数理方程Sturm-Liouville问题
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f ( x ) f n yn ( x )
n
第三章 Sturm-Liouville问题
5
Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
称 f ( x) f n yn ( x)右边的级数为广义傅里叶级数
n
f n (n 1,2,) 叫做 f ( x) 的广义傅里叶系数
b
即
( x) f ( x) y ( x)dx
n
f n ( x)
a
wk.baidu.com
b 2 ( x ) y n ( x ) dx a
.
第三章 Sturm-Liouville问题
6
第三章 Sturm-Liouville问题
3
Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
性质1 如果 ( x) 是固有函数, c是不为零的常数, 则 c ( x) 也是固有函数. 性质2 如果p(x)及其导函数连续，q(x)连续或者最多在 边界有一阶极点，则存在无限多个固有值 1 2 3 ... 性质3 所有的固有值为非负实数，即 n 0 性质4 对应于不同的固有值 m 和 n 的固有函数 y m ( x) 和 y n ( x) 在区间[ a, b] 上带权 ( x) 正交， b 即 a ym ( x) yn ( x) ( x)dx 0
Sturm-Liouville问题
在前面几节中，我们讨论过常微分方程 X ''( x) X ( x) 0 的固有值问题 以后，我们还将研究如下的方程
d dy v2 ( x ) ( x ) y 0 dx dx x
d 2 dy (1 x ) y 0 dx dx
第三章 Sturm-Liouville问题
2
d dy ( p ( x) ) ( ( x) q ( x )) y 0 dx dx
S-L型方程附加上齐次的第一类、第二类、第三类边 界条件，或者是自然边界条件，就构成S-L型固有值 问题 称为固有值 满足S-L型方程及相应的边界条件的非零解就是固 有函数
第三章 Sturm-Liouville问题
4
Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
性质5 固有函数系 yn ( x)在区间构成一个完备的正交 函数系. 即：函数f(x)如果具有连续一阶导数和逐段连 续二阶导数且满足固有函数族所满足的边界条 件，则必可展开为绝对且一致收敛的级数
d d
贝赛尔方程
d sin sin 0 勒让德方程 d
它们都可以归纳为下面的一般形式
d dy ( p ( x) ) ( ( x) q ( x )) y 0 dx dx
这种类型的方程称为Sturm-Liouville型方程(简称S-L 型) ( x) 称为权重函数 0 一般 ( x) 0, ( x)
n
第三章 Sturm-Liouville问题
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Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
称 f ( x) f n yn ( x)右边的级数为广义傅里叶级数
n
f n (n 1,2,) 叫做 f ( x) 的广义傅里叶系数
b
即
( x) f ( x) y ( x)dx
n
f n ( x)
a
wk.baidu.com
b 2 ( x ) y n ( x ) dx a
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第三章 Sturm-Liouville问题
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第三章 Sturm-Liouville问题
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Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
性质1 如果 ( x) 是固有函数, c是不为零的常数, 则 c ( x) 也是固有函数. 性质2 如果p(x)及其导函数连续，q(x)连续或者最多在 边界有一阶极点，则存在无限多个固有值 1 2 3 ... 性质3 所有的固有值为非负实数，即 n 0 性质4 对应于不同的固有值 m 和 n 的固有函数 y m ( x) 和 y n ( x) 在区间[ a, b] 上带权 ( x) 正交， b 即 a ym ( x) yn ( x) ( x)dx 0
Sturm-Liouville问题
在前面几节中，我们讨论过常微分方程 X ''( x) X ( x) 0 的固有值问题 以后，我们还将研究如下的方程
d dy v2 ( x ) ( x ) y 0 dx dx x
d 2 dy (1 x ) y 0 dx dx
第三章 Sturm-Liouville问题
2
d dy ( p ( x) ) ( ( x) q ( x )) y 0 dx dx
S-L型方程附加上齐次的第一类、第二类、第三类边 界条件，或者是自然边界条件，就构成S-L型固有值 问题 称为固有值 满足S-L型方程及相应的边界条件的非零解就是固 有函数
第三章 Sturm-Liouville问题
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Sturm-Liouville固有值问题的共有性质
d dy ( p( x) ) ( ( x) q( x)) y 0, x [a, b] 加上合适的边界条件 dx dx
性质5 固有函数系 yn ( x)在区间构成一个完备的正交 函数系. 即：函数f(x)如果具有连续一阶导数和逐段连 续二阶导数且满足固有函数族所满足的边界条 件，则必可展开为绝对且一致收敛的级数
d d
贝赛尔方程
d sin sin 0 勒让德方程 d
它们都可以归纳为下面的一般形式
d dy ( p ( x) ) ( ( x) q ( x )) y 0 dx dx
这种类型的方程称为Sturm-Liouville型方程(简称S-L 型) ( x) 称为权重函数 0 一般 ( x) 0, ( x)