第八章多元函数微分学自测题答案

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（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案

1第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的条件。

条件。

2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。

7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

的偏导数。

10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。

(完整版)多元函数微分学测试题及答案

第8章测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0）是（）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。

大学高数第八章多元函数微分学习题解课后参考答案及知识总结

第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。

思路：应用有理化方法去根号。

第八章多元函数微分自测题及答案

第八章多元函数微分学自测题及解答一、选择题1．若函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处不连续，则( C )（A ）) ,(lim y x f y y x x→→必不存在；（B ）) ,( y x f 必不存在；（C ）) ,(y x f 在点) ,( y x 必不可微；（D ）) ,( y x f x 、) ,( y x f y 必不存在。

2．考虑二元函数) ,(y x f 的下面4 条性质： ①函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处连续；②函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处两个偏导数连续； ③函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处可微；④函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处两个偏导数存在。

则下面结论正确的是（ A ）（A ）②⇒③⇒①；（B ）③⇒②⇒①；（C ）③⇒④⇒①； D ）③⇒①⇒④。

3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0 0 ,),(2222242y x y x y x yx y x f ，则在)0 ,0(点处（ C ）（A ）连续，偏导数存在；（B ）连续，偏导数不存在；（C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在。

解：取2x y =，∵0)0,0(21lim),(lim 4440002=≠=+=→→=→f x x xy x f x x y x ,∴)0,0(f 在)0 ,0(点处不连续，而0)0,0()0,0(==y x f f 。

故应选（C ） 4．设z y x u =，则=∂∂)2,2,3(yu （ C ）（A ）3ln 4；（B ）3ln 8；（C ）3ln 324；（D ）3ln 162。

5．若函数),(y x f 在区域D 内具有二阶偏导数：22x f ∂∂，22y f ∂∂，y x f ∂∂∂2，xy f∂∂∂2，则（ D ）（A ）必有xy f y x f ∂∂∂=∂∂∂22；（B ）),(y x f 在D 内必连续；（C ）),(y x f 在D 内必可微；（D ）以上结论都不对。

(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。

《高等数学》多元函数微分学部分练习题答案

八、多元函数的微积分：（一）求下列函数的偏导数：（1）33xy y x z -=解:233zx y y x ∂=-∂， 323z x xy y ∂=-∂．（2）)ln(xy z =解：()12ln()z xy =，()1211ln()()2z xy y x xy -∂==∂ ()1211ln()()2z xy x y xy -∂==∂.（3）2arcsin()cos ()z xy xy =+,2arcsin()cos ()z xy xy =+；2cos()[sin()]sin(2)z y xy xy x y xy x ∂=+-=-∂,2cos()[sin()]sin(2)z x xy xy x x xy y ∂=+-=-∂.（4）yxy z )1(+=解：关于x 是幂函数故：121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+=+∂，关于y 是幂指函数，将其写成指数函数ln(1)y xy z e+=，故：ln(1)1[ln(1)](1)(ln(1))11y xy y z xy e xy y x xy xy y xy xy+∂=++=+++∂++ 解II: 两边取对数得ln ln(1)z y xy =+，因此11z y y z x xy ∂=∂+ , 1l n (1)1z xxy y z y xy ∂=++∂+, 即21(1)y zy xy x-∂=+∂， 1(1)ln(1)(1)y y z xy xy xy xy y -∂=++++∂. （二）求下列函数的全微分：（1） xz x yy=+ , 因为1z y x y ∂=+∂,2z x x y y ∂=-∂.所以21()d ()d z z xdz dx dy y x x y x y y y ∂∂=+=++-∂∂ . （2）2x yz e -=,因为2x y ze x -∂=∂,22x y z e y -∂=-∂.所以2(d 2d )x y z zdz dx dy e x y x y-∂∂=+=-∂∂. （3）z =因为()()()()13322222222232221[]()22z xyy x y y x y x xy x y x x xy---∂∂-=+=-+⋅=-+=∂∂+，()23222z x yxy∂==∂+所以()()233222222)z zxyx dz dx dy dx dy xdy ydx x yxyxy∂∂-=+=+=-∂∂++（4）yzu x = 因为11()yz yz u yz x yzx x --∂==∂,ln ln yz yz u x x z zx x y ∂=⋅=∂,ln ln yz yz u x x y yx x z ∂=⋅=∂ 所以u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂=1ln ln )yz yz yz yzx dx yx xdy yx xdz -++ (ln ln )yz yzx dx y xdy y xdz x=++（三）求下列函数的偏导数和微分：（1）设2ln ,,32,x z u v u v x y y ===-，求,z z x y∂∂∂∂. 解：212ln 3z f u f v u u v x u x v x y v ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂()()22223ln 3232x x x y y x y y =-+-， z f u f v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222ln ()(2)x u u v y v =⋅-+⋅-()()223222ln 3232x x x y y x y y=---- （2）设32 ,sin ,t y t x e z y x ===-，求dz ；3222sin 22cos (2)(3)(cos 6)x y x y t t dz z dx z dye t e t e t t dt x dt y dt---∂∂=+=+-=-∂∂ dz 3sin 22(cos 6)d t t e t t t -=-.（四）设下列方程所确定的函数为()y f x =,求dxdy.(1)ln 0xy y -=解: 设(,)ln .F x y xy y =- 则,x F y = 1y F x y=-, x yF dydx F =-1yx y=--21y xy =--21y xy =-.(2) 0sin 2=-+xy e y x解I ：设2(,)sin .xF x y y e xy =+-则2,xx F e xy =- cos 2y F y xy =-,2d d cos 2xx y F y y e x F y xy-=-=-.解II ：22cos d d d 2d 0(cos 2)d ()d x xy y e x y x xy y y xy y y e x +--=⇒-=-2d d cos 2xy y e x y xy-⇒=-.(3) ln ln 0xy x y ++= 解: 设(,)ln ln .F x y xy x y =++ 则1,x F y x=+1y F x y =+,x y F dy dx F =-11y x x y+=-+(1)(1)y xy x xy +=-+y x =-.（五）对下列隐函数, 求x z ∂∂,y z ∂∂,xy∂∂及dz .(1)20x y z ++-解:设(,,)2F x y z x y z =++-则1x F =21y z F F =-=,x z F z x F ∂=-====∂y zF z y F ∂=-====∂y xF x y F ∂=-====∂.dz =+解II ：（隐函数法）两边关于x求导：10z x ∂+=∂，得xyxyz xyzyz x z --=∂∂两边关于y求导：20z y ∂+=∂得xyxyz xyzxz y z --=∂∂2两边关于y求导：20x y ∂+=∂得x y ∂=∂.dz =+解III:令(),,2F x y z x y z =++-则1x F =，2y F =1z F =故1x z F zx F ∂=-==∂-，1y z F z y F ∂=-==∂1y x F xy F ∂=-===∂.dz =+(2) 0ze xyz -=解: 设(,,).zF x y z e xyz =-则,x F yz =- ,z y z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- ,y z z F z xz y F e xy ∂=-=∂-.Fx x yF yy x∂∂∂=-=-∂∂∂ .z z yz xz dz dx dy e xy e xy=+--(3)yz z x ln = (3) 设),(y x z z =是由方程y zz x ln =所确定的隐函数，求x z ∂∂和yz ∂∂. 解I ：用隐函数求导公式(),,ln ln x F x y z z y z=-+，,1z x F =∂∂∴,1y y F =∂∂z z x z F 12--=∂∂ ,112z x z z z x z x z +=---=∂∂∴)(1122z x y z zz x yy z +=---=∂∂,11Fx z y yF yy xz∂∂∂=-=-=-∂∂∂. 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解II ：将z 看作y x ,的函数，两边对x 求导，得：xz z z x zxz ∂∂=∂∂-12 即zx zx z +=∂∂，同理两边对y 求导得)(2z x y z y z +=∂∂ 将x 看作,y z 的函数，两边对y 求导，得：1xyz y∂∂=-即.x z y y∂=-∂ 2.()z z dz dx dy x z y x z =+++解III ：将方程两边求全微分，得：y dyz dz z xdz zdx -=-2，解出dz 得：()dy z x y z dx x z z dz +++=2 zx zx z +=∂∂∴，)(2z x y z y z +=∂∂, 将方程两边求全微分，得：y dy z dz z xdz zdx -=-2，解出dx 得：z x z dx dy dz y z +=-+ .x z y y∂∴=-∂ （六）1、设333,z xyz a -= 求2zx y∂∂∂.解I : 设33(,,)3,.F x y z z xyz a =--则3,x F yz =- 23,33y z F xz F z xy =-=-,2,x z F z yz x F z xy ∂=-=∂- 2.y z F z xzy F z xy∂=-=∂- 2222()()(2)()()z zz yz xy yz z x z z y yx y y x z xy ∂∂+---∂∂∂∂∂==∂∂∂∂- 22222()()(2)()xz xzz y z xy yz z x z xy z xyz xy +-----=-22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y z z xy z xy --+--==--.解II ：利用隐函数求导方程两边同时对x 求导23330,z z zyz xy x x ∂∂--=∂∂20,z zz yz xy x x∂∂--=∂∂ 2,z yz x z xy ∂=∂-同理2,z xzy z xy∂=∂-对方程20,z zzyz xy x x∂∂--=∂∂两边同时再对y 求导 22220,z z z z z z z z z y x xy y x x y y x x y∂∂∂∂∂∂+----=∂∂∂∂∂∂∂∂ 22()2z z z z z z xy z x y zx y x y x y ∂∂∂∂∂-=++-∂∂∂∂∂∂22222yz xz yz xzz x y z z xy z xy z xy z xy =++-----33222z 2()z xy xyz z xy z xy +=---522322z 2()z x y xyz z xy --=-, 所以2522323z 2.()z z x y xyz x y z xy ∂--=∂∂-解III ：333,z xyz a -=方程两边同时微分,23d 3(d d d )0z z yz x xz y xy z ---=,2()d d d z xy z yz x xz y -=+, 22d d d .yz xzz x y z xy z xy =+--所以 22,z yz z xz x z xy y z xy∂∂==∂-∂-. 222222222()()(2)()()(2)()()z z xz xz z y z xy yz z x z y z xy yz z x z y y z xy z xyx y z xy z xy ∂∂+---+---∂∂∂--==∂∂--22223[()]()[(2()]()z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xy -+----=- 322253222323()()2()()z z xy yz xz x y z xyz x y zz xy z xy --+--==--.2、设0ze xyz -=, 求22zx ∂∂.解: 设(,,).z F x y z e xyz =-则,x F yz =- ,zy z F xz F e xy =-=-,,x z z F z yz x F e xy ∂=-=∂- .y z z F z xzy F e xy∂=-=∂- 2222()()()()()()z z z z z z z z ze xy z e y e ze xy zyz z x x x y y x x x e xy e xy ∂∂∂-----+∂∂∂∂∂∂===∂∂∂-- 2()()z z z z yze ze xy zye xyy e xy --+-=-3()()()z z z z e ze xy yz zy e xy y e xy --+-=-22322()z z z yze yz e xy z y e xy --=-2223322.()z z z y ze y z e xy z e xy --=-十二、计算下列二重积分：1.22()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是矩形区域：1,1x y ≤≤; 解: 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是11222211()()Dx y d dx x y dy σ--+=+⎰⎰⎰⎰1231111[]3x y y dx --=+⎰ 1212(2)3x dx -=+⎰31122[]33x x -=+=8.3= 2.22()Dxy x d σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;解: 积分区域可表示为1,:202,y x y D y ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩原式()222102yy dy x y x dx =+-⎰⎰132201211()32yyx y x x dx =+-⎰232019313().2486y y dy =-=⎰ 3.2Dxy d σ⎰⎰其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 解: 积分区域可表示为201,:,x D x y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩21220xx Dxy d dx xy dy σ=⎰⎰⎰⎰21301[]3x x xy dx =⎰ 14701()3x x dx =-⎰1111[].35840=-= 1题图 2题图 3题图11。

多元函数微分学复习习题及答案

欢迎阅读第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限=（ B ）lim x y x yx y →→+00242(A)等于0；(B)不存在； (C)等于；(D)存在且不等于0或121223 0x y →→4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）z f x y =(,)(,)x y 00(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件5、设，则= （ B ）u y x =arctan∂∂ux(A)； (B) ； (C)；(D)x x y 22+-+yx y 22yx y 22+-+x x y 226、设，则（ A ）f x y yx(,)arcsin=f x '(,)21=（A ）；（B ）；（C ）；（D ）-1414-12127、若，则（　C ）)ln(y x z -==∂∂+∂∂yz y x z x 8、设9、若1011（（12f （A ）点是函数的极大值点；（B ）点是函数的极小值点；P 0z P 0z （C ）点非函数的极值点；（D ）条件不够，无法判定。

P 0z 二、填空题1、极限= ??????? 。

答：limsin()x y xy x→→0ππ2、极限=??????? 。

答：limln()x y x y e x y→→++01222ln 23、函数的定义域为 ??????? 。

答：z x y =+ln()x y +≥14、函数的定义域为 ??????? 。

答：，z xy=arcsin -≤≤11x y ≠05、设函数，则= ??????? 。

答：f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22f kx ky (,)k f x y 2⋅(,)678，x xy =ln 91解：(1)要使函数有意义，必须有，即有.z =2210x y --≥221x y +≤故所求函数的定义域为,图形为图3.122{(,)|1}D x y x y =+≤(2)要使函数有意义，必须有.故所有函数的定义域为，ln()z x y =+0x y +>{}(,)|0D x y x y =+>图形为图3.2(3)要使函数有意义，必须有，即且.1ln()z x y =+ln()0x y +≠0x y +>1x y +≠欢迎阅读故该函数的定义域为，图形为图3.3{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，(4)要使函数有意义，必须有.故该函数的定义域为，ln(1)z xy =-10xy ->{(,)|1}D x y xy =>图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42解：x y 34、设解：z 1单y 解：L 利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=，)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x 令，解得唯一驻点（120，80）.⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx又因，得06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A .0105.332>⨯=--B ACe n d欢迎阅读得极大值. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与320)80,120(=L 80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设? 求证? )11(y x e z +-=z yz y x z x 222=∂∂+∂∂2? 3?? ? ? x y F y x -=∂∂y z F z -=∂∂zx F x z -=∂∂所以 ?1)()((-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂∂∂zx y z x y F F F F F F x z z yy x。

第八章多元函数微分学及其应用习题解答

1习题8-11. 求下列函数的定义域： (1)y x z -= ；解：0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2)221)ln(yx xx y z --+-=；解：220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3))0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ；解：222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4)22arccosyx z u +=。

221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y +≠且2. 求下列多元函数的极限:： (1)22y 01)e ln(limyx x y x ++→→；解：y 1ln2x y →→==(2)xy xy y x 42lim0+-→→；解：令t=xy，1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2(3)x xyy x sin lim50→→；解：0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1lim y y x y x y x ++-→→；解：22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+(5)xy y x y x )(lim 220+→→。

解：0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在： (1)y x yx y x -+→→00lim；证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明：因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

高等数学：第八章多元函数微分学自测题答案

高等数学：第八章多元函数微分学自测题答案《高等数学》单元自测题答案第八章多元函数微分学一．填空题1.3ln 3xy y ；2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3131+； 6. 3 ； 7.22； 8.k j i 345++.二．选择题1.B ；2.D ；3. C ；4.D ；5.A ；6.B ；7. B ；8.A .三.解答题1. 解 22222222222211)221(1y x yx y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++=+++=??. 2. 解22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2222111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 222222222222)()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-==. 3. 解设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''--=--=-=??z x z x F F x z zx . 4. 证明 rx z y x x x r =++=??22222, 3222211r x r x r r x r x r -=??-=??, 同理 32221r y r y r -==??, 32221r z r z r -=??, 所以 r r r r rz y x r z r y r x r 233323222222222=-=++-=??+??+??.5. 解 '22'1f xy yf x z -=??, )1(1)1(''22''212'22''12''11'12f x xf xy f x f x xf y f y x z +--++= =''223''11'22'11f xy xyf f x f -+-. 6. 解令=+-==-+=,063,09632'2'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又66''+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy ,在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值;在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值;在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值.7. 解设 14),,(222-++=z y x z y x F , 则=n }2,2,2{},,{'''z y x F F F z y x =,}6,4,2{)3,2,1(=n ,切平面方程为0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x , 即 01432=-++z y x , 法线方程为332211-=-=-z y x . 8. 解设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xyV z =,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令=-==-=,02,022'2'y V x S x V y S y x得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 33304 22V V V Vz =?=.。

第八章(理工)多元函数的微分学

。
4、过曲面 z − e + 2 xy = 3 上点 (1, 2, 0) 处的切平面方程为解析：切点的方向向量为 n = (2 y , 2 x,1 − e ) ⇒ n
z
G
G
(1,2,0)
= (4, 2, 0) = (2,1, 0) ，则有点向式 2( x −1) + ( y − 2) = 0
⇒ 2x + y − 4 = 0
∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w 2 = − − − − = − − − ∂x 2 ∂u 2 ∂x ∂u∂v ∂x ∂u∂v ∂x ∂v 2 ∂x ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w 2 = − − + + = − + + − = − + − ∂y 2 ∂u 2 ∂y ∂u∂v ∂y ∂u∂v ∂y ∂v 2 ∂y ∂u 2 ∂u∂v ∂u∂v ∂v 2 ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w = 1− 2 − + + = 1− 2 − + + = 1− 2 + 2 ∂x∂y ∂u ∂x ∂u∂v ∂x ∂u∂v ∂x ∂v 2 ∂x ∂u ∂u∂v ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v ∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w +2 + = − 2 −2 − + 2(1 − 2 + 2 ） − 2 +2 − ＝− 4 2 + 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂u

第八章多元函数微分法及其应用自测题与答案.doc

第八章多元函数微分法及其应用A组1、填空题1)设/(»)=兀2+),2‘ gky) = /_y2,则f[g(x9y\y2 = ______________________2)设z = x + y + /(x- y),且当y = 0时，z = ，则z= ______________3)ix f(x, y) = x2 - arctan y - y2 arctan —,贝'J^-|(() v) = ____________y dx l4)设z = 1 + x + (1 + x2\p{ax + y),若己知：当x = 0时，z - \n(ey2\则虫= _________5)设z = /(兀,y)，由z5 +xz4 +yz3 = 1 所确定,则f x(0,0)= ___________6)设z = y + ln-,则在点M°(l,l,l)的法线方程为 ___________27)曲血，+2y2 +3# =12上点(1,一2,1)处的切平面方程为__________—> —> —> —>8)设/(x,y,z) =兀+ +必，则f(x,y,z)在(1,0,1)沿方向1 = 2 i-2 j+k的方向导数为_______2、下列函数的定义域并图示、1 11)2 = / — + /Qx + y y]x-y2) z = ln(y - 兀)+arccos3、求下列各极限1)(枫启2) lim匕逅卫(儿沪(O・O)xy3) lim 如(x』)_>(2,()) yv2 + 2Y4、问函数"匕在何处间断.5.求下列函数的偏导数uv2 z = sin(秽)+ cos2(xy)3)z = In tan —y2 2_ x + y6、曲线―4 —在点（2,4,5）处的切线对于x轴的倾角是多少?y = 4■ ■7、设/(x, y) = x + (y- l)arcsin Jy ,求人(兀」)•8、求下列函数的与，与，空dx1 dy2 dxd)^y1)z = arctan —x9、求下列函数的全微分2) u = x yz10、求函数£= / Q 当兀=2, y = l, Ar = 0.01, Ay = 0.03时的全增量和全微分.11、计算』0。

高数第八章多元函数复习题答案

第八章多元函数微分学复习题答案一、单项选择题：1、以下各式中不正确的有（A ）A 、01lim 2222=+++∞→∞→y x y x y xB 、1lim 2210=+→→y x yy x C 、2ln )ln(lim2201=++→→y x e x y y x D 、不存在2200limy x xyy x +→→2、设y ez xcos sin = ，则=∂∂∂），（202πx y z( B )A 、0B 、1－C 、1D 、e3、设函数221ln y x z ++= ，则它在点)1,1(处的全微分=dz ( A )A 、)(31dy dx + B 、dy dx + C 、)(3dy dx + D 、)(2dy dx +4、(,)f x y 在点00(,)x y 处具有连续偏导数是(,)f x y 在点00(,)x y 处可微的（ B ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件5、函数xyxe z =，则=∂∂xz （ D ） A.xy xye B.xye x 2C.xye D.()xye xy +16、函数xy z =在（0，0）处（ D ）A.()0,0不是驻点B.有极小值C. 有极大值D. 无极值..;..;.;.) B (,],[,],[.7无关条件充要条件充分条件必要条件是函数在该点可微的连续在点的偏导数函数D C B A ；y x yzx z y x f z ∂∂∂∂=二、填空题：1、22(,)(2,0)sin lim x y xy y→= 2 ； 2、设2x xyz y e =+，则(1,2)z y∂=∂ 21e + ；3、函数)1ln(912222-++--=y x yx z 的定义域是}91|),{(22<+<y x y x ；4、函数22y x z =在点)1,2(-处当01.0,02.0-=∆=∆y x 时的全微分，=dz 0.16 5、函数2221ln 4yx y x z ---=的连续区域为}4,0,0,1|),{(222yx y x y x y x ≥≠≠<+ ；6、设()y x z z ,=是由方程yzx ln=确定的隐函数，则=∂∂x z z； 7、函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处不连续；（填写“连续”或“不连续”）8、若函数),(y x f z =可微，,2x y =则函数),(2x x f z =的全导数=dxdz''2y x xff +9、函数z =1，1）处的全微分dz =)(31dy dx +10、设)1ln(y xz +=，则=)1,1(dz )(21dy dx - ；11、211lim 0y x x y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 1 ；;.12————————————条件充分条件而不是必要微分存在的各偏导数的存在只是全三、计算题：1、设,24,3,22y x v y x u u z v +=+==求yz x z ∂∂∂∂,。

第八章多元函数微积分

第八章多元函数微积分试题三一、填空题(2⨯10=20分)1. 母线平行于Y 轴，且通过曲线⎩⎨⎧2x 2+y 2+z 2=16x 2-y 2+z 2=0的柱面方程是。

[解析]：方程不含y 时，表示母线平行于Y 轴的柱面。

消去y 2得到3x 2+2z 2=16，为所求的柱面方程2. 设(x,y)≠(0,0)时，f(x,y)=(x 2-y 2)-sin2xyx 2+y 2, 则 f(x+y,x-y)= 。

[解析]：f(x+y,x-y)= ((x+y)2-(x-y)2)-sin 2(x+y)(x-y) (x+y)2+(x-y)2 = 4xy-sin 2(x 2-y 2)(x 2+y 2)3. 设f(x,y)= ⎩⎪⎨⎪⎧xy x 2+y 2 当x 2+y 2≠00 当x 2+y 2=0，则 f x '(0,0)= 。

[解析]： f 'x (x 0,y 0)= lim ∆x →0f(∆x+x 0,y 0)-f(x 0,y 0)∆x , f x '(0,0)= lim ∆x →0f(∆x,0)-f(0,0)∆x = lim ∆x →00-0∆x =0 4. 设z=f[x,g(x,y)], y=φ(x)，f, g, φ 均为可微函数，则dzdx= 。

[解析]：根据复合函数求导数规则，dzdx = f '1 +f '2 (g 'x +g 'y •φ')5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，则∂z ∂x •∂x ∂y •∂y∂z= 。

[解析]：根据隐函数求导数规则，∂z ∂x •∂x ∂y •∂y ∂z = (- F 'x F 'z )•(- F 'y F 'x )•(- F 'zF 'y ) = -16. 设z=f (arctan y x )，f 为可微函数，且f '(x)=x 2, 则 ∂z∂x |(1,1) = 。

多元函数微分学练习题及答案

六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导数,求 2 z . xy
练习题答案
一、1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy

ln x y
xln y
2、u x f 1 y 2 . f ( y x zx ) y f 3 ,z u yx2 f(x z xy y )f3 z
.
3、fx(x,y)(x22xyy32)2,x2
练习题一. 填空:
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx fy 0
则在D上，f（ x,y）（）
2 、二元函数 z ln 4 arcsin 1 的定义域是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8

高等数学题库第08章(多元函数微分学).

- 1 -第八章多元函数微积分习题一一、填空题1. 设f(x,y)=x-3y. ，则f(2,-1)=_______,f(-1,2)=________x2+y2_______. 2. 已知f(x,y)=2x2+y2+1，则f(x,2x)=__________二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.z=3. z=y-x 2. z=-x+-y 4-x2-y24. z=log2xy习题二一、是非题1. 设z=x+lny，则2∂z1=2x+ （）∂xy2. 若函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)均存在，则该函数在P点处一定连续（）3. 函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处一定有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0) （）xy⎧,x2+y2≠0⎪4. 函数f(x,y)=⎨x2+y2在点(0,0)处有fx(0,0)=0及⎪0,x2+y2=0⎩fy(0,0)=0 （）5. 函数z=x2+y2在点(0,0)处连续，但该函数在点(0,0)处的两个偏导数zx(0,0),zy(0,0)均不存在。

（）二、填空题- 2 -1. 设z=lnx∂z∂z，则=___________;∂x∂yy2x=2y=1=___________;2. 设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数fx(a,b)和fy(a,b)均存在，则limh→0f(a+h,b)-f(a,b-2h)=_________.h2xy+sin(xy);x2+ey三、求下列函数的偏导数：1. z=x3y-y3x+1;2. z=3. z=(1+xy)y;4. z=lntanx; y5. u=xy2+yz2+zx2∂2z∂2z∂2z四、求下列函数的2,和：∂x∂y2∂x∂y3241. z=x+3xy+y+2;2. z=xy五、计算下列各题1. 设f(x,y)=e-sinx(x+2y),求fx(0,1),fy(0,1);∂2z2. 设f(x,y)=xln(x+y)，求2∂x六、设z=ln(x+y)，证明：x1313∂2z,2x=1∂yy=2∂2z,x=1∂x∂yy=2.x=1y=2∂z∂z1+y=. ∂x∂y3习题三一、填空题2xy_____. 1．z=xy+e在点(x,y)处的dz=__________ 2．z=xx+y_____. 在点(0,1)处的dz=__________- 3 -3．设z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量为∆z，全微分为dz，则f(x,y)在点(x0,y0) 处的全增量与全微分的关系式是__________________.二、选择题1．在点P处函数f(x,y)的全微分df存在的充分条件为（）A、f的全部二阶偏导数均存在B、f连续C、f的全部一阶偏导数均连续D、f连续且fx,fy均存在2．使得df=∆f的函数f为（）A、ax+by+c(a,b,c为常数)B、sin(xy)C、e+eD、x2+y22三、设z=xy，当∆x=0.1,∆y=0.2时，在(1,2)点处，求∆z和dz。

(完整版)多元函数微分学复习题及答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题 1. 极限= （提示：令22y k x =）（ B ）(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于(D) 存在且不等于0或2、设函数，则极限= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设，则= （ B ）(A)(B)(C)(D)6、设，则（ A ）（A ）（B ）（C ）（D ）7、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若，则= （ D ） (A) (B)(C)(D)9、设，则（ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设，则（ D ）(A) (B)(C) (D)11、曲线在点处的法平面方程是（C ） (A) (B)(C)(D)12、曲线在点处的切线方程是（A ）(A) 842204x z y --=-=(B) (C) (D)13、曲面在点处的切平面方程为（D ）（A ）（B ）（C ）（D ）14、曲面在点处的法线方程为（A ）（A ）（B ）（C ）（D ）15、设函数，则点是函数的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点 16、设函数具有二阶连续偏导数，在处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点是函数的极大值点（B ）点是函数的极小值点（C ）点非函数的极值点（D ）条件不够，无法判定17、函数在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) (B) (C) (D)二、填空题 1、极限= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：2、极限=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：3、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：4、函数的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：，5、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：6、设函数，则= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-）7、设，要使处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：8、设，要使在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线及11、设，则_________ .答：3cos5 12、设，则= _________ .答：1 13、设，则=_________ .答：14、设，则在极坐标系下，= _________ .答：015、设，则= _________.答：16、设，则= ___________ .答：17、函数由所确定，则= ___________ .答：18、设函数由方程所确定，则= _______ .答：19、由方程所确定的函数在点（1，0，－1）处的全微分= _________ .答：20、曲线在点处的切线方程是_________.答：21、曲线在对应于点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x22、曲面在点处的法线方程为_________ .答：eze y x 22212=-+=- 23、曲面在点处的切平面方程是_________.答：24、设函数由方程确定，则函数的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数在点处取得极值，则常数_________，_________.答：0，426、函数在条件下的极大值是_______答：三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.4 2、求极限 .解：= 43、求极限 .解：原式=4、求极限 .解：= -85、设，求.解：6、设，求.解：7、设函数由所确定，试求（其中）.解一：原式两边对求导得，则同理可得：解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数的极值.解：由，得驻点074334>=--==yyyxxy xx z z z z D，函数在点处取极小值.9、设，而，求.解：=-++(sin )3432t t e x y10、设，求.解：11、设，求.解：，，12、求函数的全微分.解：四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为米.水池底部的单位造价为. 则水池造价且令由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明：因为2)11(1x e x z y x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+- 2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx ekn xy k tkn sin 2222--=∂∂, 所以22xy k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

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《高等数学》单元自测题答案第八章多元函数微分学
一．填空题 1.3ln 3xy y ； 2.503-； 3.y
x z
y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3
131
+；二．选择题 2.D ； 4.D ；三.解答题
1.解 2
2
222222222211
)221(1y
x y
x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=∂∂,
22222222221y
x x y x y
y x y y x x y z +++=
+++=∂∂. 2. 解
22222)(11y x y x y x y x
z
+-=-+=∂∂, 2
22
2111y x x
x x
y y z +=+=∂∂,
22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+⋅--=∂∂, 22222222)(2)(2y x xy
y x y x y z +-=+⋅-=∂∂,
2
22
2
22222222)
()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+⋅++-=∂∂∂=∂∂∂. 3. 解设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有
2422''--
=--=-=∂∂z x
z x F F x z z
x . 5. 解 '22'1f x
y
yf x z -=∂∂,
)1(1)1(''22'
'212'22''12''11'12f x xf x
y f x f x xf y f y x z +--++=∂∂∂
=''223
'
'11'22'11f x y xyf f x f -+-
. 6. 解令⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=,063,
09632
'2
'y y f x x f y
x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66'
'+=x f xx , 0''=xy
f , 66''+-=y f yy , 在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值;
在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 8. 解设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy V
z =
,水箱的表面积 )11(2)(2),(y
x
V xy z y x xy y x S S ++=++==,
问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-==-=,02,022'
2'
y V x S x V y S y x 得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3
33
04
22V
V
V V z =⋅=.。