高中数学必修第一册 4.1.1n次方根和分数指数幂公开课优秀课件(与人教A版新教材同步)
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an＝a
一定成立吗？
n 如果不一定成立，那么 an等于什么？
例如：3 23 2；4 24 2；但是 4 24 2.
可以得到： n 为奇数，n an＝a，
n
为偶数，n
an＝|a|＝
a a≥0 －aa<0
.
要点归纳：
根式n a的符号由 n 的奇偶性及被开方数 a 的符号共同确定： 当 n 为偶数时，a≥0，n a为非负实数； 当 n 为奇数时，n a的符号与 a 的符号一致，
3
(3)要使
a－1 3有意义，则 a－3≠0，即 a≠3.
∴a 的取值范围是{a|a≠3}．
课堂小结
11 理解根式的概念以及了解开奇次方根和开偶次方根
的不同
2
n
要注意
an与(n
a)n
是不同的
类似地，由于 24 16 ，我们把±2叫做16的4次方根；
由于 25 32 ，2叫做32的5次方根．
定义：
一般地，如果 xn a，那么x 叫做a 的n次方根，其中 n 1，且 n N .
说明：
当 n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个 负数．这时， a 的n 次方根用符号 n a 表示．
例1 求下列各式的值：
(1) 3 83 ； (3) 4 3 4 ；
(2) 102 ； (4) a b2 .
解： (1) 3 83 8 ；
(2) 102 | 10 | 10 ；
(3) 4 3 4 | 3 | 3 ；
(4)
a b2
| a b |
a b，a b, b a，a b.
a 为负数： n 为奇数，a 的 n 次方根只有一个，为n a n 为偶数，a 的 n 次方根不存在
例如，4 16 2， 4 16 2， 4 16 2.
2.根据n 次方根的意义，可得 n a n a.
例如， 5 2 5，5 3 5 3.
探究：
n
an表示
an
的
n
n
次方根，等式
a>0 时，n a>0；a＝0 时，n a＝0；a<0 时，n a<0.
注意：n an与(n a)n 是不同的
n an中的 a 不受 n 的限制，a∈R.
n (
a)n
中的
a
受到
n
的限制，当
n
为奇数时
a∈R，当
n
为偶数时，a≥0.
另外，当
a<0
时，n
an＝
a，n 为奇数时， －a，n 为偶数时.
而(n a)n＝a.
例如，5 32 2，5 32 2，3 a6 a2.
负数没有偶次方根．
0的任何次方根都是0，记作 n 0 0.
知识梳理
定义：
式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数 ， a 叫做被开方数（ ． n a 0）
说明：
1.
n n 为奇数，a 的 n 次方根有一个，为 a
a 为正数：
n
n 为偶数，a 的 n 次方根有 2 个，为± a
巩固练习
练习1
下列说法：①16 的 4 次方根是 2；②4 16的运算结果是±2；
③当
n
为大于
1
n
的奇数时，
a对任意
a∈R
都有意义；
④当
n
为大于
1
n
的偶数时，
a只有当
a≥0
时才有意义．
③④ 其中说法正确的序号为________．
解：①16 的 4 次方根应是±2；②4 16＝2，
所以正确的应为③④.
练习2
5
(1)已知 x5＝2，则 x＝_____2___.
(2)若6 x－4有意义，则实数 x 的取值范围是__x_≥__4___．
3
(3)若
a－1 3有意义，则实数 a 的取值范围是{_a_|_a_≠__3_}_．
解：(1)由 n 次方根定义，得 x＝5 2.
(2)开偶次方根，则 x－4≥0，得 x≥4.
人教版高中数学新教材必修第一册
4.1.1 n次方根和分数指数幂
初中已经学过整数指数幂．
在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关
1
1
于面积S的函数c S 记作c S 2 ，像 S 2 这样以分
数为指数的幂，其意义是什么呢？
下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开
研究．
知识梳理
我们知道：
如果 x2 a ，那么 x 叫做 a 的平方根．例如，±2就是4的平方根． 如果 x3 a ，那么 x 叫做 a 的立方根．例如，2就是8的立方根．
an＝a
一定成立吗？
n 如果不一定成立，那么 an等于什么？
例如：3 23 2；4 24 2；但是 4 24 2.
可以得到： n 为奇数，n an＝a，
n
为偶数，n
an＝|a|＝
a a≥0 －aa<0
.
要点归纳：
根式n a的符号由 n 的奇偶性及被开方数 a 的符号共同确定： 当 n 为偶数时，a≥0，n a为非负实数； 当 n 为奇数时，n a的符号与 a 的符号一致，
3
(3)要使
a－1 3有意义，则 a－3≠0，即 a≠3.
∴a 的取值范围是{a|a≠3}．
课堂小结
11 理解根式的概念以及了解开奇次方根和开偶次方根
的不同
2
n
要注意
an与(n
a)n
是不同的
类似地，由于 24 16 ，我们把±2叫做16的4次方根；
由于 25 32 ，2叫做32的5次方根．
定义：
一般地，如果 xn a，那么x 叫做a 的n次方根，其中 n 1，且 n N .
说明：
当 n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个 负数．这时， a 的n 次方根用符号 n a 表示．
例1 求下列各式的值：
(1) 3 83 ； (3) 4 3 4 ；
(2) 102 ； (4) a b2 .
解： (1) 3 83 8 ；
(2) 102 | 10 | 10 ；
(3) 4 3 4 | 3 | 3 ；
(4)
a b2
| a b |
a b，a b, b a，a b.
a 为负数： n 为奇数，a 的 n 次方根只有一个，为n a n 为偶数，a 的 n 次方根不存在
例如，4 16 2， 4 16 2， 4 16 2.
2.根据n 次方根的意义，可得 n a n a.
例如， 5 2 5，5 3 5 3.
探究：
n
an表示
an
的
n
n
次方根，等式
a>0 时，n a>0；a＝0 时，n a＝0；a<0 时，n a<0.
注意：n an与(n a)n 是不同的
n an中的 a 不受 n 的限制，a∈R.
n (
a)n
中的
a
受到
n
的限制，当
n
为奇数时
a∈R，当
n
为偶数时，a≥0.
另外，当
a<0
时，n
an＝
a，n 为奇数时， －a，n 为偶数时.
而(n a)n＝a.
例如，5 32 2，5 32 2，3 a6 a2.
负数没有偶次方根．
0的任何次方根都是0，记作 n 0 0.
知识梳理
定义：
式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数 ， a 叫做被开方数（ ． n a 0）
说明：
1.
n n 为奇数，a 的 n 次方根有一个，为 a
a 为正数：
n
n 为偶数，a 的 n 次方根有 2 个，为± a
巩固练习
练习1
下列说法：①16 的 4 次方根是 2；②4 16的运算结果是±2；
③当
n
为大于
1
n
的奇数时，
a对任意
a∈R
都有意义；
④当
n
为大于
1
n
的偶数时，
a只有当
a≥0
时才有意义．
③④ 其中说法正确的序号为________．
解：①16 的 4 次方根应是±2；②4 16＝2，
所以正确的应为③④.
练习2
5
(1)已知 x5＝2，则 x＝_____2___.
(2)若6 x－4有意义，则实数 x 的取值范围是__x_≥__4___．
3
(3)若
a－1 3有意义，则实数 a 的取值范围是{_a_|_a_≠__3_}_．
解：(1)由 n 次方根定义，得 x＝5 2.
(2)开偶次方根，则 x－4≥0，得 x≥4.
人教版高中数学新教材必修第一册
4.1.1 n次方根和分数指数幂
初中已经学过整数指数幂．
在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关
1
1
于面积S的函数c S 记作c S 2 ，像 S 2 这样以分
数为指数的幂，其意义是什么呢？
下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开
研究．
知识梳理
我们知道：
如果 x2 a ，那么 x 叫做 a 的平方根．例如，±2就是4的平方根． 如果 x3 a ，那么 x 叫做 a 的立方根．例如，2就是8的立方根．