几何图形中的十字架结构
专题训练-------圆形内十字架模型
专题训练-------圆形内十字架模型专题训练 - 圆形内十字架模型概述本文档将介绍并探讨圆形内十字架模型的相关概念、设计原理和实际应用。
该模型是一种常用于建筑、工程和设计领域的空间布局模式，具有独特的美学效果和实用性。
设计原理圆形内十字架模型的设计原理可以概括如下：1. 圆形布局：该模型以中心圆形作为基础，围绕其周围放置四个相等的十字形结构。
圆形形状给人一种和谐、平衡和包容的感觉，符合人类对美感的追求。
2. 十字形结构：每个十字形结构有两条相互垂直的轴线，这提供了方向性和对称性。
这种结构使得整个模型在观感上更加稳定和有序。
实际应用圆形内十字架模型可以应用于多个领域，以下是一些常见的实际应用场景：1. 城市规划：在城市规划中，可以采用圆形内十字架模型来设计市中心广场或公园。
这种布局能够提供合适的交通流动性和视觉焦点，同时创造出舒适的空间感。
2. 建筑设计：在建筑设计中，可以利用圆形内十字架模型来规划建筑物的内部布局。
例如，可以在中心放置一个大厅或核心区域，四个十字形结构则可以用作不同功能区域的划分，如会议室、办公室等。
3. 景观设计：在景观设计中，圆形内十字架模型可以用于设计花园、庭院或公共空间。
通过将植物、雕塑或其他景观元素放置在圆形的中心和四个十字形结构之间，可以创造出独特的景观效果。
4. 室内设计：在室内设计中，可以运用圆形内十字架模型来规划家居空间的布局。
例如，可以将沙发或餐桌放置在圆心，四个十字形结构则可以用作不同功能区域的划分，如客厅、餐厅等。
结论圆形内十字架模型是一种简单而具有美感的空间布局模式，适用于多个领域的设计和规划。
通过合理运用该模型，可以在空间中创造出和谐、稳定和优美的效果。
在实际应用中，需要根据具体场景进行灵活运用，以达到最佳的设计效果和实用性。
初中数学：正方形中十字架模型
初中数学：正⽅形中⼗字架模型01弦图的应⽤在勾股定理的证明中，我们学习过赵爽弦图，如下，有△AED≌△BFA≌△CGB≌DHC．稍作变形，若DE⊥AF，则可得：△DAE≌△ABF．（证明思路类似三垂直模型）⼀般地，在正⽅形ABCD中，若MN⊥PQ，则必有MN=PQ．法⼀：分别将PQ、MN平移⾄AF、DE位置（作平⾏线）证明AF=DE即可．法⼆：过点P作PE⊥BC，过点N作NF⊥AB交AB于点F，易证△PEQ≌△NFM．反之，若已知PQ=MN，但不⼀定存在PQ⊥MN．如下：EF=PQ=MN，但EF不与MN垂直．由位置关系可推数量关系，但由数量关系未必可推位置关系．除此之外，还有⼀些常⽤的性质和结论：1、弦图与对称考虑对称点连线被对称轴垂直且平分．将正⽅形ABCD沿MN折叠，则AA'MN且AA'⊥MN．2、弦图与辅助圆如图，垂⾜H轨迹是个圆弧（定边对直⾓）．以AD中点M为圆⼼，MA为半径的圆，两端分别的点A及对⾓线交点O．3、弦图与四点共圆如图，C、D、H、F四点共圆．∵∠DCF=∠DHF=90°，∴C、D、H、F四点共圆．连接DF，取DF中点N，以点N为圆⼼，DN为半径作圆．特别地，若E、F分别是AB、BC中点，连接CH，则CH=CD．证明：∵∠CHD=∠CFD=∠AED=∠CDE，∴CH=CD．4、矩形中的弦图构造在矩形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AF⊥DE，则AF/DE=AB/AD．证明：易证△ABF∽△DAE，∴AF/DE=AB/AD．02真题练习2018 青岛中考2018 聊城中考2018 上海中考2018 长春中考2019 ⼴西中考2018 杭州中考2019 襄阳中考⽂章选⾃：有⼀点数学、作者：刘岳； .更多优质资源可关注公众号后查看历史消息，妙解之慧由陕西西安孙冰钰⽼师创建专注分享初，⾼中数学优质资源，旨在服务于全国师⽣，让更多朋友受益。
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几何图形中的十字架结构
基本模型1、在正方形ABCD 中，BN ⊥AM ，则常见的结论有哪些？2、在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BC 、AD 边上的点，若EF ⊥GH ，上述结论是否仍然成立？当然是仍然成立的所以大体上思路是“从垂直可利用全等推导出相等”所以反思“从相等是否可推导出垂直？”在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BC 、AD 边上的点，若EF=GH ，则EF 与GH 不一定垂直，请画出反例.如上图，垂直只是相等时的一种情况，另一种，只需使得AH ’=DH ，BG ’=CG ’即可作出HG=H ’G ’ 利用上述结论，做题可就方便多了！例题1、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 在AD 边，求折痕FG 的长；既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？模型拓展一如图，在矩形ABCD 中，AB=m ，AD=n ，在AD 上有一点E ，若CE ⊥BD ，则CE 和BD 之间有什么数量关系？如图1，一般情况，在矩形ABCD 中，AB=m ，AD=n ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、AB 、CD 边上的点，当EF ⊥GH 时，又如何？图1看到上面加粗的字了吗？这个点的所在边为什么要确定？例题1、如图，已知直线2x 21-y +=与x 轴、y 轴分别交于B 、A 两点，将△AOB 沿着AB 翻折，使点O 落在点D 上，当反比例函数xk y =经过点D 时，求k 的值.【练习】如图把边长为AB ＝6，BC ＝8的矩形ABCD 对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长.请在20秒内快速求出此题答案模型拓展二我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形所以矩形的结论可沿用至直角三角形内例题1、在Rt △ACB 中，AC=4，BC=3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD ，当AD=CD 时，求AE 的长；1、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，点D 为BC 边上的中点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，则AF FC的值为___________.【其它四边形中的十字】1、（2017届滨湖区期中）如图，把边长为AB ＝22、BC ＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD 对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长.2、（2013·武汉中考改编）如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE ⊥CF ，请求出CFDE 的值．1、如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，（1）求AF 的长；（2）求△EBG 的周长；（3）求FDCH 的值.2、如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，12AD AB ，△CEF 的面积为1S ，△AEB 的面积为2S ，则12S S 的值等于 ．3、如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2A F ；③DF ＝DC ；④tan ∠CAD＝2．其中正确的结论有( )A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个4、新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC 中，AF 、BE 是中线，且AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC 的长为___________.5（1）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 为BC 边上的点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ．AB B C 1D B DC ==，求AF FC的值； （3）在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 为直线BC 上的动点(点D 不与B 、C 重合)，直线BE ⊥AD 于点E ，交直线AC 于点F 。
几何中的十字架结构(1)
例5 （2013武汉中考改编）如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°， DE⊥CF，求DE：CF的值。
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4、其他四边形内的十字架结构
练习2 （2016烟台）
某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边边的数量关系
考题 中专一
学习目标 学习重点 学习难点
1、逐步探索几何图形中十字架结构的基本图形及 结论。
2、熟悉几何图形中十字架结构的基本图形及结论， 并能运用其解决问题。
理解几何图形中十字架结构的基本图形并能证明其 相关结论。
应用几何图形中十字架结构的基本图形及其结论解 决问题。
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1、正方形内的十字架结构
2 将△AOB沿着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数
y
k x
的图象经过点D时，求K的值。
Байду номын сангаас
练习：如图，把边长为AB=6，BC=8的矩形ABCD对折，使点B和D重合， 求折痕MN的长。
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3、直角三角形内的十字架结构 例3 在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连结BD，E为AB上一点，
（1）如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD上有一点E，若CE⊥BD 则CE和BD有什么数量关系？
（2）如图，一般情况下，在矩形ABCD中，E，F，G，H，分别为AD，BC，AB，
CD边上的点，当EF⊥GH时，求证： FE GH
CD BC
宽 长
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例2
如图，已知直线 y 1 x 2 与 x轴，y轴分别交于点A，B两点，
专题4正方形中的十字架模型八年级数学下册聚焦课本培优专题训练讲义(原卷版)
专题4 正方形中的十字架模型知识梳理“十字架模型”在特殊的四边形问题中的翻折问题中是比较常见的，不论是期中、期末和中考中都经常考到，主要是利用全等或相似将题目中所求线段转化为易求线段，或者是利用线段相等得到其位置关系，今天咱们就一起来认识正方形中的“十字架模型”。
“十字架模型”是数学平面几何中比较重要的一个模型,常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。
围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。
这些结论对我们分析一些几何问题会有比较大的帮助。
由于“矩形中的十字架”涉及到相似部分的知识，可在初三阶段学习。
初二阶段主要探究正方形内十字架模型的一些常有结论。
模型分析模型：正方形中的十字架模型1、十字架模型概念：所谓“十字架”，其实可以简单理解为两条垂直的线段。
2、模型特征：两条线段相互垂直。
3、思想方法：改斜归正，横平竖直4、解题思路：“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。
5、模型总结：在正方形的顶点与对边某点连接，所得两条线段①若垂直，则相等；②若相等，则垂直。
模型展示模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）1）模型推论：AE=BF；条件：如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF。
【证明】2）模型推论：AE⊥BF；条件：如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE=BF。
【证明】3）模型说明（1）正方形的十字架模型的本质是三角形全等。
（2）常见的正方形的十字架模型还有如下如下两种情形：①条件：如图，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则AE=GF。
②条件：如图3，在正方形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别是BC 、CD 、AB 、AD 上的点，EH ⊥GF ；则 HE =GF 。
【经典例题】如图1，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，连接AE ，过点B 作BG AE ⊥于点H ，交CD 于点G ．（1）求证：AE BG =；（2）如图2，连接AG 、GE ，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，试判断四边形MNPQ 的形状，并说明理由；（3）如图3，点F 、R 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 上，把正方形沿直线FR 翻折，使得BC 的对应边''B C 恰好经过点A ，过点A 作AO FR ⊥于点O ，若'1AB =，正方形的边长为3，求线段OF 的长．经典例题精析例1、如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）A．32B．3 C．94D．154例2、如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（）A．35°B．40°C．45°D．50°例3、如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④∠CEA＝∠DFB；⑤S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个例4、如图，在正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上，若MN⊥EF，MN＝10cm，则EF＝cm．典型例题例5、如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝____．例6、）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为______．例7、如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若45∠=︒，则GF的长为__________．EGF例8、（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．例9、（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．例10、在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；（2）连接BD交MN于点F．①根据题意补全图形；②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论．练1、如图，在正方形ABCD 中，4AB ，E ，F 分别为边,AB BC 的中点，连接,AF DE ，点G ，H 分别为,DE AF 的中点，连接GH ，则GH 的长为（ ）A．22B ． 1C ．2D ．2练2、如图所示，E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝41AB ，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．练3、如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为BC 边上一点，BE ＝1.将正方形沿GF 折叠，使点A 恰好与点E 重合，连接AF ，EF ，GE ，则四边形AGEF 的面积为（ ）A ．210B ．25C ．6D ．5课后专题练练4、如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①AG=AD；②AG⊥GH；③∠DAG=60°；④∠AGE=∠BCE．其中正确的有．练5、如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为．练6、如图，正方形纸片ABCD的边长为4，点F在边AD上，连接BF，将纸片沿着直线BFDE=，则翻折，点A的对应点为点G，连接AG并延长交CD于点E，若3GE=.练7、如图，在正方形ABCD中，AB＝4√5．E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE，点N、M分别为AF、DE的中点，连接MN，则MN的长度为．练8、如图1，正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上一个动点，若线段MN 垂直AP 于点E ，交线段AB 于M ，CD 于N ，证明：AP ＝MN ；如图2，正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上一动点，若线段MN 垂直平分线段AP ，分别交AB 、AP 、BD 、DC 于点M 、E 、F 、N ． （1）求证：FN ME EF +=；（2）若正方形ABCD 的边长为2，则线段EF 的最小值＝ ，最大值＝ ．练9、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，F 为AB 上一点，且FG ⊥BE 交CD 于点G ． （1）求证：FG ＝BE ；（2）若E 为AD 中点，FG 垂直平分BE ，求DGCD 的值．练10、正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）如图1，求证AE⊥BF；（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN；。
十字架模型讲解
十字架模型讲解
十字架模型是一个数学模型，用于解决与折叠、对称和几何图形相关的问题。
以下是关于十字架模型的讲解：
1. 模型定义：十字架模型涉及一个中心对称轴和四个对称点。
这些对称点可以沿着对称轴进行折叠，使得对称点互相重合。
2. 模型应用：在几何问题中，十字架模型可以用于解决与正方形、矩形、三角形等图形相关的折叠问题。
通过利用对称性质和几何关系，可以找到与折叠、展开相关的角度、长度等量。
3. 解题步骤：
识别问题中的对称关系：首先确定是否存在中心对称轴，以及是否有对称点。
画出对称轴：在几何图形中，画出中心对称轴，并标记出对称点。
找出关键角度：利用对称性质找出关键角度，如对称轴与图形边的夹角等。
利用勾股定理：在直角三角形中，可以利用勾股定理求解相关长度。
计算结果：根据已知条件和数学关系，计算出所需的长度、角度等结果。
4. 注意事项：在应用十字架模型时，需要注意图形的实际大小和形状，避免因为对称关系而导致的误解。
同时，对于复杂的问题，可能需要结合其他数学模型进行分析。
总之，十字架模型是一个用于解决与折叠、对称和几何图形相关问题的数学工具。
通过掌握这个模型，可以更好地理解几何图形的性质，提高解决数学问题的能力。
初中数学十字架模型
初中数学十字架模型
十字架模型是一种图形模型，用于解决数学问题。
对于初中数学，使用十字架模型可以帮助学生更好地理解和解决各种问题。
十字架模型由两条互相垂直的线段组成，形成一个十字架形状。
在每个线段上，我们可以标记出一些数值。
例如，在横线上我们可以标记出A、B、C三个点，它们分别表示三个数值。
在
竖线上也可以标记出D、E、F三个点，它们也表示三个数值。
这些数值可以表示各种物理量，例如时间、速度、距离等等。
在十字架模型中，我们可以利用三角形的形状计算出一些数据。
例如，在横线的ABC三个点以及竖线的DEF三个点之间，我
们可以形成六个小三角形。
这些小三角形中，有些已知两边和一个角，可以用三角函数求出第三边和其他角的数值。
还有一些小三角形，其中两边和一个角均未知，我们可以利用相似三角形的原理解决问题。
除了利用小三角形计算数据之外，在十字架模型中还可以利用代数表达式进行计算。
例如，在横线上的三个点可以表示一个一元二次方程，我们可以利用这个方程求出未知数的值。
在竖线上也可以利用代数表达式进行计算。
总之，十字架模型可以帮助学生解决各种数学问题，特别是涉及到几何和代数的问题。
它是一个简单而有效的工具，值得初中数学学习者掌握和运用。
专题训练-------矩形内十字架模型
专题训练-------矩形内十字架模型
摘要
本文介绍了矩形内十字架模型的构建方法和应用场景。
通过对该模型的详细解释，读者能了解到如何利用该模型来进行问题分析和解决。
引言
矩形内十字架模型是一种常用的分析工具，用于帮助我们理清思路、深入分析问题，从而找到解决问题的最佳方法。
构建方法
构建矩形内十字架模型的方法如下：
1. 步骤一: 绘制一个矩形：首先，在纸上绘制一个矩形，并确定该矩形的大小和比例。
2. 步骤二: 绘制十字架：在矩形内部，绘制一条垂直的线和一条水平的线，使其交叉于矩形的中心点。
这两条线将形成一个十字架。
3. 步骤三: 标记关键点：在矩形和十字架的交叉点，标记关键点，以便后续的问题分析和解决。
应用场景
矩形内十字架模型可以应用于以下场景：
1. 决策分析：在面临重要决策时，使用矩形内十字架模型可以帮助我们全面分析问题，考虑各种因素，并找到最佳决策方案。
2. 问题解决：当遇到复杂问题时，使用矩形内十字架模型可以帮助我们将问题拆解为多个关键点，有助于我们针对每个关键点进行深入分析和解决。
3. 创新思维：矩形内十字架模型也可以用于激发创新思维。
通过将不同领域的知识和想法与关键点相结合，我们可以发现新的创新点和解决方案。
结论
矩形内十字架模型是一种简单而实用的分析工具，在问题分析和解决过程中起到了重要的作用。
通过熟练运用该模型，我们可以更好地理清思路，全面分析问题，并找到最佳解决方案。
八年级数学下册 正方形中十字架模型(原卷版)
专题02正方形中十字架模型十字架模型分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF 与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。
【典例1】问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？（1）直接判断：AE BF（填“＝”或“≠”）；在“问题情境”的基础上，继续探索：问题探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥B F，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；问题拓展：（3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处．①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由；②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′+AN的最小值为．【变式1-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（）A．2B．C．D．【变式1-2】如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（）A．αB．2αC．45°﹣αD．45°+α【变式1-3】如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF＝S四边形DEOF中，相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB 正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个1．在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝8，可以裁出一个最大正方形的边长是（）A．4B．5C．6D．82．如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（）A．B．C．D．3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．2C．D．4．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：＝S四边形DEOF．（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF，②BO＝OE，③AE⊥BF，④∠ABO＝∠FAO，⑤S四边形DE OF＝S△AOB中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，正方形ABCD，点E，F在对角线AC上，连接BE、DF，满足BE∥DF，过点E 作EG⊥DF，垂足为G，若DG＝4，EG＝3，则AD＝．7．已知正方形ABCD的边长为4，CE＝DF＝3，DE和AF相交于点G，连接BG，点H是线段AE的中点，连接HG，若∠HGB＝∠DAF，则GB＝．8．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为．9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为．10．如图，四边形ABCD是正方形，点E、N分别在DC、BC上，点F在CB的延长线上．△ADE≌△DCN，将△ADE顺时针旋转n度后，恰好与△ABF重合．（1）请写出n的值；（2）连结EF，试求出∠AFE的度数；（3）猜想线段AE和DN的数量关系和位置关系，并说明理由．11．【探索发现】（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1 O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形A1B1C1O绕点O 怎么转动，总有△AEO≌△BFO，连接EF，求证：AE2+CF2＝EF2；【类比迁移】（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，CO与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；【迁移拓展】（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，直角∠E DF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当BF＝1cm时，直接写出线段EF的长度．12．如图，已知四边形ABCD是正方形，点F是DC边上的动点（不与端点重合），点E在线段AF上，AD＝m2+1，AE＝2m，DE＝m2﹣1，M为线段BF的中点，点N在线段AF上（不与点F重合），且MN＝BF．（1）求证：BN⊥AF；（2）随着点F的运动，试猜想AB﹣AN的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由．13．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，B F＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求C N的长度．14．（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A 点作AG⊥EB，垂足为G，求证：OE＝FO；（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．15．综合与实践：如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．16．如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．（1）求证：AP⊥BQ；（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．17．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．（1）求证：CE＝DF；（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG 的面积为，CG+DG的长为．18．如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．19．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点．（1）求AE的长；（2）过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长；（3）如图2，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数．20．如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B＝90°，过点D作DE⊥BA于点E，D F⊥BC于点F．（1）求证：四边形BFDE是正方形；（2）若BF＝6，点C为BF的中点，直接写出AE的长．21．在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；（2）连接BD交MN于点F．①根据题意补全图形；②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论EF＝EM+FN．22．如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于M，CD于N，证明：AP＝MN；如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N．（1）求证：EF＝ME+FN；（2）若正方形ABCD的边长为2，则线段EF的最小值＝，最大值＝．。
专题训练-------椭圆形内十字架模型
专题训练-------椭圆形内十字架模型专题训练——椭圆形内十字架模型介绍本文档旨在介绍椭圆形内十字架模型的特点和使用方法。
椭圆形内十字架模型是一种创新和实用的工具，用于解决特定问题和提供决策支持。
特点1. 结构简单：椭圆形内十字架模型由椭圆形和垂直于其两个轴的十字架构成，结构简单直观。
2. 适用广泛：椭圆形内十字架模型适用于各种领域和行业，例如市场分析、产品设计、项目管理等。
3. 决策支持：通过使用椭圆形内十字架模型，用户可以快速评估不同因素之间的关系，并做出有效的决策。
4. 提高效率：椭圆形内十字架模型可以帮助用户快速整理和理清复杂问题的关键要素，提高工作效率。
使用方法1. 确定目标：首先，用户需要明确自己的目标或问题，并确定需要考虑的关键因素。
2. 绘制椭圆形：根据问题的特点和需要，用户可以在纸上或电子设备上绘制一个椭圆形，作为模型的基础。
3. 添加十字架：在椭圆形内部，垂直于其两个轴线上，绘制一个十字架。
十字架的位置和长度可以根据具体情况进行调整。
4. 标记关键因素：用户可以在椭圆形内部和十字架的交叉点位置上标记不同的关键因素或变量。
5. 分析关系：通过观察椭圆形和十字架的交叉点位置，用户可以直观地分析不同因素之间的关系和影响。
6. 做出决策：基于对关键因素之间关系的分析，用户可以做出相应的决策或采取进一步的行动。
示例应用以下是椭圆形内十字架模型的一些示例应用：1. 市场分析：通过在椭圆形内部标记不同市场因素（如产品需求、竞争情况、消费者行为等），用户可以评估各因素对市场份额的影响程度，从而制定有效的市场策略。
2. 产品设计：用户可以在椭圆形内部标记不同的产品特征和用户需求，通过分析交叉点位置，确定产品设计的关键要素，并做出相应调整。
3. 项目管理：通过在椭圆形内部标记不同的项目风险、资源投入和时间安排等因素，用户可以更好地评估和管理项目的关键要素，从而提高项目成功的几率。
结论椭圆形内十字架模型是一种简单直观且实用的工具，用于解决问题和做出决策。
相似三角形几何模型(手拉手与十字架模型)(解析版)--九年级数学上册
相似三角形几何模型（手拉手与十字架模型）第一部分【知识点归纳】【模型一】“手拉手（旋转）”模型图1 图222ADE ABC ABC ACF ADE ∆ ∆∆ →A 绕点旋转如图：∽如图：∽ 以上就是相似三角形中的“手拉手模型”在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形，即一转成双，由一得二（由一对相似三角形得第二对相似三角形）。
【模型二】“十字架”模型图3 图41EG AB HF BC⊥==如图3：正方形ABCD 中，EG HF,则有；EG AB HF BC ⊥=如图4：矩形ABCD 中，EG HF,则有. 以上就是矩形中的十字架模型，即矩形中两条互相垂直的线段之比等于矩形的两邻边之比。
第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】三角形中的的“手拉手（旋转）模型”【例1】（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践-问题情境：如图1，已知在ABC 中，D E ，分别是AB AC ，上的点，且DE BC ∥．（1）操作发现：求证：AB DB =．（2）深入探究：在图1的基础上，将ADE 绕着点A 逆时针旋转一个角度得到图2，连接BD CE ，，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．拓展探究：（3）如图3，当ADE 旋转到点B D E ，，在一条直线上时，BE 与AC 交于点F ，若7BF =，9BE =，求AF CF ⋅的值．【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)14【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的综合运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键．（1）根据平行线的性质可证ADE ABC △△∽，由此即可求解；（2）根据旋转的性质可证ABD ACE ∽，由此即可求解；（3）根据题意可得ABD ACE ∽，ABF ECF ∽△△，根据相似三角形的性质即可求解．（1）证明：∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽， ∴AD AE AB AC=， ∴AB DB AC EC AB AC −−=，即DB EC AB AC =， ∴AB DB AC EC=． （2）解：成立，理由如下：由旋转的性质得BAC DAE ∠=∠， ∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，即BAD CAE ∠=∠， 由（1）得AD AE AB AC=， ∴ABD ACE ∽， ∴AB DB AC EC=， ∴（1）中的结论仍成立．（3）解：由（2）得ABD ACE ∽，∴ABD ACE ∠=∠， ∵AFB EFC ∠=∠， ∴ABF ECF ∽△△， ∴BF AF CF EF=， ∴BF EF CF AF ⋅=⋅，∵7BF =，9BE =，∴2EF BE BF =−=，∴7214AF CF ⋅=×=．【变式1】（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（90C E ∠=∠=°，30B ∠=°，45D ∠=°），AD BC =，顶点A 重合，将ADE 绕其顶点A 旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键．解：选项A ，∵90C C ∠=∠=°，30CAF B ∠=∠=°，∴ACF BCA ∽△△，故选项A 不符合题意．选项B ，如图，设CD 与AE 交于点O ，90ACO DEO ∠=∠=°∴ACO DEO △∽△，故选项B 不合题意；选项C ，∵90BCA AED ∠=∠=°，CAF DAE ∠=∠， ∴ACF AED △∽△，故选项C 不合题意；选项D 中没有相似三角形，符合题意．故选：D ．【变式2】（22-23九年级·上海·假期作业）在ABC 中，CA CB =，在AED △中，DA DE =，点D 、E 分别在CA 、AB 上．（1）如图1，若90ACB ADE ∠=∠=°，则CD 与BE 的数量关系是 ； （2）若120ACB ADE ∠=∠=°，将AED △绕点A 旋转至如图2所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是 ．【答案】CD = CD 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理计算即可．（２）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H ，求得AC AB ，再证明ACD ABE ∆∆∽列式计算即可． 解：（1）90ACB ADE ∠=∠=° ∴DE BC ∥，∴AD DC AE EB ==，∴CD =．故答案为：CD =． （2）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H ，120ACB ∠=° ，30CAB ∴∠=° ，∴CA AH =，∴AC AB = 由ADE ACB ∽， 得：AD AC AE AB=， DAE CAB ∠=∠ ，∴ACD ABE △∽△，∴CDAC BE AB ==，∴CD =．故答案为：CD ． 【点拨】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．【题型2】四边形中的的“手拉手（旋转）模型”【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形ABCD 与四边形BEFG 都是正方形，将正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转，连接AG ，DF ，CE ．则AG 和CE 的数量关系为 ；在正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转的过程中，DF CE的值为 ．【答案】 AE CE =【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据SAS证明ABG CBE ≌△△，即可证明AE CE =；连接BD BF ，．由1245∠+∠=°，2345∠+∠°得到13∠=∠．在Rt DBC △中，BD BC =在Rt FBE中，BF BE，则BD BF BC BE =，则BDF BCE ∽△△，即可得到结论．熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．解：∵四边形ABCD 与四边形BEFG 都是正方形，∴90ABC GBE ∠=∠=°，AB BC =，BG BE =， ∴ABC GBC GBE GBC ∠−∠=∠−∠，即ABG CBE ∠=∠． 在ABG 和CBE △中，AB BC ABG CBE BG BE = ∠=∠ =， ∴()SAS ABG CBE ≌，∴AG CE =．如图，连接BD BF ，．∵1245∠+∠=°，2345∠+∠°， ∴13∠=∠．在Rt DBC △中，∵22222BD BC CD BC =+=，∴BD =，∴BD BC= 在Rt FBE中，同理可求BF BE= ∴BD BF BC BE =， ∴BDF BCE ∽△△，∴DF BD ==故答案为：AG CE =【变式1】（2023·广东广州·一模）如图，正方形ABCD 中，等腰直角EBF △绕着B 点旋转，BF EF =，90BFE ∠=°，则:DE AF = ．【分析】连接BD ，证AFB DEB ∽，得DE BD AF AB=，根据等腰直角三角形斜边与直角边的比例关系即可得出比值．解：如右图，连接BD ，由题知，四边形ABCD EBF △为等腰直角三角形45FBA ABE FBE ∠+∠=∠=° ，45ABE EBD ABD ∠+∠=∠=°，FBA EBD ∴∠=∠，由题知，EBF △为等腰直角三角形，ABD △为等腰直角三角形，FB AB BE BD ∴== AFB DEB ∴ ∽，DE BD AF AB ∴==【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，根据FBA EBD ∠=∠，FB AB BE BD ==AFB DEB ∽是解题的关键． 【变式2】如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC绕C 点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC 的值为（）A．5:3 B．3:5 C．4:3 D．3:4【答案】C解：由题意知△BCE绕点C顺时转动了90度，∴△BCE≌△DCF，∠ECF=∠DFC=90°，∴CD=BC=5，DF∥CE，∴∠ECD=∠CDF，∵∠EMC=∠DMF，∴△ECM∽△FDM，∴DM：MC=DF：CE，∵=4∴DM：MC=DF：CE=4：3．故选C．【题型3】正方形中的“十字架模型”【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动=；点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP MN（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，=+；BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF ME FN【答案】（1）见解析；（2）见解析；【分析】（1）过B点作BH∥MN交CD于H，则AP BH⊥，根据平行四边形和正方形的性质求证()≌，然后根据三角形全等的性质即可证明；ABP BCH ASA=，然后根据等边对等角和等量代换求得（2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得FP FC∠=°，根据直角三角形斜边中线的性质得到FE=190AFPAP，结合（1）问结论即可求证．2解：（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP BH⊥，∥NH，BM∴四边形MBHN为平行四边形，∴=，MN BH四边形ABCD是正方形．∴=，90AB BC∠=°=∠，ABP C∠+∠=°，∴∠+∠=CBH ABH BAP ABH90∴∠=∠，BAP CBH()∴≌，ASAABP BCH∴=，BH AP∴=；MN AP（2）如图2，连接FA，FP，FC正方形ABCD 是轴对称图形，F 为对角线BD 上一点，FA FC ∴=，又FE 垂直平分AP ，FA FP ∴=，FP FC ∴=，FPC FCP ∴∠=∠，FAB FCP ∠=∠ ， FAB FPC ∴∠=∠，180FAB FPB ∴∠+∠=°，180ABC AFP ∴∠+∠=°，90AFP ∴∠=°，FE ∴=12AP ， 由（1）知，AP MN =，2MN ME EF FN AP EF ∴=++==，EF ME FN ∴=+．【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各部分定理和性质是本题的关键．【变式1】（23-24九年级上·重庆南岸·期中）如图，在矩形ABCD 中，10AD =，8AB =，点E 为AD 边上一点，将ABE 沿BE 翻折到FBE 处，延长EF 交BC 于点G ，延长BF 交CD 于点H ，且FH CH =，则FG 的长是（ ）A ．95B ．94C ．45D ．185【答案】A【分析】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键．过E 作EM BC ⊥于M ，根据矩形性质和折叠的性质，结合勾股定理求得94FH CH == 941844BH =+=，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过E 作EM BC ⊥于M ，则90EMB EMG ∠=∠=°，四边形ABCD 是矩形，90A ABC C °∴∠=∠=∠=，10BC AD ==，ABE 沿BE 翻转到FBE 处，EF AE ∴=，8BFAB ==， 90EFB BFG A ∠=∠=∠=， 设FHCH x ==，则8BH x =+， 在Rt BCH △中，根据勾股定理得222BC CH BH +=()222108x x ∴+=+ 则94x =， 94FH CH ==， 941844BH =+=， FBG CBH =∠∠ ，BFG BCH ∠=∠BFG BCH ∴ ∽BG FG BF BH CH BC∴==8441910544BG FG === 解得：95FG =故选：A ． 【变式2】（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 边的中点，AE 的垂直平分线分别交AD ，BC 边于点F ，G ，垂足为点H ．若4AB =，则GH 的长为 ．【分析】过点B 作BN GF ∥交AD 于点N ，先证明()AAS AED BNA ≌，推出AEBN FG ==，利用勾股定理求出AE ，再证明AFH AED ∽，利用相似三角形的性质求出FH =解：过点B 作BN GF ∥交AD 于点N ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，4AB =，∴,4,90AD BC AD AB CD BAN D ===∠=∠=°∥， ∴四边形BGFN 是平行四边形，∴BN GF =，∵,AE FG BN GF ⊥∥，∴BN AE ⊥，∴90BNA EAD∠+∠=°， 90AED EAD∠+∠=°∴BNA AED ∠=∠， 在AED △和BNA 中，AED BNA D BAN AD AB ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AAS AED BNA ≌，∴AEBN FG ==， ∵点E 是DC 边的中点，∴2DECD ==，∴AE∴FG =∵H 是AE 的中点，∴12AH AE == ∵90,AHF D FAH EAD ∠=∠=°∠=∠，∴AFH AED ∽ ， ∴FH AH DE AD =，即2FH =∴FH =∴GH FG FH =−==，【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键．【题型4】矩形中的“十字架模型”【例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接DE ，过点A 作AG DE ⊥于点F ，交BC 于G ，则AG 与DE 的数量关系是：AG ______DE （填“>”“=”“<”号）．(2)①如图2，在矩形ABCD 中，AB nBC M N =，、为AB CD 、上的点，连接MN ，过点D 作DE MN ⊥于点F ，交BC 于E ．小明发现，过M 作MG CD ⊥于点G ，可以得到MN 与DE 的数量关系．这个数量关系是什么？请说明理由；②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于______； ③应用上述结论解决问题：在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠°=，=，=，点D 是AB 的中点，连接CD ，过B 作CD 的垂线BE ，交直线AC 于E ，垂足是点F ，直接写出BE 的长度．【答案】(1)=(2)①数量关系为DE nMN =，理由见解析；②矩形两邻边的比；③152； 【分析】（1）证明ABG DAE ≌即可；（2）①证明MNG DEC ∽，由相似的性质即可得到MN 与DE 的数量关系；②由①的解答即可完成；③延长CD 到N ，使DN CD =，分别连接AN BN ，，则可得四边形ACBN 是矩形，且BE CN ⊥，由①的结论即可求得BE 长度．（1）解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴90AB AD DAE ABG =∠=∠=°，， ∴90DAF BAG ∠+∠=°，∴90ADE DAF ∠+∠=°，∴ADE BAG ∠=∠， ∴(ASA)ABG DAE ≌，∴AG DE =，故答案为：=；（2）解：①数量关系为DE nMN =理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC C ∠=∠=∠=°，AD BC AB CD ==，； ∵MG CD ⊥，∴四边形ADGM 是矩形，AD MG BC ==；∵DE MN MG CD ⊥⊥，，∴90EDC MNG MNG NMG ∠+∠=∠+∠=°，∴EDC NMG ∠=∠， ∵90MGN C ∠=∠=°， ∴MNG DEC ∽， ∴MN MG DE CD=； ∵AB nBC =，∴CD nMG =， ∴1MN DE n=， 即DE nMN =；②由①知，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于矩形两邻边的比；故答案为：矩形两邻边的比；③如图，延长CD 到N ，使DN CD =，分别连接AN BN ，，∵D 为AB 的中点，∴BD AD =，∴四边形ACBN 是平行四边形，∵90ACB ∠=°， ∴四边形ACBN 是矩形，∴8BNAC ==，由勾股定理得：10CN =；∵BE CN ⊥，∴由①的结论知：86CN AC BE BC ==， ∴661015882CN BE ×===．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性．【变式1】（2024·湖南永州·一模）如图，在矩形ABCD 中，BE AC ⊥于点F ，若1,BF BC ==则DE 的长度为（ ）A ．1B C ．32 D 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明ABF BCF ∽ ，可得AF BF BF CF =，可求AF 的长，通过证明AEF CBF ∽△△，可得AF AE CF BC=，可求DE 的长． 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴,90,AD BC AD BC ABC =∠=°∥∵BE AC ⊥，1,BF BC ==∴CF =，∵90AFB CFB ABC ∠=∠=∠=°， ∴90ABF CBF ABF BAC ∠+∠=°=∠+∠，∴BAC CBF ∠=∠， ∴ABF BCF ∽ ，∴AF BF BF CF=，∴1AF =，∴AF = ∵AD BC ∥，∴AEF CBF ∽△△，∴AF AE CF BC=，=∴AE =∴DE AD AE BC AE =−=−， 故选：B ．【变式2】（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，点E 在AD 上，连接CE ，交BD 于点F ，且DEF DBA ∽ ．（1）BD 与CE 是否垂直？ （填“是”或“否”）；（2）若1AB =，30CBD ∠=°，则EF CF的值为 ．【答案】 是 13【分析】（1）根据矩形ABCD 的性质可得90DAB ∠=°，已知DEF DBA ∽ 即可证得．（2）根据矩形ABCD 的性质可得AD ，根据DEF DBA ∽ 可得DF =，在证明DFC DCB ∽ ，根据相似比即可解得．（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=°，∵DEF DBA ∽ ，∴90DFE DAB ∠=∠=°，∴BD CE ⊥；故答案为：是；（2）1AB =，30CBD ∠=°，四边形ABCD 为矩形，∴1AB CD ==，2BD =，∴AD BC ===，∵DEF DBA ∽ ，∴ EFDFAB AD =，即 1EF= ∴DF =，∵DFC BCD ∠=∠，BDC BDC ∠=∠，∴DFC DCB ∽ ，∴ DFCFCD BC =，即 1DF=∴ =，∴ 12EFCF =．故答案为： 13．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 ．【答案】152/7.5 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD ，证明△BOF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF 即可．解：如图：四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=°，又6AB =，8AD BC ==，10BD ∴=，EF 是BD 的垂直平分线，5OB OD ∴==，90BOF ∠=°，又90C ∠=°，BOF BCD ∴∆∆∽， ∴OF BO CD BC =， ∴568=OF ， 解得，15OF =，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，90A ∠=°，EDO FBO ∴∠=∠，EF 是BD 的垂直平分线，BO DO ∴=，EF BD ⊥，在DEO ∆和BFO ∆中，EDO FBO BO DOEOD FOB ∠=∠ = ∠=∠， ()DEO BFO ASA ∴∆≅∆，OE OF ∴=，1522EF OF ∴==． 故答案为：152． 【点拨】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．【例2】（2022·湖南娄底·中考真题）如图，已知等腰ABC 的顶角BAC ∠的大小为θ，点D 为边BC 上的动点（与B 、C 不重合），将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D 处，连接BD ′．给出下列结论：①ACD ABD ′≅△△；ACB ADD ′ △；③当BD CD =时，ADD ′ 的面积取得最小值．其中正确的结论有 （填结论对应的序号）．【答案】①②③【分析】依题意知，ABC 和ADD ′ 是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS 证明ADC AD B ′≌△△，可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为AD AC ，故最小时ADD ′ 面积最小，即AD BC ⊥，等腰三角形三线合一，D 为中点时 .解：∵AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度得到AD ′∴DAD θ′∠=，AD AD =′ ∴CAB DAD ′∠=∠ 即CAD DAB DAB BAD ′∠+∠=∠+∠∴CAD BAD ′∠=∠ ∵AC AB CAD BAD AD AD ′= ∠=∠ =′得：ADC AD B ′≌△△（SAS ）故①对∵ABC 和ADD ′ 是顶角相等的等腰三角形∴ACB ADD ′ △△故②对 ∴2()AD D ABC S AD S AC′=△△ 即AD 最小时AD D S ′△最小当AD BC ⊥时，AD 最小点是BC 中点故③对故答案为：①②③【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键 .2、拓展延伸【例1】（2024·辽宁沈阳·二模）如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接.DE 将CDE 绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现：①当0α=°时AE BD =______； ②当180α=°时，AE BD=______． (2)拓展探究：试判断当0360α°<<°时，AE BD的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：∵ECD ACB ∽，EC AC∴=③ ． 又∵旋转ECA DCB ∠=∠， ∴ECA DCB ∽△△，AE EC BD DC∴== ． (3)用以上结论解决问题：当CDE 绕点C 逆时针旋转至A ，B ，E 三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段BD 的长 ．【答案】DC BC【分析】（1）①先利用勾股定理可得AC =AE =，1BD =，由此即可得；②先画出图形，根据旋转的性质可得90CDE°∠=，2DE CE==，1CD =，然后根据线段和差分别求出AE ，BD 的长，由此即可得；（2）根据相似三角形的判定证出ECA DCB ∽△△，再根据相似三角形的性质即可得；（3）分①点E 在AB 的延长线上和②点E 在线段AB 上，利用勾股定理求出1BE =，从而可得AE 的长，再根据AE BD= （1）解：①当0α=°时，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，AC ∴=点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，12CE AE AC ∴===112BD CD BC ===，②如图1，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，4AB =，122DE AB ==，DE AB ∥， 90ABC ∴∠=°，90CDE ABC ∠=∠=°； 如图，当180α=°时，由旋转的性质得：CDE ∠的大小不变，仍等于90°，DE 长度不变，仍等于2，CE 的长度不变，AE AC CE ∴=+=1CD ，3BD BC CD ∴=+=，AE BD ∴==（2）解：当0360α°<<°，大小没有变化； 证明：ECD ACB ∽，EC CD AC BC ∴=， 又∵旋转ECA DCB ∠=∠， ECA DCB ∴ ∽，AE EC BD DC ∴==故答案为：CD CB （3）①如图2，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE 中，CE =2BC =，1BE ∴=，415AE AB BE ∴=+=+=，AE BD∴BD ∴== ②如图3，当点E 在线段AB 上时，在Rt BCE 中，CE =2BC ，1BE ∴=，413AE AB BE ∴=−=−=，AE BD∴BD ∴==，综上，线段BD 【点拨】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形ABCD ，DEFG ，将正方形DEFG 绕点D 旋转，直线AE 、CG 交于点P ，请直接写出线段AE 与CG 之间的数量关系是______，位置关系是______；（2）【拓展探究】如图2，矩形ABCD ，DEFG，22AD DE AB DG AD DG ===，，，将矩形DEFG 绕D 旋转；直线AE ,CG 交于点P ，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系；（3）【解决问题】若2428AD DE AB DG ====，，矩形DEFG 绕D 旋转过程中当点P 与点G 重合时，求线段AE 的长．【答案】（1）AE CG =，AE CG ⊥；（2）AE 、CG 的数量关系不成立，位置关系仍成立，AE 、CG 的数量关系为：2CG AE =，理由见解析；（3）AE 的长为【分析】（1）证明ADE CDG ≌得到AE 与CG 的数量关系，通过角的等量代换，求得90∠=°GPE ，得到AE 和CG 的位置关系；（2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明 ∽EDA GDC ，求得AE 和CG 的数量关系；然后利用角的等量代换，求得90∠=°GPE ，得到AE 和CG 的位置关系； （3）分情况讨论，①当点P 和点G 在边CD 上方重合时，②当点P 和点G 在边CD 下方重合时，分别求解．解：（1）AE CG =，AE CG ⊥；∵四边形ABCD ，DEFG 都是正方形，∴AD CD =，DE DG =，90ADC EDG °∠=∠=．∴ADC ADG EDG ADG ∠+∠=∠+∠，∴ADE CDG ∠=∠． ∴ADE CDG ≌．∴AE CG =，DEA DGC ∠=∠， DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠∴90∠=°GPE ． ∴AE CG ⊥；（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．2CG AE =，AE CG ⊥．理由如下：由题意知在矩形ABCD 、DEFG 中，90EDG ADC °∠=∠=，∴EDG GDA ADC GDA ∠+∠=∠+∠．∴EDA GDC ∠=∠．∵2AD DE =，2AB DG =， ∴12ED DG AD DC ==．∴ ∽EDA GDC ．∴2CG AE =，DEA DGC ∠=∠．∵DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠，∴90GPE °∠=．∴AE CG ⊥．综上所述：2CG AE =，AE CG ⊥；（3）如解图①，AE如解图2，连接AC ，设AE x =，则2CG x =，EG AC =在Rt AGC 中，222+=AG GC AC ，222((2)++x x ，∴x ==−x综上所述，当点P 与点G 重合时，线段AE 的长为 【点拨】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键．。
神奇的矩形“十字架”模型
神奇的矩形“⼗字架”模型
刚从⾼中下来教初中的时候，发现初中和⾼中不太⼀样——初中的解题模型似乎⽐较多，有⼈归纳为各种各样的模型。
这些模型是否有⽤？
各种⽂献对这个问题有所争议。
笔者赞同数学教育学报的⼀⽂的说法，学习模型，但不依赖于模型，在模型上还要有所创新。
先看⼀个动画——⽤ggb软件让学⽣观察，最好能教学⽣如何操作，对于学⽣理解运动变化的规律⾮常有⽤！
从⽽让学⽣形成如下基本活动经验：
有兴趣的话来做⼀道题吧！
⼩结和反思：
之前买了⼀本书，叫做⼏何画板和⼋⼤数学模型，⼀开始⾃⼰真的不喜欢把数学问题都归纳到模型中去，我⾃⼰认为套题型套模型的教学对发展学⽣的思维是不利的。
但是现在转过来想，如果改变教学⽅式，让学由浅⼊深的学习，然后最好让学⽣⾃⼰归纳（包括模型的名字），让学⽣利⽤模型能⾼效的解题，也是⼀种可⾏的途径！。
几何图形中的十字架结构
几何图形中的十字架结构
基本模型
1、在正方形ABCD 中，BN ⊥AM ，则常见的结论有哪些？
2、在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BC 、AD 边上的点，若EF ⊥GH ，上述结论是否仍然成立？
当然是仍然成立的
所以大体上思路是“从垂直可利用全等推导出相等”
所以反思“从相等是否可推导出垂直？”
在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BC 、AD 边上的点，若EF=GH ，则EF 与GH 不一定垂直，请画出反例.
如上图，垂直只是相等时的一种情况，另一种，只需使得AH ’=DH ，BG ’=CG ’即可作出HG=H ’G ’ 利用上述结论，做题可就方便多了！
例题1、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 在AD 边，求折痕FG 的长；
既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？
模型拓展一
如图，在矩形ABCD 中，AB=m ，AD=n ，在AD 上有一点E ，若CE ⊥BD ，则CE 和BD 之间有什么数量关系？。
十字架模型，文末下载链接
⼗字架模型，⽂末下载链接⼀、考题研究在特殊的四边形问题中翻折的问题是⽐较常见的，不论是期中、期末和中考中都⽐较常见，能否采⽤合适的⽅法求出线段长，或者是利⽤⾯积之间关系求线段之间关系，这就是我们今天重点学习的⼀个模型“⼗字架模型”⼆、知识回顾1、全等三⾓形的性质与判定2、相似三⾓形的性质与判定3、矩形和正⽅形的性质与判定4、图形的变换--轴对称三、⼗字架模型【⼗字架模型】--正⽅形第⼀种情况：过顶点在正⽅形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同⾓的余⾓相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第⼆种情况：不过顶点在正⽅形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正⽅形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH【导⼊】如图，将边长为4的正⽅形纸⽚折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则折痕的长度为______．往期经典1、中考压轴题----线段和最⼩2、⼀道关于旋转的压轴题3、你认识正⽅体吗？4、不借助⽇历，⼝算历史上任⼀天是星期⼏的⽅法5、图形的全等6、图形的全等 - 续7、中考复习尺规作图九种基本作图8、免费领取“初中九⼤⼏何模型”9、如何确定⼆次函数abc的范围以及关于abc的式⼦10、点圆模型求最值11、初中三⼤⼏何变换---对称12、初中三⼤⼏何变换---对称续13、LaTex排版---⼀元⼀次⽅程之特殊考点14、如何确定⼆次函数abc的范围以及关于abc的式⼦15、初中三⼤变换之旋转（⼿拉⼿模型）欢迎关注公众号，后期不定时更新视频，关注学习更多。
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专题训练-------五边形内十字架模型
专题训练-------五边形内十字架模型
简介
本文档介绍了五边形内十字架模型的相关知识和使用方法。
五边形内十字架模型
五边形内十字架模型是一种常用的图形模型，常用于展示和分析不同因素之间的关系和影响。
该模型由一个五边形和一个十字架组成，五边形代表一个主要因素，而十字架表示与该因素相关的其他因素。
使用方法
以下是使用五边形内十字架模型的步骤：
1. 确定主要因素：首先，确定需要分析的主要因素。
将该因素标记在五边形的中心。
2. 确定相关因素：确定与主要因素相关的其他因素。
将这些因素标记在十字架的四个方向上。
3. 分析关系：分析每个相关因素与主要因素之间的关系。
说明这些因素对主要因素的影响和相互之间的关联性。
4. 图形化展示：使用适当的图形工具，如图表或图形，绘制五边形内十字架模型，并标注出各个因素和关系。
示例
以下是一个关于市场营销策略的五边形内十字架模型的示例：
Market size
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Price | Promotion
--------
Place |
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Product
总结
通过使用五边形内十字架模型，我们可以清晰地展示不同因素之间的关系和相互影响，有助于分析和制定相关策略和决策。
以上是关于五边形内十字架模型的介绍和使用方法，希望对您有所帮助。
十字架模型-解析版
十字架模型【模型讲解】1◎结论1：正方形内部，AE⊥BF，则AE=BF,△ABE≌△BCF .相等未必垂直过点H作HP⊥CD与P，作I关于HP对称点Q,虽然HI=JK，但HQ≠JK方法总结：正方形内两条互相垂直的直线与各边的交点所得的线段，那么这两条线段相等。
证明方法往往通过证明三角形全等，如果没有，则按照上图构造两个全等三角形，结合平行四边形的性质节课得出结论1(2023春·八年级课时练习)如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D 与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ的周长最小值是()A.32+22 B.3+352C.32+23 D.92【答案】B【分析】连接BP，取CD的中点M，连接PM，根据折叠的性质，PM=PQ，GH=DC，PC=PG，要求△GPQ的周长的最小值，只需求PM+PB的最小值，当M、P、B三点共线时，PM+BP=BM最小，在Rt△BCM中，勾股定理求出BM，即可求解．【详解】解：连接BP，取CD的中点M，连接PM，由折叠可知，PM=PQ，GH=DC，PC=PG，在Rt△BCG中，P是CG的中点，∴BP=PG=12GC，∵Q是GH的中点，∴QG=12GH，∴△GPQ的周长=PQ+QG+PG=PM+12GH+PB=PM+PB+12CD，∵CD=3，∴△GPQ的周长=PM+PB+32，当M、P、B三点共线时，PM+BP=BM最小，在Rt△BCM中，BM=35 2，∴△GPQ的周长的最小值为3+352.故选B．【点评】本题考查图形的翻折变换，熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．2(2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE=1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为()A.210B.25C.6D.5【答案】D【分析】作FH⊥AB于H，交AE于P，设AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再证明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根据S四边形AGEF=S△AGF+S△EGF求解即可【详解】解：作FH⊥AB于H，交AE于P，则四边形ADFH是矩形，由折叠的性质可知，AG=GE，AE⊥GF，AO=EO．设AG=GE=x，则BG=3-x，在Rt△BGE中，∵BE2+BG2=GE2，∴12+(3-x)2=x2，∴x=53．在Rt △ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+12=AE 2，∴AE =10．∵∠HAP +∠APH =90°，∠OFP +∠OPF =90°，∠APH =∠OPF ，∴∠HAP =∠OFP ，∵四边形ADFH 是矩形，∴AB =AD =HF ．在△ABE 和△FHG 中，∠HAP =∠OFP∠ABE =∠GHF AB =HF，∴△ABE ≌△FHG ，∴FG =AE =10，∴S 四边形AGEF =S △AGF +S △EGF=12GF ⋅OA +12GF ⋅OE =12GF ⋅OA +OE =12GF ⋅AE =12×10×10=5．故选D ．【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．3(2023春·八年级课时练习)如图，将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长为()A.32B.3C.94D.154【答案】C【分析】设EF =FD =x ，在RT △AEF 中利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：∵将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，∴EF=DE，AB=AD=6cm，∠A=90°∵点E是AB的中点，∴AE=BE=3cm，在Rt△AEF中，EF2=AF2+AE2，∴(6-AF)2=AF2+9∴AF=94故选C．【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型．4(2023春·全国·八年级专题练习)如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为()A.12B.13C.14D.15【答案】B【详解】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴PQ=AE=52+122=13.【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．5(2023春·八年级课时练习)如图，现有一张边长为8的正方形纸片ABCD，点E为正方形CD边上的一点(不与点A，点D重合)将正方形纸片折叠，使点A落在CD边上的G处，点B落在H处，HG交BC于P，折痕为EF，连接AP，AG.则ΔPGC的周长是．【答案】16.【分析】解过点A作AM⊥GH于M，由正方形纸片折叠的性质得出∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，则EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，由垂直于同一条直线的两直线平行得出AM∥EG，得出∠EGA=∠GAM，则∠EAG=∠GAM，得出AG平分∠DAM，则DG=GM，由AAS证得△ADG≌△AMG得出AD=AM=AB，由HL证得Rt△ABP≌Rt△AMP得出BP=MP，则△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC= CG+DG+BP+PC=CD+CB=16．【详解】解：过点A作AM⊥GH于M，如图所示：∵将正方形纸片折叠，使点A落在CD边上的G处，∴∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，∴EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，∴AM∥EG，∴∠EGA=∠GAM，∴∠EAG=∠GAM，∴AG平分∠DAM，∴DG=GM，在△ADG和△AMG中∠DAG=∠GAM∠ADG=∠AMG=90°DG=GM，∴△ADG≌△AMG(AAS)，∴AD=AM=AB，在Rt△ABP和Rt△AMP中AB=AM AP=AP ，∴Rt△ABP≌Rt△AMP(HL)，∴BP=MP，∴△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=8+8=16，故答案为16．【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．6(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB= 5，BE=2，则AF=．【答案】34.【分析】根据正方形的性质得到AB =BC ，∠ABE =∠BCF =90°，推出∠BAE =∠EBH ，根据全等三角形的性质得到CF =BE =2，求得DF =5-2=3，根据勾股定理即可得到结论．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，∠ABE =∠BCF =90°，∴∠BAE +∠AEB =90°，∵BH ⊥AE ，∴∠BHE =90°，∴∠AEB +∠EBH =90°，∴∠BAE =∠EBH ，在△ABE 和△BCF 中，∠BAE =∠CBF AB =BC ∠ABE =∠BCF，∴△ABE ≌△BCF (ASA )，∴CF =BE =2，∴DF =5-2=3，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD =5，∠ADF =90°，由勾股定理得：AF =AD 2+DF 2=52+32=34．故答案为34．【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明△ABE ≌△BCF 是解本题的关键．7(2023春·全国·八年级专题练习)正方形ABCD 中，点E 、F 在BC 、CD 上，且BE =CF ，AE 与BF 交于点G ．(1)如图1，求证AE ⊥BF ；(2)如图2，在GF 上截取GM =GB ，∠MAD 的平分线交CD 于点H ，交BF 于点N ，连接CN ，求证：AN+CN =2BN ；【答案】(1)见解析；(2)见解析；【分析】(1)根据正方形的性质得AB =BC ，∠ABC =∠BCD =90°，用SAS 证明△ABE ≌△BCF ，得∠BAE =∠CBF ，根据三角形内角和定理和等量代换即可得；(2)过点B 作BH ⊥BN ，交AN 于点H ，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS 证明△AGB ≌△AGM ，得∠BAG =∠MAG ，根据角平分线性质得∠BHA =∠GAN =45°，则△HBN 是等腰直角三角形，用SAS 证明△ABH ≌△CBN ，得AH =CN ，在Rt △HBN 中，根据勾股定理即可得；【详解】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF BE=CF∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE=∠CBF，∵∠AEB+∠BAE=180°-∠ABC=180°-90°=90°，∴∠AEB+∠CBF=90°，∴∠EGB=180°-(∠AEB+∠CBF)=180°-90°=90°，∴AE⊥BF；(2)如图所示，过点B作BH⊥BN，交AN于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AC，∠ABC=∠HBN=90°，∵∠HBN=∠HBA+∠ABN=90°，∠ABC=∠CBN+∠ABN=90°，∴∠HBA=∠CBN，由(1)得，AE⊥BF，∴∠AGB=∠AGM=90°，∴∠HBG=∠AGM=90°,∴HB⎳AE，∴∠BHA=∠EAN，在△AGB和△AGM中，AG=AG∠AGB=∠AGM GB=GM∴△AGB≌△AGM(SAS)，∴∠BAG=∠MAG，∵AN平分∠DAM，∴∠DAN=∠MAN，∴∠BAG+∠MAG+∠MAN+∠DAN=90°，2∠MAG+2∠MAN=90°，∠MAG+∠MAN=45°，∠GAN=45°，∴∠BHA=∠GAN=45°，∴∠BNH=180°-∠HBN-∠BHA=180°-90°-45°=45°，∴△HBN是等腰直角三角形，∴BH=BN，在△ABH和△CBN中，BH=BN∠HBA=∠CBN AB=CB∴△ABH≌△CBN(SAS)，∴AH=CN，在Rt△HBN中，根据勾股定理HN=BH2+BN2=2BN，∴AN+CN=AN+AH=HN=2BN；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．8(2023春·全国·八年级专题练习)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G．(1)求证：AE=BG；(2)如图2，连接AG、GE，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，试判断四边形MNPQ的形状，并说明理由；(3)如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'=1，正方形的边长为3，求线段OF的长．【答案】(1)见解析；(2)四边形MNPQ为正方形，理由见解析；(3)10 6【分析】(1)由四边形ABCD为正方形，可得∠ABC=∠BCD=90°，推得∠ABG+∠CBG=90°，由BG⊥AE，可得∠BAE+∠ABG=90°，可证△ABE≅△BCG ASA即可；(2)M、N为AB、AG中点，可得MN为△ABG的中位线，可证MN⎳BG，MN=12BG，由点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，可得PQ是△BEG的中位线，MQ为△ABE的中位线，NP为△AEG的中位线，可证PQ⎳BG，PQ=12BG，MQ⎳AE，MQ=12AE，NP⎳AE，NP=12AE，可证四边形MNPQ为平行四边形．再证四边形MNPQ为菱形，最后证MN⊥MQ即可；(3)延长AO交BC于点S，由对称性可得BF=B'F，AB'=BS=1，AO=SO，由勾股定理可求AS=10，可得AO=12AS=102，设AF=x，在Rt△AB'F中，12+(3-x)2=x2，解得x=53，在Rt△AOF中，可求OF=106．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴∠ABG+∠CBG=90°，∵BG⊥AE，∴∠AHB=90°，∴∠BAE+∠ABG=90°，∴∠BAE=∠CBG，在△ABE与△BCG中，∠BAE=∠CBG AB=BC∠ABC=∠BCD，∴△ABE≅△BCG ASA，∴AE=BG．(2)解：四边形MNPQ为正方形，理由如下：∵M、N为AB、AG中点，∴MN为△ABG的中位线，∴MN⎳BG，MN=12BG，∵点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，∴PQ是△BEG的中位线，MQ为△ABE的中位线，NP为△AEG的中位线，，∴PQ⎳BG，PQ=12BG，MQ⎳AE，MQ=12AE，NP⎳AE，NP=12AE，∴MN=PQ，MQ=NP，∴四边形MNPQ为平行四边形．∵AE=BG，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形，∵BG⊥AE，MQ⎳AE，∴MQ⊥BG，∵MN⎳BG，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为正方形．(3)解：延长AO交BC于点S，由对称性可知BF=B'F，AB'=BS=1，AO=SO，在Rt△ABS中，AS=AB2+BS2=10，∴AO=12AS=102，设AF=x，则BF=B'F=3-x，在Rt△AB'F中，12+(3-x)2=x2，x=53，∴AF=53，在Rt△AOF中，OF=AF2-AO2=53 2-102 2=106．【点睛】本题考查正方形性质与判定，等角的余角性质三角形全等判定与性质，三角形中位线判定与性质，勾股定理，根据勾股定理建构方程，解拓展一元一次方程等知识，掌握以上知识是解题关键．。
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基本模型
1、在正方形ABCD中，BN⊥AM，则常见的结论有哪些？
结论：
△ADM△△BAN
AM=BN
2、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EF⊥GH，上述结论是否仍然成立？
当然是仍然成立的
过点H作HN⊥BC，过点F
作FM⊥AB
结论：
△HNG△△FME
GH=EF
所以大体上思路是“从垂直可利用全等推导出相等”
所以反思“从相等是否可推导出垂直？”
在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BC 、AD 边上的点，若EF=GH ，则EF 与GH 不一定垂直，请画出反例.
如上图，垂直只是相等时的一种情况，另一种，只需使得AH’=DH ，BG’=CG’即可作出HG=H’G’
利用上述结论，做题可就方便多了！
例题1、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 在AD 边，求折痕FG 的长；
【解析】
连接AE ，由轴对称的性质可知，AE ⊥FG （应该是FG 垂直平分AE ）
这样就可以直接用上面的结论啦！
所以由垂直得到相等，所以FG=AE=522422=+
既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？
模型拓展一
如图，在矩形ABCD 中，AB=m ，AD=n ，在AD 上有一点E ，若CE ⊥BD ，则CE 和BD 之间有什么数量关系？
其实这里面基本型较多
有相似里的直角母子型，又有A 字形相似
但是为了延续上面的探究
我们要讲的模型是△CDE ∽△BCD
证明较简单
不证了
记住这个结论 所以n
m BC CD BD CE == 即CE 和BD 之比等于矩形邻边之比
如图1，一般情况，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、AB 、CD 边上的点，当EF ⊥GH 时，有AD
AB GH EF =的结论，证明方法如图2，证明△FME ∽GNH 即可
图1 图2
看到上面加粗的字了吗？这个点的所在边为什么要确定？ 因为言五君发现，仅仅使得EF ⊥GH ，会出现下图情况，此时仍有相似，但AD AB GH EF =不再成立
所以我们可以思考一下，当这个α角度在什么范围内，
AD
AB GH EF =这个结论才能成立呢？由于α的特殊性，不如求tan ∠EFB 的最小值.
例题1、如图，已知直线2x 2
1-y +=与x 轴、y 轴分别交于B 、A 两点，将△AOB 沿着AB 翻折，使点O 落在点D 上，当反比例函数x
k y =经过点D 时，求k 的值.
【解析】
求出点D 的坐标就好啦！
这个题学生不会做，主要是图不完整，太空啦！
所以把它围成一个矩形就好啦！（如图）
发现连接OD 后，有OD ⊥AB （发现没有，矩形内部垂直模型出来了！） 所以有AB
OD OB OE AO ED ==，OD 和AB 均可求出来 易求A （0，2），B （4，0）
所以AB=52，OD=2OG
在△ABO 中，利用面积法可快速求出OG=5
54，所以OD=558 所以5
45255
84OE 2ED === 所以ED=58，OE=516，所以D （58，5
16） 所以k=58×516=25
128
【练习】
如图把边长为AB＝6，BC＝8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.
请在20秒内快速求出此题答案
15
答案：
2
模型拓展二
我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形
所以矩形的结论可沿用至直角三角形内
例题1、在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CE⊥BD，当AD=CD时，求AE的长；
【解析】
如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G
所以有结论△BCD ∽△CAG ，所以
CG
AB AC CB AG CD == 所以CG 543AG 2==，AG=38，CG=320
如图，再用一次X 型相似即可
所以设CE=x ，EG=3
20-x 所以CE EG BC AG =，即x
x -320338=，解得1760x =
【练习】
1、如图，在Rt△ABC 中，△ABC=90°，BA=BC ，点D 为BC 边上的中点，BE△AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，则AF FC
的值为___________.AF ：FC
答案：2
【其它四边形中的十字】
1、（2017届滨湖区期中）如图，把边长为AB ＝2
2、BC ＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD 对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长.
【解析】
看着不熟悉吗？
怎么转换为熟悉的模型呢？
看下面，补成矩形不就好了！
后面的过程基本就和前面讲过的一样咯
BF
DF BD MN ，BD=102，DF=2，BF=6，所以MN=3102
2、（2013·武汉中考改编）如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE ∠CF ，请求出CF
DE 的值．
【解析】
咋一看，又是个不规则的图形
再仔细看一下条件，发现其实是个轴对称的图形
再利用一下条件，可算出BD=10，发现△BCD也是个直角三角形要求DE与CF的比值，仍然往我们熟悉的模型上靠拢
将这个图形补成矩形
所以，由前面得到的结论，可知AM
AD CF DE = 眼尖的言五君发现了熟悉的一线三等角模型
所以△BMC ∽△CND ，且相似比4
3CD BC =， 设BM=x ，所以CN=x 3
4
，MC=x 34-8 所以4
3ND MC =，即43x 6x 34-8=+ 解得x=2542，所以AM=6+2542=25
192 所以24
2525
1928AM AD CF DE ===
【练习题】
1、如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，
（1）求AF 的长；
（2）求△EBG 的周长；
（3）求FD
CH 的值.
3、如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF△AC ，垂足为E ，
12AD AB ，△CEF 的面积为1S ，△AEB 的面积为2S ，则12
S S 的值等于 ．
4、如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2A F ；③DF ＝DC ；④tan ∠CAD
＝
2
．其中正确的结论有( )
A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
2、新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC 中，AF 、BE 是中线，且AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC 的长为___________.
3（1）如图，在Rt△ABC 中，△ABC=90°，点D 为BC 边上的点，BE△AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ．AB B C 1D B DC ==，求AF FC
的值； （3）在Rt△ABC 中，△ABC=90°，点D 为直线BC 上的动点(点D 不与B 、C 重合)，直线BE△AD 于点E ，交直线AC 于点F 。
若
AB BD n BC DC ==，请探究并直接写出AF FC
的所有可能的值(用含n 的式子表示)，不必证明．
【其它四边形中的十字】
1、如图，把边长为AB ＝2
2、BC ＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD 对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长.
2、已知四边形ABCD 中．E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．
（一）问题初探；
如图①，若四边形ABCD 是正方形，且DE ∠CF ．则DE 与CF 的数量关系是 ；
（二）类比延伸
（1）如图②若四边形ABCD 是矩形．AB=m ，AD=n ．且DE ∠CF ，则CF
DE = ．（用含m ，n 的代数式表示）
（2）如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，当∠B+∠EGC=180°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
（三）拓展探究
如图④，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE ∠CF ，请直接写出CF
DE 的值．
（2016·烟台）
【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形 两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD 中，EF△GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ， GH 分别交AD ，BC 于点G ，H ．求证：AB
AD GH EF =； 【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM△BN ，点M ，N 分别 在边BC ，CD 上，若1511GH EF =，则AM
BN 的值为 ； 【联系拓展】
（3）如图3，四边形ABCD 中，△ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5， AM△DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求AM
DN 的值．。