§1.5.3定积分的概念教案
2022年《定积分的概念》优秀教案优秀教案
定积分的概念一、目标导学教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的根本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：二、自主探究复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．三、交流点拨1．定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为〔〕，在每个小区间上取一点，作和式：如果无限接近于〔亦即〕时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。
记为：其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明：〔1〕定积分是一个常数，即无限趋近的常数〔时〕称为，而不是．〔2〕用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：〔3〕曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各局部面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．〔可以先不给学生讲〕．分析：一般的，设被积函数，假设在上可取负值。
考察和式不妨设于是和式即为阴影的面积—阴影的面积〔即轴上方面积减轴下方的面积〕2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质2〔其中k是不为0的常数〕〔定积分的线性性质〕性质3〔定积分的线性性质〕性质4〔定积分对积分区间的可加性〕说明：①推广：②推广:③性质解释：性质4性质1四、拓展建构例1．计算定积分分析：所求定积分即为如图阴影局部面积，面积为。
即：变式练习：1．解：2．解：例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
《1.5.3定积分的概念》导学案2
《1. 5. 2定积分的概念》导学案【学习目标】1 •理解曲边梯形面积的求解思想，掌握其方法步骤；2•了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件;3. 明确定积分的几何意义和物理意义；4•无限细分和无穷累积的思维方法.【学习过程】1、自我阅读：(课本第45页至第46页)完成知识点的提炼复习：回忆求曲边梯形面积、变速运动的路程的步骤探究问题1：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y二f(x)的一段，我们把直线x , x二b (a =b) , y =0和曲线y = f (x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？y=f(x)研究特例：对于x=1 , y=0 , y=x2围成的图形(曲边三角形)的面积如何来求呢?新知：1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程分割=近似代替=求和=取极限b n b _ a2. 定积分的定义：.a f(x)dx科叫、土一^-f ( 1) 3 43 定积分的几何意义：4 定积分的性质：(1) 『kf(x)dx= ( k 为常数);b t , t（3）a f（x）dx 二（其中—b）.问题2:根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积S吗？2、研究课本例题：（是对基本知识的体验）1例1利用定积分的定义，计算|0x3dx的值2 3变式：计算0x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么?例2试用定积分的几何意义说明-x2dx的大小.(2) 『[fdx) 士f2(x)]dx= ;【课堂自我检测】a 3.设f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间 Ha,a ］上的定积分J. a 4. 计算下列定积分，并从几何上解释这些值分别表示什么(1) ：x 3dx ; ( 2)1 x 3dx ； ■-1 -4 【课后作业】JI1、由y=sinx , x=0, x= , y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是2b2、定积分.f (x)dx 的大小() aA 、 与f (x)和积分区间a,b i 有关，与i 的取法无关B 、 与f (x )有关，与区间a,b 】及：的取法无关C 与f (x)和1的取法有关，与积分区间a,b ］无关 变式：计算定积分 2 1 (1 x)dx1. 设f(x)在［a,b ］上连续，且(F(x) +C)丄f(x) ,( C 为常数)，则 J 空 x ：) Fx() Ax A . F(x) B . f(x) C . 0 D . f(x)2. 设f (x)在［a,b ］上连续，则 f (x)在［a,b ］上的平均值为()A . f(a) f (b)2 bB . a f(x)dx1 b C . - a f(x)dx 1 b 「aba f(x)dxf (x)dx ，由定 积分的几何意义和性质 A . 0 0 C . ］f(x)dx af f(x)dx=() y. aB . 2 f(x)dx y. aaD . 0f(x)dx(3) 2x 3dx ；JD、与f(x)、区间a,b i和 \的取法都有关3. 下列等式成立的个数是()11 - n①］f (t)dt = ( f (x)dx ②『sin xdx + ^sin xdx = ［sin xdx2a a 2 ------------- 2③』xdx = 2o xdx ④ 0、4「x2dx ：：o 2dxA、1B、2C、3D、43 24. 画出［(2x—x)dx表示的图形5. 画出由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.b .6. 利用定积分的定义，证明1dx = b - a，其中a,b均为常数且a ：：：b •L a。
定积分概念教学设计
定积分概念教学设计第1篇：定积分的概念的教学设计《1.5.3定积分的概念》教学设计1．教材分析1．1课标要求分析从教材上的要求来看，要求学生认识定积分的知识背景，理解背景中两个典型问题的解决思想，并能概括它们的共同特征从而引入定积分概念，理解定积分的含义和其符号的含义，明白定积分的几何意义和基本性质。
我个人认为由两个实例引入定积分概念这步很重要，能让学生理解定积分这一抽象的概念，并理解定积分的用途。
1． 2教学内容分析 1．2．1内容背景分析本节内容是人教A版选修2—2的1.5.3的内容，前面两节学习了如何解决“求曲边梯形面积”和“求变速运动路程”两个经典问题，在这两个问题的知识背景下这节课很自然地引入了定积分的概念。
这样能让学生充分理解定积分的由来和用途。
1．2．2教学内容的分析人教版的这节课的内容比较简短，要求掌握的层次也比较低。
主要通过前面两个实例的解决思路进行概括引入定积分的概念，明白积分的概念，积分符号的含义，了解定积分的几何意义和几个基本性质。
通过例1让学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四步曲”。
2．学情分析我上这堂课的班级是高二（3）班，这个班在高二四个班中属于中等水平，上课思维不大活跃，不分学生接受能力还可以，但后进生比较多，这些学生基础较为薄弱，而且定积分的概念较为抽象，在引入的过程中包含了数列求和，求极限等复杂的知识内容。
作为引入定积分概念的课，推导的计算过程简单带过就好，不宜把知识点挖得太深。
我把这节课的重点放在让学生了解定积分概念的由来，明白定积分符号的含义、定积分的集合意义和一些基本性质，让学生掌握用定义求定积分的步骤。
3．教学目标1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 4．教学重点和难点重点：理解定积分的概念、定积分的几何意义及基本性质，能用定义求简单的定积分．难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 5．教学过程1．创设情景复习：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决思路，解决步骤：求曲边梯形面积: 分割→ 以直代曲→求和→取极限（逼近）求汽车路程:分割→以不变代变→求和→取极限（逼近）2．思考一下解决前面两个问题的共同特点： 2．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x0<x1<x2<<xi-1<xi<<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为∆x （n∆x=nb-a[x,x]n），在每个小区间i-1ib-af(ξi)n 上取一点ξi(i=1,2，n)，作和式：Sn=∑f(ξi)∆x=∑i=1i=1如果∆x无限接近于0（亦即n→+∞）时，上述和式为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
1.5.3定积分的概念
课题：1.5.3定积分的概念一、学习目标1.了解定积分的概念和性质，能用定积分定义求简单的定积分；2.理解定积分的几何意义．二、教学重难点教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分．教学难点：定积分的概念．A 层1．下列结论中成立的个数是（ ）①n n i dx x ni 1133103•=∑⎰=； ②;11lim 31103n n i dx x n i n •⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑⎰=∞→ ③n n i dx x n i n 1lim 31103•⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑⎰=∞→ A ．0 B ．1 C. 2 D. 32．与定积分dx x ⎰π230sin 相等的是（ ）A.⎰π230sin xdx B.⎰π230sin xdx C.⎰πsin xdx -⎰ππ23sin xdx D.⎰⎰+23220sin sin πππxdx xdxB 层3．下列等式不成立的是（ ）A ．()()[]()()dx x g n dx x f m dx x ng x mf bab ab a⎰⎰⎰+=+B ．()[]()a b dx x f dx x f ba ba -+=+⎰⎰1C ．()()()()dx x g dx x f dx x g x f bab aba⎰⎰⎰⋅=D ．dx x dx x dx x ⎰⎰⎰+=--ππππ20222sin sin sinC 层4．用图象表示定积分dx x ⎰--211，并通过几何意义求定积分的值．【即时训练2】1．已知⎰badx x f )(=6,则______)(6=⎰dx x f ba2．已知,18)()(=+⎰dx x g x f ba⎰=badx x g 10)(,则⎰badx x f )(=_____________。
定积分的概念教案
定积分的概念教案课题：定积分的概念研究目标及重、难点：一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景。
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分。
3.理解掌握定积分的几何意义。
二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义。
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义。
教学流程：一、复：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点。
二、新课探析：1.定积分的概念：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点一般地将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，取一点ξi（i=1,2.n）在每个小区间[x(i-1),xi]上任取一点ξi，作和式：Sn=∑f(ξi)Δx，当上述和式Sn无限趋近于常数S，即S=limSn（n→∞）时，上述常数S称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
记为：S=∫baf(x)dx，其中∫为积分号，b为积分上限，a为积分下限，f(x)为被积函数，x为积分变量，[a,b]为积分区间，∫f(x)dx为被积式。
说明：1）定积分不是Sn。
2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[a,b]；②近似代替：取点ξi∈[xi-1,xi]；③求和：∑f(ξi)Δx；④取极限：∫f(x)dx=lim∑f(ξi)Δx（n→∞）。
3）曲边图形面积：S=∫f(x)dx。
2.定积分的几何意义：从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，则定积分∫f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，如图中的阴影部分。
另外，定积分还可以表示变速运动路程S=∫bta2v(t)dt和变力做功W=∫btaF(r)dr的大小。
教学设计4：1.5.3定积分的概念
1.5.3 定积分的概念教学目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质． 教学引导知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52. 思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃb a f (x )d x <0，－ʃb a f (x )d x 等于曲边梯形的面积．知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )吗？答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2.梳理 (1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)．(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃba f 2(x )d x . (3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．教学案例类型一 利用定积分的定义求定积分例1 利用定积分的定义，计算ʃ21(3x ＋2)d x 的值． 解 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n ·Δx＝3n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n ，[x i －1，x i ]＝⎣⎡⎦⎤2＋i －1n ，2＋in ，i ＝1,2，…，n .取ξi ＝x i ＝2＋i n ，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋in.则∑ni ＝1f (ξi )Δx i ＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4＋i n ·1n＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4n ＋i n 2＝n ·4n ＋1＋2＋…＋n n 2＝4＋n ＋12n.∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x ＝3×⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x ＝6×⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －x d x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e－x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值． (1)ʃ1－14－x 2d x ；(2)π2π-2sin d x x ⎰.解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3，S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x .解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14， 即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π. ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2. ∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2. 当堂检测1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n (i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 【答案】C【解析】由定积分的概念可知， ʃ2－1(－2)d x 中的被积函数为y ＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x 等于由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0，y ＝－2所围成的图形的面积的相反数， ∴ʃ2－1(－2)d x ＝－2×3＝－6.3．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8【答案】B【解析】ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16.4．由函数y ＝－x 的图象，直线x ＝1，x ＝0，y ＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A ．ʃ10(－x )d x B ．ʃ10|－x |d x C ．ʃ0－1x d x D ．－ʃ10x d x【答案】B【解析】由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为S ＝ʃ10|－x |d x . 5．计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x .解 如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2， ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.。
定积分的概念教学案例设计
《定积分的概念》教学案例设计1 教学目标及重点、难点1.1 教学目标知识目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力.1.2教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2 教学过程简录2.1 实例铺路，引出课题教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，”师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究．2.2演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想.”（教师动画演示对曲边梯形的分割过程）这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示.教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。
学生2：还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，以及“以直代曲”的思想.教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念. 2.2.1 定积分的概念设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任意用分点b x x x x a n =<⋅⋅⋅<<<=210 将],[b a 分成n 个小区间，用1--=∆i i i x x x 表示第i 个小区间的长度，在],[1i i x x -上任取一点i ξ，作乘积i i x f ∆⋅)(ξ，n i ,,2,1⋅⋅⋅=. 再作和图5－1∑=∆ni iixf 1)(ξ.若当0}{max 1→∆=≤≤i ni x λ时，上式的极限存在，则称函数)(x f 在区间],[b a 上可积，并称此极限值为)(x f 在],[b a 上的定积分，记作⎰badx x f )(. 即∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ. (1)其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为)(t v ，则在时间区间],[b a 上，物体经过的路程为⎰=ba dt t v s )(. (2)同理，图5－1所示的曲边梯形面积可表为⎰=ba dx x f A )( (3)变力做功 ()b aW F r dr =⎰ (4) I ．)(x f 在],[b a 可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点i ξ在小区间],[1i i x x -上如何选取，只要0→λ，极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？定理 在闭区间],[b a 上连续的函数必在],[b a 上可积；在区间],[b a 上有界且只有有限个间断点的函数也必在],[b a 上可积.II ．定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即⎰⎰⎰==bab abadt t f du u f dx x f )()()(．III ．定义定积分时已假定下限a 小于上限b ，为便于应用，规定当a b ≤时，⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(．0)(=⎰aadx x f ．2.2.2 定积分的几何意义I ．若0)(≥x f ，则积分⎰b adx x f )(表示如图所示的曲边梯形的面积，即A dx x f ba=⎰)(．针对训练：用定积分表示下列图形的面积.(两名学生上黑板板书) 学生1：⎰102xdx 学生2：⎰430sin πxdx随堂检测：利用定积分的几何意义求值:(请两名同学在黑板上板演，并解说自己的想法)特别地，当a =b 时，有⎰ba f (x )dx =0。
课件11：1.5.3 定积分的概念
跟踪练习 4 利用定积分的几何意义求2
4－x2dx.
－2
解：如图，定积分2
4－x2dx 表示由直线 x＝－2，x＝2，
－2
y＝0 与曲线 y＝ 4－x2所围成的图形的面积，计算可得 面积为π×222＝2π，
所以2
4－x2dx＝2π.
－2
课堂验收
1．设 f(x)是[a，b]上的连续函数，则bf(x)dx－bf(t)dt 的值
___23_π_－__2_3____.
1
【解析】 由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影
部分的面积．
易知 AB＝ 3，∠AOB＝π3，
∴S＝16×4π－12×1×
3＝23π－
3 2.
4．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积.
(1)－ －32x2dx＋－ 1 2x2dx；
(2)1(1－x)dx＋2(x－1)dx.
命题方向2 ⇨定积分的几何意义
例2
求1
(x3＋3x)dx.
－1
解：∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对
称，∴曲边梯形在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分
面积相等，由积分的几何意义知1
(x3＋3x)dx＝0.
－1
规律总结 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方 法容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
a
a
( B)
A．小于零
B．等于零
C．大于零
D．不能确定
【解析】 bf(x)dx 和bf(t)dt 都表示曲线 y＝f(x)与 x＝a，
a
a
x＝b 及 y＝0 围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母
定积分的概念教案
定积分的概念教案教案标题：定积分的概念教案教案目标：1. 理解定积分的概念及其在数学中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够运用定积分解决实际问题。
教学内容：1. 定积分的概念介绍；2. 定积分的计算方法；3. 定积分的应用。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾不定积分的概念和计算方法，以便为定积分的引入做铺垫。
主体活动：2. 介绍定积分的概念和意义，并与不定积分进行对比，强调二者的区别和联系。
3. 解释定积分的计算方法，包括Riemann和Newton-Leibniz公式等，通过实例演示如何进行定积分的计算。
4. 引导学生思考定积分的应用领域，如面积计算、物理学中的速度、加速度计算等，并结合实际问题进行案例分析和讨论。
5. 练习定积分的计算方法和应用，提供一些练习题，让学生进行个人或小组练习，并及时给予指导和反馈。
总结活动：6. 总结定积分的概念、计算方法和应用，强调定积分在数学中的重要性，并鼓励学生在今后的学习中继续深入探究。
教学资源：1. 教科书或教学课件；2. 白板、彩色粉笔/马克笔；3. 实例演示材料；4. 练习题。
评估方法：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和对概念的理解程度；2. 学生完成的练习题和解答过程；3. 学生参与案例分析和讨论的贡献。
拓展活动：1. 鼓励学生自主学习和探究更多与定积分相关的概念和应用；2. 提供相关参考资料和学习资源，供学生进一步学习和研究。
注意事项：1. 确保教学内容和步骤的连贯性和逻辑性；2. 根据学生的学习进度和理解程度，灵活调整教学节奏；3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，培养他们的问题解决能力和数学思维能力。
1.5.3定积分的概念(教学设计)
1.5.3定积分的概念（教学设计）教学目标：知识与技能目标：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；借助于几何直观的基本思想，理解发定积分的概念。
过程与方目标：培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
情感、态度与价值观：激发学生主动探索学习的精神。
教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 一、复习回顾，新课引入：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．师生互动，新课讲解 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121ii nax x x x x x b将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b axn），在每个小区间1,i i x x 上任取一点1,2,,ii n ，作和式：11()()nnni i i i b aS f xf n如果x 无限接近于0（亦即n）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()b aS f x dx，其中积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()b af x dx 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n时）记为()baf x dx，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点1,ii i x x ；③求和：1()n i i b af n；④取极限：1()l i mnb inai ba f x dxfn（3）曲边图形面积：b aSf x dx ；变速运动路程21()t t S v t dt ；变力做功()b aWF r dr2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ，那么定积分b af x dx 表示由直线,(),0xa xb a b y 和曲线()y f x 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分b af x dx 的几何意义。
《定积分的概念》教学教案
《定积分的概念》教学教案教学教案《定积分的概念》一、教学目标1.理解定积分的概念和基本性质；2.掌握计算定积分的方法和技巧；3.运用定积分解决实际问题。
二、教学重点1.定积分的概念和基本性质；2.计算定积分的方法和技巧。
三、教学难点1.理解定积分的概念和基本性质；2.运用定积分解决实际问题。
四、教学准备1.教材：数学教材、习题集等；2.工具：黑板、粉笔等。
五、教学过程Step 1 知识导入（5分钟）1.复习集中讨论上一节课的内容，引入定积分的概念。
2.提问：你们对定积分有什么了解？Step 2 定积分的概念（20分钟）1. 导入：引入定积分的基本概念，如Riemann和、分割、积分和面积的关系等。
2.讲解：通过具体的例子，解释定积分的定义和意义。
3.提问：如何通过曲线的面积概念引入定积分？Step 3 定积分的基本性质（15分钟）1.引入：引入定积分的基本性质，如线性性质、区间可加性、保号性等。
2.讲解：通过具体例子验证定积分的基本性质。
3.提问：如何理解定积分的线性性质？Step 4 计算定积分（25分钟）1.导入：通过几何问题，引入定积分的计算方法。
2.讲解：教授求定积分的方法和技巧，如代数法、几何法、换元法等。
3.举例：通过具体的例子讲解并计算定积分。
4.练习：让学生完成相应的练习题。
Step 5 运用定积分（20分钟）1.导入：通过实际问题引入定积分的应用。
2.讲解：教授定积分在物理学和经济学等领域的应用。
3.举例：通过实际问题的例子，展示定积分的应用过程。
4.提问：你对定积分的应用有何感悟？Step 6 拓展延伸（15分钟）1.讲解：让学生了解定积分的应用不仅限于一元函数，还可以推广到二元和多元函数。
2.提问：你能举例说明定积分在二元和多元函数中的应用吗？六、教学总结（10分钟）1.复习：对本节课的知识点进行复习。
2.总结：对本节课的教学内容进行总结，概括定积分的概念、基本性质和计算方法。
课件10：1.5.3 定积分的概念
2.b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±_____ab_f2_(_x)_d_x________. 3.abf(x)dx＝_ac_f(_x_)_d_x_＋_a_cb_f_(x_)_d_x(其中 a<c<b)．
a
预习自测
2.填空：(1)由 y＝0，y＝cos x，πxc＝os
[f(x)＋g(x)]dx－b
[f(x)－g(x)]dx＝3－1＝2.
a
a
5．用定积分的几何意义求1 4－x2dx. -1
解：由 y＝ 4－x2可知 x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
1
4－x2dx 等于圆心角为 60°的弓形 CED 的面积与矩形
-1
ABCD 的面积之和．
S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sinπ3＝23π－ 3.
A.12xdx B.1(2x－1)dx C.1(2x＋1)dx D.1(1－2x)dx
0
0
0
0
【解析】 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为
12xdx－11dx＝1(2x－1)dx.
0
0
0
【答案】 B
3．由 y＝sin x，x＝π 0s，inxx＝dxπ2，y＝0 所围成图形的面积写成 定积分的形式是__02______. 【解析】 ∵0＜x＜π2，∴sin x＞0.
所以e
1dx＝1×e＝e，
0
故0e(2x2－x＋1)dx＝2×e33－e22＋e＝23e3－12e2＋e.
跟踪训练
1．下列等式不成立的是( )
A.b[mf(x)＋ng(x)]dx＝mbf(x)dx＋nbg(x)dx
a
a
a
B.b[f(x)＋1]dx＝bf(x)dx＋b－a
定积分的概念教案
定积分的概念教案教学目标：了解定积分的概念及其几何意义，熟练掌握定积分的计算方法。
教学重点：掌握定积分的概念及其几何意义。
教学难点：运用定积分的概念解决实际问题。
教学准备：教师准备教材、教具和白板笔等。
教学过程：Step 1：导入问题教师可以提出一个实际问题，如：一辆汽车在1小时内的速度是多少？请学生思考并展开讨论。
Step 2：引入定积分教师出示一张速度-时间图像，简单介绍图像含义，即速度的变化情况。
Step 3：讨论定积分概念教师引导学生思考：如何根据速度-时间图像计算汽车在1小时内行驶的距离？学生可以按时间分割成不同的小段，并计算每个小段的行驶距离。
引出定积分的概念：将时间划分成无限小的小段，计算每个小段的行驶距离，并对其求和。
Step 4：定积分的计算方法教师介绍定积分的计算方法：将定积分问题转化为求函数的不定积分问题，然后根据不定积分的法则进行计算。
Step 5：定积分的几何意义教师引导学生思考：定积分的几何意义是什么？可以让学生按照概念中的思路进行讨论，并引导学生认识到定积分表示函数与横轴之间的面积。
Step 6：应用定积分解决实际问题教师出示一个实际问题，如：一块不规则形状的地块的面积如何计算？引导学生将地块的形状划分成无数个小矩形或小三角形，然后利用定积分的概念求解。
Step 7：练习与总结教师提供一些定积分的练习题，供学生巩固知识并提出问题。
在练习过程中，教师及时纠正学生的错误，引导学生总结定积分的计算方法和几何意义。
Step 8：课堂小结教师对本节课进行小结，强调定积分的概念及其几何意义，并鼓励学生继续探索和应用定积分。
Step 9：课后作业教师布置相关的课后作业，要求学生继续练习定积分的计算及应用，并预习下节课内容。
以上为定积分的概念教案。
数学：1. 5. 3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)
1.5.3定积分的概念
教案目标：
1.了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.
2.理解定积分及几何意义.
3.掌握定积分的基本性质及其计算
教案重点与难点：
1.定积分的概念及几何意义
2.定积分的基本性质及运算
教案过程：
1.定积分的定义：
2.怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x>=x2所围成图形的面积？
t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？
3.你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么?
4.
4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？
思考：试用定积分的几何意义说明
1.的大小
由直线x=0，x=2，y=0及所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的，
2.
5. 例：利用定积分的定义，计算的值.
6.由定积分的定义可得到哪些性质？
常数与积分的关系
和差的积分推广到有限个也成立
区间和的积分等于各段积分和
7练习：计算下列定积分
申明：
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数学：1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)
文档从网络收集.经重新纠错整理.word 可编辑.欢迎下载支持- 1 - 1.5.3 定积分的概念教学目标：1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.2. 理解定积分及几何意义.3. 掌握定积分的基本性质及其计算 教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算 教学过程：1. 定积分的定义：2. 怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰b a dx x f )(的几何意义是什么?梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b a==≠==⎰ 4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？思考：试用定积分的几何意义说明 1.⎰-2024dx x 的大小由直线x =0，x =2，y =0及24x y -=所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的41，.4202π=-∴⎰dx x 2. 0113=⎰-dx x 5. 例：利用定积分的定义，计算0103=⎰dx x 的值.6.由定积分的定义可得到哪些性质？ 常数与积分的关系 ⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()( 和差的积分 推广到有限个也成立⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121 区间和的积分等于各段积分和)()()()(b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<+=⎰⎰⎰其中 7练习：计算下列定积分⎰-312)2(dx x x。
§1.5.3定积分的概念教案
1.5。
3定积分的概念教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点 定积分的概念、定积分的几何意义复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=),在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=,作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数,x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明:（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数,即n S 无限趋近的常数S（n →+∞时）称为()ba f x dx ⎰，而不是n S ． (2）用定义求定积分的一般方法是:①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈;③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3)曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰;变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()ba W F r dr =⎰ 2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有()0f x ≥,那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
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1.5.3定积分的概念
教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分；
理解掌握定积分的几何意义；
重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、
定积分的几何意义
难点 定积分的概念、定积分的几何意义
复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课讲授
1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<
<<<
<=
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a
x n
-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：
1
1
()()n
n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑
如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数
S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：
()b
a
S f x dx =
⎰
其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()b
a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S
（n →+∞时）称为()b
a f x dx ⎰，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；
③求和：1
()n
i i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b
a S f x dx =⎰；变速运动路程2
1
()t t S v t dt =⎰；
变力做功 ()b
a W F r dr =⎰ 2．定积分的几何意义
如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有()0f x ≥，那么定积分
()b
a
f x dx ⎰
表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的
曲边梯形的面积。
例1．计算定积分2
1(1)x dx +⎰
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为5
2。
即：2
15(1)2
x dx +=⎰ 思考：若改为计算定积分
2
2
(1)x dx -+⎰
呢？
改变了积分上、下限，被积函数在
[2,2]-上出现了负值如何解决呢？
（后面解决的问题） 练习 计算下列定积分
1．5
0(24)x dx -⎰ 解：5
0(24)945x dx -=-=⎰ 2．11x dx -⎰
解：11111111122
x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰
例2．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：2
01y x x y x
⎧=⎪==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积
S=1
20
0x dx =-⎰⎰
，所以⎰1
20S =x )dx 32
1
3023
3x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13 在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；
2.求交点；
3.用定积分表示所求的面积；
4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.
课堂小结：
定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义． 课后反思：
定积分的几何意义的片面理解。
对于几何意义，多数学生片面理解成定积分就是面积，进而在相关习题中出现错误。