第八章多元函数微分学自测题答案

《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学

一． 填空题 1.3ln 3xy y ； 2.503-； 3.y

x z

y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3

131

+； 二． 选择题 2.D ； 4.D ； 三.解答题

1.解 2

2

222222222211

)221(1y

x y

x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=∂∂,

22222222221y

x x y x y

y x y y x x y z +++=

+++=∂∂. 2. 解

22222)(11y x y x y x y x

z

+-=-+=∂∂, 2

22

2111y x x

x x

y y z +=+=∂∂,

22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+⋅--=∂∂, 22222222)(2)(2y x xy

y x y x y z +-=+⋅-=∂∂,

2

22

2

22222222)

()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+⋅++-=∂∂∂=∂∂∂. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有

2422''--

=--=-=∂∂z x

z x F F x z z

x . 5. 解 '22'1f x

y

yf x z -=∂∂,

)1(1)1(''22'

'212'22''12''11'12f x xf x

y f x f x xf y f y x z +--++=∂∂∂

=''223

'

'11'22'11f x y xyf f x f -+-

. 6. 解 令⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=,063,

09632

'2

'y y f x x f y

x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66'

'+=x f xx , 0''=xy

f , 66''+-=y f yy , 在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值;

在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 8. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy V

z =

,水箱的表面积 )11(2)(2),(y

x

V xy z y x xy y x S S ++=++==,

问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-==-=,02,022'

2'

y V x S x V y S y x 得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3

33

04

22V

V

V V z =⋅=.