一元二次方程的应用(增长率问题)
一元二次方程的应用(平均增长率问题)
➢4.解:解所列的方程; ➢5.验:是否是所列方程的根;是否符合题 意; ➢6.答:答案也必需是完善的语句,注明单 位且要贴近生活。
➢列方程解应用题的关键是: ➢读懂题目中的每一句话， ➢理清数量关系，找出等量关系.
例、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000 吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月 增长的百分率是多少?
…… 第n次增长后的量是a(1+x)n=b 2、反之，假设增为长两率次公降式低.，则
两次平均降低率公式为 a(1-x)2=b
总结:
假设平均增长(或降低)百分率为x, 增长(或降低)前的是a, 增长(或降低)n 次后的量是b, 则平均增长〔降低〕 公式可表示为：
a(1x)n b
其中 增长取+ ,降低取－
依据什么来列等量关系
合作沟通
1.所列的等量关系为：
今年的使用率×〔1+年平均增长率〕2 ＝后年的 使用率
2.所列的等量关系为：
原价×〔1－年平均降价的百分率〕2＝现价
总结: 1.两次平均增长后的量=原来的量●(1+增 长率)2 假设原来为a,平均增长率是x,增长后的量为 b
则 第1次增长后的量是a(1+x) =b 第2次增长后的量是a(1+x)2=b
探究：随着人民生活水平的不断
提高，我市家庭轿车的拥有量逐 年增加。据统计，某小区2023年 〔 元底 家再2〕拥 庭建为筑有 轿了假家车缓设解庭的干停个轿 拥车停冲车 有车突量6位，4。达辆该据小1，测0区算20打，0辆算2建。3投筑年资费1底用5万分 别 考〔为 虑1室 到〕内 实假车际位因设素50该，00小打元算/区个露，2天露0车2天位3车年的位数底1量0到0不0元少/个于，室 内2车02位3的年2倍底，家但庭不超轿过车室内拥车有位量的2年.5倍的，年求该 小 能平区 的均最 方多 案增可。长建率两种都车一位样各多，少求个？该试小写区出全到部可 2023年底家庭轿车将到达多少辆？
一元二次方程的应用(增长率问题)
一.复习填空:
1、某工厂一月份生产零件1000个，二月份
生产零件1200个，那么二月份比一月份增
产 200 个？增长率是多少
。
20%
增长量=原产量×增长率
2.康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第二 个月增产了50%,则:第二个月比第一个月增加
5了000×__5_0%______台,第二个月生产5了00_0_(_1_+_5_0_%__)_ 台;
用 直接开平方法
练习 李立购买了1500元的债券,定期1年,到期兑换后他用去 了435元,然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年(利率不
变),再到期后他兑换得到1308元.求这种债券的年利率.
分析：设年利率为x.则第1年后的利息为 1500x元 1年后本息和为 1500(1+x) 元
第2次债券的钱数为 1500(1+x)-43元5 第2次期满后本息和为 [1500(1+x)-435]元(1+x)
解:设 2010～2012年该养殖场产值的年平均增 长率为x，依题意得
500(1+x)2 =605 解得， x1=0.1 x2=-2.1 经检验，x2=-2.1 不合题意,应舍去，故 x=0.1 答:2010～2012年该养殖场产值的年平均增长率 为10%.
例2、原来每盒27元的一种药品，经两次降价后 每盒售价为9元，求该药品每次降价的平均降价 率是多少？（精确到1％）
3.某试验田去年亩产1000斤，今年比去年增产
10%，则今年亩产为___________斤,计划明年
再增产10%，则明年的产量为
斤。
4.某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长率都
4.7.3一元二次方程应用题(增长率问题)
例4 某种药剂原售价为每盒4元, 经过两次降价 后每盒售价为2.56元, 求该药品平均每次的降价率？
变式练习： 2.某种药品经过两次降价后，每盒售价为原售价 的64%，求该药品平均每次的降价率.
四、归纳总结：
列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系? 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.
3.某市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销 售．由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房 者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转．对 价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均 价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住 房．开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打 9.8折销售；②不打折．一次性送装修费每平方米80 元，试问哪种方案更优惠？
六、反馈评价
2．为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某中学2015年投资11万元新 增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2017年投资18．59 万元．设该校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意列方程为 ____________________. 3.某种品牌汽车的售价为每辆10万元，使用两年后其价值为7．225万元．求 该汽车这两年的年平均折旧率. 4.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.5万册.求这两 年的年平均增长率？
总结：若基数为a，增长(或下降)率为x,n为增长(或下降) 次数，A为变化后结果，其基本关系式是：
三、典例解析 例3 某养殖场2010年的产值是500万元,2012年的产值 是605万元, 求2010-2012年该厂产值的平均增长率？
第二十一章 第12课 一元二次方程的应用(3)(增长率问题)
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，由题意，得 1＋x＋x(1＋x)＝64， 解得：x＝7 或 x＝－9(舍去)，∴x＝7. 答：每轮传染中平均一个人传染了 7 个人； (2)把 x＝7 代入，得 64x＝64×7＝448(人) 答：如果不及时控制，第三轮又将有 448 人被传染．
11．某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数 目的小分支，主干、分支、小分支的总数为 241，要求每个分支长 出多少个小分支．若设主干有 x 个分支，依题意列方程正确的是 ( B)
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主讲老师:
第二十一章 一元二次方程
第12课 一元二次方程的应用(3)(增长率问题)
1．某药品两年前的价格为 200 元，现在价格为 128 元，求该 药品价格年平均下降率．
解：设该药品价格年平均下降率为 x. 200(1－x)2＝128 解得：x1＝0.2，x2＝1.8 (舍去) 答：该药品价格年平均下降率为 20%.
2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是 否突破 600 人？
解：(1) 设平均一个人传染了 x 人 则 1×(1＋x)2＝64 解得；x1＝7，x2＝－9 (舍去) 答：平均一个人传染了 7 人．
谢谢！
5．某厂一月份生产某机器 100 台，计划二、三月份共生产 280 台．设二、三月份每月的平均增长率为 x，根据题意列出的 方程是_1_0_0_(_1_＋__x)_＋__1_0_0_(_1_＋__x_)2_＝__2_8_0____.
6．某种植物的主干长出若干个枝干，每个枝干又长出同样数 目的小分支，主干、枝干、小分支的总数目为 13，设主干 长出 x 个枝干，则列方程为_1_＋__x_＋__x_2_＝__1_3______.
一元二次方程的应用：增长率问题1
1、使学生学会用列一元二次方程的方法解决 有关增长率问题。
2、进一步培养学生转化实际问题为数学问题 的能力和分析问题、解决问题的能力。 3、通过增长率问题的学习，能抓住问题关键， 揭示它的规律性，展示解题简洁性的数学美。
请你评一评
小星的妈妈卖服装，某天妈妈用每 件10元的价格进了一批服装，第二天以 每件20元的价格标价，小星心里想： “妈妈若卖完这批服装，那么财富增加 了100%呢！”你认为有道理吗？你能写 出增长率公式吗？
20 10 100 % 100 % 10 实际数 基数 ×100% 增长率= 基数
实际数=基数（1+增长率）
a(1-x)n=b
某商场二月份的销售额为100万元，三月份的 销售额下降了20%，商场从四月份起改进经营 措施，销售额稳步增长，五月份销售额达到 135.2万元，求四、五两个月的平均增长率。
解：设四、五两个月的平均增长率为x, 根据题意，得：
100 (1 20%)(1 x) 135 .2 2 1 x 1.3 (1 x) 1.69
探究
2001年 180
2002 年 180(1+x)
2003年 2 180 (1 x)
解:设这两年的平均增长率为x, 2 依题有 180 (1 x)
解得:X1=30% X2=－2.3 (舍去)
304 .2
答:2001到2003年的投入资金的平均增长率为30%
发现总结: 在上题中你会发现:
a(1 x) b
n
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般用 直接开平方法 （3）增长率>0； 0<降低率<1
勤能补拙，熟能生巧
列一元二次方程解应用题——增长率问题
17.4（2）一元二次方程的应用——应用题2班级姓名学号一、探究新知例4：某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元.如果每月产值的增长率相同，求这个增长率.例5：某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．二、应用新知1. 某企业研制的产品今年第一季度的销售数量为300件，第二季度由于市场等因素，销售数量比第一季度减少了4%，从第三季度起，该企业搞了一系列的促销活动，销售数量又有所提升，第四季度的销售量达到了450件，假设第三季度与第四季度销售数量的增长率相同，求这个增长率．2.某企业10月份的营业额为50万元，第四季度的营业额为182万元，若设后两个月平均营业额的增长率为x ，则由题意可得方程为 .3.股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是 .4.某商场将原来每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？三、巩固练习1.某旅游公司2012年三月份共接待游客16万人次，2012年五月份共接待游客81万人次．设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．216(1)81x +=B ．216(1)81x -=C ．281(1)16x +=D ．281(1)16x -=2. 某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x ，根据题意，可列出方程为（ ）A ．250(1)60x +=B ．250(1)120x +=C ．25050(1)50(1)120x x ++++=D ．250(1)50(1)120x x +++= 3. 祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪x 名学生，根据题意，列出方程4.某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m 的代数式表示）．5. 某商品的利润为每件10元时，能卖500件，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚8000元利润，设涨价为x 元，应列方程为 .6. 某工厂因为改进了生产工艺所以利润逐月提高．据统计，2017年第一季度的利润为2000万元，第三季度的利润为2880万元．（1）求该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率；（2）若第四季度保持前两季度利润的平均增长率不变，该企业2017年的年利润总和能否突破1亿元？7.某商厦4月份的营业额为40万元，第二季度的营业额为192万元，若设后两个月平均营业额的增长率为x，则由题意可得方程为.8.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？9.随着中国特色的社会主义“新时代”的到来，小轿车已进入普通人民群众的生活．一辆小轿车新购置时价值是18万元，若第一年后使用折旧20%，以后其折旧率有所变化，现知第三年这辆轿车折旧后值11.664万元，求这辆轿车在第二、三年中的平均年折旧率．10.为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某中学2016年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2018年底共投资31.79万元．求该学校为新增电脑投资的年平均增长率．。
《一元二次方程的应用——增长率问题》教学设计
《一元二次方程的应用——增长率问题》教学设计《一元二次方程的应用——增长率问题》教学设计清水五中董小武教学目标：1、使学生学会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题。
2、进一步培养学生转化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力。
3、通过增长率问题的学习能抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题简洁性的数学美。
教学准备：教学课件、学案教学重点：使学生学会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题。
教学难点：提高学生转化实际问题为数学问题的能力以及分析问题、解决问题的能力。
教学过程：一、出示课题：《一元二次方程的应用——增长率问题》二、出示学习目标：1、使学生学会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题。
2、进一步培养学生转化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力。
3、通过增长率问题的学习能抓住问题的关键，揭示它的规律性，展示解题简洁性的数学美。
（请学生读一遍）三、（根据以前学过的知识解决下面的问题）请你评一评：小星的妈妈卖玩具，某天妈妈用每件10元的价格进了一批玩具，第二天以每件20元的价格标价，小星心里想：“妈妈若卖完这批玩具，那么财富增加了100%呢！”你认为有道理吗？你能写出增长率公式吗？[请同学们想一想，写出你的答案。
然后请同学回答，老师点评，并把增长率公式变形为：实际数=基数（1+增长率）]四、根据变形后的增长率公式做出下面的问题（在微机上解答，看谁答的又快又好）小星的妈妈又以每件20元的价格进了另一批玩具，决定在进价的基础上以增长50%的价格定价，让小星帮忙算一算该标价多少？你能帮小星算一算吗？五、[我们已经知道了增长率公式，请根据这个公式解决下面的问题，在微机上解答，答完后看看与实际情况是不是相符]一件商品10元，增长率是0，则这件商品的价格是多少？增长率是-0.3呢？若降低率是1呢？降低率是1.2呢？若降低率是-0.2呢？[讨论所得结果，发现结论：增长率>0 0<降低率<1]设计理念：通过以上几个简单的增长率问题的解答，让同学们掌握增长率基本公式，并知道增长率>0 ，0<降低率<1为以后的学习打好基础。
一元二次方程的应用——增长率问题
小结：①若某种商品现在的产量为 a，设每年增长率都是x，则2年后 2 a(1+x) 的产量为__________. ②若某种商品现在的产量为a，设 每年下降率都是x，则2年后的产量 2 a(1-x) 为_____________. 总结公式：
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明 两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在 实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
1、平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
2
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法
解：设2002年,2003年 两年绿地面积的年平 3.美化城市，改善人们的居住环境已 均增长率为x，根据题 成为城市建设的一项重要内容。某城 意，得 市近几年来通过拆迁旧房，植草，栽 60 (1＋x)2＝72.6 ． 树，修公园等措施，使城区绿地面积 (1＋x)2=1.21． 不断增加（如图所示）。（1）根据 ∴1＋x=±1.1． 图中所提供的信息回答下列问题： 2001年底的绿地面积为 60 公顷，∴ x1 = 0.1=10%, 比2000年底增加了 公顷；在 x2 =－2.1(不合题意,舍 4 去) 1999年，2000年，2001年这三年中， 答： 2002年,2003年 绿地面积增加最多的是 1998 1999 2000 2001 2000 ____________ 年； 两年绿地面积的年平 （2）为满足城市发展的需要，计划 均增长率为10%．
一元二次方程实际问题1(增长率)
在这个部分，我们来学习一元二次方程的实际应用。这个问题涉及到增长率， 让我们一起来探索吧！
什么是一元二次方程？
一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，可以写成 Ax²+ Bx + C = 0 的形式。
一元二次方程的一般形式是什 么？
一元二次方程的一般形式是 Ax²+ Bx + C = 0，其中 A、B、C 是已知的常数， x 是未知数。
例题3的解法演示
让我们一起来解答实际问题3的例题，并演示如何求解一元二次函数的最大值和最小值。
例题3答案的意义是什么？
例题3的答案可以告诉我们一元二次函数在什么自变量取值下达到最大值和最 小值，帮助我们理解函数的特性。
如何求解一元二次函数的极值？
可以通过求导数和解方程来求解一元二次函数的极值。
实际问题3的例题介绍
我们将通过一个真实的例题来演示如何求解一元二次函数的最大值和最小值。
实际问题3的解题思路
1. 确定已知信息和未知数。 2. 列出一元二次函数。 3. 求导数并解方程得到未知数的值。 4. 计算最大值和最小值。
什么是实际问题？
实际问题是指与现实生活相关的问题，需要用数学方法来解决。
为什么需要将实际问题转化成一元二次 方程？
将实际问题转化成一元二次方程可以使问题更加具体化，便于用数学工具来求解。
实际问题1：增长率是什么？
增长率是指某个变量随时间变化的速度，可以用百分比或小数表示。
如何计算增长率？
增长率可以通过计算某一时间段内变量的变化量与初始值的比值来得到。
例题1的答案可以告诉我们在给定条件下的增长率，帮助我们理解实际问题的变化趋势。
实际问题1的注意点
一元二次方程的应用(增长率问题)
1.完成课本43页 3、4 45页 7、8 46页 15
2、同步顶尖
第二十二章 一元二次方程
22.3 实践与探索 第2课时 增长率问题
我们总共学了几种方程？
一元一次方程 二元一次方程组
分式方程
一元二次方程
概念
解法
应用
回忆列方程解应用题的一般步骤？
第一步：审（弄清题意和题目中的已知数、未知数及等量关系） 第二步：设（设合理的未知数） 第三步：列（根据等量关系列出方程） 第四步：解（解这个方程，求出未知数的值） 第五步：验（检验根是否符合方程、符合题意） 第六步：答（按题目问题要求写出答案）
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意得：400×(1－x)2＝324， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去) (2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二 次降价后售出该种商品(100－m)件，第一次降 价 后 的 单 件 利 润 为 ： 400 × (1 － 10%) － 300 ＝ 60(元/件)；第二次降价后的单件利润为：324－ 300＝24(元/件)．依题意得：60m＋24×(100－ m)＝36m＋2400≥3210，解得m≥22.5，为使两次 降价销售的总利润不少于
x 解：设平均年增长率应为 ，依题意，得
(1 x)2 2
1 x 2
x1 2 1 ，x2 2 1
x1 0.414 41.4% , x1 3.414
因为增长率不能为负数
所以增长率应为 41.4%
答：这两年中财政净1、如果调整计划，两年后的产值为原产值的 1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长 率分别应调整为多少？
一元二次方程的应用(增长率问题经典版).ppt
6. 某试验田去年亩产 1000 斤，今年比去年增产 10% ，则今年亩产 为 ___________ 斤 , 计 划 明 年 再 增 产 10% ， 则 明 年 的 产 量 为
斤。
月分产钢____一月份产钢 50吨，二、三月份的增长率都是 50(1+x)2
小结 类似地 这种增长率的问题在实际
生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长 (或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是A,则它们的数量关系可表示为
a ( 1 x ) A
n
其中增长取+,降低取－
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产
量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B A.500(1+2x)=720 C.500(1+x2)=720 B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500 )
3.某产品，原来每件的成本价是500元，若 每件售价625元，则每件利润是 每件利润 125.元 率是 . 25% 利润=成本价×利润率
4.康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第 二个月增产了50%,则:第二个月比第一个月 增加了 _______ 台,第二个月生产了 ______ 5000(1+50% 5000 ×50% 5. 康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第 二个月增产到150%,则:第二个月生产了 ________ 台;第二个月比第一个月增加了 5000×150% 50% ___________ 台, 增长率是________; 5000 (150% - 1)
3、某商场二月份的销售额为 100万元，三月份
有一人患了流感 , 经过两轮传染后 通过对这个问题的 共有121人患了流感 ,每轮传染中平均一 探究 ,你对类似的传播 个人传染了几个人 ? 问题中的数量关系有
列一元二次方程解应用题增长率问题
配方法
将一元二次方程化为完全平方 形式，然后开方求解x的值。
迭代法
通过不断迭代逼近方程的解。
Part
03
一元二次方程在增长率问题中 的应用
简单增长率问题
STEP 01
定义
STEP 02
公式
简单增长率问题是指某一数量 在两个连续的时间段内，按照 相同的增长率增加或减少。
STEP 03
应用
在投资、人口增长、生产 等场景中经常出现。
平均增长率问题
01
02
03
定义
平均增长率问题是指某一 数量在一段时间内，按照 平均增长率增加或减少。
公式
假设初始数量为 P，平均 增长率为 r，经过 t 时间 后，数量变为 Q，则 Q = P(1 + r/2)^2t。
应用
在统计学、经济分析、市 场研究等场景中经常出现。
Part
04
实例解析
人口增长问题
假设初始数量为 P，增长率为 r， 经过 t 时间后，数量变为 Q， 则 Q = P(1 + r)^t。
复合增长率问题
ห้องสมุดไป่ตู้
定义
复合增长率问题是指某一数量在多个 时间段内，按照不同的增长率增加或 减少。
公式
应用
在金融、经济、市场等场景中经常出 现。
假设初始数量为 P，经过 n 个时间段，每个时 间段的增长率为 r1, r2, ..., rn，则最终数量为 Q = P(1 + r1)(1 + r2)...(1 + rn)。
人口增长问题通常涉及到一元二 次方程的求解，通过建立方程来
描述人口随时间的变化情况。
方程形式通常为 $y(t) = y_0(1 + r)^t$，其中 $y_0$ 是初始人 口，$r$ 是年增长率，$t$ 是时
第12课 一元二次方程的应用(3)(增长率问题)
四、过关检测
第1关
13．某公司2015年盈利1 500万元，到2017年盈利2 160万元，
假设每年盈利的年增长率相同．
(1)求这个增长率；
(2)预计2018年盈利多少万元？
解：(1)设年盈利增长率为x，依题意得1500(1＋x)2＝2160 解这个方程(1＋x)2＝1.44 1＋x＝±1.2 x1＝0.2，x2＝－2.2 (2)2592万元
8. 某商品原价100元，连续两次降价后的价格为64元，
若每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
解：设每次降价的百分率为x， 依题意得 100(1－x)2＝64 解这个方程 (1－x)2＝0.64 1－x＝±0.8 x1＝0.2，x2＝1.8(舍去) 所以每次降价的百分率为20%.
9.(例 3)有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了 流感．问(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)三 轮感染后共有多少人患了流感？
上升，二月份比计划盈利减少20%，从三月份开始，公司采
用新技术，盈利不断上升，四月份盈利达到121万元．
(1)二月份实际盈利___1_0_0___万元；
(2)求二月份到四月份盈利的月平均增长率．
解：(2)设月平均增长率为 x. 依题意得 100(1＋x)2＝121 解这个方程 (1＋x)2＝1.21 1＋x＝±1.1 x1＝0.，x2＝2.1(舍去)，所以月平均增长率为10%.
(2)若第二天、第三天每天拆迁面积比前一天增长的百分率相同，
求这个百分率．
解：(2)设增长的百分率为x，依题意得1000(1＋x)2＝1440 解这个方程 (1＋x)2＝1.44 1＋x=±1.2 x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)，所以增长的百分率为20%.
一元二次方程的应用题
一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题一元二次方程的应用题（1）一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。
解设这两个月的平均增长率是x。
，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）。
答这两个月的平均增长率是10%。
说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n。
对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n。
二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，解这个方程，得a1＝25，a2＝31。
因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去。
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。
答需要进货100件，每件商品应定价25元。
说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点。
三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的`年利率。
（假设不计利息税）解设第一次存款时的年利率为x。
一元二次方程应用题2增长率问题
A(1+X)2=B
（2）某季度数量为B，头一个月数量为A， 求后两个月的增长率X.
A+A(1+X)+A(1+X)2 =B
总结:
1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2 若原来为a,平均增长率是x,则增长后的量为: 第1次增长后的量是a(1+x) 第2次增长后的量是a(1+x)2
2、反之， 若为两次降低，
6.党的 十六大提出全面建设小康社会，加快社 会主义现代化 建设 ，力争国民生产总值到2020 年比2000年翻两翻，在本世纪的头20年（2001— 2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算， 设每个十年的国民生产总值的增长率是Ⅹ 那么 Ⅹ满足方程（ B ）
A （ 1+x)2= 2
B ( 1+x)2= 4
实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
2、某超市一月份的营业额为200万元，第一季度
的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，
则由题意得方程为 ( D )
A.200(1+x)2=1000
B. 200+200×2×x=1000
C.200+200×3x=1000 D. 200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000
减少率问题：
2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几? 解 设平均每次降价率x，
由题意得
4(1-x)2=2.56
3.某公司计划经过两年把某种商品的生产 成本降低19%，那么平均每年需降低百 分之几?
解 设平均每年需降低率为x，由题意得 (1-x)2=1-19%
一元二次方程应用(增长率问题)
2 200 （ 1 a %） 148 D.
小结与反思
1.平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
2
2.我们学了几种类型题？
3.注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法
1. 某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份 由于种种原因，经营不善，销售额下降10%， 以后改进管理，经减员增效，大大激发了全 体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到 4月份销售额猛增到96万元，求三、四月份 平均增长的百分率。(精确到0.1%) 2、某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长 率都是x，则该厂三月分产钢 ______________吨. 第一季度共产钢————————吨
பைடு நூலகம்
增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一 次增长后的值为 a(1+x) ，二次增长后的值为
a(1＋x)2
降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降 低后的值为 a(1－x) ，二次降低后的值为 a(1－x)2 ．
最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降 低次数 的基本关系： M=a(1±x)n n为增长或降低次数 M为最后产量，a为基数，x为平均增长率 或降低率
3.某产品，原来每件的成本价是500元，若 每件售价625元，则每件利润是 125元.每件利 润率是 .25% 利润=成本价×利润率 4.康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第 二个月增产了50%,则:第二个月比第一个月 增加了 _______ 台,第二个月生产了 ______台; 5000(1+50%) 5000 ×50% 5. 康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第 二个月增产到150%,则:第二个月生产了 ________ 台;第二个月比第一个月增加了 5000×150% 50% 5000 (150% - 1) 三 ___________ 台 , 增长率是________;
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教学目标：
1、学会分析代数与方程问题，提高根据题意找等量关系 列一元二次方程的能力。 2、培养抽象、概括、分析和解决问题的能力。
教学重点
列一元二次方程解应用题，寻找等量关系
教学重点
寻找问题中的等量关系
一.复习填空:
1、某工厂一月份生产零件1000个，二月份
生产零件1200个，那么二月份比一月份增
10%，则今年亩产为___________斤,计划明年
再增产10%，则明年的产量为
斤。
4.某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长率都
是x，则二月份产钢多少吨？该厂三月份产钢
多少吨？
50(1+x)2
总结: 1.若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b
则 第1次增长后的量是 a(1+x) =b 第2次增长后的量是a(1+x)2=b
-------------------------------ห้องสมุดไป่ตู้--------( A )
A. 1200(1+x) =1452
B. 1200(1+2x)=1452
C. 1200(1+x%)2=1452
D. 1200(1+x%)=1452
2、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的 营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意得
平均每月的增长率是多少？
解 设二、三两月的平均增长率为x,由题意得 100+100(1+x)+100(1+x)2=331
例6. 一农户原来种植的花生，每公顷产 量为3000kg，出油率为50%（既每100kg花 生可加工出花生油50kg），现在种植新品种
花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1980kg已知花生出油率的增长率是产量增长 率的1/2，求新品种花生的增长率.
…… 第n次增长后的量是a(1+x)n=b 这就是重要的增长率公式. 两次增长后的量=原来的量× (1+增长率)2
即： a(1+x)2=b
2、反之，若为两次降低，下降率为x，则平均降低率
公式为
a(1-x)2=b
例1.某养殖厂2010年的产值为500万元，2012年 的产值为605万元， 求2010～2012年该养殖场产 值的年平均增长率?
解:设年利率为x.则可列方程 [1500(1+x)-435](1+x)=1308 整理得1500x2+2565x-243=0 解得 x=0.09 x= -27/15(舍去) 所以 x=0.09=9% 答:略
1、平均增长（降低）率公式
a(1 x)2 b
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般
解 设平均每年需降低x，由题意得 (1-x)2=1-19%
4.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计 到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年 平均增长率.
解 设这两年的年平均增长率为x,由题意得 5(1+x)2=7.2
5.某公司一月份的营业额为100万元，第一
季度总营业额为331万元，求二、三月份
解:设 2010～2012年该养殖场产值的年平均增 长率为x，依题意得
500(1+x)2 =605 解得， x1=0.1 x2=-2.1 经检验，x2=-2.1 不合题意,应舍去，故 x=0.1 答:2010～2012年该养殖场产值的年平均增长率 为10%.
例2、某药品经两次降价后，每盒售价为原 售价的64℅，求该药品平均每次的降价率。
方程为-------------------------( D )
A. 200(1+x)2=1000
B. 200+200×2×x=1000
C.200+200×3×x=1000 200(1+x)2=1000
D. 200+200(1+x)+
3、某商场二月份的销售额为100万元，三月份 的销售额下降了20%，商场从四月份起改进经 营措施，销售额稳步增长，五月份销售额达到 135.2万元，求四、五两个月的平均增长率。
1000元,问该厂的电视机每台原价
应为( ) B
A 0.92×1000元
B 1000元
0.92
C 1000元 1.12
D 1.12×1000元
2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几?
解 设平均每次降价x，由题意得 4(1-x)2=2.56
3.某公司计划经过两年把某种商品的生 产成本降低19%，那么平均每年需降 低百分之几?
用 直接开平方法
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明
两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在
实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
再试一试：
1、某农场粮食产量是：2003年1200万千克，2004年为1452 万千克。如果平均每年的增长率为x，则可得方程
练习 李立购买了1500元的债券,定期1年,到期兑换后他用去 了435元,然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年(利率不
变),再到期后他兑换得到1308元.求这种债券的年利率.
分析：设年利率为x.则第1年后的利息为 1500x元 1年后本息和为 1500(1+x) 元
第2次债券的钱数为 1500(1+x)-43元5 第2次期满后本息和为 [1500(1+x)-435]元(1+x)
解：设四、五两个月的平均增长率为x,
根据题意，得：
100 (1 20%)(1 x)2 135 .2 (1 x)2 1.69 1 x 1.3
整x1 理 0得.3 30% x2 2.3 0不合题意， 舍去。
1. 新兴电视机厂由于改进技
术，降低成本,电视机售价连续两
次降价10﹪,降价后每台售价为
产 200 个？增长率是多少
。
20%
增长量=原产量×增长率
2.康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第二 个月增产了50%,则:第二个月比第一个月增加
5了000×__5_0%______台,第二个月生产5了00_0_(_1_+_5_0_%__)_ 台;
3.某试验田去年亩产1000斤，今年比去年增产
解：设该药品平均每次的降价率为x，由题意得 （1-x）2= 64℅
解这个方程得，x1=0.2，x2=1.8 经检验， x2=1.8不符合题意，应舍去，
故，x =0.2
答：该药品平均每次的降价率为0.2，即20℅
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产
量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B )