑曲线代 替数据集，几何上非常直观。常用的寻求期望曲线 的方法有主曲线和回归曲线等。
性质三
定性概念的定量实现——云滴X， 与其确定度Y的联合分布( X，Y )的期 望曲线（或期望曲面、期望超曲面） 呈现为高斯形态。
6
云滴及其确定度的联合概率分布(X,Y )
所有云滴X及其确定度Y 形成的二维 随机变量(X,Y )的概率分布非常复杂， 没有解析形式。但是具有明显的几何特 征，可以通过期望曲线方法来研究它。
z 根据正态云发生器的实现算法,由于 P{En-3He<En’<En+3He}=0.997，所以当En3He>0时，99.7%的云滴落在外曲线y1内曲线y2 之间
48
8
云的雾化点
z He=En/3时，由于内曲线的指数趋向负无 穷大，函数值趋于0，云图开始雾化。
He>En/3时云图的变化
z 内曲线y2开始加宽，随着He的继续增大 ,
降低-速度慢
云线密度
降低-速度快
云心相对线密度（云心 增加 线密度/云线密度）
简要证明如下：
设正态云为（Ex,En,He），云滴总数为 N。由切比 雪夫不等式：
P{ X − Ex < 4 En2 + He2 } ≥ 15 ≈ 1 16
即云长度可近似为：8 En2 + He2 故云线密度为 N / 8 En2 + He2
正态云模型算法回顾
1. 生成以En为中心值，He2为方差的一个正态 随机数En’；
2. 生成以Ex为中心值，En’ 2为方差的一个正态
随机数 x ；
3. 计算：
y = e−
( x − Ex 2 ( En '
)2 )2
4. x 是论域中的一个云滴, y是其确定度；
5. 重复步骤1-4直至产生需要数目的云滴。
正态分布的普适性和高 斯隶属函数的普适性，共同 奠定了正态云模型的普适性。
3
云模型的数理统计基础
9 云模型利用三个数字特征设计特定的算法， 构造出一个服从泛正态分布的随机变量 ——云滴。
9 云模型本质是基于概率测度空间的云滴及其 确定度的分布模型。云模型对模糊性和随机 性的关联性，建立了简单但是较为合理的映 射关系。
背景：利用统计方法确定隶属度和隶属函 数的合理性
从概率测度角度看，云模型的定 义域是N 维量化论域空间。
云滴是该论域空间中的一个随机 变量，服从泛正态分布；云滴对概念 的确定度，也是一个随机变量。
概率论中的正态分布及普适性
正态分布广泛存在于自然现象与 社会现象中，实际中遇到的许多随机 现象都服从或者近似服从正态分布。
3 正态云的数学性质二
性质二
对一个有共识的定性概念，所有定 量实现(即云滴)的确定度为随机变量Y， 其概率密度是一个固定的形式，与云模 型反映的概念的三个数字特征无关。
根据正态云发生器算法，所有云滴的确定度构成的
随机变量Y，每一个确定度可以看做是由随机变量
Yi
=
− (x − Ex )2
e 2 (En 'i )2
模糊性和随机性，曾经被认为是完全不 同的两类不确定性，分别进行处理。
可能性理论: 一个人早餐吃5个鸡蛋的可能性为1，但吃5
个鸡蛋的概率为0。
随机性和模糊性毫无关联! 模糊性对排中律的背叛：
A+ A≠1
2
在更多情况下，随机性和模糊性相关。
“17岁是青年人吗？”
统计得到“是”的概率越大，则“17岁”隶 属于“青年”的程度也越大。
正态云的数学性质
1. 正态云数学性质的一般性理解 2. 正态云数学性质一 3. 正态云数学性质二 4. 正态云数学性质三 5. 正态云数学性质四
1 正态云数学性质的一般性理解
正态分布产生条件 ——中心极限定理
如果某一随机变量是由大量相互独立的随 机因素的综合影响所形成的，而其中每一个 别因素在总影响中所起的作用都是微小的， 这种随机变量往往近似的服从正态分布。
云模型的数理统计基础
对某一定性概念，云滴在靠近期望值出现 的概率较大，且该云滴能代表此定性概念的 确定度也较大；云滴在远离期望值处出现的 概率较小，该云滴能代表该概念的确定度也 较小。
用模糊性对随机性关联的映射函数来计算 确定度，恰好可说明上述现象。
为什么不用更少或者更多的 数字特征构造云模型？
z 用三个数字特征进行定性定量转换是最小集 合，不可能再少；
z 还有更高阶的熵，例如用超超熵去反映超熵 的不确定性，是可以无限深追的，但人类使 用自然语言思维不会涉及过多的数学运算；
z 也可以构造“均匀——正态”等其他云模型
2 正态云的数学性质一
对任一定性概念，其所有定 量实现——云滴组成的随机变量， 在论域空间呈泛正态分布。
云滴在论域空间的概率分布
记所有云滴组成的随机变量为X,由云 发生器的算法，X的概率密度为:
En'i
故
( ) ∫ −2ln y
FYi y = − −2ln y
1
−t2
e 2 dt
2π
5
云滴确定度的Yi 概率密度函数为：
fYi ( y) = FYi (y)'
=
1
( ) −(−2ln y) −2ln y '
e2
−
2π
2
( ) −(−2ln y) − −2ln y ' e2
2π
=1 −π ln y
2He2
−∞ 2π
2
= En2 + He2
性质一 正态云算法产生的云滴，是一个期望
为Ex，方差为 En2 + He2 的随机变量，呈现 泛正态分布。参数He是偏离正态分布程度 的度量，可以用来反映在论域空间影响概 念诸因素的不均匀、不独立现象。
若He=0，云滴为正态分布；若En=0, He=0，云滴则总是出现在期望点Ex上，没 有不确定性。
⎟⎟⎠⎞dy
= ∫ ∫ 1
+∞
y
exp{− (y − En)2 }dy
+∞
1
(x − Ex)2 exp{− (x − Ex)2 }dx
2π He −∞
2He2
−∞ 2π y2
2y2
=
∫ ∫ 1 +∞y2 exp{− (y − En)2 }dy +∞ 1 t 2 exp{− t 2 }dt
2π He −∞
《不确定性人工智能》课件之四
正态云的数学性质
Mathematical Properties of Normal Clouds
李德毅
deyi_li@nlsde.buaa.edu.cn
2009年3月16日
思考
如何理解自然语言中概念对量的规定性及 其不确定性？如何理解用正态云表示的定性 概念的内涵与外延？反映概念不确定性的数 字特征，与这个概念的语义、语境有关还是 无关？如果人们对一个概念很发散，云会变 为雾吗？