北京理工大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中试题
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①整数集是数域；②若有理数集 ，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题的序号填填上）
三、双空题
16．已知 ，其值域设为 ，则 __________；给出下列数值： ，则其中属于集合 的元素是__________（写出所有可能的数值）
四、解答题
从而c=15 =60
故答案为D
9．A
【解析】
因为 对任意x恒成立，所以 ．
10．B
【解析】
【分析】
由已知可得 ，然后在 中利用勾股定理得 ，化简可得 ，从而可得答案
【详解】
解：在 中， ， ，
所以 ，
由勾股定理得， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以方程 的一个正根为 的长，
故选：B
11．
【解析】
【分析】
C． D．
10．欧几里得的《几何原本》，形如 的方程的图解法是：画 ，使 ，在斜边 上截取 ，则该方程的一个正根是（）
A． 的长B． 的长C． 的长D． 的长
二、填空题
11．函数 的单调递减区间为__________．
12．“ ”是“ ”的__________条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选一个填空）．
对于C，因为 ， 为非零实数，且 ，所以 ，所以 ，所以C一定成立；
对于D，因为 ，且 ，所以当 时， ，当 时， ，所以D不一定成立，
故选：C
【点睛】
此题考查不等式的性质的应用，属于基础题
8．D
【解析】
由题意可得：f（A）= =15，所以c=15 而f（4）= =30，
可得出 =30故 =4，可得A=16
对于D，函数 在 上单调递减，故C错误；
故选：B.
6．D
【解析】
【分析】
利用偶函数的定义进行判断即可
【详解】
解：因为函数 是偶函数，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
利用作差法结合已知条件逐个判断即可
【详解】
解：对于A，因为 ， ，所以当 时， ，当 时， ，所以A不一定成立；
对于B，因为 ， ，所以当 时， ，当 时， ，所以B不一定成立；
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
19．已知定义在 上的奇函数 ，且
（1）求 的值
（2）判断函数 在 上的单调性，并给出证明
20．已知 的定义域是 ，对于定义域内任意的 都有 ，且当 时，
（1）求证： 是偶函数
（2）求证： 在 上是增函数
（3）若 ，求实数 的取值范围
A．总是正数B．总是负数C．可以是零D．可以是正数也可以是负数
4．函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
5．下列函数在区间 上为增函数的是（）
A． B． C． D．
6．若函数 是偶函数，且 ，则必有（）
A． B． C． D．
7．已知 为非零实数，且 ，则下列不等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
综上，实数 的取值范围为 ，
故答案为：
15．③④
【解析】
试题分析：利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，关键把握数域是对加减乘除四则运算封闭．解：要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验，如①对除法如 ∉Z不满足，所以排除；对②当有理数集Q中多一个元素i则会出现1+i∉该集合，所以它也不是一个数域；③④成立．故答案为③④．
故答案为：既不充分也不必要
13．
【解析】
【分析】
由已知可得 为真命题，则可得 ，从而可求出实数 的取值范围
【详解】
解：因为命题 ，
所以 ，
因为 是真命题，所以 ，即 ，解得 ，
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
分 两种情况解不等式即可
【详解】
解：当 时， ，解得 （舍去）
当 时， ，得 ，解得 或 （舍去）
13．已知命题 ，若 是真命题，则实数 的取值范围是__________．
14．设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是__________．
15．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、 ∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集 也是数域.有下列命题：
17．记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为
（1）若 ，求
（2）若 ，且 ，求 的取值范围．
18．
围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.
故选：A.
4．C
【解析】
【分析】
由二次根式的被开方数非负，解不等式组即可
【详解】
解：要使函数有意义，只要满足
，解得 ，
所以函数的定义域为 ，
故选：C
5．B
【解析】
【分析】
由常见函数的单调性逐项判断即可得解.
【详解】
对于A，函数 在 上单调递减，故A错误；
对于B，函数 ，在 上单调递增，故B正确；
对于C，函数 在 上单调递减，在 单调递增，故D错误.
参考答案
1．B
wk.baidu.com【解析】
【分析】
先求出集合B，然后再求两个集合的交集即可
【详解】
解：由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以
故选：B
2．B
【解析】
【分析】
全称命题否定为特称命题，改量词否结论即可
【详解】
解：命题“ “的否定为“ ”，
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
先将 配方可得 ，即可判断.
【详解】
因为 ，
即 的值总是正数，
北京理工大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D． 或
2．全称量词命题“ “的否定是（）
A． B．
C． D．
3．不论 为何实数， 的值为（）
先求二次函数的对称轴，根据开口方向直接得函数的单调递减区间.
【详解】
，
函数的对称轴是 ，开口向上，
所以函数的单调递减区间是 .
故答案为： .
12．既不充分也不必要
【解析】
【分析】
通过举反例进行判断即可
【详解】
解：令 ，则 ，所以由 得不到 ，
若令 ，满足 ，此时 ，所以由 得不到 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，
8．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝ (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16
9．不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（）
A． B．
③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题的序号填填上）
三、双空题
16．已知 ，其值域设为 ，则 __________；给出下列数值： ，则其中属于集合 的元素是__________（写出所有可能的数值）
四、解答题
从而c=15 =60
故答案为D
9．A
【解析】
因为 对任意x恒成立，所以 ．
10．B
【解析】
【分析】
由已知可得 ，然后在 中利用勾股定理得 ，化简可得 ，从而可得答案
【详解】
解：在 中， ， ，
所以 ，
由勾股定理得， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以方程 的一个正根为 的长，
故选：B
11．
【解析】
【分析】
C． D．
10．欧几里得的《几何原本》，形如 的方程的图解法是：画 ，使 ，在斜边 上截取 ，则该方程的一个正根是（）
A． 的长B． 的长C． 的长D． 的长
二、填空题
11．函数 的单调递减区间为__________．
12．“ ”是“ ”的__________条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选一个填空）．
对于C，因为 ， 为非零实数，且 ，所以 ，所以 ，所以C一定成立；
对于D，因为 ，且 ，所以当 时， ，当 时， ，所以D不一定成立，
故选：C
【点睛】
此题考查不等式的性质的应用，属于基础题
8．D
【解析】
由题意可得：f（A）= =15，所以c=15 而f（4）= =30，
可得出 =30故 =4，可得A=16
对于D，函数 在 上单调递减，故C错误；
故选：B.
6．D
【解析】
【分析】
利用偶函数的定义进行判断即可
【详解】
解：因为函数 是偶函数，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
利用作差法结合已知条件逐个判断即可
【详解】
解：对于A，因为 ， ，所以当 时， ，当 时， ，所以A不一定成立；
对于B，因为 ， ，所以当 时， ，当 时， ，所以B不一定成立；
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
19．已知定义在 上的奇函数 ，且
（1）求 的值
（2）判断函数 在 上的单调性，并给出证明
20．已知 的定义域是 ，对于定义域内任意的 都有 ，且当 时，
（1）求证： 是偶函数
（2）求证： 在 上是增函数
（3）若 ，求实数 的取值范围
A．总是正数B．总是负数C．可以是零D．可以是正数也可以是负数
4．函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
5．下列函数在区间 上为增函数的是（）
A． B． C． D．
6．若函数 是偶函数，且 ，则必有（）
A． B． C． D．
7．已知 为非零实数，且 ，则下列不等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
综上，实数 的取值范围为 ，
故答案为：
15．③④
【解析】
试题分析：利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，关键把握数域是对加减乘除四则运算封闭．解：要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验，如①对除法如 ∉Z不满足，所以排除；对②当有理数集Q中多一个元素i则会出现1+i∉该集合，所以它也不是一个数域；③④成立．故答案为③④．
故答案为：既不充分也不必要
13．
【解析】
【分析】
由已知可得 为真命题，则可得 ，从而可求出实数 的取值范围
【详解】
解：因为命题 ，
所以 ，
因为 是真命题，所以 ，即 ，解得 ，
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
分 两种情况解不等式即可
【详解】
解：当 时， ，解得 （舍去）
当 时， ，得 ，解得 或 （舍去）
13．已知命题 ，若 是真命题，则实数 的取值范围是__________．
14．设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是__________．
15．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、 ∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集 也是数域.有下列命题：
17．记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为
（1）若 ，求
（2）若 ，且 ，求 的取值范围．
18．
围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.
故选：A.
4．C
【解析】
【分析】
由二次根式的被开方数非负，解不等式组即可
【详解】
解：要使函数有意义，只要满足
，解得 ，
所以函数的定义域为 ，
故选：C
5．B
【解析】
【分析】
由常见函数的单调性逐项判断即可得解.
【详解】
对于A，函数 在 上单调递减，故A错误；
对于B，函数 ，在 上单调递增，故B正确；
对于C，函数 在 上单调递减，在 单调递增，故D错误.
参考答案
1．B
wk.baidu.com【解析】
【分析】
先求出集合B，然后再求两个集合的交集即可
【详解】
解：由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以
故选：B
2．B
【解析】
【分析】
全称命题否定为特称命题，改量词否结论即可
【详解】
解：命题“ “的否定为“ ”，
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
先将 配方可得 ，即可判断.
【详解】
因为 ，
即 的值总是正数，
北京理工大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D． 或
2．全称量词命题“ “的否定是（）
A． B．
C． D．
3．不论 为何实数， 的值为（）
先求二次函数的对称轴，根据开口方向直接得函数的单调递减区间.
【详解】
，
函数的对称轴是 ，开口向上，
所以函数的单调递减区间是 .
故答案为： .
12．既不充分也不必要
【解析】
【分析】
通过举反例进行判断即可
【详解】
解：令 ，则 ，所以由 得不到 ，
若令 ，满足 ，此时 ，所以由 得不到 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，
8．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝ (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16
9．不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围为（）
A． B．