最新全国自考04184线性代数(经管类)答案

2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参考

（课程代码 04184）

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）

1.C

2.A

3.D

4.C

5.B

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

6. 9

7.⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--2315 8.⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--031111 9. 3 10. -2 11. 0 12. 2 13.()()T T 1,1,131

1,1,131

---或

14. -1 15.a ＞1

三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

16.解 D=4

0200

320115011315111141111121

131------=- （5分） =74402

03

21

15=-- （9分） 17.解 由于2

1=

A ，所以A 可逆，于是1*-=A A A （3分） 故11*12212)2(---+=+A A A A A （6分） =2923232112111=⎪⎭

⎫ ⎝⎛==+----A A A A （9分） 18.解 由B AX X +=，化为()B X A E =-， （4分）

而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-201101011A E 可逆，且()⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=--110123120311A E （7分） 故⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11021335021111012312031X （9分） 19.解 由于()⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→000075101711017510751

03121,,,4321αααα （5分） 所以向量组的秩为2，21,αα是一个极大线性无关组，并且有

214213717,511αααααα-=+-= （9分）

注：极大线性无关组不唯一。

20. 解 方程组的系数行列式 D=()()()b c a c a b c c b b a a ---=2

22

111

因为a,b,c 两两互不相同，所以0≠D ，故方程有唯一解。 （4分）

又03332222

22

1==c c c b b b a a a D ，03131312

222222==c c b b a a D ， D c c

b b a a D 3313131222

3== （7分）

由克拉默法则得到方程组的解

33,0,0332211=======D

D D D x D D x D D x （9分） 21.解 因为矩阵A 与B 相似，故

trB trA =且B A =, （6分） 即()⎩⎨

⎧=-++=++01101312a b

所以a=1,b=4. （9分）

22. 解 二次型的矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=5225A 由于()()73--=-λλλA E ，所以A 的特征值7,321==λλ （4分）

对于特征值31=λ，由方程组()03=-x A E 得到A 属于特征值31=λ的一个单位特征向量⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=11221α

对于特征值,72=λ由方程组()07=-x A E 得到A 属于特征值72=λ的一个单位特征向量⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=11222α. 得正交矩阵()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==111122,21ααQ ，作正交变换Qy x =， 二次型化为标准形.7322

21y y f += （9分） 四、

五、证明题（本题7分）

23.证 因为E B A +=,所以B E A =-,又B B =2,

故()E A E A -=-2

, (3分）

化简得 ,232E A A -=-于是()E E A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--

321,故A 可逆。 （7分）