概率极限理论
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随机微分方程基本理论
1、引言
随机微分方程（SDE ）的诞生有其一定的应用背景。随机微积分和随机微积分方程起源于马氏过程的构造和柯尔莫哥洛夫的分析方法与费尔的半群方法。常微分方程在物理、工程技术、生物和经济等领域中的应用是众所周知的，然而随着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精确。因此，随机因素的影响就不能轻易地被忽略，于是对于某些实际过程的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点，从而对这些实际系统的描述，也就自然地从确定性的常微分方程转到随机常微分方程，简称随机微分方程。
随机微分方程是一种针对生物、化学、医药、机电、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型，其广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。伊藤型随机微积分方程就是指带有白噪声的微分方程。自从爱因斯坦建立了布朗运动和随机分子扩散的数学理论以来，各种不同的领域内，如分子物理学、院子物理学、化学动力学、固态理论、结构稳定性、群体遗传学、通信以及自然科学、社会科学和工程的许多其他分支中开展了一系列理论的科学研究。在随机微分方程理论研究的早期阶段，爱因斯坦、斯莫路苏斯基、郎之万、奥伦斯坦、乌伦贝克和克拉美等人做了许多卓有成效的工作，这些工作综合在查德瑞赛卡1943男的主要论文中。随着随机微分方程的数学理论的发展数学研究人员在这一领域中发展了一些及其重要的结果，随着伊藤积分概念的引入，随机微分方程的理论向更深纵发展。
2、基础理论和线性方程
0)0( , )()),(()),(()(x x x dw t t x b dt t t x a t dx =+= (2.1)
是由伊藤积分方程
)()
),(()),(()(0
0s dw s s x b s s x a x t x t
t
⎰⎰+
+
= (2.2) 定义。
这样，（2.1）式的解释非可料函数)(t x ，使得2
1)),((t t x a ，和)),((t t x b 属于[]T H ,02，且满足（2.2）式。对于方程组
)()),(()),(()(t dw t t x b dt t t x a t dx += (2.3)
可以同样定义，其中
[]T
n x x x x ,,,21 = ， []T
n a a a a ,,,21 =
且[]
T
n t w t w t w w )(,),(),(21 =是独立布朗运动组成的向量，随机微分方程的最简单例子是方程
0)0( , )()()()(x x x dw t b dt t a t dx =+= (2.4)
其解为
)()
()()(0
0s dw s b ds s a x t x t
t ⎰⎰++
= 为了阐明解的本质，我们计算)(t x 的转移概率密度，即函数),,,(t y s x p 使得
⎰=
=∈A dy t y s x p x s x A t x P ),,,())(|)(( (t>s)
其中A 是R 中任意集合。假定)(t a 和)(t b 是确定函数。随机积分
⎰=
t
s dw s b t 0
)()()(ζ
是独立正态随机变量线性组合
[]∑-+)()()(1
i i
i t w t w t b
的极限，因而积分也是正态变量，这样，
⎰-
-=t
ds s a x t x t 0
0)()()(ζ
是正态变量，因而
v
y e
v
t y s x p 2)(221),,,(μπ--=
其中
))(|)((x s x t x E ==μ
由此得到
⎰+
==t
du u a x x s x t x E 0
)())(|)((
作为随机积分的期望等于零。同样有
⎰⎰=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==t
s
t
s du u b u dw u b E t Varx v )()()()(2
2
因而
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰-t s t s t
s du u b u d u a x y du u b t y s x p )(2))()((exp )(2),,,(2
22
12π 下一步考虑经过变量变换能化为（2.4）式的随机微分方程。考虑变量变换
)),(()(t t x f t =ζ
其中)(t x 是（2.1）式的解，那么有伊藤公式，
)
()),(()),(( )]),(()),((21 )),(()),(()),(([
)(222t dw t t x x
f
t t x b dt t t x x
f
t t x b t t x t f
t t x a t t x t f t d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ζ (2.5)
假设),(t x f 有（关于x 的）反函数),(t x g ，于是
x t t x g f =)),,(( ，x t t x f g =)),,((
那么)),(()(t t g t x ζ=，因而（2.5）式可写为
)()),(()),(()(t dw t t b dt t t a t d ζζζ+= (2.6)
其中
)
),,(()),,((21 )),,(()),,(()),,((),(22
2t t x g x
f
t t x g b t t x g t
f
t t x g a t t x g t f t x a ∂∂+∂∂+∂∂=
)),,(()
),,((),(t t x g t
f
t t x g b t x b ∂∂= 如果能找到函数),(t x f 使得