非线性动力学练习题
非线性药物动力学
四、非线性药物动力学的识别
判别关键：动力学参数是否随剂量的不同而变化
判别方法：iv高、中、低三个剂量，得到三组C-t 数据→进行以下数据处理→判断线性或非线性。
以各剂量AUC对相应的剂量作图，若AUC与相应的剂量呈线性关 系，则为线性动力学，否则为非线性
案例二分析
阿司匹林在体内是经酶代谢由尿排出体外的，是典型酶饱 和非线性消除动力学实例。
小剂量给药时(0.25 g)，由于酶的活性与数量充足，未出现 饱和现象，其消除为一级动力学过程；当服用剂量较大 (≥1.0g)时，初始阶段消除过程在高剂量下酶达到饱和，表 现为零级消除，随着体内药量下降，消除过程逐渐脱离饱 和状态，体内药量降低到一定程度后，又恢复一级动力学 消除。
涉及容量限制系统的药物往往显示出非线性动力学
案例三
下图为乙醇体内消除速率与血药浓度曲线。从图 中可以看出：乙醇在体内的代谢速率随浓度增加 而加快，当达到一定浓度后，乙醇在体内的代谢 速率接近一个定值，且无论其浓度如何增加，乙 醇将以约10g/h的速率进行代谢。
问题：
1. 分析乙醇在体内表现 出显著的非线性药物动 力学特征的原因 2. 发生醉酒取决于饮酒 速率还是饮酒时间
过程。
二、非线性药物动力学的特点
药物消除速率符合Michaelis-Menten方程，即 低剂量(低浓度)时为一级动力学，高剂量(高浓 度)为零级动力学
药物消除半衰期随剂量增加而延长 血药浓度、AUC与剂量不成正比 其他药物可竞争酶或载体系统，影响药物的动
力学过程 药物代谢物的组成、比例可因剂量改变而变化
iv若干大小不同的剂量，以C/D（AUC/D）对t作图，曲线重叠 （比值相同）为线性，反之为非线性
力学习题-第3章非惯性系(含答案)
相对转盘不动，转动角速度的最小值为
rad/s（结果保留一位小数）。
答案：3.2 解：取转盘参为参考系（匀角速转动的非惯性系），以木块为研究对象，受力分 析：重力 mg 、静摩擦力 f 、斜面的支持力 N 、惯性离心力 F m2r （方向沿 径向向外， r 为木块离盘心的水平距离）。木块处于静止状态，受力平衡有： 沿斜面方向： mg sin m 2r cos f 0
h 1 gt 2 ， l vt 2
其中，v R 为物体刚好离开圆盘时相对地面的速度（此时，物体相对圆盘的速 度近似为零）。 设小物体质量为 m，与圆盘的摩擦力为 f，以圆盘为参考系（因为圆盘绕其轴的 角速度逐渐增大，所以可将其在短时间内视为匀角速转动的非惯性系）。小物体 恰好滑出圆盘时受最大静摩擦力 f mg ，加上沿圆盘径向方向的惯性离心力
2. 在以加速度 a 相对惯性系作加速平动的非惯性系中，质点 m 受到的惯性力的 大小等于 ma. 答案：对 解释：请参考本章视频。
3. 由于惯性力是人为引入的虚拟力，所以它的作用效果与真实力不同。 答案：错 解释：虽然惯性力不是真实的力，找不到施力物体，但其作用效果与真实力相同。 比如，地面上静止的汽车突然加速，站在车上的人突然向后倾倒的现象可以理解 为惯性力的作用，其效果与站在静止的车上人突然有力向后拉他是相同的。
A. v =
gh tan 1 ;B. v =
gh tan 2 ;C. v =
gh tan 1 tan 1 + tan 2
;
D.
v=
gh tan 1 cot 1 + cot 2
答案：D 解：以小球为参考系（匀角速转动的非惯性），小球上、下两侧绳中的张力分别
为
FT1、FT 2
非线性物理 习题部分答案
由图可能进入混沌状态了 -------------------------------------------------------------
dU 0 2 x 3 2 x 0 （丢掉常系数） x x 0 dx
-------------------------------------------------------------------------------3. （照猫画虎；照虎画猫？）
2 )x x0 x ( x2 x
2 2 2 x 1 x y 1 (1 x y ) bxn n+2 n 1 n+1 n n 2 yn+2 bxn+1 b(1 xn yn ) 2 2 xn+2 xn 1 (1 xn yn ) bxn 2 y y b (1 x n n yn ) n+2 2 2 x 1 (1 x y ) bxn n n n 2 yn b(1 xn yn )
x0 0 ac x0 a0 ab
a. 在 x 0 平衡点附近做微扰，坐标有偏离，偏离量为
x x0 x ； x 代入方程
dx x(a c abx) dt
d (a c ab ) （丢掉常系数）得到 dt d (a c) ab 2 ，忽略二阶小量得到 dt d d dt (a c) ；分离变量积分得到 (a c) dt d (a c)dt
d ln (a c)dt ln (a c)t A e( a c )t A
e( a c )t A Ae( a c )t
大学物理练习题运动学动力学答案
练习题1：质点运动学和动力学一、判断题（每题2分，共20分）1.物体做匀速圆周运动，由于速率大小不变，所以加速度为零。
（×）2.质点的位置矢量方向不变，质点一定作直线运动。
（√）3. 物体匀速率运动，加速度必定为零。
( × )4. 对于一个运动的质点，具有恒定速率，但可能有变化的速度。
( √ )5. 物体作曲线运动时，一定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。
( √ )6．质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。
（√）7．一个系统如果只受到保守内力的作用，此系统机械能守恒。
（√）8．质量为 M 的木块静止在光滑水平面上，一质量为 m的子弹水平地射入木块后又穿出木块，则在子弹射穿木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒。
（√）9. 子弹分别打在固定的软和硬的两块木块内，则木块受到的冲量相同，但硬木块的平均作用力大。
（√）10. 一对内力作功之和必为零。
（×）二、选择题（每题2分，共20分）1．当物体的加速度不为零时，则：( B )（A）对该物体必须做功；（B）对该物体必须施力，且合力不会为零；（C）它的速率必然增大；（D）它的动能必然增大。
2. 质点在O−xy平面内运动，其运动方程为r⃗=2ti⃗+(4−t2)j⃗ (SI)，则当t=2S时,质点的速度是 ( A )(A) (2i ⃗−4j ⃗)m s ⁄ (B) (−2i ⃗)m s ⁄ (C) (−4j ⃗)m s ⁄ (D) (2i ⃗+4j ⃗)m s ⁄3、下列几种运动形式，哪一种运动是加速度矢量a ⃗⃗保持不变的运动？（ C ）。
A 、单摆运动；B 、匀速度圆周运动；C 、抛体运动；D 、以上三种运动都是a ⃗⃗保持不变的运动。
4. 一个质点在做圆周运动时，则有（ B ）(A) 切向加速度一定改变，法向加速度也改变；(B) 切向加速度可能不变，法向加速度一定改变；(C) 切向加速度可能不变，法向加速度不变；(D) 切向加速度一定改变，法向加速度不变。
动力学20道练习题.docx
（2009江苏高考）航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，其质量m =2kg,动力系统提供的恒定升力F =28N。
试飞时，飞行器从地面由静止开始竖直上升。
设飞行器飞行时所受的阻力大小不变，g取10m/s2o（1）第一次试飞，飞行器飞行5 = 8s时到达高度H = 64m。
求飞行器所阻力f的大小（2）第二次试飞，飞行器飞行0 = 6s时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力，求飞行器能达到的最人高度h（3）为了使飞行器不致坠落到地面，求E行器从开始下落到恢复升力的最长时间【答案】（1）第一次飞行中，设加速度为如。
飞行器做匀加速运动，H由牛顿第二定律F - mg - / = ma x解得f = 4N（2）第二次飞行中，设飞行器失去升力时的速度为耳，上升的高度为S]飞行器匀加速运动* =扌如£设失去升力后的速度为血，上升的高度为S2 由牛顿第二定律mg + / = ma2^1 = a1^2解得/i = S] + S2 = 42m（3）设失去升力下降阶段加速度为。
3；恢复升力后加速度为。
4,恢复升力时速度为巾由牛顿第二定律mg - f = ma3F + f _ mg = ma4且±+± = h2。
3 2a4“3 = a3^3解得S =（或2.1s）如图所示，质量为m的物体A,从底线/为定值的斜面顶点从静止开始向下滑动，已知物体与斜面的动摩擦因数为“。
问Q角为何值吋，下滑的时I'可最短，等于多少？【答案】由受力分析可知，物体的加速度a = g（sina - /^cosa）,物体下滑的位移s = l/cosa0物体做匀加速运动，由运动学公式s=^at2可得41g(sin2a —“cos2a—“)有三角函数知识，当a = |arctan 时，严最小，即时闫最短。
（2009山东高考）某物体做直线运动的st 图象如图甲所示，据此判断图乙（F 表示物最短吋间为tmin = I 机 yj g(Jl+“2-“)（2011北京卷）“蹦极”就是跳跃者把一端固定的 长弹性绳绑在踝关节等处，从儿十米高处跳下的一种极限 运动。
线性动力学和非线性动力学。
该直线的截距为 ，斜率为 ，由斜率
1
和截距即可求出 V和m
Km
的数值V。m
km Vm
将（9）式两边同时乘以Cm，即得到HanesWoolf公式：
Cm C
t
1 Vm
Cm
km Vm
（10）
以
Cm C
Cm 作图，可以得到一条斜率为
t
1 Vm
截距为 km 的直线，从而可求出Vm、Km等参数。
Vm
例如：一个体重50kg的患者，静脉注射0.5g水 杨酸钠，于不同时间血样品测得血药浓度见表 1，求Vm、Km。
级动力学过程。见图 2.
图2
第三节
血药浓度与时间关系 及参数的计算
一、血药浓度与时间的关系
具非线性消除动力学特点的药物，静脉注射给药 后，血药浓度的经时过程可通过MichaelisMenten方程的积分式来表达。
将(1)式移项，可得：
dC C
(C
K
m
)
Vm
dt
（4）
上式积分后得 ：
C Km ln C Vm.t i （5）
非线性药物动力学的这些特征，主要与药物在高 浓度条件下形成体内药物代谢酶或载体的饱和过 程有关。
非线性药物动力学过程，药物 在较大剂量时的表观消除速率 常数与小剂量时不同，因此不 能根据小剂量时所估算的常数 预估血药浓度。
因为：
具有非线性药物动 力学特征的药物
一般在高浓度下达到饱和过程，则消除减慢。
注意
具有非线性消除过程的药物在体内系统中 的参数Km、Vm，在一定条件下是个常数， 但由于药物体内分布或其他因素受到影响 而变化时，这些参数亦会随之变化。
二、米氏过程的药物动力学特征
非线性物理试题及答案
非线性物理试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 非线性光学中，光的二次谐波产生属于：A. 线性效应B. 非线性效应C. 量子效应D. 热效应答案：B2. 以下哪项不是非线性动力学系统的特点？A. 存在混沌现象B. 系统行为对初始条件敏感C. 系统行为可预测D. 存在分叉现象答案：C3. 非线性系统方程中，以下哪项是正确的？A. \( \frac{dx}{dt} = ax \)B. \( \frac{dx}{dt} = ax^2 \)C. \( \frac{dx}{dt} = ax + bx^2 \)D. \( \frac{dx}{dt} = ax + bx^3 \)答案：D4. 非线性系统中，孤立波解是指：A. 波形随时间不变B. 波形随时间变化C. 波形随空间变化D. 波形随时间和空间变化答案：A5. 非线性物理中，Bose-Einstein凝聚态描述的是：A. 电子气B. 费米子气C. 光子气D. 玻色子气答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 在非线性光学中，光的____效应可以产生频率为原始光频率两倍的光。
答案：二次谐波2. 非线性动力学系统中的____现象是指系统在某些参数变化时，会出现多种可能的行为模式。
答案：分叉3. 非线性系统的方程通常包含____项，这使得系统的行为复杂化。
答案：非线性4. 非线性系统中的____波是一种在传播过程中保持形状不变的波。
答案：孤立5. 在非线性物理中，____凝聚态是一种在低温下，玻色子粒子聚集在最低能态的现象。
答案：Bose-Einstein三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述非线性物理中孤子的概念及其物理意义。
答案：孤子是一种在非线性介质中传播的波，它能够保持其形状和速度不变，即使在与其他孤子相遇时也不会发生能量交换。
孤子的物理意义在于它们展示了非线性系统中的局部化波解，这在光学、流体力学等领域有重要的应用。
2. 解释非线性动力学系统中的混沌现象及其特点。
非线性动力学考试试题
b) Classify the fixed point at the origin and sketch the phase portrait. Be sure to show all the different cases that can occur, depending on the relative sizes of the parameters. c) How do your results relate to the standard notions of overdamped, critically damped, and underdamped vibrations?
3. (Damped harmonic oscillator) The motion of a damped harmonic oscillator is described by mx ¨ + bx ˙ + kx = 0, where b > 0 is the damping constant. a) Rewrite the equation as a two-dimensional linear system.
3
d) e)
How do the solutions to the averaged equations behave if |γ | > γc ? Interpret the results physically.
6. (Overdamped system forced by a square wave) Consider an overdamped linear oscillator (or an RC -circuit) forced by a square wave. The system can be nondimensionalized to x ˙ + x = F (t), where F (t) is a square wave of period T. To be more specific, suppose { + A, 0 < t < T /2 F ( t) = − A, T /2 < t < T for t ∈ (0, T ), and then F (t) is periodically repeated for all other t. The goal is to show that all trajectories of the system approach a unique periodic solution. We could try to solve for x(t) but that gets a little messy. Here’s an approach based on the Poincar´ e map–the idea is to “strobe” the system once per cycle. a) ( )2 Let x(0) = x0 . Show that x(T ) = x0 e−T − A 1 − e−T /2 .
非线性动力学
即non-linear 是指输出输入既不是正比例也不是反比例的情形。
如宇宙形成初的混沌状态。
自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系。
“线性”与“非线性”，常用于区别函数y = f (x)对自变量x的依赖关系。
线性函数即一次函数，其图像为一条直线。
其它函数则为非线性函数，其图像不是直线。
线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是 6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。
非线性关系虽然千变万化，但还是具有某些不同于线性关系的共性。
线性关系是互不相干的独立关系，而非线性则是相互作用，而正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。
激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。
迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。
线性：从相互关联的两个角度来界定，其一：叠加原理成立；其二：物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量。
在明确了线性的含义后，相应地非线性概念就易于界定：其—，“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对（aφ+bψ）的*作，等于分别对φ和ψ*作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的*作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。
其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用于描述—个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义域内是不对称的。
非线性药物动力学(药物代谢动力学)
180 K 18 . 6 km R
m
9 .7 326
m ax
• （1）两次结果分别代入（5-22）式，或按R/CSS对R两 点作图法，见图（5-5），算得Km和Rmax分别为9.7 mg/ 升和326 mg/日。 • （2）将Km和Rmax值代入，算出剂量。
浓度与消除速度的关系
• • • • • • • • • 1．当剂量或浓度较低时，C《Km, 此时米氏方程 分母中的C可以忽略不计，则上式可简化为 dC/dt = k´C 此时相当于一级过程。由图7-1可见，低浓度时logC-t为一直线。 2．当剂量或浓度较高时，C》Km 分母中的Km可以忽略不计，则米氏方程可简化为： dC/dt=Vm 此时相当于零级过程，由图7-1可见，高浓度时logC几乎不随t变化， 原因是酶的作用出现饱和，此时t1/2与初浓度成正比关系 • t1/2=C0/(2Vm) 即t1/2随C0而递增。 • 3．当剂量或浓度适中时，则米氏方程形式不变此时药物在体内的消 除呈现为混合型。
第五章 非线性药物动力学
非线性药动学的定义
• 临床上某些药物存在非线性的吸收或分布（如抗坏血酸，甲氧萘丙 酸）；还有一些药物以非线性的方式从体内消除，过去发现有水杨酸、
苯妥英钠和乙醇等。这主要是由于酶促转化时药物代谢酶具有可饱和
性，其次肾小管主动转运时所需的载体也具有可饱和性，所以药物在 体内的转运和消除速率常数呈现为剂量或浓度依赖性（dose dependent），此时药物的消除呈现非一级过程，一些药动学参数如 药物半衰期、清除率等不再为常数，AUC、Cmax等也不再与剂量成 正比变化。上述这些情况在药动学上被称之为非线性动力学 （nonlinear pharmacokinetics）
动力学练习题及参考答案
动力学练习题1、题图所示系统中，各杆均为均质杆。
已知：杆OA ，CD 的质量各为m ，杆AB 的质量为2m ，l CD CB AC OA ====，杆OA 以角速度ω转动，求图示瞬时各杆动量的大小，并在图中标明各杆动量的方向。
2、如图所示,均质细圆环质量为M ，半径为R ，圆心为C ，其上固接一质量为m 的均质细杆AB ，系统在铅垂面内以角速度ω绕轴O 转动，已知060=∠CAB 。
求图示位置系统对轴O 的动量和动量矩。
3、质量为M ，半径为R 的均质圆盘，以角速度ω转动，其边缘上焊接一质量为m ，长为b 的均质细杆AB ，如题图所示。
求图示位置系统动量的大小以及对轴O 的动量矩的大小。
4、如题图所示，两个重物M 1和M 2的质量各为m 1与m 2，分别系在两条不计质量的绳上，此两绳又分别绕在半径为r 1和r 2的塔轮上。
塔轮质量为m 3，对质心轴O 的回转半径为ρ。
重物受重力作用而运动，求塔轮的角加速度α。
5、如题图所示的卷扬机，轮B，C的半径分别为R，r，对通过点O1，O2的水平轴的转动惯量分别为J1，J2，物体A重P，在轮C上作用一常转矩M。
试求物体A上升的加速度。
6、在图示机构中，鼓轮A和圆盘B为均质，重量各为P，半径均为R，物体C重为Q，轮A上作用一矩为M的常值力偶，试求此瞬时系统中物块C的加速度及轮A上绳子的拉力。
7、均质圆柱体的质量为m1、半径为R，沿固定水平面作纯滚动；重物B的质量为m2；定滑轮D质量不计；弹簧的弹性系数为k，初始时弹簧长度为其原长L0的一半，系统从静止无初速释放。
试求重物下降h=2L0时的速度和加速度以及水平段绳索拉力。
8、图示机构中，沿斜面纯滚动的圆柱体O'和鼓轮O为均质物体，质量均为m，半径均为R。
绳子不能伸缩，其质量略去不计。
粗糙斜面的倾角为θ，不计滚动摩擦。
如在鼓轮上作用一常力偶M。
求：（1）鼓轮的角加速度；（2）绳索的拉力；（3）轴承O的水平反力。
动力学习题 带详解答案
动力学问题1．一质量为M 的探空气球在匀速下降，若气球所受浮力F 始终保持不变，气球在运动过程中所受阻力仅与速率有关，重力加速度为g ．现欲使该气球以同样速率匀速上升，则需从气球吊篮中减少的质量为A.)(2g F M - B.gFM 2-C.g FM -2 D.02．两个分别带有电荷量Q 和+3Q 的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r 的两处，它们间库仑力的大小为F 。
两小球相互接触后将其固定距离变为2r ，则两球间库仑力的大小为A ．112FB ．34FC ．43FD ．12F3．用一根长1m的轻质细绳将一副质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能承受的最大张力为10N，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为（g取210m/s）A．3m2B．2m2C．1m2D．3m44．在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，下列描绘下落速度的水平分量大小x v、竖直分量大小y v与时间t的图像，可能正确的是5．如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（A）大小和方向均不变（B）大小不变，方向改变（C）大小改变，方向不变（D）大小和方向均改变6．如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机．三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30 角，则每根支架中承受的压力大小为（A）13mg（B）23mg（C）36mg（D）239mg7.如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m 的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α,重力加速度为g ，若接触面间的摩擦力忽略不计，旵石块侧面所受弹力的大小为A ．2sin mg αB ．2s mgco αC ．1tan 2mg αD ．1t 2mgco α8.将一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比。
下列描绘皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象，可能正确的是9.如图所示，一夹子夹住木块，在力F 作用下向上提升。
非线性动力学课程大作业
2017-2018学年秋季学期《非线性动力学》课程作业考虑如下非线性动力学系统稳定性：30x x x x δβ+-+= (δ≠0) (1)上式可化为如下二维平面非线性系统：3x yy y x x δβ=⎧⎨=-+-⎩(δ≠0) (2) 容易看到:当0β≤ 时，存在唯一奇点(0,0)；当0β> 时，存在三个奇点：(0,0), )(),系统的导算子(雅克比矩阵)为：2013J xβδ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦下面依次分析：1.当0β< 时系统存在唯一奇点(0,0)，此时奇点处的导算子为1J βδ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦其特征值为λ=1.1当0δ≥> 时，奇点导算子的特征值：10λ=<，20λ=< 此时，奇点(0,0)是稳定奇点.令1β=- ，3δ= ，分别以(-5,-5),(5,5),(-3,-10),(3,10)为起始点，可以画出四条轨迹组成的相图，如下：由相图可以看到，0δ≥>时 (0,0)为稳定焦点.1.2当0δ≤-< 时，奇点导算子的特征值：10λ=>，20λ=>此时，奇点(0,0)是不稳定奇点.令1β=- ，3δ=- ，以奇点(0,0)附近特定点为初始点可以画出此时的相图，如下：由相图中可以看到，轨迹从起始点(0.1,-0.2)以远离奇点(0,0)的方向螺旋发散，因此当0δ≤-<时，(0,0)是不稳定焦点。
1.3当δ-<<(δ≠0)时，奇点导算子的特征值：2i δλ=-可以看到，在δ-<<δ由负到正，特征值将沿复平面的上方或下方穿过虚轴，即发生Hopf 分叉。
当0δ-<<时，特征值实部恒为正，奇点(0,0)为不稳定奇点. 取1β=- ，1δ=-，以奇点(0,0)附近特定点为初始点可以画出此时的相图：显然，0δ-<<时，奇点(0,0)为不稳定焦点。
当0δ<<(0,0)为稳定奇点. 取1β=- ，1δ=，以(-3,-10)为初始点可以画出此时的相图：由相图可知，0δ<<(0,0)为稳定焦点.综上所述，在β<0的条件下，δ<0时，奇点(0,0)为不稳定焦点，δ>0时，奇点(0,0)为稳定焦点。
非线性动力学-胡海岩
六、平衡点的静态分叉1． 分叉概念分叉：当任意小的参数变化使结构不稳定的动力系统相轨迹拓扑结构发生突然的变化，这种变化称为分叉。
结构稳定性：若动力系统受到小扰动后产生的新动力系统与原动力系统拓扑轨道等价，则称此系统具有结构稳定性（1973年由Andronov A A 和Pontryagin L S 首先研究）。
说明：（1）由于动力系统仅仅是物理模型的一个精确的近似，若一个系统是结构不稳定的，则一个小的扰动将显著改变系统的解的结构。
若系动力系统是结构稳定的，则由近似或实验误差造成的小误差可以全然不管，此时，模型系统的解等价或拓扑共轭于实际解；（2）古典动力系统大多是结构不稳定的，如研究气象学的Lorent 系统。
拓扑轨道等价：以同胚变换将一动力系统相轨迹变换为另一动力系统的相轨迹，则这两个动力系统称为拓扑轨道等价。
若稳定焦点拓扑等价于稳定结点；而结点、中心、鞍点之间不是拓扑等价的。
同胚：单值连续且其逆也单值连续的变换。
静态分叉：研究0),(=p u f 解的数目和稳定性随参数的变化。
平衡点静态分叉：研究平衡点的产生（或消失）、时变状态（如周期轨线、同宿或异宿轨线）的出现等，属于局部分叉范畴。
动态分叉：静态分叉之外的分叉，如闭轨分叉。
（1）一维动力系统11),(R P p R U u p u f u⊆∈⊆∈=，， （1）平衡点0),(00=p u f ，下面研究平衡点附近解对参数的关系。
对参数求导数得到0=+p uf dpduf （2）若0),(00≠p u f u ，则可解出),(),(000010p u f p u f dpdu p u p p -=-=（3）由隐函数定理知，在00=p 的邻域中存在唯一解。
隐函数定理结论：只要函数f 连续且u f 在),(00p u 非奇异，则方程0),(=p u f 的解在),(00p u 附近存在且唯一，而且解)(p u 曲线局部可以用p 作为参数表示。
[定义1] 设n n R R R f →⨯:连续且0),(00=p u f 。
真空电子器件的微波非线性动力学考核试卷
A.通信
B.雷达
C.电子对抗
D.微波加热
17.以下哪些现象与真空电子器件的非线性特性相关？( )
A.增益压缩
B.相位偏移
C.带宽变化
D.信号衰减
18.在分析和解决真空电子器件的非线性问题时，以下哪些方法可能被采用？( )
A.理论分析
1.真空电子器件中，当输入信号幅度增大时，输出信号出现饱和现象，这种现象称为______。
2.在微波非线性动力学中，描述输入信号与输出信号幅度比的非线性关系参数是______。
3.真空电子器件的非线性特性主要受到______、______和______等因素的影响。
4.为了抑制非线性失真，可以采用______和______等方法来优化电子器件的设计。
A.谐波产生
B.线性增益
C.带宽展宽
D.阈值效应
2.微波非线性动力学主要研究以下哪个方面的内容？( )
A.电子器件的线性传输特性
B.电子器件中的非线性现象
C.真空电子器件的线性设计方法
D.微波网络的线性分析
3.下列哪个参数是描述真空电子器件非线性特性的关键参数？( )
A.增益
B.阻抗
C.线性度
D.带宽
9.常见的微波非线性动力学模型包括______、______和______等。
10.通过对真空电子器件的非线性动力学研究，可以优化器件的______和______等性能指标。
四、判断题（本题共10小题，每题1分，共10分，正确的请在答题括号中画√，错误的画×）
1.真空电子器件在任何工作条件下都会表现出非线性特性。（）
B.实验测试
C.计算机模拟
非线性动力学练习题
2013“非线性振动”练习题1、简述绘制相轨线的原理及其作用。
2、用小参数摄动法求X+ = £X2X（£• « 1）的一阶近似解。
3、用多尺度法或均值法求（第三章16）X + CD^X = £X3{£ « 1）的一阶近似解。
4、用多尺度法求周期激励范德波尔方程x + co^x = £（1 一x2）x + F coscot. x（0）= A + —7. x（0） = 0的非共振解。
5、设运动微分方程为x + = -ex2 + Feos cot （s « 1）试求的主共振解。
6、简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及与线性系统的区别。
7、简述非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点。
8、简述自激振动产生的主要原因及其特点。
9、以两自由度非线性系统为例，简述非线性多自由度系统振动的主要特点。
10、简述分岔和混沌的概念。
（考试从中选取5题）1、简述绘制相轨线的原理及其作用。
答：绘制相轨迹线的原理如下：将系统的动力学方程X4/(X,X)=0转化为以状态变量表示的状态方程组y=x7(1)y=/(x>y)在利用I:式消去微分dt,得到y和x的关系式红心凹⑵dx y这个式子所确定的平面(x,y)上的各点的向量场，就构成了相轨迹族。
绘制相轨迹线的方法有两种，第一是等倾线法。
等倾线法的原理如下，令方程(2)右边等于常数C,得到(x,y)相平面内以C为参数的曲线族/(x,y)+Cy=O (3)(3)称作相轨迹的等倾线族，族内每一曲线上的所有点所对应的由方程(2)确立的向量场都指向同一方向。
第二种方法是李纳法。
其原理如下：适当选择单位使弹簧的系数为1,设单位质量的阻尼力为-©(y),则有f(x,y)=x+e(y)..相轨迹微分方程为空=W(y) ⑷dx y在平而上做辅助曲线x=0(y)。
此辅助曲线即上述零斜率号倾线，过某个相点P (x,y) 作x轴的平行线与辅助曲线交与R点，再过R点作y轴的平行线与x轴交于S点，连接PS, 将向量亦逆时针旋M 9()度后的方向就是方程(4)确宦的相轨迹切线方向"相轨迹线可以帮助我们总性地了解系统在不同初始条件卜的运动全貌。
非线性物理试题及答案
非线性物理试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在非线性动力学中，下列哪一项不是系统表现出混沌行为的特征？A. 周期轨道B. 敏感依赖于初始条件C. 拓扑混合D. 奇异吸引子2. 非线性光学中的自聚焦现象是由于以下哪种非线性效应？A. 克尔效应B. 拉曼散射C. 布里渊散射D. 瑞利散射3. 在非线性波动方程中，哪一类波可以被视为孤波？A. 正弦波B. 余弦波C. 锯齿波D. 冲击波4. 以下哪个方程不是描述非线性系统的典型方程？A. 洛伦兹方程B. 范德波尔方程C. 薛定谔方程D. 麦克斯韦方程二、填空题（每题5分，共20分）1. 非线性系统的一个关键特性是它们可以表现出_________，即使在没有外部扰动的情况下。
2. 在非线性系统中，当系统参数变化时，系统的行为可能会发生_________，导致系统从一个稳定状态跳跃到另一个稳定状态。
3. 非线性系统中的_________现象是指系统在某些参数值附近表现出周期性行为，而在其他参数值附近则表现出混沌行为。
4. 非线性动力学中的_________是指系统状态随时间演化的轨迹在相空间中形成的闭合曲线。
三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述非线性系统与线性系统的主要区别。
2. 解释什么是分岔，并给出一个分岔的例子。
3. 描述孤波的概念，并说明它在物理现象中的应用。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 考虑一个一维非线性波动方程：\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \alpha u \frac{\partial u}{\partial x} \] 其中，\( u(x,t) \) 是波形，\( c \) 是波速，\( \alpha \) 是非线性系数。
求该方程的孤波解。
2. 给定一个非线性系统的动态方程：\[ \frac{d^2 x}{dt^2} + \beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x + \gamma x^3 = 0 \]其中，\( \beta \)、\( \omega_0 \) 和 \( \gamma \) 是常数。
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2013 “非线性振动” 练习题
1、简述绘制相轨线的原理及其作用。
2、用小参数摄动法求
)1(220<<=+εεωx x x x
的一阶近似解。
3、 用多尺度法或均值法求 (第三章16)
)1(320<<=+εεωx x x
的一阶近似解。
4、 用多尺度法求周期激励范德波尔方程
0)0(,)0(,cos )1(220220=-+=+-=+x F A x t F x x x x ω
ωωεω 的非共振解。
5、 设运动微分方程为
)1(cos 220<<+-=+εωεωt F x x x
试求0ωω≈的主共振解。
6、 简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及与线性系
统的区别。
7、 简述非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点。
8、 简述自激振动产生的主要原因及其特点。
9、 以两自由度非线性系统为例，简述非线性多自由度系统振动的
主要特点。
10、 简述分岔和混沌的概念。
（考试从中选取5题）
1、简述绘制相轨线的原理及其作用。
答：绘制相轨迹线的原理如下：
将系统的动力学方程...
+(x,)=0x f x 转化为以状态变量表示的状态方程组 ..==-(x,y)
y x
y f （1）
在利用上式消去微分dt,得到y x 和的关系式 ,=-dy f dx y
（x y ） （2） 这个式子所确定的平面（x,y ）上的各点的向量场，就构成了相轨迹族。
绘制相轨迹线的方法有两种，第一是等倾线法。
等倾线法的原理如下，令方程（2）右边等于常数C ，得到(x,y)相平面内以C 为参数的曲线族
(x,y)+Cy=0f (3)
(3)称作相轨迹的等倾线族，族内每一曲线上的所有点所对应的由方程（2）确定的向量场都指向同一方向。
第二种方法是李纳法。
其原理如下：
适当选择单位使弹簧的系数为1，设单位质量的阻尼力为-(y)ϕ，则有f(x,y)=x+(y)ϕ。
相轨迹微分方程为
+(y)=-dy x dx y
ϕ （4） 在平面上做辅助曲线=-(y)x ϕ 。
此辅助曲线即上述零斜率等倾线，过某个相点 P （x,y ）作x 轴的平行线与辅助曲线交与R 点，再过R 点作y 轴的平行线与x 轴交于S 点，连接PS ，将向量PS →
逆时针旋转90度后的方向就是方程（4）确定的相轨迹切线方向。
相轨迹线可以帮助我们定性地了解系统在不同初始条件下的运动全貌。
当系统是强非线性振动的时候，近似解析法（如小参数摄动法，多尺度法）不再适用，此时可以采用相轨迹法来研究。
（相轨迹线的作用）
非线性动力学主要研究非线性振动系统周期振动规律（振幅，频率，相位的变化规律）和周期解的稳定条件。
其研究内容主要有：保守系统中的稳定性及轨道扩散问题；振动的定性理论；非线性振动的近似解析方法；非线性振动中混沌的控制和同步问题；随机振动系统和参数振动系统问题等。
2、用小参数摄动法求
)1(220<<=+εεωx x x x
的一阶近似解。
解：此处取一阶近似解201=++O()x x x εε (1)
设 222200=+=-D D ωωεωωε即 （2）
此处D 为调谐参数 并设=F K ε （3）
将（1）（2）（3）代入系统动力学方程中则有
....
22010101++(-D )(x +x )=-(x +x )+cos x x K t εωεεεεεω （4）
考虑到ε两边同次幂的系数相等，于是有
..0200..1221100:+=0
(5a):+=Dx -x +cos (5b)x x x x K t
εωεωω 由（5a ）可得 0=cos +Bsin x A t t ωω (6)
将（6）代入（5b ）中有
22
..2
11+=DA cos +sin -(1+cos 2)-(1-cos 2)-ABsin2+cos 22A B x x t DB t t t t K t ωωωωωωω（7）
为了消去久期项，必有使得cos t ω和sin t ω的系数都为0 于是有
DA+=0
=0
K DB （8） 于是有 A =-=-=0K F B D D ε （9）
解（7） （9） 可得
22
11222=R cos +sin +-+cos 226A A x t R t t ωωωωω
（10） 由初始条件 .
11(0)=0 (0)=0x x （11）可得 2
122==03A R R ω （12）
222
1222=cos +cos 2-362A A A x t t ωωωωω
(13)
所以，方程的主共振解为
222222=cos +cos -+cos 2326A A A x A t t t ωωωεωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭
(14) 这里A =-(D )F D ε
其中为调谐参数（15）
3、用多尺度法或均值法求
)1(320<<=+εεωx x x
的一阶近似解。
4、用多尺度法求周期激励范德波尔方程
0)0(,)0(,cos )1(220220=-+=+-=+x F A x t F x x x x ω
ωωεω 的非共振解。
5、设运动微分方程为
)1(cos 220<<+-=+εωεωt F x x x
试求0ωω≈的主共振解。
6、简述非线性单自由度保守系统自由振动的主要特点及与线性系统的区别。
答：特点：
（1）恢复力与位移不成线性比例或阻尼力与速度不成线性比例
（2）非线性单自由度保守系统自由振动的机械能守恒
（3）系统的周期与初始条件有关。
（4）保守系统的微分方程形式如：。
其中p (u) 是仅依赖于系统位移u 的非线性有势力。
（5）。
区别：线性振动只适用于小运动范围 ，超过此范围，就变成非线性振动。
7、简述非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动特点。
答：非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动有以下特点：
（1）
非线性单自由度系统在简谐激励下的强迫振动微分方程为： +F(t)
F （t ）为正弦时为简谐激励。
上式为弱非线性,有周期解。
(2)振幅与激励频率在一定关系下发生突跳现象。
（3）在非线性系统中，当干扰力频率在派生系统固有频率附近变化，而受迫振动振幅很大时，发生主共振。
一定条件下还会发生超谐共振、亚谐共振、组合共振等非主共振现象。
9、以两自由度非线性系统为例，简述非线性多自由度系统振动的主要特点。
答：多自由度系统的非线性振动，除两自由度系统之外,很少有精确解。
多采用数值方法为近似分析方法。
在某些条件下，存在内共振现象、 饱和现象、周期激励下不存在周期运动的现象。
在两自由度时：（1）内共振现象，以弹簧摆有限振动为例，
经过计算得到：弹簧的伸长和摆动均为有界,而两种运动的幅值交替增减,能量不断在两种振动形式之间交换,变种现象称为内共振。
（2）受迫振动中的饱和现象，以船舶在海浪作用为例，
),,(20x x t f x x ε
ω=+l
g x x l x x l x x m k x g x l x x =+-=+=-=+022120221220220122221201122ωωωωω
（3）受拍振动中的无周期响应现象，
无周期运动。
)cos(2)
cos(2,22212222202211211111201121θωαμωθωαμω+++-=++++-=+t F x x x x t F x x x x x ：x x 振动方程可写为为仰俯角
为横摇角设。
x x F F 这就是所谓饱和现象能量渗透到饱和幅值就不再增加后超过某一临界值但当仰俯振动的幅值也增加随着激励幅值的增加
开始激发仰俯振动时且从纵向拍击船舶当海浪频率即若存在内共振,),(,,,,
,)0(2,12210201
02=≈≈ωωωω)cos(2)cos(2222122222022112111112011θωαμωθωαμω+++-=++++-=+t F x x x x t F x x x x x 0102012)(ωωωω≈≈且存在内共振即主共振当。