考研数学二历年真题20032016(无标准答案考生练习版)

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若时， 与是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 . （3） 的麦克劳林公式中项的系数是__________. （4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设为3维列向量，是的转置. 若，则= .（6） 设三阶方阵A,B 满足，其中E 为三阶单位矩阵，若，则________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设均为非负数列，且,,,则必有(A) 对任意n 成立. (B) 对任意n 成立.(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ ]（2）设, 则极限等于 (A) . (B) .(C) . (D) . [ ]（3）已知是微分方程的解，则的表达式为 （A ） (B)0→x 1)1(412--ax x x sin 4ln 2y x xy =+xy 2=nx )0(>=a e a θρθπ2αTαα⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T ααααT E B A B A =--2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A B =}{},{},{n n n c b a 0lim =∞→n n a 1lim =∞→n n b ∞=∞→n n c lim n n b a <n n c b <n n n c a ∞→lim n n n c b ∞→lim dx x xa n n nn n +=⎰+-123101n n na ∞→lim 1)1(23++e 1)1(231-+-e 1)1(231++-e 1)1(23-+e x x y ln =)(yxx y y ϕ+=')(y x ϕ.2y -.2y(C) (D) [ ]（4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）设则(A) (B)(C) (D) [ ] （6）设向量组I ：可由向量组II ：线性表示，则 (A) 当时，向量组II 必线性相关. (B) 当时，向量组II 必线性相关.(C) 当时，向量组I 必线性相关. (D) 当时，向量组I 必线性相关. [ ]三 、（本题满分10分）设函数 问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？.22yx -.22y x ),(+∞-∞01x dx x02tan .121>>I I .121I I >>.112>>I I .112I I >>r ααα,,,21Λs βββ,,,21Λs r <s r >s r <s r >,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程所确定，求五 、（本题满分9分）计算不定积分六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u.922=x dx y d .)1(232arctan dx x xe x ⎰+),(+∞-∞)(,0y x x y =≠'0))(sin (322=++dy dxx y dyx d 23)0(,0)0(='=y y七 、（本题满分12分）讨论曲线与的交点个数.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与之间的关系式；(2) 求曲线的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) k x y +=ln 4x x y 4ln 4+=)21,22(],0[πl l )0)((≥=y y x ϕmin /33m min /2m π)(y ϕ)(y x ϕ=十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且 若极限存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点，使； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使十 一、（本题满分10分）若矩阵相似于对角阵，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为， ， . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0)(>'x f ax a x f ax --+→)2(lim ξ)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰ξη⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A Λ.1Λ=-AP P :1l 032=++c by ax :2l 032=++a cy bx :3l 032=++b ay cx .0=++c b a2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设, 则的间断点为 .（2）设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为____..（3）_____.. （4）设函数由方程确定, 则______. （5）微分方程满足的特解为_______.（6）设矩阵 , 矩阵满足 , 其中为的伴随矩阵, 是单位矩阵, 则______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把时的无穷小量, , 排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ） （B ）（C ） （D ）（8）设, 则（A ）是的极值点, 但不是曲线的拐点. （B ）不是的极值点, 但是曲线的拐点. （C ）是的极值点, 且是曲线的拐点. （D ）不是的极值点, 也不是曲线的拐点.（9）等于（A ）. （B ）.（C ）. （D ）（10）设函数连续, 且, 则存在, 使得（A ）在内单调增加. （B ）在内单调减小. （C ）对任意的有.（D ）对任意的有.（11）微分方程的特解形式可设为2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+()f x x =()y x 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩()y y x =x 1+∞=⎰(,)z z x y =232x zz ey -=+3z z x y∂∂+=∂∂3()20y x dx xdy +-=165x y ==210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 2ABA BA E **=+A *A E B =0x +→2cos xt dt α=⎰20tan x β=⎰30t dt γ=⎰,,.αβγ,,.αγβ,,.βαγ,,.βγα[]()(1)f x x x =-0x =()f x (0,0)()y f x =0x =()f x (0,0)()y f x =0x =()f x (0,0)()y f x =0x =()f x (0,0)()y f x =[]lim n →∞221ln xdx ⎰212ln xdx ⎰212ln(1)x dx +⎰221ln(1)x dx +⎰[]()f x (0)0f '>0δ>()f x (0,)δ()f x (,0)δ-(0,)x δ∈()(0)f x f >(,0)x δ∈-()(0)f x f >[]21sin y y x x ''+=++（B ）. （C ）.（D ）（12）设函数连续, 区域, 则等于（A ）. （B ）.（C ）.（D ）（13）设是3阶方阵, 将的第1列与第2列交换得, 再把的第2列加到第3列得, 则满足的可逆矩阵为（A ）. （B ）.（C ）. （D ）.（14）设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关. （B ）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关. （C ）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.（D ）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限.（16）（本题满分10分）设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.(Ⅰ)写出在上的表达式; (Ⅱ)问为何值时, 在处可导.2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++2sin y ax bx c A x *=+++2cos y ax bx c A x *=+++[]()f u {}22(,)2D x y x y y =+≤()Df xy dxdy⎰⎰11()dx f xy dy -⎰⎰2002()dy f xy dx ⎰⎰2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]A A B B C AQ C =Q 010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭[]A B 0AB =A B A B A B A B []3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()f x ,-∞+∞[0,2]2()(4)f x x x =-x ()(2)f x k f x =+k ()f x [2,0]-k ()f x 0x =（17）（本题满分11分） 设,(Ⅰ)证明是以为周期的周期函数;(Ⅱ)求的值域.（18）（本题满分12分）曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)计算极限.（19）（本题满分12分）设, 证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 表示千克,表示千米/小时. 2()sin x xf x t dt π+=⎰()f x π()f x 2x x e e y -+=0,(0)x x t t ==>0y =x ()V t ()S t x t =()F t ()()S t V t ()lim ()t S t F t →+∞2e a b e <<<2224ln ln ()b a b a e->-9000kg 700/km h 66.010k =⨯kg /km h（21）（本题满分10分）设,其中具有连续二阶偏导数,求.（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组试问取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵的特征方程有一个二重根, 求的值, 并讨论是否可相似对角化.22(,)xyz f x y e =-f 2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩a 12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭a A2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= .（2）曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为 .（3）=--⎰1221)2(xxxdx.（4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为 .（5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= . （6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数n n n xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + . [ ](A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222y u y x u ∂∂=∂∂∂. (D)222xu y x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （12）设函数,11)(1-=-x xex f 则(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ]（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则 [ ](A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题三、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）曲线 的水平渐近线方程为（2）设函数在处连续，则 .（3）广义积分.（4）微分方程的通解是（5）设函数由方程确定，则（6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则=B .二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则[ ](A) . (B) .(C) . (D) .（8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在间断的奇函数（D ）在间断的偶函数. [ ]（9）设函数可微，，则等于（A ）. （B ） （C ）（D ）[ ]（10）函数满足的一个微分方程是（A ） （B ）（C ）（D ） [ ]（11）设为连续函数，则等于（Ａ）. （B ）.(C). (D). [ ]（12）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ](A) 若，则.4sin 52cos x xy x x+=-2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 0x =a =220d (1)x xx +∞=+⎰(1)y x y x-'=()y y x =1e yy x =-0d d x y x==2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭E B 2BA B E =+()y f x =()0,()0f x f x '''>>x ∆x 0x d y y ∆与()f x 0x 0x ∆>0d y y <<∆0d y y <∆<d 0y y ∆<<d 0y y <∆<()f x 0x =0x =0()d x f t t ⎰0x =0x =()g x 1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===(1)g ln31-ln3 1.--ln 2 1.--ln 2 1.-212e e e x x xy C C x -=++23e .xy y y x '''--=23e .xy y y '''--=23e .xy y y x '''+-=23e .xy y y '''+-=(,)f x y 140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰0(,)d x x f x y y(,)d x f x y y(,)d yy f x y x(,)d y f x y x (,)(,)f x y x y ϕ与(,)0y x y ϕ'≠00(,)x y (,)f x y (,)0x y ϕ=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '=(B) 若，则. (C) 若，则.(D) 若，则. （13）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 [ ](B) 若线性相关，则线性相关. (C) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关.(D) 若线性无关，则线性无关.（14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）. （Ｂ）.（Ｃ）. （Ｄ）. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）试确定的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 .（17）（本题满分10分）设区域， 计算二重积分00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '≠00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '≠00(,)0y f x y '≠12,,,s αααL n A m n ⨯12,,,s αααL 12,,,s A A A αααL 12,,,s αααL 12,,,s A A A αααL 12,,,s αααL 12,,,s A A A αααL 12,,,s αααL 12,,,s A A A αααL A A B B 1-C 110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1C P AP -=1C PAP -=T C P AP =TC PAP =,,A B C 23e (1)1()xBx Cx Ax o x ++=++3()o x 0x →3x arcsin e d e xxx ⎰{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰（18）（本题满分12分）设数列满足（Ⅰ）证明存在，并求该极限；（Ⅰ）计算.（19）（本题满分10分） 证明：当时，.（20）（本题满分12分）设函数在内具有二阶导数，且满足等式.（I ）验证； （II ）若，求函数的表达式.{}n x 110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==L lim n n x →∞211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭0a b π<<<sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++()f u (0,)+∞z f =22220z zx y∂∂+=∂∂()()0f u f u u'''+=(1)0,(1)1f f '==()f u（21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点引L 的切线，求切点，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵的秩；（Ⅰ）求的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(Ⅰ) 求的特征值与特征向量；(Ⅰ) 求正交矩阵和对角矩阵,使得.221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩(1,0)-00(,)x y 0x x ≤1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩A ()2r A =,a b A ()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-0Ax =A Q ΛTQ AQ =Λ2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当（A）（B）（C（D）[ ]（2）函数在上的第一类间断点是[ ]（A）0 （B）1 （C）（D）（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是：（A）(B)（C）（D）[ ]（4）设函数在处连续，下列命题错误的是：（A）若存在，则（B）若存在，则.（C）若存在，则（D）若存在，则.[ ]（5）曲线的渐近线的条数为（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ]（6）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是：(A) 若，则必收敛. (B) 若，则必发散(C) 若，则必收敛. (D) 若，则必发散. [ ]（7）二元函数在点处可微的一个充要条件是[ ]（A）.（B）.x+→1-ln11-1(e e)tan()e exxxf xx+=⎛⎫-⎪⎝⎭[],ππ-x=2π-2π()y f x=[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-()()dxF x f t t=⎰3(3)(2)4F F=--5(3)(2)4F F=3(3)(2)4F F=5(3)(2)4F F=--()f x0x=()limxf xx→(0)0f=()()limxf x f xx→+-(0)0f=()limxf xx→(0)0f'=()()limxf x f xx→--(0)0f'=()1ln1e xyx=++()f x(0,)+∞()0f x''>()nu f n=12u u>{}n u12u u>{}n u12u u<{}n u12u u<{}n u(,)f x y()0,0()[](,)0,0lim(,)(0,0)0x yf x y f→-=00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim0x yf x f f y fx y→→--==且（C ）.（D ）.（8）设函数连续，则二次积分等于（A ） （B ） （C ）（D ）（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则(A)(B)(C) .(D) . [ ]（10）设矩阵，则与(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） __________. （12）曲线上对应于的点处的法线斜率为_________.（13）设函数，则________.（14） 二阶常系数非齐次微分方程的通解为________.（15） 设是二元可微函数，，则 __________.（16）设矩阵，则的秩为 .三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17） (本题满分10分)设是区间上单调、可导的函数，且满足，其中是的反函数，求.((,)0,0lim 0x y →=00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-=-=⎣⎦⎣⎦且(,)f x y 1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰10arcsin d (,)d y y f x y x ππ+⎰⎰10arcsin d (,)d y y f x y x ππ-⎰⎰1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰123,,ααα122331,,αααααα---122331,,αααααα+++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B 30arctan sin limx x xx→-=2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩4t π=123y x =+()(0)n y =2432e xy y y '''-+=y =(,)f u v ,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭z zx y x y ∂∂-=∂∂01000010********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A ()f x 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()100cos sin ()d d sin cos f x x t t f t t t t t t --=+⎰⎰1f -f ()f x（18）（本题满分11分） 设是位于曲线下方、轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（Ⅰ）当为何值时，最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程满足初始条件的特解.（20）（本题满分11分）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求.（21） (本题满分11分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在，使得.D 2(1,0)xay a x -=>≤<+∞x D x ()V a a ()V a 2()y x y y ''''+=(1)(1)1y y '==()f u (0)1f '=()y y x =1e1y y x --=()ln sin z f y x =-2002d d ,d d x x z z xx ==(),()f x g x [],a b (,)a b ()(),()()f a g a f b g b ==(,)a b ξ∈()()f g ξξ''''=（22） (本题满分11分) 设二元函数，计算二重积分，其中.（23） (本题满分11分)设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.（24） (本题满分11分)设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵.（I ）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵.2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤D (,)d f x y σ⎰⎰(){},||||2D x y x y =+≤123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩12321x x x a ++=-a A 1231,2,2λλλ===-T1(1,1,1)α=-A 1λ534B A A E =-+E 1αB B B2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设，则的零点个数为（ ）0 1. 2 3（2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（ ）曲边梯形ABOD 面积.梯形ABOD 面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ）（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. 若收敛，则收敛.若单调，则收敛.（6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ）不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆.可逆，不可逆.2()(1)(2)f x x x x =--'()f x ()A ()B ()C ()D ()y f x =[0,]a 0()ataf x dx ⎰()A ()B ()C ACD ()D ACD 123cos 2sin 2xy C e C x C x =++123,,C C C ()A ''''''440y y y y +--=()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=()f x (,)-∞+∞{}n x ()A {}n x {}()n f x ()B {}n x {}()n f x ()C {}()n f x {}n x ()D {}()n f x {}n x f 2222(,)uvD F u v dxdy x y =+⎰⎰uv D Fu∂=∂()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u uA n E n 30A =()A E A -E A +()B E A -E A +()C E A -E A +()D E A -E A +（8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ） ....二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数连续，且，则.（10）微分方程的通解是.（11）曲线在点处的切线方程为. （12）曲线的拐点坐标为______. （13）设，则.（14）设3阶矩阵的特征值为.若行列式，则.三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限.(16)（本题满分10分）设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求.1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭A ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭()f x 21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-(0)____f =2()0xy x e dx xdy -+-=____y =()()sin ln xy y x x +-=()0,1 23(5)y x x =-xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭(1,2)____z x ∂=∂A 2,3,λ248A =-___λ=()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦()y y x =20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰()x t 0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩22y x ∂∂(17)（本题满分9分）求积分 .(18)（本题满分11分）求二重积分其中(19)（本题满分11分）设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.(20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得(2)若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点1⎰max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤()f x [)0,+∞(0)1f =[)0,t ∈+∞0,x x t ==()y f x =x x ()f x ()f x [,]a b [,]a b η∈()()()baf x dx f b a η=-⎰()x ϕ32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数在约束条件和下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，（1）求证；（2）为何值，方程组有唯一解，并求； （3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足， （1）证明线性无关； （2）令，求.222u x y z =++22z x y =+4x y z ++=2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭O O O A AX B =()1,,Tn X x x =L ()1,0,,0B =L ()1nA n a =+a 1x a A 12,ααA 1,1-3α323A ααα=+123,,ααα()123,,P ααα=1P AP -2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数的可去间断点的个数，则（）1. 2. 3.无穷多个.（2）当时，与()()2ln1g x x bx=-是等价无穷小，则（）.. ..（3）设函数的全微分为，则点（）不是的连续点.不是的极值点.是的极大值点. 是的极小值点.（4）设函数连续，则（）. ()B()241,xxdx f x y dy-⎰⎰.()C()2411,ydy f x y dx-⎰⎰.()D.()221,ydy f x y dx⎰⎰（5）若()f x''不变号，且曲线()y f x=在点()1,1上的曲率圆为222x y+=，则()f x在区间()1,2内（）()A有极值点，无零点.()B无极值点，有零点.()C有极值点，有零点.()D无极值点，无零点.（6）设函数()y f x=在区间上的图形为：则函数的图形为（）()3sinx xf xnx-=()A()B()C()Dx→()sinf x x ax=-()A11,6a b==-()B11,6a b==()C11,6a b=-=-()D11,6a b=-=(),z f x y=dz xdx ydy=+()0,0()A(),f x y()B(),f x y()C(),f x y()D(),f x y(),f x y()()222411,,yx ydx f x y dy dy f x y dx-+=⎰⎰⎰⎰()A()2411,xdx f x y dy-⎰⎰[]1,3-()()xF x f t dt=⎰1-223-1O....（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。