多目标决策灰色关联投影法及其应用

||||||文章编号$指万方数据6收稿日期$!"""%#!%".标!"成本型#指标的区别$所谓效益型指标!是指属性值愈大愈好的指标!如资金值率!资金利税率!全员劳动生产率等%所谓成本型指标!是指属性值愈小愈好的指标!如流动资金占用率!流动资金的周转天数等&定义’记最佳决策方案()的因素指标为*)+!且满足,当因素指标-+为效益型指标时!*)+./012*3+!*4+!5!*6+7!当因素指标-+为成本型指标时!*)+./892*3+!*4+!5!*6+7$则称矩阵*.2*:+726;37<=2:.)!3!4!5!6%+.3!4!5!=7为方案集(对指标集-的决策矩阵$为了消除量纲和量纲单位不同所带来的不可公度性!决策之前首先应将评价指标进行无量纲化处理$定义>初值化处理对一个数列的所有数据均用它的第一个数去除!从而得到一个新数列的方法叫初始化处理$该数列有共同的起点!无量纲!其数据值均大于)$记*?为*的生成序列!*.2*:+726;37<=!:.)!3!4!5!6%+.3!4!5!=*?.2*?:+726;37<=!:.)!3!4!5!6%+.3!4!5!=若满足*?:+.*:+@*)+!:.)!3!4!5!6%+.3!4!5!=237则称*?为*的初始化序列$记初值化生成为A BC D,E **?经过初值化处理以后!很显然*?)+.32+.3!4!5!=7&这里*?)+即为理想方案$以*?)+为母因素!以*?:+2:.3!5!6%+.3!4!5!=7为子因素!就可以得到其他方案与理想方案的关联度$定理’记2F !G 7为灰色关联空间!H 为特定关联映射!I :+为子因素*?:+2:.3!5!6%+.3!4!5!=7关于母因素*?)+.32+.3!4!5!=7的关联度!I :+.H 2*?)+!*?:+7!则有I :+./896/89=J *?)+K *?:+J ;L /016/01=J *?)+K *?:+J J *?)+K *?:+J ;L /016/01=J *?)+K *?:+J 247值得注意的是!在I :+.H 2*?)+!*?:+7中!常数L 称为分辨系数&它的作用在于调整比较环境的大小!即将比较环境缩小改变&当L .)时!环境消失%L .3时!环境"原封不动#地保持着&通常!取L .)&M &定义N 称由26;37=个I 组成的矩阵为多目标灰色关联度判断矩阵OO.O )3O )45O )=O 33O 345O 3=O 43O 445O 4=PO 63O 645O Q R S T 6=灰色关联度判断矩阵之所以要这样建立是鉴于这样的考虑!即一个设计方案是由=个因素指标所确定的!它构成=维因素指标空间-中的一个离散的方案点!进行多目标决策!就是比较空间-中各方案点与理想方案点的关联度$很显然!在这里O )3.O )4.5.O )=.3&设评价指标间的加权向量为U .2U 3!U 4!5!U =7VW)!U 的确定方法有主客观赋权法两大类!本文不再详述&定义X设在加权向量U 的作用下构造而成的增广型矩阵为加权灰色关联决策矩阵O ?!且满足%O ?.OYU .2O ?3!O ?4!5!O ?=7O ?.U 3U 45U =U 3O 33U 4O 345U =O 3=U 3O 43U 4O 445U =O 4=PU 3O 63U 4O 645U =O Q R ST 6=Z)3系统工程理论与实践4))4年3月万方数据%则色弦.123.!435*3/43123.!6435*3789/123.!4893%*.!%9%:%2#;$很显然%夹角余弦<=-*>!%且总是愈大愈好%-*愈大%表示决策方案&*与理想方案&(之间的变化方向愈一致?定义@称决策方案&*的模数为A *A *.123.!6435*3789#B $将模的大小与夹角余弦的大小结合考虑%就可以全面准确地反映各决策方案与理想方案之间的接近程度?定义C称决策方案&*在理想方案&(上的投影值为灰色关联投影值D 3%且满足,D 3.A */-*.123.!6435*3789/123.!435*343123.!6435*3789/123.!643789.1235*3493123.!64378E F9定义G记4H 3为一组新的因素指标权值矢量%称其为灰色关联投影权值矢量+且满足,4H 3.493123.!4893%3.!%9%;%:%2#I $则有D 3.123.!5*34H 3%3.!%9%;%:%2#J $经过以上的所述步骤%就可以得到各决策方案的投影值+最后%根据这些投影值的大小%对多指标就可以作出科学的排序比较和分析+K 应用灰色关联投影法进行多目标决策的一般步骤及算法第一步根据已知的方案集&和指标集L %首先找出最佳决策方案&<的因素指标M <3%然后列出方案集&对指标集L 的决策矩阵M +第二步根据#!$式%对M 进行初值化处理%得到M N +第三步根据定理!及#9$式%计算出子因素M N *3与母因素M N<3的关联度-*3+在这里取分辨系数O 的值为<+I +第四步根据定义#;$%构造#P Q!$2个-组成的矩阵多目标灰色关联度判断矩阵5?第五步设原存在评价指标间的加权向量为4.#4!%49%:%42$RS<%利用#I $式%构造一组新的加权系数4H 3+第六步在已经得到多目标灰色关联度判断矩阵5和一组新的加权系数4H 3的基础上%利用#J $式%计算出各个决策方案在理想方案上的投影+I<!第!期多目标决策灰色关联投影法及其应用万方数据第七步根据各个投影值的大小!就可以对每个决策方案作出科学的评价"投影值越大!说明该决策方案与理想方案越接近!则该方案就越优秀"#应用实例下面以$%&’年(中国经济年鉴)的统计资料为基础!进行综合经济效益的评价比较和排序分析*实例中只采用了四座城市的统计数据*表$全国科技进步综合排名资金利润率+,-+."./-销售利润率+,-+."$0-全员劳动生产率+万年1人-+."$0-综合能耗+标煤吨1万元-+."$2-物耗+,-+."$3&-投论占固定资产投资比率+,-."$$3北京3%".%3/".0$"%//"002’"/.2’"2.上海42"%’33"%.3"2.3"/42’"%.0/"00天津3%"$43."/.$"%’4"2.2&"’.2/"..云南34"%33’"3.$"$’’"%30&"$.00"3.已知方案567北京8上海8天津8云南9!指标集:67资金利润率!销售利润率!全员劳动生产率!综合能耗!物耗!技改占固定资产投资的比重9*其中!除了综合能耗和物耗两个指标属成本型指标!其他四个指标都是效益型指标*$-根据表$所给的数据!可以知道相对最佳设计方案5.的因素指标5.6+42"%’3’"3.3"2.3"/40&"$2’"2.-下面就可以列出方案集5对指标集:的属性矩阵;";642"%’3/".03"2.3"/40&"$2’"2.3%".%3/".0$"%//"002’"/.2’"2.42"%’33"%.3"2.3"/42’"%.0/"003%"$43."/.$"%’4"2.2&"’.2/".<=>?34"%33’"3.$"$’’"%30&"$.00"3.3-根据+$-式!对;进行初值化处理!得到;@";@6$$$$$$."’&2%."&&/3."’/23."04/$."&23.$$."&/$%$$."&00’."&.’.."’&’%."’0..."’0’’."2’0.."&/0&."%/2’<=>?."2/’.$."/0..."4.2&$."&$224-在得到初始化序列;@后!根据定理$及公式+3-!就可以灰色关联判断矩阵A A6$$$$$$."2$%3."’/%0."0’’3."/320."’$04$$."2&2&$$."’.2.."2/34."23./."0&$.."0&&0."0$2$."2%3.."&22&<=>?."/%0/$."4&22."4444$."204%/-根据专家的评价!可以得到一组加权系数B 6+.".%2!."$$/!."$0!."$2!."$3&!."$$3-"根据+4-式!可以得到一组新的加权矢量!即灰色关联投影权值矢量BC D 2.$系统工程理论与实践3..3年$月万方数据!"#$%&’&()*+&’&,-*+&’&.-,+&’&/-*+&’&0(&+&’&*)/1’01根据%,1式+就可以最后得出各个决策方案的投影值2#$%&’(&-)+&’(.(3+&’-)33+&’-//01’31根据这四个决策方案的投影值的大小+可见这四个地区的排名由高到低依次为4上海+北京+天津+云南’5结束语本文提出的灰色关联投影法有以下优点4-1在灰色关联投影法中一个决策方案本身就是因素指标集的映射+因素指标集一旦确定+决策方案也就确定了6这种方法综合了整个因素指标空间的影响+尤其是在因素指标值样本量少而且数据离散的情况下+灰色关联投影法能够避免单方向偏差+即可以避免只将各方案的单个因素指标值进行比较而引出的偏离+从而全面地分析了指标间的相互关系+反映了整个因素指标空间的影响6因此决策模型是真实可信的+且建模的思路很明确6(1在灰色关联投影法中+没有单独地以决策方案78与理想方案7之间的夹角余弦98或以78的模的大小作为决定决策方案优劣的标准6因为单独的98虽然可以反映78与7之间的方向是否一致+但不能反映各决策方案距离的大小:单独的模的大小虽然弥补了夹角余弦法的不足+但是模的大小却反映不出各决策方案与理想方案之间的变动方向如何6因此+在灰色关联投影法中+把模的大小和夹角余弦的大小结合起来+全面而准确地反映出了各决策方案与理想方案之间的接近程度6*1由%/1式可以看出灰色关联投影法本质上是一种简单加性加数方法6该方法中的加权系数是与原加权系数的平方成正比的一组新的加权系数+通过新的算法+使重要的指标的加权系数得到进一步的加强6并且以投影值的大小作的评判决策方案优劣的标准+这些都说明了灰色关联投影法是具有与简单的加性加权方法完全不同的内涵的新方法6总之+在社会经济系统中会遇到许多综合效益的评价问题+它们本质上往往是灰色多目标决策的问题6本文运用灰色系统理论和矢量投影的原理+提出了灰色关联投影法并给出了一般步骤6实例表明+本文提出的方法是可行的;有效的6参考文献4<-=王应明’多指标决策与评价的新方法>>投影法<?=’系统工程与电子技术+-)))+(-%*14-@,’<(=周前祥+张达贤’工程系统设计方案多目标灰色关联度决策模型及其应用的研究<?=’系统工程与电子技术’-)))+(-%-14-@*’<*=吕锋’灰关联空间的分解<?=’武汉工业大学学报+-))&+-(%,14--&@--,’<,=吕锋+陈绵云’社会经济系统的灰性及其灰色趋势关联分析<?=’武汉工业大学学报+-))*+-0%-14--(@--.’<0=魏世孝+周献中’多属性决策理论方法及其在A *B 系统中的应用<C =’北京4国防工业出版社+-))/’<3=邓聚龙’灰色系统理论教程<C =’武汉4华中理工大学出版社+-))&’.&-第-期多目标决策灰色关联投影法及其应用万方数据。