数值微分公式的误差分析

给定两点上的函数值
f (x0 ), f (x1),
L1( x)
x x1 x0 x1
f
(x0 )
x x0 x1 x0
f (x1)
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f
(
x0
)
f
(
x1
)
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f (x1) f (x0 ) x1 x0
(6 3a) (6 3b)
对应于 n 情8形的Cotes系数见表6-1（书92页） 。
6.2.2 复合求积公式
求积公式的稳定性分析：
设
f
(xi ) 的近似值为 ~f (xi )
i
0,1,
, n, 误差为ei
f
(xi )
~ f (xi ) ,
记 I~n
n
~ Ai f (xi ).
i0
则 In I~n
n
n
Ai f (xi )
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f
(
2
x)
(
x
x0
)
(
x
x1
)x
xi
f 1 h
2
f 2 h
2
i 0
(6-6)
i 1
这里 1,2 (x0 , x1)
三点公式的截断误差为
f (xi ) L2 (xi )
f
(
3!
x)
(
x
x0
)
(
x
x1
)
(
x
x2
)
x
xi
f 1 h2
y2
f (x1 h)
f
( x1 )
hf
( x1 )
h2 2
f
( x1 )
h3 3!
f
( x1
)
h4 4!
f 4 1
y0
f (x1 h)
f
(
x1 )
hf
( x1 )
h2 2
f
(
x1
)
h3 3!
f
( x1
)
h4 4!
f 4(2 )
这里 x1 1 x2 , x0 2 x1
相加得
y2
nn 0
ji
t j hdt i j
j0
j0
b a (1)ni
nn
(t j)dt
n i!(n i)! 0 ji
j0
记
Cin
(1)ni i!(n i)!n
n 0
n
(t j)dt
ji
j0
则 Ai (b a)，CNin-C求积公式表示为
nwk.baidu.com
In (b a) Cin f (xi ) i0
def
Ai
b a
li
(x)dx
(i 0,1, , n)
称为求积系数，其和
n
n
Ai
b a
li (x)dx
b a
dx
b
a
i0
i0
6.2.1 牛顿柯特斯公式
由
xi
a
ih
h
b
n
a
;i
0,1,
, n,
x
a
th
得
Ai
b
a li (x)dx
b a
n ji
x x j dx xi x j
Cotes系数
(6 10)
特别地
n 1时, 有
I1
b
a 2
f
(a)
f
记为
(b) T
这称为梯形公式；
n 2时, 有
I2
ba 6
f
(a)
4
f
a
b 2
f
记为 (b) S
这称为Simpson公式；
n 4 时, 有
I4
ba 90
7
f0
32
f1
12
f2
32
f3
7
记为
f4 C
这称为Cotes公式。
似计算公式f (xi ) (i 0,1, , n), a x0 x1 xn b ,
b a
Ln
(
x)dx
b a
f
(x)dx
这里
n
n
记为
b a
Ln
(x)dx
f (xi )
b a
li
(
x)dx
Ai f (xi ) In
i0
i0
(6 9)
称为插值型求积公式，
x0 , x称1,为求, 积xn节点，
6.1 插值型数值微分公式
由
f (x) Ln (x)
f
n1 (x)
(n 1)!
n
1
(
x)
(6 1)
得
f (x) Ln (x)
f
n1 (x) n 1!
n 1
(x)
(n
1 1)!
df
n1
dx
n1
(x)
当 x 为插值节点 时，xi上式简化为
f (xi ) Ln (xi )
f n1 (x)
(n 1)!
n1(x) xxi
i 0,1, , n
(6 2)
故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，
以便估计误差。
一般地 Lnk (xi ) f k (xi ) i 0,1, , n; k 1,2,
这类公式称为插值型数值微分公式。
6.1.1 常用的数值微分公式
~ Ai f (xi )
n
Aiei
i0
i0
i0
注意到 n 7 时，Cin 均同号（见表 6 1），所以
n
n
Ai Ai b a
i0
i0
这时
In I~n
n i0
Ai
max
1in
ei
(b
a)
max
1in
ei
计算稳定
复合求积的方法：
对区间a,b 作等距分割 xk
a kh, (h
x2 x2
y0
x x0 x x2 x1 x0 x1 x2
y1
x x0 x x2 x0 x2
x1 x1
y2
f
(x0 )
L2 (x0 )
3 y0
4 y1 2h
y2
得:
f
( x1 )
L2 (x1)
y2 y0 2h
y2 x2
y0 x0
f
(x2 )
L2 (x2 )
3
f 2 h2
6
i 0 i 1
(6-7)
f 3 h2
3
i 2
这里 1,2 , 3 x0 , x2
例 6.1 为计算
在 x=2 处的一阶导数值，我们可选用中点公式
当计算保留四位小数时，得到计算结果。
而精确值为 小计算效果均不好。
，可见当 h=0.1时近似结果最好，步长太大或太
为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设 f (x) 四阶连续可微，故得
y0
2 y1
h2
f
( x1 )
h4 4!
f 41 f 42
2 y1
h2
f
(
x1
)
h4 12
f
4
从而得到误差估计式
(x0 x2 )
f (x1)
y2 2 y1 y0 h2
h2 12
f 4
(6 8)
6.2 插值型数值积分
插值型数值积分的思想是：
若已知
则利用拉格朗日插值多项式建立近
y0
4 y1 3y2 2h
这称为三点公式，其中（6—4b）又称为中点公式。
6 4a
(6 4b) (6 4c)
进一步由
L2(x)
y2
2可y1得计y0算公式 h2
f
(xi )
y2
2 y1 h2
y0
i 0,1, 2
6.1.2 数值微分公式的误差分析
两点公式的截断误差为
f (xi )
这称为两点公式。
若给定三点上的函数值
yi f (xi ), xi x0 则 i由h, i 0,1,2,
L2
x
x x0
x1 x1
x x2 x0 x2
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
x x1 x x0 x1x0