离散数学的基础知识点总结
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是一门研究离散对象及其关系、运算规则的数学学科。
它在计算机科学、信息学等领域中扮演着重要的角色，是这些领域的基础知识之一。
本文将对离散数学的一些重要知识点进行总结。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合以及集合之间的关系。
在集合论中，我们需要了解集合的运算、集合的关系、集合的分割等概念。
集合的运算包括交集、并集、差集和补集等，而集合的关系则包括子集、包含关系等。
此外，集合的分割也是一个重要的概念，它将一个集合划分为不相交的子集。
二、图论图论是离散数学中的重要分支，它研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论的核心概念包括图的表示方法、图的遍历算法、最短路径算法等。
在实际应用中，我们可以利用图论来解决线路规划、网络优化等问题。
三、逻辑与真值表逻辑是离散数学的重要组成部分，它研究的是命题之间的关系，以及命题的真值。
逻辑的核心概念包括命题、谓词、命题逻辑和一阶谓词逻辑等。
命题逻辑研究的是命题之间的关系，通过真值表可以展示命题的真值。
一阶谓词逻辑则考虑了命题中的变量、量词等。
四、组合数学组合数学是研究离散对象组合方式的数学学科。
它包括排列、组合、二项式系数等概念。
排列是指从一组对象中取出一些对象按照一定的顺序排列，而组合则是指从一组对象中取出一些对象作为一个集合。
二项式系数是组合数学中常用的工具，它表示在一组对象中选择出一个子集的方式数目。
五、数论数论是离散数学中研究自然数的性质和关系的学科。
它研究整数、素数、同余关系等。
数论的核心概念包括质数与合数、素数分解、同余关系和模运算等。
数论在加密算法、密码学中有广泛的应用，对于保证数据安全性至关重要。
总结起来，离散数学是一门研究离散对象及其关系、运算规则的数学学科，其中包括集合论、图论、逻辑与真值表、组合数学和数论等重要知识点。
它在计算机科学、信息学等领域中具有重要的应用价值。
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是计算机科学、数学和信息科学的一门重要学科，它研究的是离散结构，即不连续的数学对象，例如集合、图、函数和关系等。
离散数学的基础知识对于我们理解和应用计算机科学中的算法、数据结构、逻辑和推理等方面都至关重要。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和应用。
一、集合论在离散数学中，集合是一个重要的概念。
集合是由确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
集合的运算有并、交、补、差等。
集合还可以用列表、描述法、泛函法等方式表示。
在计算机科学中，集合常用于表示数据的存储和操作。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的另一个基础知识，它研究的是推理和论证的规律。
逻辑主要包含命题逻辑和谓词逻辑两个方面。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的方法，谓词逻辑则扩展了命题逻辑，研究的是谓词和量词的运算。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题可以用真值表、逻辑公式等方式表示。
逻辑运算包括非、与、或、蕴含和等价等。
命题逻辑的推理方法有代入法、消解法、假设法等。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图的性质和图的应用。
图是由节点和边组成的数学模型，用来表示事物之间的关系。
图论主要研究顶点的度、路径的搜索、连通性、环的存在性等问题。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
在图中，节点之间的连接关系称为边，边可以有权重。
图的表示方法有邻接矩阵、邻接表等。
图的应用包括网络分析、城市规划、路线规划等。
四、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支，它研究的是集合的选择和排列方式。
组合数学在计算机科学中有重要的应用，例如密码学、编码理论和算法设计等方面。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式系数等。
排列是从一组元素中选取特定顺序的方式，组合是从一组元素中选取特定组合的方式。
二项式系数是计算排列和组合数量的重要方法。
组合数学的应用有很多，包括选择算法、排列算法、图的着色等。
五、数论数论是离散数学中研究整数性质的一个分支，它研究的是整数之间的关系和性质。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。
8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。
离散数学基础
离散数学基础离散数学是数学的一个分支，主要研究非连续、离散的概念和结构。
它在计算机科学、信息科学以及其他相关领域中具有重要的应用。
本文将介绍离散数学的基础概念和常见的应用。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合。
在集合论中，我们常用符号来表示集合和集合之间的关系。
例如，如果A是一个集合，我们可以使用A∈B表示元素A属于集合B。
集合论还引入了交集、并集、差集等运算，用于描述集合之间的关系和操作。
二、逻辑和命题逻辑是离散数学的另一个重要组成部分。
它研究的是推理和推断的规则。
逻辑中最基本的概念是命题，它可以是真或假的陈述。
逻辑运算符包括非（¬）、与（∧）、或（∨）和蕴含（→）。
利用这些运算符，我们可以构建复合命题，并进行逻辑推理。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图的应用。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以用来描述网络、社交关系、路线规划等问题。
图论中的常见概念包括图的连通性、最短路径、最小生成树等。
四、代数系统离散数学还研究各种代数系统，如群、环、域等。
代数系统是一种结构，它由一组元素和定义在这些元素上的运算构成。
代数系统在密码学、编码理论等领域中有广泛的应用。
例如，RSA加密算法就是基于模运算的群的性质。
五、概率论概率论是离散数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率和随机现象的规律。
概率论可以用来描述随机算法的性能、信息的压缩率等。
在计算机科学中，概率论在机器学习、数据挖掘等领域中有着广泛的应用。
六、离散数学的应用离散数学在计算机科学和信息科学中有着广泛的应用。
例如，离散数学的概念和方法在编程语言设计、数据结构与算法、数据库系统等方面都扮演着重要的角色。
离散数学还在密码学、图像处理、计算机网络等领域中有着重要的应用。
结论离散数学作为数学的一个分支，研究的是非连续、离散的概念和结构。
它的基础概念包括集合论、逻辑和命题、图论、代数系统以及概率论。
离散数学必备知识点总结汇总
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
根据离散数学知识点总结
根据离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的结构和对象。
它在计算机科学、信息科学和电子工程等领域中扮演着重要的角色。
本文将根据离散数学的知识点进行总结。
一、集合论集合论是离散数学的基础，主要研究集合之间的关系和运算。
其中常用的概念有：- 并集：将两个或多个集合中的元素合并在一起，形成一个包含所有元素的新集合。
- 交集：取两个或多个集合中共有的元素，形成一个新集合。
- 补集：对于给定集合S，补集是指包含所有不属于S的元素的集合。
- 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合是另一个集合的子集。
- 幂集：对于给定集合S，幂集是指包含S的所有子集的集合。
二、逻辑逻辑是研究推理和证明方法的学科。
在离散数学中，逻辑起到了重要的作用。
常见的逻辑概念包括：- 命题逻辑：研究命题之间的关系和运算，例如“与”、“或”、“非”等。
- 谓词逻辑：研究命题中的变量和量词，能够表达更复杂的命题关系。
- 推理规则：用于从已知命题推导出新命题的规则，例如包括假言推理、析取规则等。
三、图论图论是研究图及其性质的学科。
在离散数学中，图论常常用于描述和分析各种关系和网络。
图论的基本概念包括：- 图：由节点和边构成的结构，用于描述事物之间的联系和关系。
- 顶点和边：图中的基本元素，顶点表示节点，边表示节点之间的关系。
- 路径和环：路径是指经过一系列节点和边连接起来的序列，环是指起点和终点相同的路径。
- 连通性：描述图中节点之间连接的特性，如连通图、强连通图等。
四、组合数学组合数学是研究离散结构的组合和排列的学科。
它在离散数学中有广泛的应用。
常见的组合数学概念包括：- 排列：将一组对象按照一定的顺序排列。
- 组合：从一组对象中选择若干对象，不考虑顺序。
- 布尔代数：用于描述逻辑运算和布尔函数的代数系统。
- 生成函数：用多项式表示数列，方便研究其性质和计算。
以上是根据离散数学的知识点进行的简要总结。
离散数学在计算机科学和信息科学中有重要的应用，对于学习和理解这些知识点能够提升对离散结构的认识和应用能力。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
它包括了许多重要的概念和技术，是计算机科学、通信工程、数学和逻辑学等领域的基础。
本文将对离散数学的一些核心知识点进行总结，包括命题逻辑、一阶逻辑、图论、集合论和组合数学等内容。
1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学的一个重要分支，研究命题之间的逻辑关系。
命题是一个陈述语句，要么为真，要么为假，而且不能同时为真和为假。
命题逻辑包括逻辑运算和逻辑推理等内容，是离散数学的基础之一。
1.1 逻辑运算逻辑运算包括与（∧）、或（∨）、非（¬）、蕴含（→）和双条件（↔）等运算。
与、或和非是三种基本的逻辑运算，蕴含和双条件则是基于这三种基本运算得到的复合运算。
1.2 逻辑等值式逻辑等值式是指在命题逻辑中具有相同真值的两个复合命题。
常见的逻辑等值式包括德摩根定律、双重否定定律、分配率等。
1.3 形式化证明形式化证明是命题逻辑的一个重要内容，研究如何利用逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
形式化证明包括直接证明、间接证明和反证法等方法，是离散数学中的常见技巧。
2. 一阶逻辑一阶逻辑是命题逻辑的延伸，研究命题中的量词和谓词等概念。
一阶逻辑包括量词、谓词逻辑和形式化证明等内容，是离散数学中的重要部分。
2.1 量词量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃），用来对命题中的变量进行量化。
全称量词表示对所有元素都成立的命题，而存在量词表示至少存在一个元素使命题成立。
2.2 谓词逻辑谓词逻辑是一阶逻辑的核心内容，研究带有量词的语句和谓词的逻辑关系。
谓词是含有变量的函数，它可以表示一类对象的性质或关系。
2.3 形式化证明形式化证明在一阶逻辑中同样起着重要作用，通过逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
一阶逻辑的形式化证明和命题逻辑类似，但更复杂和抽象。
3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图和图的性质。
图是由节点和边组成的数学对象，图论包括图的表示、图的遍历、最短路径、最小生成树等内容，是离散数学中的一大亮点。
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学作为现代数学的一门重要分支，在计算机科学、通信工程、信息技术等领域发挥着重要的作用。
本文将介绍离散数学的基础知识，共分为三个部分：集合论、逻辑和图论。
一、集合论集合是离散数学中的基本概念，它是一个由元素组成的整体。
例如，{1，2，3}就是一个集合，其中1、2、3是元素。
集合的描述通常采用列举法或描述法。
列举法即列举集合中的元素。
例如，{1，2，3}、{a，b，c，d}等都是集合。
描述法则是通过一些规则来描述集合中的元素。
例如，{x | x是正整数且小于10}表示由所有小于10的正整数组成的集合。
集合之间有一些常见的运算：并集：将两个集合中的元素合并起来，形成一个新的集合。
例如，{1，2，3}和{3，4，5}的并集为{1，2，3，4，5}。
交集：取两个集合中相同的元素组合成一个新的集合。
例如，{1，2，3}和{3，4，5}的交集为{3}。
补集：设A为一个集合，A'为其补集，则A'包含所有不在A 中的元素。
除此之外，集合中还有子集、空集、全集等重要概念。
子集指的是一个集合中的所有元素为另一个集合的元素，则前者是后者的子集。
空集指的是一个不包含任何元素的集合，全集则是该领域的所有元素的集合。
二、逻辑逻辑是进行推理和论证的基础。
在离散数学中，布尔代数是逻辑的一种基础形式。
它是一种将推理和论证过程化为运算的数学体系。
常见的布尔运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）。
与运算表示只有两个值同时为真，结果才为真。
例如，1 AND 1 为真，1 AND 0 为假。
或运算表示两个值中至少一个值为真，结果才为真。
例如，1 OR 0 为真，0 OR 0 为假。
非运算表示取反，将真变为假，将假变为真。
例如，NOT 1 为假，NOT 0 为真。
布尔代数的一个重要应用是逻辑电路的设计。
逻辑电路是指由逻辑门和连线构成的电路，其中逻辑门实现着不同的布尔运算。
三、图论图论是离散数学中的重要分支。
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：A、V、一、f「。
记住“p仅当q”意思是“如果p,则q"，即p-。
记住“q除非p”意思是“」p-q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
构造真1.2语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q,证永真式是通过p推导出T。
(p—r)A(q-r) = (pVq)-r(p—q)V(p-r) = p—(qVr)(p—r)V(q-r) = (pAq)-r双条件命题等价式pf = (pfq) A (qfp)pf = -pfqpf Q (pAq) V(-pA-q)「(pf) = pfq1.4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如V x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么V xP(x)就等价于P(x1)AP(x2)...A P(xn)。
同理，3 xP(x)就等价于 P(x1)VP(x2)...VP(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x(P(x)AQ(x))和(V xP(x)) A (V xQ(x))。
量词表达式的否定：「V xP(x) Q 3 x-P(x),「3 xP(x) Q V x-P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代命题和量化命题的组合使用。
二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合£说的是元素与集合的关系，^说的是集合与集合的关系。
离散数学知识点
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电子工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来对离散数学的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、不同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合。
交集则是指两个集合中共同拥有的元素组成的集合。
差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素得到的集合。
补集是在给定的全集范围内，某个集合之外的元素组成的集合。
集合之间的关系也非常重要，比如包含关系、相等关系等。
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
如果两个集合相互包含，那么它们就是相等的。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
关系可以用矩阵和图形来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系。
对称性是指如果一个元素与另一个元素有关系，那么反过来另一个元素也与这个元素有关系；反对称性则是如果一个元素与另一个元素有关系，且另一个元素也与这个元素有关系，那么这两个元素必须相等。
传递性是指如果一个元素与另一个元素有关系，另一个元素与第三个元素有关系，那么第一个元素与第三个元素也有关系。
关系的合成是将两个关系结合起来得到一个新的关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，都有唯一的对应值在值域中。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指定义域中的不同元素对应值域中的不同元素；满射是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射则是既是单射又是满射。
四、代数系统代数系统由集合、运算和运算所满足的公理组成。
常见的代数系统有群、环、域等。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数系统。
环是在群的基础上增加了两个运算，并且满足一定的运算规则。
离散数学知识汇总
离散数学知识汇总(总8页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除离散数学笔记第一章命题逻辑合取析取定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句定义 1.2.1合式公式(1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。
(2)若某个字符串 A 是合式公式，则⌝A、(A)也是合式公式。
(3)若 A、B 是合式公式，则 A ∧B、A∨B、A→ B、A↔B 是合式公式。
(4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。
1.3等值式1.4析取范式与合取范式将一个普通公式转换为范式的基本步骤1.6推理定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式，若 A → C 为永真式、重言式，则称 C 是 A 的有效结论，或称 A 可以逻辑推出 C，记为 A => C。
（用等值演算或真值表）第二章谓词逻辑2.1、基本概念：全称量词：存在量词一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： xy(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：xy(R(x)∧T(y)→H(x,y))2.2、谓词公式及其解释定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人类的 H(x))。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。
- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。
- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。
2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。
- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。
- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。
3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。
- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。
- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。
4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。
- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。
- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。
5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。
- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。
- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。
6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。
- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。
- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。
7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。
- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。
- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。
8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。
- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。
- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。
9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。
- 空间复杂度：算法空间需求的分析。
- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。
离散数学初步例题和知识点总结
离散数学初步例题和知识点总结一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
例如，｛1, 2, 3} 就是一个集合，其中 1、2、3 是这个集合的元素。
集合的运算包括并集、交集和差集。
并集：两个集合的并集是包含这两个集合中所有元素的集合。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛3, 4, 5}，则 A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
交集：两个集合的交集是包含这两个集合中共同元素的集合。
比如，集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛2, 3, 4}，则A ∩ B ＝｛2, 3}。
差集：集合 A 与集合 B 的差集是属于 A 但不属于 B 的元素组成的集合。
若集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛2, 3, 4}，则 A B ＝｛1}。
例题：已知集合 A ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正奇数}，集合 B ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正偶数}，求 A ∪ B 和A ∩ B。
解：集合 A ＝｛1, 3, 5, 7, 9}，集合 B ＝｛2, 4, 6, 8}A ∪B ＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A ∩B ＝∅（空集）二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
例如，在集合｛1, 2, 3} 中，“小于”就是一种关系。
关系可以用矩阵或关系图来表示。
自反关系：对于集合中的每个元素，它与自身都有关系。
对称关系：如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系。
传递关系：如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 也有关系。
例题：设集合 A ＝｛1, 2, 3}，R 是 A 上的关系，R ＝｛（1, 1)，（1, 2)，（2, 1)，（2, 2)，（3, 3)｝，判断 R 是否为自反关系、对称关系和传递关系。
解：因为对于 A 中的每个元素，都有（1, 1)，（2, 2)，（3, 3) 在R 中，所以 R 是自反关系。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
离散数学的基础知识点总结
离散数学知识点总结同时要善于总结，在学习《离散数学》的过程，对概念的理解是学习的重中之重。
本文就来分享一篇离散数学知识点总结，希望对大家能有所帮助！一、认知离散数学离散数学是计算机科学基础理论的核心课程之一，是计算机及应用、通信等专业的一门重要的基础课。
它以研究量的结构和相互关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，充分体现了计算机科学离散性的特点。
学习离散数学的目的是为学习计算机、通信等专业各后续课程做好必要的知识准备，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力，为计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
1．定义和定理多离散数学是建立在大量定义、定理之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是学习这门课程的核心。
在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
在考试中有一部分内容是考查学生对定义和定理的识记、理解和运用，因此要真正理解离散数学中所给出的每个基本概念的真正的含义。
比如，命题的定义、五个基本联结词、公式的主析取范式和主合取范式、三个推理规则以及反证法；集合的五种运算的定义；关系的定义和关系的四个性质；函数（映射）和几种特殊函数（映射）的定义；图、完全图、简单图、子图、补图的定义；图中简单路、基本路的定义以及两个图同构的定义；树与最小生成树的定义。
掌握和理解这些概念对于学好离散数学是至关重要的。
2. 方法性强在离散数学的学习过程中，一定要注重和掌握离散数学处理问题的方法，在做题时，找到一个合适的解题思路和方法是极为重要的。
如果知道了一道题用怎样的方法去做或证明，就能很容易地做或证出来。
反之，则事倍功半。
在离散数学中，虽然各种各样的题种类繁多，但每类题的解法均有规律可循。
所以在听课和平时的复习中，要善于总结和归纳具有规律性的内容。
在平时的讲课和复习中，老师会总结各类解题思路和方法。
作为学生，首先应该熟悉并且会用这些方法，同时，还要勤于思考，对于一道题，进可能地多探讨几种解法。
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离散数学的基础知识点总结第一章命题逻辑1.前键为真，后键为假才为假；＜—＞，相同为真，不同为假；2•主析取范式：极小项（m）之和；主合取范式：极大项（M）之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0,求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写;6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为（0~2n-1）刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法（=＞）:真值表法；分析法（假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假）10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第二章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含T,存在量词用合取“；3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0;2.基：集合A中不同元素的个数，|A|;3.幕集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幕集P(A)有2°个元素，|P(A)|= 2|A|= 2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔AXB的基数为mn , A到B上可以定义2mn种不同的关系；2.若集合A有n个元素，则|A X\|= n2, A上有2n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全圭寸闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域（domR）:所有元素x组成的集合；后域（ranR）：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r（R）=RU I x;对称闭包：s（R）=RU R-1;传递闭包：t（R）=RU R2U R3U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA二｛<x,y>|x,y 属于A, y 盖住x｝；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素（若存在可能不唯一）；极大元：集合A中没有比它更大的元素（若存在可能不唯一）；最小元：比集合A中任何其他元素都小（若存在就一定唯一）；最大元：比集合A中任何其他元素都大（若存在就一定唯一）；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界（若存在，可能不唯一）；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界（若存在，可能不唯一）；上确界：最小的上界（若存在就一定唯一）；下确界：最大的下界（若存在就一定唯一）；第六章函数1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有2mn种不同的关系，有n种不同的函数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有2n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；：种不同的单射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m＜二n，则从X到Y有A4.单射：f:X-Y，对任意冷必属于X,且x i如，若f(xj彳仏);满射：f:X-Y,对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fog=g(f(x));6.设函数f:A-B , g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fog也是单射；②如果f,g都是满射，则fog也是满射；③如果f,g都是双射，则fog也是双射；④如果fog是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是A2到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从AXA到A上的映射的个数, 即从从AXA到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为22*2= 24=16种；3.判断二元运算的性质方法:①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幕等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,vB,心，满足f(a*b)二f(aFf(b),则 f 为由<A,*> 到<B,A>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1•广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点):封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群):封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界;2.格的基本性质：1）自反性a< a 对偶：a > a2）反对称性a< b 八 b > a => a=b对偶:a>b 八 b <a => a=b3）传递性a< b 八 b < c => a< c对偶:a>b 八 b >c => a>c4）最大下界描述之一a Ab < a 对偶avb > aA A b < b 对偶avb > b5）最大下界描述之二c< a,c < b => c < aAb对偶c>a,c 》b => c》avb6）结合律aA（bAc）=（aAbFc对偶av（bvc）=（avb）vc7）等幕律aAa=a 对偶ava=a 8）吸收律a A(avb)=a 对偶av(a A b)=a9) a < b <=> aAb=a avb=b10) a< c,b < d => aAb < cAd avb < cvd11) 保序性b< c => aAb < aAc avb < avc12) 分配不等式av(b A c) < (avb)A(avc)对偶aA(bvc) > (aAb)v(aAc)13 )模不等式a < c <=> av(bAc) < (avb^c3.分配格：满足aA(bvc)=(aAb)v(aAc)和av(bAc)=(avb)A(avc);4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1 ；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0;(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果aAb=0,avb=1 ，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，贝y点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3•平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,V j，若存在连接v到V j的路，则称V i 与V j相互可达，也称V i与V j是连通的；在有向图中，若存在V到V j的路，则称V i到V j可达；13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，贝S这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G) , m j是v与勺关联的次数，节点为行，边为列；无向图：点与边无关系关联数为0,有关系为1，有环为2; 有向图：点与边无关系关联数为0,有关系起点为1终点为-1, 关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0)；16.邻接矩阵：A(G), a j是V i邻接到V j的边的数目，点为行，点为列;17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+ A2(G)+ A3(G)+ A4(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；A2(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；A3(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；A4(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G), V i到V j有路为1,无路则为0,点为行，点为列;19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点V。
；②选择一个与V0邻接且未被访问过的节点V1 ；③从V1出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点V0 ；②访问与V0邻接的所有节点V1, V2,……,V k ,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点V1为起点；④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；(1 )克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法（破圈法）①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点V i，连接边值最小的邻接点V2 ；②以邻接点V2为起点，找到V2邻接的最小边值，如果最小边值比V i邻接的所有边值都小（除已连接的边值），直接连接，否则退回V i，连接V i现在的最小边值（除已连接的边值）；③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2求PERT图中各顶点的最早完成时间，最晚完成时间，缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE（V1）=0TE（V2）=max{0+1}=1TE（v3）=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=mi n{12-6}=6TL(v6)=mi n{12-1}=11TL(v5)=mi n{11-1}=10TL(v4)=mi n{10-4}=6TL(v3)=min {6-2,11-4,6-4}=2TL(v2)=mi n{2-0,10-3,6-4}=2TL(v1)=mi n{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-仁1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径：v1-v3-v7-v8r 2 欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路;26. ( 1)无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；(2 )无向图中存在欧拉回路的充要条件:①连通图；②所有节点度数均为偶数；(3)连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：① 除两个节点外，每个节点入度 二出度；② 这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入; 度比出度少1 ；v 7欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路;（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度二入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路（哈密顿图），即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则v-e+r=2 ；34.判断是平面图的必要条件：（若不满足，就一定不是平面图）设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则ev=3v-6 ；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1 , G2是同胚的；36•判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0,而树内树叶节点度数为1 ；④二叉树内节点的度数二边的总数(只算出度)；握手定理“节点数二边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数二边的总数+1 ；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有2k4个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为2k-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n o个叶子，n2个2度节点，则n° = n2+1 ；42.二叉树的节点遍历方法:先根顺序（DLR）;中根顺序（LDR）;后根顺序（LRD）;43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树（左小右大），去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码;。