勾股定理 基础过关训练
勾股定理练习题(答案)
勾股定理练习题(答案)勾股定理练题1.基础达标：下列说法正确的是：A。
若a、b、c是△ABC的三边，则a²+b²=c²；B。
若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a²+b²=c²；C。
若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a²+b²=c²；D。
若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a²+b²=c²．2.Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是：A。
a+b=cB。
a+b>cC。
a+b<cD。
a²+b²=c²3.如果Rt△的两直角边长分别为k²-1，2k（k>1），那么它的斜边长是：A。
2kB。
k+1C。
k²-1D。
k²+14.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a²-b²)(a²+b²-c²)=0，则它的形状为：A。
直角三角形B。
等腰三角形C。
等腰直角三角形D。
等腰三角形或直角三角形5.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为：A。
121B。
120C。
90D。
不能确定6.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为：A。
42B。
32C。
42或32D。
37或337.※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为：A。
d²+S+2dB。
d²-S-dC。
2d²+S+2dD。
2d²+S+d8.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP 的长为：A。
3B。
4C。
5D。
79.若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm，高AD=24，则BC的长为：A。
17B。
3C。
17或3D。
以上都不对10.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a-6)²+b-8+c-10=0，则三角形的形状是：A。
《勾股定理》数学专题训练(完整版)
《勾股定理》专题训练一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S14、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
5、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。
勾股定理基础练习
学习要求：1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．4. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．1. 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。
CAB cba（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：讲3. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4. 勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。
一、勾股定理1．如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么______＝c 2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边． (1)若a ＝5，b ＝12，则c ＝______； (2)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______；(3)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______，b ＝______； (4)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______，c ＝______．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 6．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )．(A)4(B)6(C)8(D)1028．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )．课堂练习知识精(A)150cm2 (B)200cm2(C)225cm2(D)无法计算9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．二、勾股定理的实际应用1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．3题图4．如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ．4题图5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )．5题图(A)5m (B)7m (C)8m(D)10m6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )．6题图(A)212 (B)310 (C)56(D)587．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?8．如图，一电线杆AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 为______米．9．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?三、勾股定理与直角三角形1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______． 2．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______． 3．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______． 4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 6．已知直角三角形的周长为62+，斜边为2，则该三角形的面积是( )． (A)41 (B)43 (C)21 (D)17．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． (A)7(B)7或41(C)24(D)24或78．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．9．在数轴上画出表示10-及13的点．课后练习一、填空题1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．3题图4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．4题图5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．5题图6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．6题图7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．8题图二、选择题9．下列三角形中，是直角三角形的是( ) (A)三角形的三边满足关系a ＋b ＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3 (C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，4110．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( )．10题图(A)450a 元 (B)225a 元 (C)150a 元 (D)300a 元11．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝( )．(A)2 (B)3 (C)22(D)3212．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则AC ＋BC 等于( )．(A)5 (B)135 (C)1313(D)5913.下列判断错误的是( )A.如果a>b ，b>c ，那么a>cB.如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝cC.如果a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥cD.如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c 14.下列命题中是真命题的是( ) (1)所有的等腰三角形都全等；(2)有一个锐角相等的两个直角三角形全等；(3)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； (4)两点之间线段最短.A.1个B.2个C.3个D.4个15．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．16．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．17．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．。
《勾股定理》专项训练练习
60 120140 60BACC A BDE 1015《勾股定理》专项训练练习基础篇1、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．4，6，7 2、在△ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，•则这个三角形三边长分别是（ ）A ．5，4，3 B ．13，12，5 C ．10，8，6 D ．26，24，10 3、若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）． A. 3cm2B. 32cm2C. 33cm 2D. 4cm 24. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a :b :c =13∶5∶12 5. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形.6．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定7、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A ．600米 B . 800米 C . 1000米 D. 不能确定8、ΔABC 中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（ ）A.1B.3C.6D.非以上答案9、在△ABC 中，AB=12cm ， BC=16cm ， AC=20cm ， 则△ABC 的面积是( )A. 96cm 2B. 120cm 2C. 160cm 2D. 200cm 210、已知如图，水厂A 和工厂B 、C 正好构成等边△ABC ，现由水厂A 和B 、C 两厂供水，要在A 、B 、C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最合理的方案是（ ）11、在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．12、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.13、如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 ．14、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt △ABC 的面积是_____15、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ’，使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ’，那么 BB ’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是 ．16、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？17、小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？18、如图，铁路上A 、B 两点相距25km , C 、D 为两村庄，若DA =10km ,CB =15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.（1）求E 应建在距A 多远处？ （2）DE 和EC 垂直吗？试说明理由19、如图,在△ABC 中，∠BAC =120°,∠B =30°,AD ⊥AB ，垂足为A,CD=2cm,求AB 的长.第12题图 第13题图 第15题图A B D专题篇一、勾股定理与梯子问题1、如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米．2、比较梯子沿墙壁滑行时其在墙壁和地面上滑行距离的大小关系例2如图3，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是________．（要求写出过程）二、勾股定理中的数学思想1、面积法．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5㎝．BC＝3㎝，CD⊥AB于点D，求CD的长．2、构造法．如图，已知△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，AC＝22．求△ABC的面积．3、转化思想．如图3，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．4、分类讨论思想．已知Rt△ABC中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长．5、方程思想．如图4，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，它们同时发现C处有一筐苹果，一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB的高度．如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．6、逆向思维的方法如图1，在△ABC中，D为BC边上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，那么DC＝_____．图3DABC图4DCBAABC三、勾股定理在影响范围问题中的运用1、如图1，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所中学，AP =160m 。
《勾股定理》基本功训练
记：112= ，122= ，132= ，142= ，152= ，162= ，172= ，182= ，192= ，212= ，222= ，232= ，242= ，252= ，262= ，272= ，282= ，292= 。
勾股定理一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝__ _ __；(2)若c＝41，a＝40，则b＝____ __；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝___ ___，b＝_____ _；若a=x, 则c＝___ ___，b＝_____ _.由此可知：在含有30°的直角三角形中，长直角边是短直角边的倍。
一定要记住这个结论。
(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝___ ___，c＝__ ____．若a=x, 则b＝___ ___，c＝__ ____．由此可知：等腰直角三角形中，斜边长是直角边的倍。
一定要记住这个结论。
3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为__ ____．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为___ ．6．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．（提示：找全等三角形）7．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．（提示：与第6题有关系）8.一个等边三角形的边长为10，这个等边三角形的面积是如果边长为a , 面积是（一定要熟练计算的方法）9.一个等腰直角三角形的斜边长为10，这个三角形的面积是，如果斜边长为a , 面积是10.正方形的边长为5，则对角线长；若对角线长28，则边长为。
《勾股定理》 过关练习
《勾股定理》过关练习一、选择题1、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）A 、2，3，4B 、3，4，5C 、6，8，10D 、5，12，132、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ）A 、1倍B 、2倍C 、3倍D 、4倍3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）A ．5B ．25C ．7D ．5或74．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（ ）（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60.5、下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a ，4a ，5a （a>0）；④32，42，52。
其中可以构成直角三角形的边长有（ ）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组6、三个正方形的面积如图，当B ＝144、C ＝169时，则A 的值为（ ）A 、313B 、144C 、169D 、257、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AC ＝5cm ，BC ＝12 cm ，其中斜边上的高为（ ）A 、6 cmB 、8.5 cmC 、1360 cm D 、1330cm第6题 第7题8、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A 、2 cmB 、3 cmC 、4cmD 、5cm二、填空题9、三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是 三角形。
10、如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是__ _ __ m 。
11.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m ,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 .12、如图,一圆柱高8cm,底面半径为π6cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程是________________cm 。
第17章勾股定理基础练习
c a b , a c b ,b c a
2
2
2
2
2
2
二、勾股定理的逆定理
A
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足
a2
+b2=c2
2.勾股数
c
b
，那么这个三角形是直角三角形.
C
a
B
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3，4，5
5，12，13
8，15，17
【解析】图中的直角三角形的两直角边为1和2,所以斜边长
为 + = 5,所以-1到点A的距离是 5,那么点A所表示
的数为 5-1.
14.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别
为(-6,0),(0,8).以点A为圆心,以AB长为半径
画弧,交x正半轴于点C,则点C的坐标为(4,0) .
【解析】∵点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8),
分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两
个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶
面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是_____．
130cm
【解析】如图，因为BC=30×3+10×3=120,AC=50,
所以AB²=AC²+BC²=16900,所以AB=130(cm),
所以壁虎爬行的最短线路为130cm.
塑料薄膜需要____m
60 2.
【解析】如图，由题意可知，在△ABC中，
∠ACB=90°,AC=2.4,BC=3.2,
∴AB= . + . = =4,
又∵在矩形ABDE中，BD=15,
∴S矩形ABDE=AB·BD=4×15=60(m²),
勾股定理基础知识过关(附答案)
十八勾股定理教材过关一、填空题1.一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是______________.2.在△ABC中，若AB=17，AC=8，BC=15，则根据______________可知∠ACB=__________.3.一座垂直于两岸的桥长15米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头9米，则小船实际行驶了____________米.4.若三角形中相等的两边长为10 cm，第三边长为16 cm，则第三边上的高为_____cm.5.等边三角形的边长为4，则其面积为_______________.6.如图8-42，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需____米.7.若13c+|a-12|+(b-5)2=0，则以a、b、c为三边的三角形是____________三角形.8.等腰三角形的两边长为10和12，则周长为，底边上的高是 .9.在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 .10.已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则△ABC的周长为．11.在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为二、选择题1.下列是勾股数的一组是A.4，5，6B.5，7，12C.12，13，15D.21，28，352.下列说法不正确的是A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形D.三边长度之比为5∶12∶13的三角形是直角三角形3.一个圆桶底面直径为24 cm，高32 cm，则桶内所能容下的最长木棒为A.20 cmB.50 cmC.40 cmD.45 cm4.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分，又沿南北马路向南走了19.2分到家，则他的家离公司距离为______________米.A.100B.500C.1 240D.1 0005.直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（）A、6厘米；B、 8厘米；C、 80/13厘米；D、 60/13厘米；6.三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶127.如图，A、B两点位于过圆柱体中心轴的同一纵切面上，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短的路线长是（）A. 6cmB. 8 cmC. 10 cmD. 10πcm8.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 不能9.如图小方格都是边长为1的正方形,图中四边形的面积为（）A. 25B. 12.5C. 9D. 8.510．已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15三、解答题图1 图2 图4 图5 图6 1.如图，在四边形ABCD中，AB=12 cm，BC=3 cm，CD=4 cm，∠C=90°.(1)求BD的长；(2)当AD为多少时，∠ABD=90°？2.甲、乙两船上午11时同时从港口A出发，甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行，求下午1时两船之间的距离.3.已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状.解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②∴c2=a2+b2.③∴△ABC是直角三角形.问：(1)在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______________；(2)错误的原因为_________________________________________________________________；(3)本题正确的解题过程：4.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图8-46所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门(厂门上方为半圆形拱门)？说明你的理由.5.已知：如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．6.已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是高，且AB>AC,(1)若AB=12，BC=10，AC=8，求DE.(2)求证：AB²-AC²=2BC·DE7.如图，已知：等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12求(1) △ABC的周长 (2) △ABC的面积1.答案：242.答案：勾股定理逆定理，90°3.答案：3344.答案：65.答案：436.答案：77. 答案：直角8.答案：32或34，8或9.答案：5或10.答案：48 11.答案：13或二、选择题1.答案：D2.答案：B3.答案：C4.答案：D5.答案：D6.答案：A7.答案：C8.答案：A9.答案：B 10.答案：C三、解答题1 .(1)答案：5；(2)答案：13. 2.答案：50海里.3.答案：(1)③(2)除式可能为零(3)∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).∴a2-b2=0或c2=a2+b2.当a2-b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90度，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.(3)根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论.4.答案：∴PR=0.6+2.3=2.9＞2.5.∴这辆卡车能通过厂门.5.答案：6. 答案：(1)4(2)AB²-AC²=AB²-AE²-(AC²-AE²)=BE²-CE²=(BE+CE)·(BE-CE)=BC·(BD+DE-CD+DE)=BC·(2DE)=2BC·DE7.答案：(1)(2)。
勾股定理练习题及答案(共6套)
勾股定理课时练（1）1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB222ACBC++的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）.3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。
求CD的长.9.如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长.10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC，所以AB 222AC BC ++=1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.3.1360 ，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x ；4. 解：依题意，AB=16m ，AC=12m ，在直角三角形ABC 中,由勾股定理,222222201216=+=+=AC AB BC ,所以BC=20m ,20+12=32(m ), 故旗杆在断裂之前有32m 高. 5.86. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=30004000500022=-(米),所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米/小时) 7. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E. 在R 90,=∠∆CEF CEF t ，EF=18-1-1=16（cm ），CE=)(3060.21cm =⨯，由勾股定理，得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+8.解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得254322222=+=+=AB AC BC在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169，所以CD=13.9. 解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示）∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8， 设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。
勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形答案：B2. 如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个直角三角形的斜边长度为13，一条直角边为5，另一条直角边的长度是多少？A. 12B. 10C. 8D. 6答案：A4. 勾股定理的公式是什么？A. a + b = cB. a * b = cC. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 - b^2 = c^2答案：C5. 如果一个三角形的三边长分别为7、24和25，那么这个三角形是直角三角形吗？A. 是B. 不是答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 直角三角形中，如果一条直角边长为x，另一条直角边长为y，斜边长为z，根据勾股定理，我们有________。
答案：x^2 + y^2 = z^27. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是________。
答案：108. 在一个直角三角形中，如果斜边的长度是20，一条直角边长为15，另一条直角边的长度是________。
答案：5√3 或25√3/39. 勾股定理的发现归功于古希腊数学家________。
答案：毕达哥拉斯10. 勾股定理在数学中也被称为________定理。
答案：毕达哥拉斯定理三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个直角三角形的斜边长度为17，一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。
答案：根据勾股定理，另一条直角边的长度为√(17^2 - 8^2) =√(289 - 64) = √225 = 15。
12. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为9和12，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(9^2 + 12^2) = √(81 + 144) = √225 = 15。
13. 一个直角三角形的斜边长度为25，一条直角边长为15，求另一条直角边的长度。
初中数学勾股定理基础训练2含答案
勾股定理基础训练2一．选择题（共25小题）1．如图，已知S1，S2和S3分别是Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1，S2和S3满足的关系式为（）A．S1＜S2+S3B．S1＝S2+S3C．S1＞S2+S3D．S1＝S2•S32．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝10cm，c＝8cm，则Rt△ABC的面积为（）A．9cm2B．18cm2C．24cm2D．36cm23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，则斜边BC上的高AD的长是（）A．4.8B．5C．4D．64．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2﹣b2＝c2D．a2+b2＝c2 5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）A．9B．6C．5D．46．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（）A．21B．15C．6D．21或97．如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S1的值为（）A．7B．8C．9D．108．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则△ABC的面积为（）A．5B．60C．45D．309．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A 的面积为（）A．6B．36C．64D．810．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（）A．121B．144C．169D．19611．已知一个直角三角形三边的平方和是50，则斜边长为（）A．4B．5C．10D．2512．在Rt△ABC中，两直角边的长度分别为3和4，那么△ABC的周长为（）A．11B．12C．13D．1413．若直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边的长为（）A．17B．7C．14D．1314．若等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（）A．6B．7C．9D．1215．已知直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（）A．5B．3C．1.2D．2.416．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．6417．在Rt△ABC中，若斜边AB＝3，则AC2+BC2等于（）A．6B．9C．12D．1818．如图，以Rt△ABC的三边为边分别作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，已知正方形Ⅰ与正方形Ⅱ的面积分别为25和9，则正方形Ⅲ的面积为（）A．4B．8C．16D．3419．一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（）A．13B．12C．15D．1020．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CEB＝S△CDEC．S四边形CDAE＝S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD21．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．169B．25C．19D．1322．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm223．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96B．49C．24D．4824．如图，在△ABC中∠A＝90°，则三条边长a，b，c之间数量关系满足（）A．a+b＝c B．b+c＝a C．b2+c2＝a2D．a2+b2＝c225．将面积为2π的半圆与两个正方形A和正方形B拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（）A．4B．8C．2πD．16勾股定理基础训练2参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．解：∵S1，S2和S3分别是以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为斜边向外作的等腰直角三角形的面积，∴S1＝π（）2，S2＝π（）2，S3＝π（）2，∵AC2+BC2＝AB2，∴S1＝S2+S3．故选：B．2．解：∵a+b＝10cm，a2+b2＝c2＝64cm2，∴（a+b）2＝100，∴2ab＝100﹣（a2+b2）＝100﹣64＝36，∴ab＝9（cm2），故选：A．3．解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∵AD⊥BC，∴S△ABC＝6×8＝AD×10，解得：AD＝4.8．故选：A．4．解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得：a2+b2＝c2．故选：D．5．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．故选：C．6．解：如图所示，在Rt△ABH中，∵AB＝17，AH＝8，∴BH＝＝15；在Rt△ACH中，∵AC＝10，AH＝8，∴CH＝＝6，∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC＝15+6＝21；当AH在三角形的外部时，如图2，BC＝15﹣6＝9．∴BC的长是21或9．故选：D．7．解：∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴S3+S2＝S1，∵S1+S2+S3＝16，∴2S1＝16，∴S1＝8，故选：B．8．解：∵AB＝13，AC＝12，∠C＝90°，∴BC＝＝5．∴△ABC的面积＝×12×5＝30，故选：D．9．解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，∴正方形A的面积为6，故选：A．10．解：∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，∴直角三角形斜边长＝13，∴大正方形的边长是13，∴大正方形的面积是13×13＝169．故选：C．11．解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a2+b2+c2＝50，∴2c2＝50，∴c2＝25，∴c＝＝5；故选：B．12．解：在Rt△ABC中，两直角边的长度分别为3和4，所以斜边长＝，△ABC的周长＝3+4+5＝12，故选：B．13．解：由勾股定理可得：斜边＝，故选：D．14．解：如图：AB＝AC＝13，BC＝10．△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC；∴BD＝DC＝BC＝5；Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5；由勾股定理，得：AD＝＝＝12．故选：D．15．解：设斜边上的高为h，由勾股定理得，三角形的斜边长＝＝5，则×3×4＝×5×h，解得，h＝2.4，故选：D．16．解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．17．解：∵Rt△ABC中，AB为斜边，∴AC2+BC2＝AB2，∴AB2+AC2＝AB2＝32＝9．故选：B．18．解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，∴正方形Ⅲ的面积＝a2，正方形Ⅱ的面积＝b2＝9，正方形Ⅰ的面积＝c2＝25，∵△ABC是直角三角形，∴a2＝c2﹣b2，∴正方形Ⅲ的面积＝25﹣9＝16．故选：C．19．解；由一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，利用勾股定理得斜边长为＝13．故选：A．20．解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．可知ab+c2+ab＝（a+b）2，∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：D．21．解：∵大正方形的面积13，小正方形的面积是1，∴四个直角三角形的面积和是13﹣1＝12，即4×ab＝12，即2ab＝12，a2+b2＝13，∴（a+b）2＝13+12＝25．故选：B．22．解：∵a+b＝14∴（a+b）2＝196∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96∴ab＝24．故选：A．23．解：直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24﹣10＝14，设一直角边为x，则另一边14﹣x，根据勾股定理可知：x2+（14﹣x）2＝100，解得x＝6或8，所以面积为6×8÷2＝24．故选：C．24．解：∵在△ABC中∠A＝90°，∴b2+c2＝a2，故选：C．25．解：已知半圆的面积为2π，所以半圆的直径为：2•＝4，即如图直角三角形的斜边为：4，设两个正方形的边长分别为：x，y，则根据勾股定理得：x2+y2＝42＝16，即两个正方形面积的和为16．故选：D．第1页（共1页）。
初中勾股定理练习题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第一章《勾股定理》练习题一、选择题（8×3′=24′） 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是（ ） A 、2ab<c 2 B 、2ab ≥c 2 C 、2ab>c 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
其中正确的是（ ） A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④5、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，则此△为（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定6、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ） A 、40 B 、80 C 、40或360 D 、80或3607、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且DA=DB=5，又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是（ ） A 、4 B 、3 C 、5 D 、4.58、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A 、2㎝ B 、3㎝ C 、4㎝ D 、5㎝ 二、填空题（12×3′=36′）9、在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________。
17.1.2 勾股定理的应用 人教版数学八年级下册素养提升练习(含解析)
第十七章 勾股定理17.1 勾股定理17.1.2 勾股定理的应用基础过关全练知识点1 勾股定理的应用1.图1是一顶圆锥形竹帽,图2是圆锥形竹帽示意图,已知该圆锥的高AO=30 cm,底面半径OB=40 cm,则AB的长为( )A.30 cmB.40 cmC.50 cmD.70 cm2.【新独家原创】某品牌相机三脚架如图①所示,该支架三个脚长度相等且与地面夹角相同.如图②,过点A向地面BC作垂线,垂足为点C.若三脚架的一个脚AB的长为2米,BC=0.7米,则相机距地面的高度AC的长约为( )A.2.1米B.1.9米C.1.7米D.1米3.【教材变式·P25例1】一个门框的尺寸如图所示,下列长×宽型号(单位:m)的长方形薄木板能从门框内通过的是( )A.2.6×2.5B.2.7×2.4C.2.8×2.3D.3×2.24.图1是一种落地晾衣架,晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆,其中支脚OB=50 cm,晾衣臂AO=80 cm,BE=50 cm,则支撑杆的端点A离地面的高度AE为( )A.130 cmB.120 cmC.110 cmD.100 cm5.【教材变式·P38T1】一艘轮船以12海里/时的速度离开A港向北偏西30°方向航行,另一艘轮船同时以16海里/时的速度离开A港向北偏东60°方向航行,经过1.5小时后他们相距( )A.25海里B.30海里C.32海里D.40海里6.【教材变式·P25例2】如图,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯足向外移0.8米,那么梯子的顶端沿墙下滑多少米?7.【构造直角三角形】(2022山西运城期中)为加快旧城改造步伐,增强城市功能,改善人居环境,我市对部分旧城区天然气管道进行改造.在改造过程中发现原有管道因弯道过多带来安全隐患,因此需要改造.某小区管道A→B改造方案如图.(实线为改造前,所有实线均互相平行或垂直,虚线为改造后)(1)改造前管道的长度是多少?(2)改造后A、B之间的管道长减少了多少?8.【项目式学习试题】某校“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量结果如下表(不完整).课题测量学校旗杆的高度成员组长:XXX 组员:XXX,XXX,XXX 工具皮尺等测量示意图 说明:线段AB 表示学校旗杆,AB 垂直地面于点B,如图1,第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面,并多出了一段BC,用皮尺测出BC 的长度;如图2,第二次将绳子拉直,绳子末端落在地面的点D 处,用皮尺测出B 、D 的距离测量项目数值图1中BC 的长度1米测量数据图2中BD 的长度 5.2米……(1)根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB 的高度.(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可)?知识点2 用勾股定理作长度为无理数n的线段 9.如图,数轴上点A表示的数为2,AB⊥OA于A,且AB=1,以O为圆心,OB长为半径作弧,交数轴正半轴于点C,则OC的长为 ( )A.3B.2C.3D.510.(2023湖北黄冈期中)如图,OP=1,过点P作PP1⊥OP且PP1=1,得OP1=2;再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=3;又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2;……,依此法继续作下去,则OP2 023= ( )A.2021B.2022C.2023D.202411.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.以格点为顶点画三角形,使三角形的三边长分别为3,2 2,5.能力提升全练12.(2022浙江金华中考,7,★☆☆)如图所示的是城市某区域的示意图,建立平面直角坐标系后,学校和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是( )A.超市B.医院C.体育场D.学校13.(2023山东临沂期中,2,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-4,6),以点O为圆心,OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于( )A.-8和-7之间B.7和8之间C.-9和-8之间D.8和9之间14.(2023山东青岛实验学校期中,7,★★☆)如图,牧童在A处放牛,牧童家在B处,A、B两处到河岸DC的距离AC、BD分别为500 m和700 m,且C、D两点的距离为500 m,天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家,那么牧童最少要走的路程为( )A.1 000 mB.1 200 mC.1 300 mD.1 700 m15.【数学文化】(2021湖南岳阳中考,15,★☆☆)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线的长恰好为1丈(1丈=10尺,1尺=10寸).问门高、宽各是多少?如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .16.【数学文化】(2021江苏宿迁中考,15,★★☆)《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”题意是:有一个池塘,其底面是边长为10尺的正方形,一棵芦苇AC生长在它的中央,高出水面部分BC为1尺,如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处(如图),问水深和芦苇长各多少尺?该问题中水深是 尺.17.【方程思想】(2023广东深圳福田外国语学校期末,16,★★☆)如图,在长方形ABCD中,AB=6,AD=8,点E在BC边上,将△DCE沿DE折叠,使点C恰好落在对角线BD上的点F处,则CE的长为 .18.(2023四川成都七中期末,14,★★☆)如图,∠AOB=90°,OA=9 m,OB=3 m,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球,如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC为 .19.(2022河南郑州枫杨外国语学校月考,18,★☆☆)某条道路限速70 km/h,如图,一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处,过了2 s,小汽车到达B处,此时测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50 m.(1)求BC的长.(2)这辆小汽车超速了吗?素养探究全练20.【空间观念】如图,正四棱柱的底边长为5 cm,侧棱长为8 cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点A沿棱柱的表面爬到顶点C'处吃食物,那么它需要爬行的最短路程是多少?21.【运算能力】【分类讨论思想】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动,设运动时间为t s.(1)当t= 时,AP平分△ABC的面积;(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值;(3)若点E、F分别为BC、AB上的动点,请直接写出AE+EF的最小值.答案全解全析基础过关全练1.C ∵圆锥的高AO=30 cm,底面半径OB=40 cm,∴AB=OA2+O B2=302+402=50(cm).故选C.2.B ∵在Rt△ABC中,AB=2米,BC=0.7米,∴AC=AB2-B C2=22-0.72≈1.9(米),故选B.3.D 如图,连接AC,则△ABC是直角三角形,根据勾股定理得AC=AB2+B C2=12+22=5≈2.236>2.2,∴只有3×2.2的薄木板能从门框内通过,故选D.4.B ∵OB=50 cm,AO=80 cm,∴AB=OB+OA=50+80=130(cm),在Rt△ABE中,AE=AB2-B E2=1302-502=120(cm),故选B.5.B 如图,∵∠BAD=30°,∠DAC=60°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,∵AB=12×1.5=18(海里),AC=16×1.5=24(海里),∴根据勾股定理得BC=182+242=30(海里).故选B.6.解析 在直角△ABC中,AC=AB2-B C2=2.4(米),∵EC=BC+BE=1.5米,DE=AB=2.5米,∴在直角△DEC中,DC=DE2-E C2= 2.52-1.52=2(米),∴AD=AC-DC=0.4(米).答:梯子的顶端沿墙下滑0.4米.7.解析 (1)130+20+100+50+90+20=410(m).答:改造前管道的长度是410 m.(2)如图,延长CB交AE于D,由题意得∠ADB=90°,BD=50-20+20=50(m),AD=130-(100-90)=120(m),在Rt△ABD中,由勾股定理得AB=AD2+B D2=1202+502=130(m),410-130=280(m).答:改造后A、B之间的管道长减少了280 m.8.解析 (1)由题图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米,设旗杆AB的高度为x米,则绳子的长度为(x+1)米,由题图2可得,在Rt△ABD 中,AB2+BD2=AD2,∴(x+1)2-x2=5.22,解得x=13.02.答:旗杆AB的高度为13.02米.(2)旗杆的高度.(答案不唯一,合理即可)9.D ∵AB⊥OA于A,∴∠OAB=90°.在Rt△OAB中,由勾股定理得OB= OA2+A B2=22+12=5,∴OC=OB=5.故选D.10.D ∵OP=1,OP1=2,OP2=3,OP3=4=2,∴OP4=5,……,OP2 023=2024.故选D.11.解析 由于(22)2=8=22+22,因此可以构造一个两条直角边长均为2的直角三角形,这个直角三角形的斜边长就是22.要构造一条长度5的线段,可构造一个直角边长分别为2和1的直角三角形,然后通过平移线段得到三角形.如图所示,△ABC即为所求作的三角形.(所作三角形的形状和大小是唯一确定的,可画在不同位置)能力提升全练12.A 如图所示,点O到超市的距离为22+12=5,点O到学校的距32+12=10,点O到体育场的距离为42+22=25,点O到医12+32=10,∵5<10<25,∴点O到超市的距离最近,故选A.13.A ∵点P的坐标为(-4,6),∴OP=(-4)2+62=52,由作图可知OA=OP=52,∵49<52<64,∴7<52<8.∵点A在x轴的负半轴上,∴点A的横坐标介于-8和-7之间.故选A.14.C 如图,作A点关于河岸的对称点A',连接BA'交河岸于P,连接PA,过A'作A'B'⊥BD交BD的延长线于B',则PB+PA=PB+PA'=BA',此时牧童走的路程最短,故应将牛牵到河边的P点饮水.易知B'D=A'C=AC=500 m,∴BB'=BD+B'D=700+500=1 200(m),∵A'B'=CD=500 m,∴BA'=BB'2+A'B'2=12002+5002=1 300(m).故牧童至少要走的路程为1 300 m,故选C.15.答案 x2+(x-6.8)2=102解析 ∵门高AB为x尺,∴门的宽为(x-6.8)尺,依题意得AB2+BC2=AC2,即x2+(x-6.8)2=102.16.答案 12解析 如图,依题意画出图形,设芦苇长AC=AC'=x尺,则水深AB=(x-1)尺,∵C'E=10尺,∴C'B=5尺,在Rt△AC'B中,52+(x-1)2=x2,解得x=13,∴AB=13-1=12(尺),即水深为12尺.17.答案 3解析 ∵四边形ABCD为长方形,∴AB=CD=6,AD=BC=8,∠DCB=90°,∴在Rt△BCD中,BD=CD2+B C2=10,由折叠可知∠DFE=∠DCB=90°,DF=DC=6,EF=EC,∴∠BFE=180°-∠DFE=90°,BF=BD-DF=4,设EC=EF=x,则BE=8-x,在Rt△BEF中,由勾股定理得BE2=EF2+BF2,∴(8-x)2=x2+42,解得x=3,即CE=3.18.答案 5m解析 ∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,∴BC=AC,设BC=AC=x m,则OC=(9-x)m,在Rt△BOC中,OB2+OC2=BC2,∴32+(9-x)2=x2,解得x=5.∴机器人行走的路程BC为5 m.19.解析 (1)在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理可得BC=AB2-A C2=502-302=40(m).(2)∵BC=40 m,∴小汽车的速度=40=20 m/s=72 km/h.2∵72 km/h>70 km/h,∴这辆小汽车超速了.素养探究全练20.解析 分两种情况:(1)将上底面A'B'C'D'和侧面A'ABB'展开,如图①,连接AC'.在Rt△ABC'中,AB=5 cm,BC'=BB'+B'C'=8+5=13(cm),由勾股定理,得AC'=AB2+BC'2=52+132=194(cm).(2)将侧面A'ABB'和侧面B'BCC'展开,如图②,连接AC'.在Rt△ACC'中,AC=AB+BC=5+5=10(cm),CC'=8 cm,由勾股定理,得AC'=AC2+CC'2=102+82=164=241(cm).∵194>164=241,∴蚂蚁需要爬行的最短路程是241 cm.21.解析 (1)∵∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,∴BC=AB2-A C2=52-32=4(cm),当BP=CP时,AP平分△ABC的面积,∴BP=2 cm,∴2t=2,∴t=1,故当t=1时,AP平分△ABC的面积.(2)分三种情况:①如图1,AP=PB,由题意得AP=BP=2t cm,∴CP=(4-2t)cm,由勾股定理得AP 2=AC 2+PC 2,∴(2t)2=32+(4-2t)2,∴t=2516;②如图2,AB=BP=5 cm,∴2t=5,∴t=52;③如图3,AB=AP,∵∠ACB=90°,∴AC ⊥BP,∴BP=2BC=8 cm,∴2t=8,∴t=4.综上所述,当△ABP 为等腰三角形时,t 的值是2516或52或4.(3)AE+EF 的最小值是245.详解:如图4,延长AC 至A',使A'C=AC,连接BA',过点A 作AF'⊥A'B 于F',交BC 于E,在AB 上截取BF=BF',连接EF,则AB 与A'B 关于BC 对称,∴EF=EF',∴AE+EF=AE+EF'=AF',此时AE+EF 的值最小,且最小值是AF'的长,∵A'C=AC=3 cm,A'B=AB=5 cm,∴△ABA'的面积=12×6×4=12×5AF',∴AF'=245 cm,∴AE+EF 的最小值是245 cm.。
勾股定理常考考点分类(分层练习)(基础练习)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题1.29勾股定理常考考点分类专题（分层练习）（基础练习）特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习。
一、单选题【考点1】勾股定理➼➻➸勾股数1．下列各组数中，可以构成勾股数的是（）A ．13，16，19B ．5，13，15C ．18，24，30D ．12，20，372．下列各组数中，能构成勾股数的是（）A ．1，1B ．12C ．6，8，10D ．5，12，15【考点2】勾股定理➼➻➸求线段长3．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，若3BC =，4AC =，则CD 的长为（）A ．2.4B ．3C ．4.8D ．54．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A ．10B ．C ．10或D ．10或24【考点3】勾股定理➼➻➸勾股树5．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A ．2024B ．2023C ．2022D ．16．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E 的面积是（）A ．20B ．26C ．30D ．52【考点4】勾股定理➼➻➸面积7．如图Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BC =，5AC =，分别以三边为直径画半圆，则两月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（）A ．5πB ．10πC ．5D ．108．在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（）.A ．4B ．C ．5D ．6【考点5】勾股定理➼➻➸网格问题9．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得ABC ，则AC 边上的高是（）AB C D 10．如图，小方格的面积是1，则图中以格点为端点且长度为5的线段有（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【考点6】勾股定理➼➻➸线段的平方和（差）11．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，则2222AB AC BC ++=（）．A ．100B ．200C ．300D ．40012．直角三角形中，斜边长为为5cm ，周长为12cm ，则它的面积为（）A ．212cmB ．26cmC ．28cm D ．29cm 【考点7】勾股定理的逆定理➼➻➸判定三角形的形状13．在△ABC 中，三边长a 、b 、c 满足(a +c )(a -c )=2b ，则△ABC 的形状是（）A ．以a 为斜边长的直角三角形B ．以b 为斜边长的直角三角形C ．以c 为斜边长的直角三角形D ．不是直角三角形14．已知三角形三边的长分别为3、4、6，则该三角形的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定【考点8】勾股定理的逆定理➼➻➸弦图问题15．如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若10ab =，大正方形面积为25，则小正方形边长为（）AB ．2CD ．316．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若8ab ，大正方形的面积为25，则EF 的长为（）A ．9B ．C ．D ．3【考点9】勾股定理的逆定理➼➻➸勾股定理与无理数17．如图所示，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（）A ．﹣1B ．1CD ．﹣18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点10】勾股定理的逆定理➼➻➸勾股定理的证明方法19．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．20．用一张纸片剪出一个空洞，空洞由边长分别为a ，b 的两个正方形和斜边为c 的两个直角三角形组成，如图所示，下列表示空洞面积的式子正确的是（）A．222a b ab++B．2c ab+C．22a b+D．21 2c ab+【考点11】勾股定理的逆定理➼➻➸用勾股定理构造图形解决问题21．为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 2.2AB=米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到离门1.2米处时（即 1.2BC=米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（）A．0.5米B．1.2米C．1.3米D．1.7米22．如图，某长方体的底面为正方形ABCD，1m=AB，4mAA'=，现用一根绳子从点A开始，沿着长方体的表面环绕长方体2圈，最后在点A'处结束，则这根绳子的最小长度为（）A．m B．mC．m D．m【考点12】勾股定理的逆定理➼➻➸用勾股定理与折叠问题23．如图，在Rt ABC 中，9034B AB BC ∠=︒==，，，将ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，则EB '的长为（）A ．3cmB ．2.5cmC ．1.5cmD ．1cm24．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ．已知4,8,AB cm BC cm ==则BEF △的面积为（）A ．212cm B ．210cm C ．28.6cm D ．28cm 二、填空题【考点1】勾股定理➼➻➸勾股数25．有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是_______．26．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪．《周髀算经》中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；⋯，若某个此类勾股数的勾为16，则其弦是______．【考点2】勾股定理➼➻➸勾股树27．如图，小明的数学作业本上都是等距离的横线，相邻两条横线的距离为1cm ，他把一个等腰直角三角板()90,ABC ACB AC BC ∠=︒=）放在本子上，点、、A B C 恰好都在横线上，则斜边AB 的长度为___________cm ．28．若在ABC 中，26AB =，30AC =，高24AD =，则BC 的长为_____；【考点3】勾股定理➼➻➸求线段长29．下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长为a 的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了②；如此继续“生长”下去，则第2023次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为________．30．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【考点4】勾股定理➼➻➸面积31．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过正方形对角线的交点，则这条直线平分该正方形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P 是其中4个小正方形的公共顶点，小明将该图形沿着过点P 的某条直线剪了一刀后，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是______．32．如图，在ABC 中，10BC ＝，点D 是BC 边上一动点，BE AD 交AD 于点E ，当4BE ＝时，ABD △的面积恰好等于ADC △的面积，连接CE ，则此时CE ＝_______【考点5】勾股定理➼➻➸网格问题33．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为2cm ，点A 、B 、C 均在格点上，线段AB 与竖直网格线相交于点D ，则线段CD 的长为_____________cm ．34．如图，数轴上点A 所表示的数为1，点B ，C ，D 是4×4的正方形网格上的格点，以点A 为圆心，AD 长为半径画圆交数轴于P ，Q 两点，则P 点所表示的数为___________．（可以用含根号的式子表示）【考点6】勾股定理➼➻➸线段的平方和（差）35．在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝3，则a 2+b 2+c 2＝_____．36．如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂足为O ，若AB ＝3，BC ＝5，CD ＝6，则AD ＝_______．【考点7】勾股定理的逆定理➼➻➸判定三角形的形状37．把一根长12厘米的木棒，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两段，用得到的三根木棒首尾依次相接，摆成的三角形形状是______．38．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．（1）线段AB 的长为__，BC 的长为__，CD 的长为__，AD 的长为__；（2）连接AC ，通过计算△ACD 的形状是__；△ABC 的形状是__．【考点8】勾股定理的逆定理➼➻➸弦图问题39．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾3a =，弦5c =，则小正方形ABCD 的边长．．是__________.40．用八个全等的直角三角形拼接了一幅“弦图”，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若123100S S S ++=，则2S =______．【考点9】勾股定理的逆定理➼➻➸勾股定理与无理数41．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即22c a b +（a 为勾，b 为股，c 为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是___________．42．课本中有这样一句话：“2，3…线段（如图所示）．”即：1OA =，过A 作1⊥AA OA 且11AA =，根据勾股定理，得12OA =1A 作121⊥A A OA 且121=A A ，得23=OA ；…以此类推，得2022OA =________．【考点10】勾股定理的逆定理➼➻➸勾股定理的证明方法43．如图，直线l 上有三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，则有22a c +______2b （填“＞”或“＜”或“=”）44．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而2c =______＋______，化简后即为2c =______．【考点11】勾股定理的逆定理➼➻➸用勾股定理构造图形解决问题45．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光．其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是12cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高5cm时，这段葛藤的长是______cm．46．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米【考点12】勾股定理➼➻➸用勾股定理与折叠问题47．如图的实线部分是由Rt△ABC经过两次折叠得到的，首先将Rt△ABC沿BD折叠，使点C落在斜边上的点C′处，再沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处．若图中∠C=90°，DE=3cm，BD=4cm，则DC′的长为_____.48．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若4AB=，8BC=，则AE的长为___________．参考答案1．C【分析】根据勾股数定义：满足222+=a b c 的三个正整数，称为勾股数，进行分析即可．解：A 、222131619+≠，不能构成直角三角形，故此选项错误；B 、22213515+≠，不能构成直角三角形，故此选项错误；C 、222182430+=，能构成直角三角形，故此选项正确；D 、222122037+≠，不能构成直角三角形，故此选项错误；故选：C ．【点拨】此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题的关键．2．C【分析】根据勾股数的定义进行逐一判定即可：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数．解：A ∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；B∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；C 、∵2226810+=，∴这一组数能构成勾股数，符合题意；D 、∵22251215+≠，∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；故选C ．【点拨】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的概念．3．A【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用面积法得到1122=⨯⨯=⨯⨯ ABC S AC BC AB CD ，即可求出结果．解：∵90C ∠=︒，∴5AB =，∵1122=⨯⨯=⨯⨯ ABC S AC BC AB CD ，∴435CD ⨯=⨯，解得： 2.4CD =，【点拨】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是利用三角形的面积列出方程求解．4．C【分析】分8为斜边，6为直角边和8和6都为直角边两种情况，结合勾股定理解答即可.解：若8为斜边，6；若8和610=；故选：C.【点拨】本题考查了勾股定理，属于常见题型，熟练掌握勾股定理、正确分类是关键.5．A【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是212⨯=；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是313⨯=，推而广之即可求出“生长”2023次后形成图形中所有正方形的面积之和．解：设直角三角形的是三条边分别是a ，b ，c ．根据勾股定理，得222+=a b c ，即1A B C S S S +==正方形正方形正方形．“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是212⨯=；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是313⨯=，“生长”3次后，所有的正方形的面积和是414⨯=，…“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是202412024⨯=．故选：A ．【点拨】能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．6．B【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A ，B ，C ，D 的面积和即为最大正方形解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：E F GS S S =+=A B C DS S S S +++=61046+++=26故选B ．【点拨】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．7．C【分析】阴影部分面积可以看成是以AB ,BC 为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC 的面积，再减去一个以AB 为直径的半圆面积，从而得出答案．解：∵90,ABC ∠=︒∴222,AB BC AC AB +==∴S 阴影=S 以AB 为直径的半圆+S 以BC 为直径的半圆+ABC S -V S 以AC 为直径的半圆2221111()()()2222222AB BC AC AB BC πππ=⨯+⨯+-⨯g 22211()82AB BC AC AB BC π=+-+g 152=⨯,故选：C ．【点拨】本题主要考查勾股定理，解题关键是找出阴影部分的面积是由哪几个规则图形的面积的和或差表示．8．A解：试题分析：根据勾股定理的几何意义即可得到结果.由图可知，，则，故选A.考点：本题考查的是勾股定理的几何意义点评：解答本题的关键是熟练掌握一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．同时理解边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．9．C【分析】求出三角形ABC 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC 边上的高．解：四边形DEFA 是正方形，面积是4；ABF △，ACD 的面积相等，且都是11212⨯⨯=．BCE 的面积是：111122⨯⨯=．则ABC 的面积是：1341122---=．在直角ADC △中根据勾股定理得到：AC ==设AC 边上的高是x ．则1322AC x ⋅==，解得：x =故选：C ．【点拨】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用割补法求面积是解决本题的关键．10．A【分析】根据常见的勾股数3、4、5，构造以3、4为直角边的直角三角形即可．解：如图所示，共4条．【点拨】本题考查了勾股数的运用，解题的关键是结合图形运用勾股定理，注意不要超出图形的范围．11．C【分析】根据题意90C ∠=︒，那么AB 就为斜边，则根据勾股定理可得：222AC BC AB +=，那么原式则为23AB ，再将AB 的值代入即可求出答案．解：∵在Rt ABC △中，且90C ∠=︒，∴AB 为Rt ABC △的斜边，∴根据勾股定理得：222AC BC AB +=，∴2222223310300AB AC BC AB ++==⨯=，故选：C ．【点拨】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．12．B【分析】设该直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出2ab 的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．解：解:设该直角三角形的两条直角边分别为a 、b根据题意可得：22251257a b a b ⎧+=⎨+=-=⎩①②将②两边平方－①，得224ab =∴12ab =∴该直角三角形的面积为2126ab cm =故选B ．【点拨】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．13．A【分析】先根据题意得出a 、b 、c 的关系，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论．解：∵△ABC 的三边长a ，b ，c 满足：（a +c ）（a ﹣c ）＝2b ，∴222a c b -=，即222a b c =+，∴△ABC 是直角三角形，且a 为斜边．【点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222+=a b c ，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．14．C【分析】根据勾股定理求出以3、4为直角边的三角形的斜边长，由此即可得．解：222345+= ∴以3、4为直角边的三角形的斜边长为556< ∴以3、4、6为三边构成的三角形是钝角三角形故选：C ．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题关键．15．C【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个全等的三角形的面积，由此即可求解．解：如图所示，∵大正方形面积为25，四个全等的直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，10ab =，∴25ABCD S =正方形，1110522ABG BCH CDE ADF S S S S ab =====⨯=△△△△，∴2425455ABG EFGH ABCD S FG S S ==-=-⨯=△正方形正方形，∴FG =故选：C ．【点拨】本题主要考查勾股定理，理解图示的意思，掌握面积法与勾股定理的计算方法是解题的关键．16．C【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积即可解答．解：∵三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，∴四个三角形的面积为2ab ，∵8ab =，大正方形的面积为25，∴小正方形的面积为25225169ab -=-=，∴小正方形的边长为3，∴EF ==，故选C ．【点拨】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，勾股定理，掌握小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积是解题的关键．17．A【分析】根据图示，可得：点A 是以()1,0-的求法，求出a 的值为多少即可．解：由勾股定理得：BD ，∴BA BD ==∴点A 是以()1,0-1-左侧，∴1a =--．故选：A ．【点拨】本题考查了数轴和实数及勾股定理，能求出BD 的长是解此题的关键．18．D【分析】根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长．解：观察图形，应用勾股定理，得AB ==BC ==，AC =∴三个边长都是无理数；故选：D ．【点拨】本题考查了无理数与勾股定理，解题的关键是理解无理数及使用勾股定理．19．D【分析】根据等面积法列出等式，进而化简等式，结合勾股定理即可作出判断．解：A ．∵()()211112222ab ab c a b a b ++=++，∴222111122222ab c a ab b +=+⋅+，∴222+=a b c ，故选项A 能证明勾股定理，不符合题意；B ．∵()22142ab c a b ⨯+=+，∴22222ab c a ab b +=++，∴222+=a b c ，故选项B 能证明勾股定理，不符合题意；C ．∵()22142ab b a c ⨯+-=，∴22222ab b ab a c +-+=，∴222+=a b c ，故选项C 能证明勾股定理，不符合题意；D ．()2222a b a ab b +=++是证明完全平方公式，不能证明勾股定理，符合题意，故选：D ．【点拨】本题是证明勾股定理，熟记基本图形的面积公式和完全平方公式，利用等面积法正确得出等量关系是解答的关键．20．B【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．解：观察图形可知：空洞面积为a 2+b 2+ab =c 2+ab ，故选：B ．【点拨】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息．21．C【分析】过点D 作DE AB ⊥于点E ，构造Rt ADE △，利用勾股定理求得AD 的长度即可．解：如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，∵ 2.2AB =米， 1.7BE CD ==米， 1.2ED BC ==米，∴ 2.2 1.70.5AE AB BE =-=-=（米）．在Rt ADE △中，由勾股定理得到：22220.5 1.2 1.3AD AE DE +=+=（米），故选：C ．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD 的长度．22．C【分析】如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点A '，相当于直角三角形的两条直角边分别是8和4，再根据勾股定理求出斜边长即可．解：如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点A '，相当于直角三角形的两条直角边分别是8和4，228+4=80=45m ．故选C ．【点拨】本题考查的是平面展开−最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．23．C【分析】设未知数利用勾股定理列方程求解即可．解：∵在Rt ABC 中，9034B AB BC ∠=︒==，，，∴22345AC =+∵将ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B '重合，∴,3,90BE EB AB AB EB C '''===∠=︒，∴532B C '=-=设BE B E x '==，则4EC x=-∴在Rt EB C '△中，222+EC EB B C ''=即2222(4)x x +=-，解得 1.5x =∴ 1.5EB '=故选：C ．【点拨】此题考查勾股定理，解题关键是设未知数列出方程．24．B【分析】根据折叠的性质知：CF=HF ，AB=DC=BH ；可设CF 为x ，用x 表示出HF 和BF 的长，进而在Rt △BHF 中求出x 的值，即可得到BF 的长；因为△BEF 在长方形ABCD 中，所以它的高为4，然后利用三角形的面积公式即可得到答案．解：设CF=HF=x ，则BF=8-x ，在Rt △BHF 中42+x 2=（8-x ）2，得x=3，∴BF=5，∴S △BEF=5×4×12=10故选：B ．【点拨】本题主要考查了翻折变化的性质以及勾股定理等知识，根据题意得出CF=HF 的长是解题关键．25．35【分析】根据勾股数的定义，勾股定理求解．35．【点拨】本题考查勾股数定义，勾股定理，理解勾股定理表述的数量关系是解题的关键．26．65【分析】根据题意可得，勾为(m m 为偶数且4m ≥，根据所给的二组数找规律可得结论．解：根据题意可得，勾为m (为偶数且4)m ≥，则另一条直角边212m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，弦212m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．则弦为．2161652⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故答案为：65．【点拨】本题考查勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．27．【分析】首先添加辅助线过A 作AD m ⊥于点D ，过B 作BE m ⊥于点E ，再利用AAS 得证ACD CBE ≌，进而根据已知条件由勾股定理求得AC BC ==，进一步计算即可得解．解：过A 作AD m ⊥于点D ，过B 作BE m ⊥于点E ，如图：∵AD m ⊥，BE m⊥∴90ADC CEB ∠=∠=︒∵90ACB ∠=︒∴90DAC ACD ECB ACD ∠+∠=∠+∠=︒∴DAC ECB∠=∠∵AC CB=∴()AAS ACD CBE △≌△∵相邻两条横线的距离都是1cm∴3cm CE AD ==，6cmBE =∴AC BC ====∴AB =故答案为：【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，证出ACD CBE ≌是解题的关键．28．28或8【分析】根据高的定义可得90ADB ADC ∠=∠=︒，进而根据勾股定理分别求得,BD CD ，分类讨论即可求解．解：如图，AD 为边BC 上的高，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在Rt ABD 中，2222262410BD AB AD =-=-=，在Rt ACD 中，2222302418CD AC AD -=-=，当点D 在线段BC 上时，101828BC BD CD =+=+=；当点D 在线段CB 的延长线上时，18108BC CD BD =-=-=，BC ∴的长为28或8．故答案为：28或8．【点拨】本题考查了三角形高的定义，勾股定理，分类讨论解题的关键．29．22024a 【分析】根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，根据勾股定理求出经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，根据规律解答．解：如图，第一个正方形的边长为a ，∴第一个正方形的面积为2a ，由勾股定理得，222AB AC BC =+，2222AC BC AB a ∴+==，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为2a ，∴“生长”第1次后所有正方形的面积和为22a ，同理，“生长”第2次后所有正方形的面积和为23a ，⋯⋯则“生长”第2023次后所有正方形的面积和为22024a ，故答案为：22024a ．【点拨】本题考查的是勾股定理、图形的变化，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．30．127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点拨】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．3110【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM AB =，利用勾股定理即可求得．解：如图，经过P 、Q 的直线则把它剪成了面积相等的两部分，设直线PQ 与直线NC 交于点M ，∵PD MC ∥，PD MC =，90MCA PDB ∠=∠=︒，∴AMC BPD ≌△△，∴AM PB =，∴PM AB =，∵PM =∴AB =故选：D ．【点拨】中心对称的性质，勾股定理的应用，证明AMC BPD ≌△△推出PM AB =是解题的关键．32．【分析】延长AD ，过点C 作AD 的垂线，垂足为点H ，根据ABD △和ADC △的面积相等可知线段AD 是中线，CH BE =，根据直角三角形的勾股定理可得CE 的长度．解：延长AD ，过点C 作AD 的垂线，垂足为点H ，如图所示∵ABD △和ADC △的面积相等∴CH BE=∵4BE =∴4CH =∵根据三角形中线的性质可知∴BD CD=∵10BC =∴11052BD CD ==⨯=∴在Rt CHD 中可得3DH =在Rt BED 中可得3DE ==∴6EH =∴在Rt CHE 中可得CE ==故答案为：【点拨】本题考查了三角形的中线和面积的关系以及勾股定理等知识点，灵活运用三角形的中线和面积的关系是解题的关键．33【分析】先证明()AAS ADF BDE ≌V V 则DF DE =，进而得出1DH DG ==，最后根据勾股定理求解即可．解：如图，在ADF △和BDE △中，AFD BED ADF BDE AF BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADF BDE ≌V V ，∴DF DE =，∵FH EG =，∴1DH DG ==，在Rt DCG △中，根据勾股定理得：CD =cm ，．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是找出全等三角形，得出边的长度．341【分析】先根据勾股定理求出AD 的长，即为AP 的长，再根据两点间的距离公式便可求出OP 的长，则可得出答案．解：由勾股定理可得，AD =，则AP AD ==∵点A表示的数是1，∴1OP+，∴P1+．1．【点拨】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离＝较大的数-较小的数，是解题的关键．35．18【分析】根据勾股定理可得a2+b2＝c2，那么a2+b2+c2＝2c2，将c＝3代入计算即可求解．解：在△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2，∵c＝3，∴a2+b2+c2＝2×32＝18．故答案为：18．【点拨】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理，整体代入求值．36．【分析】根据勾股定理，分别写成四个直角三角形的三边关系，再将四个式子整理即可解题．解： AC⊥BD，∴在t t、中，R AOB R COD2222+=A=3=9①AO OB B2222+===②CO OD CD636同理得，222+=③AO OD AD2222+===④525OB OC BC①+②=③+④即2AD+9+36=25220∴=AD∴=AD故答案为【点拨】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．37．直角三角形【分析】首先计算出第三条铁丝的长度，再利用勾股定理的逆定理可证明摆成的三角形是直角三角形．解：12-3-5=4（cm），∵32+42=52，∴这三条铁丝摆成的三角形是直角三角形，故答案为：直角三角形．【点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．5，，（2）等腰三角形，直角三角形38．（1【分析】（1）利用勾股定理计算即可．（2）根据等腰三角形的定义，勾股定理的逆定理判断即可．解：（1）由题意ABBC5,=CD=AD=5，==（2）∵AC AD∴AC＝AD，∴△ACD是等腰三角形，∵AB AC＝BC＝5，∴AB2+AC2＝25＝BC2，∴∠BAC＝90°∴△ABC是直角三角形，故答案为等腰三角形，直角三角形．。
八年级数学上第一章《勾股定理》基础练习题
八年级数学上--勾股定理基础练习考点一：勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+； 即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
题型一：直接考查勾股定理1、在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．则AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，则BC 的长题型二：利用勾股定理测量长度1、如右图如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是 米？2、如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.题型三：利用勾股定理求线段长度如图，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.题型四：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
（2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）A 、242c mB 、36 2c mC 、482c mD 、602c m 考点二：勾股定理的逆定理；题型一：勾股数的应用 （1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6B. 2，3，4C. 11，12，13D. 8，15，17（2）若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）A 、2∶3∶4B 、3∶4∶6C 、5∶12∶13D 、4∶6∶7题型二：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下面的三角形中：①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3；③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5；④△ABC 中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（ ）．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个（2）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等腰三角形考点三：勾股定理的应用； 题型一：面积问题（1）下图1是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ）A. 13B. 26C. 47D. 94题型二：求长度问题如上图2，在一棵树10m 高的B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处； 另外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？题型三：最短路程问题（1）如上图3，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A 要爬到顶点B ，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。
(完整版)《勾股定理》练习题及答案
《勾股定理》练习题及答案测试1 勾股定理(一)学习要求掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．课堂学习检测一、填空题1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C 所走的路程为______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．二、选择题6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．2(A)4 (B)6 (C)8 (D)108．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2 (D)无法计算三、解答题9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．综合、运用、诊断一、选择题10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．(A)1个(B)2个 (C)3 (D)4个二、填空题11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．三、解答题13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．拓展、探究、思考14．如图，△ABC中，∠C＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S1＋S2与S3的关系；图①(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S1＋S2与S3的关系；(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．测试2 勾股定理(二)学习要求掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，此时甲、乙两人相距______km ． 3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m 路，却踩伤了花草．4．如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ． 二、选择题5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )． (A)5m(B)7m(C)8m(D)10m6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )． (A)212 (B)310 (C)56(D)58三、解答题7．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?综合、运用、诊断一、填空题9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为______米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(取3)二、解答题：11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?9 10 11 12拓展、探究、思考13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD ＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．测试3 勾股定理(三)学习要求熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝______，AB边上的高CE＝______．2．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，则BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．3．在△ABC中，若AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝10，则AC＝______，AB边上的高CD＝______．4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 二、选择题6．已知直角三角形的周长为62+，斜边为2，则该三角形的面积是( )．(A)41 (B)43 (C)21 (D)17．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． (A)7 (B)7或41(C)24(D)24或7三、解答题8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．9．在数轴上画出表示10-及13的点．综合、运用、诊断10．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．11．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．12．如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．拓展、探究、思考14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积S n＝______．测试4 勾股定理的逆定理学习要求掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．课堂学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．5．若△ABC 中，(b －a )(b ＋a )＝c 2，则∠B ＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形． 7．若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______． 二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( )． (A)a ＝6，b ＝8，c ＝10 (B)3,2,1===c b a (C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2(B)1∶3∶4 (C)9∶25∶26(D)25∶144∶16911．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形(D)形状无法确定综合、运用、诊断一、解答题12．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．18．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．参考答案 第十八章 勾股定理 测试1 勾股定理(一)1．a 2＋b 2，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，3； (4)1，2．3．52． 4．52，5． 5．132cm ． 6．A ． 7．B ． 8．C ． 9．(1)a ＝45cm ．b ＝60cm ； (2)540； (3)a ＝30，c ＝34； (4)63； (5)12．10．B ． 11．.5 12．4． 13．.310 14．(1)S 1＋S 2＝S 3；(2)S 1＋S 2＝S 3；(3)S 1＋S 2＝S 3．测试2 勾股定理(二)1．13或.119 2．5． 3．2． 4．10． 5．C ． 6．A ． 7．15米． 8．23米． 9．⋅3310 10．25． 11．.2232- 12．7米，420元． 13．10万元．提示：作A 点关于CD 的对称点A ′，连结A ′B ，与CD 交点为O ．测试3 勾股定理(三)1．;343415,34 2．16，19.2． 3．52，5． 4．.432a 5．6，36，33． 6．C ． 7．D8．.132 提示：设BD ＝DC ＝m ，CE ＝EA ＝k ，则k 2＋4m 2＝40，4k 2＋m 2＝25．AB ＝.1324422=+k m9．,3213,31102222+=+=图略．10．BD ＝5．提示：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出(30－x )2＝(x ＋10)2＋202，解得x ＝5．11．BE ＝5．提示：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴32＋(9－x )2＝x 2．解得x ＝5．12．EC ＝3cm ．提示：设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，BF ＝622=-AB AF ，CF ＝4．在Rt △CEF中(8－x )2＝x 2＋42，解得x ＝3．13．提示：延长FD 到M 使DM ＝DF ，连结AM ，EM ．14．提示：过A ，C 分别作l 3的垂线，垂足分别为M ，N ，则易得△AMB ≌△BNC ，则.172,34=∴=AC AB 15．128，2n －1．测试4 勾股定理的逆定理1．直角，逆定理． 2．互逆命题，逆命题． 3．(1)(2)(3)． 4．①锐角；②直角；③钝角． 5．90°． 6．直角．7．24．提示：7＜a ＜9，∴a ＝8． 8．13，直角三角形．提示：7＜c ＜17． 9．D ． 10．C ． 11．C ． 12．CD ＝9． 13．.51+14．提示：连结AE ，设正方形的边长为4a ，计算得出AF ，EF ，AE 的长，由AF 2＋EF 2＝AE 2得结论． 15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为(a －5)2＋(b －12)2＋(c －13)2＝0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0． 18．352＋122＝372，[(n ＋1)2－1]2＋[2(n ＋1)]2＝[(n ＋1)2＋1]2．(n ≥1且n 为整数)。