亚纯函数唯一性理论(仪洪勋,杨重骏著)思维导图
高中数学最全的思维导图
高中数学最全的思维导图小数老师2015-11-23 11:08很多同学一轮复习已经过半，但还不知道该怎么总结，小数老师给大家提个建议，要想总结，主要还是首先梳理出脉络来，提到某个知识点，那么关于这个知识点相关的所有知识你都要弄明白，这样你就成功了一半！下面是8张思维导图，先研究下看看吧！夷示方法元表、隼合之闾的关系集台「1f映射i I 函数三要妄性质表示定义定义域值域单调性周期性性质対称性基本初等函数分段国数运算：交、弃、补确定性、互异性、无序性解析达列表法使解析式有意义丿对应关采［」换元法求解析式JA连意应用函数的单调在求值域圏象法u函薮破个区圈MlWt减I与曲谒国直是秃亍区减占鱼乂耒冒：2,征阴尊讶*勒査『斷人导披追；儿麗舍弼戴的鱼调性亘塑」是乂填黄于旗点时歌氐L©社有盘文的奇證戳弋r如即）r的奇圈埶詡⑵二呻书⑹=£）最值—C环酩变拱）—f皑拦变彗）—｛棒编变箕）亘合函数二次函巍、基本不等式、打崗（耐克）函〕数、三角函数有界性、数形结台、异数.L —次、二次函数、反比例函數一幕函数指数函数对数函数三甬函埶亘台III埶的单调性：同潸异减I哦值法、典型的函数1抽象函数函数与方程函埶的应用图象V性质和应用二分注、图象迭、二次展三次方程根的分布）空间几何体liii台区梭怪梭台L囲台Sfe-正枝｛王，长方体、正方体EW.四面体、正四面体一l点在Mh±点与线纬与面一面勻面点在面內点在面外竝面岂強-直线在平窗内厂平行—相乂—f平行关系的］A 转化J i ■■-平厅J垂直曲罕的］线线1相互轉化J垂嵐L相父L平行L三视團•r直观團长对正-喜平齐卞伯隼」一刚面积.表面理体段口高—个公共点没有缺旦漫有有公扛耳------------------ 厂W T 厂直线在平面外-^―---------------- L相交亠线面- "平行「面直垂畳线面甜r-J_ -面面■乎行價耕角的畫化与糾率的变化）位臭关养相立I—C且必：-今血芒：）狂童：战距可正A可员，也可为0. J注at：栽距可正可员，也可訂oj直迭万程茹形式直迭万程茹形式两亶线的交点两亶线的交点圧意若种开式的辕化和运用范圈圧意若种开式的辕化*□运用范围不等式群三即T通项会式等比数列一1（样。
亚纯映射唯一性定理
亚纯映射唯一性定理亚纯映射唯一性定理是复变函数理论的一部分，它研究了亚纯函数的特性和性质。
亚纯映射唯一性定理是指亚纯函数在满足一定条件下的唯一性，这个定理在复分析的研究中起到了重要的作用。
本文将介绍亚纯映射唯一性定理的基本概念、意义和证明方法。
亚纯函数是指由两个解析函数相除所得到的函数，即函数的分子和分母都是解析函数。
在实际应用中，亚纯函数是一类重要的数学工具，被广泛应用于物理学、工程学和自然科学等领域。
亚纯函数具有解析函数的某些特性，例如，在函数定义域内，亚纯函数可以无限次可导，除了可能有一些不可解析点。
亚纯函数的唯一性定理是指在满足一定条件下，亚纯函数在定义域内的唯一性。
具体地说，给定两个亚纯函数f(z)和g(z)，如果它们在一个区域内除了可能在有限个点处相等，那么f(z)和g(z)是相等的。
这个定理的证明方法可以利用解析函数的性质和复变函数的基本定理。
首先，我们知道亚纯函数是可以表示为解析函数的商，即f(z)=h(z)/k(z)，其中h(z)和k(z)分别是解析函数。
根据解析函数的性质，h(z)和k(z)可以展开为它们的幂级数，而且幂级数的收敛半径不为零。
因此，亚纯函数f(z)也可以展开为幂级数的形式。
接下来，我们考虑一个区域D内的两个亚纯函数f(z)和g(z)，它们在D内部除了可能在有限个点处相等。
我们假设f(z)和g(z)不相等，即存在一个点z0使得f(z0)≠g(z0)。
由于f(z)和g(z)是亚纯函数，它们可以展开为幂级数的形式。
那么在z0附近，我们可以把f(z)和g(z)展开为幂级数的形式。
考虑到幂级数的性质，我们可以取其中一个幂级数展开式的前N项和取极限，得到f(z0)和g(z0)的近似值。
如果我们取N足够大，那么f(z0)和g(z0)的近似值将非常接近，即|f(z0)-g(z0)|趋近于零。
这与我们的假设矛盾，因为我们假设在区域D内，f(z)和g(z)在有限个点处不相等。
因此，通过推理和反证法，我们可以得出结论：在满足一定条件下，亚纯函数的唯一性定理成立。
亚纯函数的唯一性定理
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亚纯函数的正规族与正规函数
早在1907年, P.Montel({82])就引入了正规族的概念．一族亚纯函数称为正规的，如果族中任一列函数都含有一个按球面 距离局部一致收敛的子列。最近一二十年中，由于在复解析动力系统中的重要地位，正规族理论焕发了勃勃机．
在正规族理论中，著名的Bloch原理和最近由W.Bergweiler和L.Zal-cman(参{17})建议的变形说，如果有某个性质使得在 全平面上只有常数函数所具有，或者稍广一点，如果有某个性质使得在全平面上具有这个性质的亚纯函数(整函数)形成一个正 规族，那么在某—个区域上具有该性质的亚纯函数(全纯函数)族就是一个正规族．尽管Bloch原理—般而言并不成立 ([96])，本论文§2.6和§3.6中的反例说明它的变形一般也不成立，但在正规族理论的研究中Bloch原理及其变形仍然起着重 要的指导作用．可以说，本论文中所有正规族的结果均与Bloch原理及其变形相关．
（１９８９），７８２－７９１．
５】ｐ戢埠Ｘｕｅｃｈｅｎｇ＆Ｚａｌｃｍａｎ，Ｌ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ瞬，Ａｖｋｉ”歹拇Ｍａｔｈ８撒８ｔ魄 ３８：１（２０００），１７１ １８２．
６】Ｓｃｈｗｉｃｋ，Ｗ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ ＩＪｌ，Ａｒｃｈ．Ｍａｔｈ．，５９（１９９２），５０－５４． ７】Ｙａｎｇ Ｌｏ，Ｖａｌｕｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ【Ｍ】，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇｅ，１９９３．
３ ｊ Ｌａｐｐ，≈ｎ，Ｐ．，Ｔｈｅ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ｝霸，Ａｎｎ。Ａｃａｄ．＆ｉ．托ｎｎ。 Ｓｅｔ．Ａ，Ｍａｔｈ．，３（１９７７），３０１－３１０．
具有Borel例外值的亚纯函数的唯一性
１ 引 言及 主 要结 论
本 文所 使 用的符 号符合 值 的分 布理 论［ 基 本符 号 习惯 ， 中记 】 ］ 其
， １ 、
（， ａ 厂）为 ，（ ） ｚ 一ｎ的重 级不 超
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正规 增长 函数 ， 。 厂 的 Ｂ ｒｌ 外值 ， 且ｏ 为 （ ） ｏｅ例 若存 在 两个 非零 有 穷判别 的复数 ａ 、。 满 口 ，
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， Ｅ ） ｎ ， １ ２ 且 ｍａ ｛ Ｏ ， ， 口 ， ， 口 ， ） ＞ ０ 或 者 满 足 厂） （ ｇ）（ ＝ ，） ｘ Ｏ（ ， ） （ ） （ ２厂 ） ，
摘 要 ： 改进 了仪洪 勋 、 伟川 等人 关 于整 函数唯 一 性 的定 理 ， 到 了关 于具 有 Ｂ ｒｌ 林 得 ｏｅ 例
外值 并且 级为 有 穷非整 数 的非常 数亚 纯 函数 的唯一性 的结 论． 厂 ｚ ｇ ｚ 设 （ ）、 （ ）为 非常 数 亚纯 函数 ， ）的级 （ ）为 有 穷非整 数 ， ｇ（ ｇ ０和。 是 厂（） ｇ 的 Ｃ 分 担值 ， （ ） 。 ｚ 与 （） Ｍ 厂 ２为
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关 键 词 ： 纯 函数 ； 一 性 ； ｏ ｅ 例 外 值 ； 值 亚 唯 Ｂ ｒｌ 亏
中图 分类 号 ： ７ ． ５ Ｏ１ ４ ２
文献 标识 码 ： Ａ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ３ １３ ．
Ｓｅ ． ２ ２ ｐ ０１
有穷非整数级(下级)亚纯函数的惟一性
元 Ｉ， ｌ ） ＿ 表示在 ｌｌ 上的重级不超过｜的零点数目， ）ｒ ≤ｒ ｚ ｊ ｝ 重级零点仅计一次， 相应的计数函数记为
、 一 ¨
）
（， ＿ Ｊ以 （， 表 （） ０ 重 不超 的 点 ｒ ｌ ， ） 示ｆｚ一 的 级 过ｋ 零 集合， 级 仅 次。 ０） 重 零点 计一
ＣＨＥＮ ｉｌｎ Ｇｕ —ｉ ｇ，Ｚ ＨＡＮＧ ａ — ｉ Ｘｉｏ ｂ ｎ
（ ｈｏ ｏ Ｍ ｔ ｍ ｔｓ ｎ ｙｔ ｃ ｎｅＳａｄｎ ｎ ｅ ｉ ， ｉ ｎ２００ ， ｈｎ ｏｇ ｈ ａ ｃ Ｓ ｏｌ ｆ ａ ｅ ａ ｃ ａｄＳｓ ｍ Ｓｉ ｃ ｈｎｏｇＵ ｉ ｒ ｔ Ｊ ａ ５ １０ Ｓａｄｎ ，Ｃｉ ） ｈ ｉ ｅ ｅ ｖ ｓｙ ｎ ｎ
ｇ（ ） ＝１２ ；＠（ ，） ∞， 十 ， 中 ｋ （ ） ｓ ≥２ 其 ≥１ ，ｋ （ ）为整 数 ， 则 （ ） ｇ ｚ 。 ｚ （ ）
¨（ ０
特 别地 ， 如果 ０ 与０ 为常数 ， ： 定理 １ 成立 ， 此时为文献 ［ ］ １ 中仪洪 勋结果 的一个推广 。 现在很 自然 的
２０ 年 ， ０ １ 对于有穷级整 函数 ， 林伟川 、 吕巍然改进了仪洪勋的一个结果 ， 得到了下面的结论 ： 定理 Ａ【 设 （ ） ｇ ｚ为开平 面 Ｃ上非 常数 整 函数 ， ｚ 的级 （ ） 穷非 整 数 。 （ ） ｇ ） ｚ与 （） ｇ（） ｇ有 ｚ与 （ 分
担 ０ Ｍ， Ｃ 如果存在两个有穷非零复数 口 与 ０ 满足 ： （ｊ ） ¨（ｊｇ （ ＝１２ ， ： ａ， ｆ ａ， ） ，）其中 ｋ（ ） ｋ（ 。 ≥１ ，： ≥
２ 为整数 ， 厂 ） ｇ ） ） 则 （ （ 。
本文 将定 理 Ａ推广 到亚 纯 函数 的情 形 ，主要结 果如 下 ： 定理 １ 设 （ ） ｇ ｚ为开平 面 Ｃ上非常 数 亚纯 函数 ，ｇ（） ｚ与 （） ｚ的级 （ ） ｇ 有穷 非 整数 。 （ ） ｇ ｚ 分 ｆ ｚ与 （） 担 ０ ∞ｃ 如果 存在 ≠０ ∞两个判 别 的 （） ｇ ｚ 的ｄ ｉ数 ０ （） ０（ ） 满足 ： ， Ｍ， ， ｚ与 （ ） ，！ ｉ ｉ 。ｚ与 ：ｚ ， ¨（ ｆ ０，）
整函数和亚纯函数涉及慢增长函数的唯一性定理
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DOI : 10. 16169 /j . i ssn. 1008 -293x. s. 1994. 06. 005
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整 函 数 和亚 纯 函 数 涉 及慢 增长 函 数 的 唯一 性定理
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两 个 亚 纯 函数 满 足 T ( r
亚纯函数及其导数分担小函数集的唯一性
文 章编号 ： ０ ０５ ６ （０ ２０ — １ １ ６ １０ －８ ２２ １）２０ ４ — ０
亚纯 函数及 其导数 分担小 函数 集 的唯一 性
赵 小珍
（ 宁德 师 范 学 院 数 学 系，福 建 宁 德 ３２ ０ ） ５１０
摘要 ：研究 了亚纯函数及其 ｋ阶导数权分担小 函数集的唯一性， 得到了： ｋｎ 设 ， 为正整数，． ｇ为开平面上 厂 ，
中计 ｍｉ（ ｋ ） ｎｍ， ＋１次，同样 也有 （ ，）Ｅ Ｓ ｇ ． ｇ ， （， ） Ｎｏｒａ 表示 ｆ—ａ ｇ—ａａ∈Ｓ 的公 共零 点 的 （，） 与 （ ）
面上 非 常数 亚纯 函数 ，称 另一 亚纯 函数 口ｚ 为 厂和 （）
ｇ的小 函数，如果 ｒ ｒａ ＝Ｓ ｒｆ 且 ｒ ｒａ ＝ｓｒｇ ． （，） （， ） （，） （， ） 设 厂为 非 常 数 亚 纯 函 数 ， ｋ为 正 整 数 ，用 Ｎ１ ｒ 、， （
１（ 口）表 示 厂 ／ ｆ一 ） 一ａ的 单 级 零 点 的 计 数 函 数 ， Ｎｋ（，／ 口） 示 ｆ— ）ｒ１ ｆ一 ）表 （ ａ的重数 ≤ ｋ的零 点 的计 数 函 数 ，每 个 零 点 只 计 １ 次 ．此 外 ， （， ） 示 ｓ ｒ厂 表 Ｓ ｒｆ （， ）＝ｏＴ ｒ＿ ） 。， （ （， ） ｒ ｏ， ） 厂（ Ｅ ，这 里 Ｅ表 示 线性
层 口ｚ， ） Ｅ （（） ‘ ＝Ｅ （（） ‘ ，如果 （（） 且 ｔ ｚ， ） ｔ ｚ， ） ｇ ｂ ， ｂ ｇ
２ 口ｆ ＋（ 十 ） （ ， ） ＋ ， ＋（， ） ４Ｏ ∞ ｆ ＞ｋ ５
则 称 ／与 ｇ Ｃ Ｉ 分担 集合 Ｓ； Ｍ（ Ｍ）
（ ）如果 ｉ ｉ
测度为有 限的集合． 令
高中函数知识点总结思维导图
高中函数知识点总结思维导图1. 函数及其性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素。
函数可以用数学符号或图形表示。
1.2 函数的性质•定义域：函数的输入值可能取的所有实数的集合•值域：函数的输出值可能取的所有实数的集合•单调性：函数的增减特性•奇偶性：函数在自身关于原点对称时，称为奇函数；否则称为偶函数2. 数学符号的应用2.1 函数的表示法•映射法：使用箭头表示函数的对应关系•例子：f(x) = x^2，表示函数f的定义域为实数集，值域为非负实数集。
2.2 函数的性质表示法•表格法：将函数的定义域和值域以表格的形式表示•例子：x -2 -1 0 1 2f(x) 4 1 0 1 43. 函数的图像与图象3.1 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的几何表现形式，可以通过作图得到。
作图时，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
3.2 函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系中的全体点的集合。
图象的特点有： - 函数左右对称：奇函数的图象关于y轴对称，偶函数的图象关于原点对称 - 函数上下对称：在平面直角坐标系中，函数的图象上的每一点M关于x轴都有对称点N(x,-y)4. 特殊函数4.1 常数函数常数函数是定义域为全体实数的函数，且对应的函数值都相等。
4.2 一次函数一次函数表示为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a不等于0。
一次函数的图象是一条直线。
4.3 二次函数二次函数表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于0。
二次函数的图象是一条抛物线。
4.4 幂函数幂函数表示为f(x) = ax^n，其中a和n为常数，a不等于0。
幂函数的图象随着指数n的增大而变成越来越陡峭或平缓的曲线。
4.5 指数函数指数函数表示为f(x) = a^x，其中a为常数，a大于0且不等于1。
指数函数的图象呈现指数增长或指数衰减的趋势。
4.6 对数函数对数函数表示为f(x) = log(a, x)，其中a为常数，a大于0且不等于1。
亚纯函数的一个唯一性定理
亚纯函数的一个唯一性定理
函数是数学中最基本的元素，每一个函数都有独特的特点。
亚纯函数是一种特殊类型的函数，其中输入的参数的值不会影响函数的返回值，也就是说每一个输入值都得到相同的输出值，这种函数对程序的执行具有重要的作用。
亚纯函数的一个唯一性定理是，当两个不同的亚纯函数存在时，它们之间必然存在一个至少为三个参数的不同。
也就是说，当存在并且不等价的两个亚纯函数时，这两个函数在至
少三个参数上必须有所不同，否则它们实际上只有一个函数。
具体来说，假设存在一组参数序列{a[1], a[2],…,a[n]}，他们不等价的两个亚纯函数F(a[1],
a[2],…,a[n])和G(a[1], a[2],…,a[n])。
此时，若a[i]满足F(a[1], a[2],…,a[n]) = G(a[1],
a[2],…,a[n])，则必然存在至少三个参数的不同，且其形式为：F(a[1], a[2],…,a[n])≠G(a[1],
a[2],…,a[n])，a[i]不同。
本定理对亚纯函数的重要性是不可忽视的，它表明了何时有两个不同的函数，以及当必须
改变多少输入参数，才能形成一个新的函数。
此类定理有助于搞清程序中函数的正确性，
从而能正确地根据函数执行程序。
综上所述，亚纯函数的唯一性定理是一种有用的定理，有助于了解程序中多个不同函数之间的联系，以及设计函数的正确性。
本定理的重要性在于，它可以确定在形成新的函数前，必须改变多少输入参数，从而有助于正确定位和执行程序中的函数。
分担小函数的亚纯函数的唯一性问题
ｂ≠ ０ 如 果 ０ ａ ． 与 。是
中８ ＝∑ ｎ ， ＝∑８ａｇ． 与ｋ满足 ｆ （ （ ，）ｋ
ｄ Ｅ ｄ Ｅ
零点 的计 数 函数 ， ０ｒ１Ｇ ）类似 定义 ． Ⅳ （ ，／
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收稿 日期 ：２ ０ ０ 一 ８ ０ ６— ６ Ｏ
常数的整函数 ， ０ 且 是 铂 ｇ的Ｃ Ｍ公共值 ； 是， 和 这 里 Ｆ和 Ｇ是 两个 非常数 的亚纯 函数． １ 如果 Ｈ ≠０， ｇ的Ｃ Ｍ公共值． 和 ｇ 问， 之间具有何种关系？ 贝 Ⅳ ） ｒ１ ０ （ ， ）≤ Ⅳ（ ， ｒＨ）＋｜ ｒＦ）＋｜ ｒ Ｇ ． （ ） ｓ ， （ ｓ ， ） ４ （
关 于 这 方 面 的 研 究 ， 已 经 有 很 多 研 究 成 引理 ２ Ｆ和 Ｇ是 两 个 非 常数 的 亚纯 函数 ，
果 Ｊ ．文献 ［ ］给出了下述结论 ： ６
数， 再设 ｂ 为亚纯 函数 ， 且满 足 ： ｂ
１ Ｆ和 Ｇ的 “ Ｍ” 公 共值 ，则 有 是 Ｃ 定理 Ａ 谢 和 ｇ 为非常数亚纯函数 ， 为正整 Ｔｒ， ｒ ｔ （， ）≤Ｎ（， Ｆ ｒ１ ）＋Ｎ（， ／ ｒ，）＋ ｒ１ｃ Ｎ（， ）＋Ｎ（，） ／ ｒＧ
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＋Ⅳ１（ ， ）一Ｎｏ ｒ１ Ｆ ）一＾ （ ，／ ｓ ｒ—） ） ｒ１ （ ，／ ， ｒ １ Ｇ ）＋｜ ， ０ （ 一ｂ ｇ 一ｂ的 Ｃ 和 ’ Ｍ公 共 ＋｜ ｒＧ ． ｓ ，） （ （） ５ 值 ， 分＋ ＋ ｌ ａ 且 ｋＯ（。 ＋ ２ ａ ，）＞ｎ ３ 其 其 中 Ⅳ （ ，／ 表示 Ｆ 的零点 但不 是 Ｆ Ｆ一１ 的 ｋＯ（。 ｇ ＋ ， ０ｒ１Ｆ ） （ ）
函数的性质思维导图
函数的性质思维导图1. 函数的定义：函数是一种特殊的数学关系，它把一个或多个输入变量映射到一个输出变量，使得每个输入变量都有唯一的输出变量。
函数可以用数学表达式、图表或表格来表示。
函数可以是线性的，也可以是非线性的，其中线性函数的输出变量只与输入变量的线性组合有关，而非线性函数的输出变量可能与输入变量的组合有关。
2. 函数的特征函数是一种特殊的数学关系，它的特点是每个输入值都有一个唯一的输出值。
函数的定义域是所有可能的输入值的集合，而值域是所有可能的输出值的集合。
函数的增减性可以用来描述函数的变化趋势，即函数的单调性，函数可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
函数的对称性指的是函数的图像具有某种对称性，比如可以是沿着某条直线或某个点对称。
函数的周期性是指函数的图像具有某种重复性，比如可以是沿着某条直线或某个点重复。
3. 函数的应用：函数可以应用于统计学、科学计算、数学建模等多个领域，并可以用于解决复杂的实际问题。
它可以用于描述系统的行为、模拟实际环境中的过程、计算数据和模型参数等。
它还可以用于解决经济、金融和管理学等问题，并可以用于识别模式、推断规律和预测未来发展趋势。
函数还可以用于计算机编程，以实现更复杂的算法和程序。
4. 函数的求解方法(1) 对称性：可以利用函数的对称性来求解函数，如可以通过函数的对称轴来求解函数的最大值和最小值。
(2) 导数：可以利用函数的导数来求解函数，如可以通过函数的导数来求解函数的极值点。
(3) 积分：可以利用函数的积分来求解函数，如可以通过函数的定积分来求解函数的面积。
(4) 拉格朗日法：可以利用拉格朗日法来求解函数，如可以通过拉格朗日法来求解函数的最优解。
1. 单调性：函数在其定义域内的单调性是指，函数的增减性是一致的，即函数在其定义域内没有拐点。
2. 对称性：函数的对称性是指，函数具有对称性，即函数的图像关于某一线对称。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指，函数的图像关于原点对称，即函数的图像关于原点的左右对称。
具有borel例外值的亚纯函数的唯一性
具有borel例外值的亚纯函数的唯一性
Borel例外值与亚纯函数的唯一性:
1、什么是亚纯函数？
亚纯函数就是指那些定义在实数集上的函数，但它忽略了实数集上的某些值，即排除了实数集上某些值，也就是所谓的“例外值”。
例如在定义函数时，不考虑零值，那么这个函数就是亚纯函数。
2、Borel例外值的定义
Borel例外值是一类特殊的数学概念，它通常用来表示它们是不可抽象的，即使是在无穷量函数的数学语境下，也不可以被表示或包含在其中，这些例外值也称为特殊数，也称为Borel数。
3、亚纯函数的唯一性
由于Borel例外值的存在，亚纯函数的唯一性只能推定，而不能绝对确定，因此，唯一性的判断首先要确定该函数的定义域上的所有Borel例外值，然后把这些Borel例外值排除在外，再可以进行唯一性的判断。
即若是判断两个亚纯函数的唯一性，则需要将它们的定义域上的所有Borel例外值排除在外，然后再进行判断。
4、具体判断步骤
因此，当给定了亚纯函数时，判断其唯一性的步骤应该是：
（1）、首先确定该函数的定义域。
（2）、然后，在定义域上确定函数的Borel例外值。
（3）、将已经确定的Borel例外值排除在外，在剩下的实数集上，求得亚纯函数的唯一性。
综上所述，Borel例外值与亚纯函数的唯一性有着密切相关性，正确判断亚纯函数的唯一性，必须首先确定该函数的定义域上的所有Borel例外值，将这些Borel例外值作为并入外，然后再进行唯一性判断。
因此，若要对亚纯函数做准确的唯一性分析，必须正确理解Borel例外值的含义，准确地将其纳入到其特性分析中。
复差分方程组的亚纯解
Ｎｏ． ２ ２ ２ ０１
复 差分 方 程 组 的 亚纯 解
王 钥 ， 高凌 云
（ 暨南 大学 数学 系 ， 东 广 州 ５ ０ ３ 广 １６ ２） 摘 要 ： 用亚纯 函数 的 Ｎ ｖ ｎｉｎ 利 ｅａ ｌ ａ值 分布理 论和 差 分 方程 的研 究技 巧 ， 究 了一 类 复 差分 方程 ｎ 研
引理 ３ 设 。 为有 限级为 Ｐ的非常数 的亚 纯 函数 ，
｛㈩（） 为 。 。 。｝ 的小 函数 ， 若
（， ） ｚ 。 ＝∑ ｎ ㈤（
ｗ（＋，） … ｚ ｃ ｉ ）ｌ ｌ
近 年来 ， 大 量 复 微 分 方 程 解 的存 在 性 的 研 继 究 之 后 ，许 多 数 学 工 作 者 利 用 亚 纯 函 数 的 Ｎ ｖ ｎｉｎ 值 分布 理论 又研究 了复差 分方 程解 的存 ｅａｌ ａ ｎ 在性 。］得 到 了一些 重要 结果 ， 中有 ： ， 其
ｏ ∑ （，） ｛ ｒ ｉ＋∑ Ｔｒｊ｝ ａ （，）。 ｂ
引理 ２５ 设 为 有 限级 为 Ｐ的 非 常 数 的 亚 纯 函
２８ ３
江 南 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
（ ２＋１ （ １＋１ Ａ ）Ａ ）≤ Ａ ｌ 。 ２ ０ Ａ
上式 是一个 矛盾 。 定理 １证毕 。
定 理 ２的证 明 设 （ Ｗ ） 方程 组 （ ）中有 限级 Ｗ ， 是 ３ 为 Ｐ＝Ｐ Ｗ ）＝Ｐ ）的亚 纯解 ， （ （ 由引 理 １ 引理 ４ 和
可 以得到 ：
先 介绍 文 中一些基 本概 念和符 号 。
假设 Ｗ是非 常数 的有 限级 亚纯 函数 ， 亚纯 函 若 数 ｇ满足 （ ， ）＝Ｓ ｒＷ） 对 于所 有 的 ｒ ｒｇ （， ， 除去 一对
亚纯函数的唯一性
） 为ｆ的小函 ｒｚ ， 数． ∑ 称为Ｐ的次 令 ｒ 数．
＝ ｎＸ）九 ｍｉ｛，， 称为Ｆ 的次数， 称为末次数． 如果九 ｔ ０ Ｆ称 ＝． １ ｔ０ ，
为 的 齐次微 分多项 式 ． 厂 ＝ ＋２ 令 Ｊ 。 ｑ ＋…＋ ＋１ ， （ ） Ｆ＝ｍａ ｛， ｒ称 为 、 的权 数 ． ｘＦ） ， 壬 ，
∑ １ ．
＝ｌ
如 果 ， ， 线性 无关，则 由引理２ 有
Ｔ ｒＦ） Ｔ ｒ二） Ｓ ｒ－ （， （，一 ＋ （， ） 厂
、
一
眦，＋ ＋ ， 詈 №，） １ 。 ） ａ №，＋ ） ）
Ⅳ（， ） Ⅳ（，） （，） ， ． 一 ＋ｓ ，
其 中
这 四个 问 题 进 行研 究 ，并 且 回答 了部 分 问题 ．其 中，２０ 年 ＬＰ【ｌ ＹｘＧ 将 定 理 Ａ中的 ６０ 厂 ＞＿ ０４ ．ｉ Ｊ ．．ｕ （， ） ３ ｒ
叶
减弱为８ ， ） 告． （ 厂 ＞ 同时对＝非常数亚纯 ０ Ｆ 数得到了 ：
厶
定理ｃ 设 为非常数亚纯函数，ｋ 正整数，ａｚ ∈Ｓｆ）｛｝ 如果 －与 ａ没有同级 的极点 ， 为 （） （ ＼０ ， 厂
中 图 分类 号 ： ７．２ Ｏ１４５ 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：０ ５２ ８ （０ ２ ０ —１９０ ２ ９—４ １２ １ ）２０ ２ ．６
１ 引 言 及 主 要 结 果
本 文采 用值分 布论 中的标准 符号 及 术语 【． Ｊ Ｊ
设 为复平面上的非常数亚纯函数， 如果亚纯 函数 口ｚ（ 。 满足 Ｔ ｒａ ＝Ｓ ｒｆ 坝 称 ａｚ 为 （） ） ≠ｏ （，） （， ） ０ （） 的小函数． 厂的所有小 函数组成的集合为 （ ） 记 ＿． 厂 设 和ｇ是复平面上的两个非常数亚纯函数， Ｓ ｆ ｒＳ ｇ ， ｆ—ａ与ｇ—ａ ａ∈ （ ）＾ （ ）如果 、 具有相同的零 点 ， 重数 相 同， ａ为 厂 ｇ的Ｃ 公共小函数． 且 则称 与 Ｍ 特别地， 当ａ为常数时， ａ 则称 为厂与 ｇ的Ｃ 分担值． ＝ｏ时， Ｍ 当ａ ｏ ｆ—ａ的零点意味着 厂的极点．
亚纯函数k阶导数具有分担值的唯一性
６５ ３
于 （）的 涉 及 重 僵 的 Ｂ ｒｌ 向． ｒ ｏｅ 方
① 昙 ： 学博 、 科 启项 （ ｏ３ 南教厅学究金 ０ １ 翟 河院 士研动 目 ｓ０ ； 省育科研基项 （ｏ６ 目 ‘ 红 硕 ｘ ８） Ｓ１云 顼 ２Ｙ¨ 目１ ７ 驯 ）
作者简 ：￣ （９１ ）女 ， １８ ， 云南开远人 ， － 红河学 院， 讲师 ， 士， 硕 研冤万 ｌ： 。 司 夏，
参 考文 献 ：
［ ］ 仪洪勋 ， １ 杨重 骏． 亚纯 函数唯一性理 论 ［ ． Ｍ］北京 ： 学出版 科
社 ，９５ １９ ．
“ ）‘ （ （（）一１ ） ’ｇ ） ｇ 厂 ） ‘ （ “ｚ （ （）一１ ） 兰 １ ） ’
（） ２ 由于厂 的零点都不是 的极点 ， 可以推出 ： ）≠
＋７ ｏ Ｆ ０（ｏ， ）＋７ ｏ ｃ ０（ｏ， ）≥ １ ８
＋１ ０
ｔ ／ ，＋ ｌ
得到 矛盾． （ ）如果 ２
Ｆ （）量 Ｇ （）
即
厂 （） ）一１ （ ）暑ｇ （） ｇ ｚ ｚ （ （）一１ ）
令
＞２ ６
＝
：
二
ｎ ＋ ｌ
考 虑 到 Ｆ（）： （） ）一１ ， （）＝ｇ （ （ （）一１ 尸 （ ） Ｇ “ ） ｇ ｚ ） 得 到 Ｆ （） ｃ （）Ｍ分担 ｌ因此 由引理 ６ ： ‘ ：和 ‘ Ｉ ’ ’ ， 有 或者 Ｆ‘ Ｇ （）一 ｌ 者 Ｆ（）； Ｇ ． （） ‘ ’ 或 ｚ （）
本文讨论亚纯函数具 有 Ｉ Ｍ分担值 的唯一性 ， 进一步将定理 Ａ推广到亚纯 函数的情形． 我们得到
引理４ 设 ） 【 为非常数 的亚纯函数 ，（ Ｉ≥ ｊ ｝ 下面的结论 ： ） 如果 为ｆ￣ｆ 的Ｐｃ ｄ ‘ ａ 则， 定理 １ 设 ， ） ｇ ｚ （ 和 （）为超越亚纯函数 ， 令 ２ 为整数， ０ －． ’ ｉ ｒ 例外值，
角域内整函数微分多项式的唯一性
， 一
（一 ｛＋ ） ｇ １ １ｌ ｏ
，
Ｉ ｌ １ （ｅ ）Ｉ ｄ ＋ ｏ ， 私 ） ｔ
Ｂ ， ｒ厂 ：一 ２￣ Ｐｇｌ （￣ ｉ （ （ ，） ｐ ｏ［。 ｔ ）ｌ ｒ ０ ＊ ｆ ｅ ｓ ｏ １ ￣
Ｊ
一 ａ ， ）
９ ４
安徽建筑＿＿ 学院学报（ ｒ， －ｋ ｌ 自然科学版）
第 １ 卷 ９
Ｒ ｒ南 ； —＋
（ｉ ）ｌ ｓ ｐ ｉ ｉ ｕ ＿ ｍ
～
∞ ）。
引理 ２。 假设 －在 Ｃ 上亚纯 ， ［ 厂 则
： Ｌ
Ｑ ｒ —Ａ ｆ／） ， ｆ （， ， ｆ 七Ｂ ｆ／）
ｆ ０ １， （） （ ） 。 ＜。 ；
＜ｎ ２都相应存在方向 ａｇ ＝００ ＜２ ）若在 ／） ｒｚ （￣Ｏ ｎ ，
角 域 Ｘ－Ｘ（－ｓ ＝ Ｏ ， ） ＋￡ 上有 尸 （ ｆ－１ 与 ｇ （ ） ”ｇ
－
数 ， 为一 （ ） Ｐ（） ≥１次多项式 。 则有
Ｓ ｒ Ｐ（ ） （ ， 厂 ）一 ｄ ｒ ， ＋ ０（ ） Ｓ（ ， ） １。
收 稿 日期 ：０ １Ｏ 一２ ２ １一９Ｏ 基金项 目： 安徽省教 育厅重点项 目（ ２ １ Ａ０ １ 。 ＫＪ ０ １ ６ ）
（． Ｉ ）函数 Ｕ（ ） ｒ （ ≥ ｒ） 足 ｌ ｒ 一 ｅ ｒ ０满 ｉ ａ ｒ
作者简介 ： 别荣军（ ９ ８ ， ， １ ７ 一）男 讲师 ， 硕士 ， 主要 研究方 向为复分析 。
Ｄｏ （ ， ）一 Ａ０ （ ， ） Ｂ ， ｒ 厂 ， ， ｒ厂 ， ｒ ， ＋ （ ， ） ｐ ｐ
＜ ２ ） ，（ ） 为 ｚ 的一个 ｐ ｒ 级 Ｂ ｒｌ 向当 （） ｂｅ 方
高中数学函数知识点归纳思维图解
高中数学函数知识点归纳思维图解算数函数（ArithmeticFunction）是一类抽象的公式，把集合中所有元素的性质及其相互关系描述出来，其中包括极限、连续性、梯形、积分等内容。
在数学学习中，函数的概念是一种很重要的抽象思维，掌握它能够使学生更好地理解数学的定义及其表达方式，有助于他们深入学习数学。
函数概念的学习首先是从基本认识上开始的。
对学生来说，最重要的是要学会定义一个函数，从各种定义形式中获取相应参数，以及清楚地把握函数变换的特点。
其次，在建立函数形式的基础上，要掌握函数的作用和应用。
这里，学习者除了要了解函数的特点，还应该能够熟悉一般函数的数学运算，如图形描绘、对称性、函数的单调性、最值等方面，以及函数的基本运算，包括极限、导数、积分等。
高中数学函数知识点归纳思维图解，旨在以图解的形式，把函数知识点定义、正确理解，以及基础操作等知识点归纳成一张思维导图，以便学生根据这个思维导图，加深对函数概念的理解。
高中数学函数知识点归纳思维图解的思维导图，具有以下几个主要结构：1. 数定义：这里是函数的定义，包括函数的定义式、参数、分段定义等概念，以及它们之间的关系。
2. 数图示：这里是图象表示函数的方法，以及绘制函数图形的方法。
3. 数性质：在图示中，要研究函数的对称性、单调性、极值点、局部极值点、函数奇偶性等特征。
4. 数运算：在函数的运算中，包括求极限、求导数和积分等内容，并要研究它们之间的关系。
以上是函数知识点的主要概念，并以图解的方式归纳起来。
学生在学习函数的过程中，要把这些概念清楚地掌握，并能够正确理解函数的含义，以及在实际应用中如何使用它们，从而提高学生的数学水平。
归纳函数知识点是一个系统性过程，不仅要把知识正确理解并正确运用，还要学会如何总结和组织函数知识，以便在学习和考试中更好地发挥自己的能力。
在学习过程中，除了正确的理解和运用，要多多练习和熟悉各种函数的特点，掌握函数的定义、图像描绘、函数奇偶性和最值等内容。
亚纯函数的重值与唯一性
亚纯函数的重值与唯一性
仪洪勋
【期刊名称】《《数学年刊：A辑》》
【年(卷),期】1989(010)004
【摘要】本文讨论了亚纯函数的重值与唯一性问题,推广并改进了R. Nevanlinna,熊庆来,杨乐,S.S. Bhoosnurmath和H.S. Gopalakrishna, H. Ueda,谢晖春,陆伟成等的有关结果。
【总页数】7页(P421-427)
【作者】仪洪勋
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O174.52
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