§3.2 立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。
第3章3.2 立体几何中的向量方法(二)垂直关系
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
授人以渔
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题型一 利用空间向量证明线线垂直 例 1 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱 长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.
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探究 2 如何利用向量法证明线面垂直？ 用向量法证明线面垂直的方法步骤： (1)坐标法： ①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示． ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量． ③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂 直或与平面的法向量平行．
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1．若两个不同平面 α，β 的法向量分别为 u＝(2，1，－1)，
v＝(3，2，8)，则( )
A．α ∥β
B．α ⊥β
C．α ，β 相交不垂直 答案 B
D．以上均不正确
解析 ∵v·u＝6＋2－8＝0.
∴v⊥u，∴α⊥β.
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【解析】 方法一：(基向量法) 设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c，则由已知条件和正三棱柱的性 质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0. A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)，A→N＝b＋14c， M→N＝A→N－A→M＝－12a＋12b＋14c， ∴A→B1·M→N＝(a＋c)·(－12a＋12b＋14c) ＝－12＋12cos60°＋14＝0. ∴A→B1⊥M→N，∴AB1⊥MN.
a，0)．
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高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2空间向量与垂直关系课件人教A版选修2_1.ppt
利用空间向量证明线面垂直的方法有两种：一是利用判定定 理，即通过证明向量数量积为 0 来验证直线的方向向量与平面内 两条相交直线的方向向量垂直；二是求平面的法向量，验证直线 的方向向量与平面的法向量平行.
类型一 利用空间向量证明线线垂直 【例 1】 如图，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形， PA＝AB＝1，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动．求证： 无论点 E 在边 BC 上的何处，都有 PE⊥AF.
【分析】 只需证明直线 PE 与 AF 的方向向量互相垂直即 可．
方法二：因为点 E 在边 BC 上，可设B→E＝λB→C， 于是P→E·A→F＝(P→A＋A→B＋B→E)·12(A→P＋A→B) ＝12(P→A＋A→B＋λB→C)·(A→B＋A→P) ＝12(P→A·A→B＋P→A·A→P＋A→B·A→B＋A→B·A→P＋λB→C·A→B＋λB→C·A→P)＝12 (0－1＋1＋0＋0＋0)＝0， 因此P→E⊥A→F. 故无论点 E 在边 BC 上的何处，都有 PE⊥AF.
将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，可以选择基向量法 也可用坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量方法是关键.
已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 1，若侧棱 C1C 的 中点为 D，求证：AB1⊥A1D.
证明：设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1，以 O 为坐标原点， OB，OC，OO1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系，则
法二：同法一得A→B1＝(0,2,2)，A→C＝(－2,2,0)， E→F＝(－1，－1,1)． 设平面 B1AC 的法向量 n＝(x，y，z)， 则A→B1·n＝0，A→C·n＝0，
即2－y＋2x2＋z＝2y0＝，0， 取 x＝1，则 y＝1，z＝－1， ∴n＝(1,1，－1)，∵E→F＝－n， ∴E→F∥n，∴EF⊥平面 B1AC.
立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系
§3.2立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．1．空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔______设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔________若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔________线线垂直线面垂直面面垂直①证明两直线的方向向量的数量积为______．①证明直线的方向向量与平面的法向量是______．①证明两个平面的法向量____________．②证明两直线所成角为______.②证明直线与平面内的相交直线________.②证明二面角的平面角为________.________.一、选择题1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于()A．1B．2C．3D．42．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．不确定 6.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．相交且垂直D ．以上都不是 二、填空题7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中：①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.能力提升12．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC ＝1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.13．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.垂直关系的常用证法(1)要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．(2)要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直． (3)要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．§3.2 立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系知识梳理1．a ⊥b a ∥u u ⊥v1．B [∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3，m )＝－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2.]2．C [∵AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，BC →＝(2,6,4)，∴AB →·AC →＝0，∴AB ⊥AC ，且|AB →|≠|AC →|≠|BC →|，∴△ABC 为直角三角形．] 3．B [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.] 4．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．] 5．B [∵a·b ＝2×1－2×3＋2×2＝0，∴a ⊥b ， ∴l 1⊥l 2.]6．C [可以建立空间直角坐标系，通过AC 1→与CE →的关系判断．] 7．－9解析 ∵l ⊥α，∴u ⊥v ， ∴(1，－3，z )·(3，－2,1)＝0， 即3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9. 8．0解析 ∵a·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0， a·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0， b·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直．9．①②③ 10．证明如图，以平面ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴，AC →、AA 1→所在直线为y 轴、z 轴，则A (0,0,0)，B 1⎝⎛⎭⎫32，12，1， M ⎝⎛⎭⎫34，34，0，N ⎝⎛⎭⎫0，1，14. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，MN →＝⎝⎛⎭⎫－34，14，14.∴AB 1→·MN →＝－38＋18＋14＝0， ∴AB 1→⊥MN →，即AB 1⊥MN . 11．证明如图，取AB 1的中点M ， 则D M →＝D C →＋CA →＋AM →. 又D M →＝DC 1→＋C 1B 1→＋B 1M →，两式相加得2D M →＝CA →＋C 1B 1→＝CA →＋CB →.由于2D M →·AA 1→＝(CA →＋CB →)·AA 1→＝0， 2D M →·AB →＝(CA →＋CB →)·(CB →－CA →) ＝|CB →|2－|CA →|2＝0.∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ， ∴DM ⊥平面ABB 1A 1，而DM ⊂平面AB 1D . ∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1. 12．证明取O 为坐标原点，以OA ，OC 所在的直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz (如图所示)．设A (1,0,0)，C (0,0,1)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，0. ∵P 为AC 中点，∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，12. ∵AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0，又由已知，可得AQ →＝13AB →＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0，又OQ →＝O A →＋AQ →＝⎝⎛⎭⎫12，36，0，∴PQ →＝OQ →－OP →＝⎝⎛⎭⎫0，36，－12.∴PQ →·O A →＝⎝⎛⎭⎫0，36，－12·(1,0,0)＝0，故PQ →⊥O A →，即PQ ⊥OA . 13.证明 如图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz . 设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)，P (0,0，2)，E (22，0，22)．于是AE →＝(22，0，22)， BC →＝(0，a,0)，PC →＝(2，a ，－2)， 则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0. 所以AE ⊥BC ，AE ⊥PC .又因为BC ∩PC ＝C ，所以AE ⊥平面PBC .。
用空间向量解决立体几何中的垂直问题
解析 如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间
直角坐标系Axyz，
则由 AC＝2，BC＝ 13，SB＝ 29，
得 B(0， 17，0)，S(0,0，2 3)，C2
1137， 417，0，
S→C＝2
1173，
417，－2
3，C→B＝－2
题型探究
类型一 线线垂直问题 例1 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点， N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.
证明
反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写 出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2， b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
[思考辨析 判断正误] (1)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量.
( ×) (2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直.( √ ) (3)直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 的 法 向 量 的 方 向 相 同 或 相 反 时 ， 直 线 与 平 面 垂直.( √ ) (4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直， 则这两个平面垂直.( √ )
解析 因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0， 所以a⊥b，故选B.
12345
解析 答案
3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则
A.l∥α
√B.l⊥α
C.l⊂α
3.2.2立体几何中的向量方法2——平行、垂直关系
作业:
练习4 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中.E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
证明2:设正方体的棱长为1.
1 1 1 A ' F A ' A AD AB A ' A AD AB 2 2 2 DB AB AD 1 ' BE BC CC 2 1 1 A ' F DB A ' A AD AB AB AD 2 2 1 2 1 2 1 1 AB AD 0 2 2 2 2 1 1 A ' F BE A ' A AD AB AB AD 2 2 1 2 1 ' 2 1 1 BC AA 0 2 2 2 2
例1.如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平
面交于AB，AM=FN, 求证：MN//面BCE.
A
D M B
N
F
证明:连结 AN 并延长交 直 线 BE 于 点 G , 连 结 CG . ∵ AC分FB : 本 题 FN 析 , AM 用 几何法做不难,用 ∴
E C
向量法做也非常 G 好!
a
u
l a // u a u
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
u
v
u v u v 0
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 l ∥ m a ∥ b a kb ； 线线平行 线面平行 l ∥ a u a u 0 ； 面面平行 ∥ u ∥ v u kv . l ⊥m a ⊥b ab 0； 线线垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 线面垂直
2017-2018学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系
2.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为 △BC1D的重心． (1)试证A1，G，C三点共线； (2)试证A1C⊥平面BC1D. 证明：(1)法一 C→A1＝C→B＋B→A＋A→A1＝C→B＋C→D＋C→C1. C→G＝C→C1＋23×21(C→1B＋C→1D) ＝13(C→B＋C→D＋C→C1)＝31C→A1， ∴C→G∥C→A1，且有公共点 C，即 A1，G，C 三点共线．
第2课时 空间向量与垂直关系
考纲定位
重难突破
1.能利用平面法向量证明两个平 重点：求直线的方向向量与平
面垂直．
面的法向量．
2.能利用直线的方向向量和平面 难点：利用方向向量与法向量
的法向量判定并证明空间中的 处理线线、线面、面面间的垂
垂直关系.
直关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
设平面PQMN的法向量为 m＝(x2，y2，z2)． 因为P→Q＝(2,2，λ)－(0,0，λ)＝(2,2,0)， P→N＝(1,0,2)－(0,0，λ)＝(1,0,2－λ)．
P→Q·m＝0， 由P→N·m＝0，
可得2xx2＋2＋22－y2＝λz02，＝0，
所以xx22＝＝－λ－y2，2z2，
解析：建立如图所示的坐标系，
则B1(0,0,3a)，D 22a， 22a，3a， C(0， 2a,0)． 设E( 2a,0，z)，(0≤z≤3a)， 则C→E＝( 2a，－ 2a，z)， B→1E＝( 2a,0，z－3a)． 由题意得2a2＋z2－3az＝0， 解得z＝a或2a. ∴AE＝a或2a.
利用向量法证明面面垂直的两个途径 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判 定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两 个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
3.2.2空间向量与垂直关系.ppt
A( 1 ,0,0)，B( 1 ,0,0)，
2
2
C(0,
微课堂·微思考 【思考】用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键 是什么? 提示:需要确定直线的方向向量和平面的法向量,然后 把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系.
【自我总结】
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
(1)证明两直线所成的角为
线线 90°.
两直线的方向向
垂直 (2)若直线与平面垂直,则此直 量互相垂直
向量法
对于直线l,m和平面α ,β 面 (1)若l⊥α ,l⊂β ,则α ⊥β . 面 (2)若l⊥α ,m⊥β ,l⊥m,则 垂 α ⊥β . 直 (3)若平面α 与β 相交所成的
二面角为直角,则α ⊥β
证明两个平面的 法向量互相垂直
【自我检测】 1.若直线l的方向向量为a=(-1,0,2),平面α 的法 向量为n=(-2,0,4),则 ( ) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α 斜交
【解析】1.设M(x,y,z),又 AB =(-1,1,0), AM=(x,y,z-1),CM =(x-1,y-2,z+3), 由点M在直线AB上得 AB与AM 共线, AM AB， 即x=-λ,y=λ,z-1=0,
又CM⊥AB,向量 CM与向量AB 的数量积为0,
即 CM· AB =0,得-(x-1)+(y-2)=0,
2
所以 AB CP,所以AB⊥PC.
【方法技巧】 利用向量法证明线线垂直的依据和关键点
(1)依据: 转化为证明直线的方向向量垂直,即证明它们的方向向 量的数量积为0.
(2)关键: 建立恰当的空间直角坐标系,正确地表示出点的坐标, 进而求直线的方向向量.
3.2立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系 课件
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第2课时
例 2 如图所示， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中 点．求证：A1O⊥平面 GBD.
证明 方法一 如图取 D 为坐标原点， DA、DC、DD1 所在的直线分别作 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 设 正 方 体 棱 长 为 2 ， 则 O(1,1,0) ， A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)， → → → ∴OA1＝(1，－1,2)，OB＝(1,1,0)，BG＝(－2,0,1)， → → → → 而OA1· OB＝1－1＋0＝0，OA1· BG＝－2＋0＋2＝0. → → → → ∴OA1⊥OB，OA1⊥BG，即 OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而 OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面 GBD.
角坐标系．则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， → → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)， → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1.
小结 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系 →写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得 到两直线垂直．
解析 ∵(1,2,0)· (2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从 而两平面垂直．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
4.如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝ 2， BC＝2 2， E， F 分别是 AD， PC 的中点． 证 明： PC⊥平面 BEF.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，
3.2.1立体几何中的向量方法----法向量、平行与垂直关系
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平r行;
3.向ur量n 是平面的法向量，向 量m 是与平r面ur平行或在平面
内，则有 n m 0
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
l
a
u
l a// u a u
五、垂直关系：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则
v u
u v u v 0
五、垂直关系小结：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则r r r r
l // a u 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
五、垂直关系：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则
l
a
bm
l
m
a
b
a
b
0
五、垂直关系：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则
r r rr
线面平行 l ∥ a u a u 0 ； rr r r
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
r
注设意直：线这l里的r的方线向线向平量行为包a括线(线a1,重b1合, c1，),线平面面平行的 包法括向线量在为面r u内，r(面a2面, b2平, c行2 )包,则括面面重合.
3.2第2课时空间向量与垂直关系
B1
C1
A
N
B
M
C
B1
B
x
z A1
C1
A
N O
M
Cy
[题后感悟] 用向量法证明空间两条直线相互垂直，其主要 思路是证明两直线的方向向量相互垂直． ,
(1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地 写出相关点的坐标．
(2)利用基向量法证明时关键是能正确表示出向量A→B1，M→N， 通过数量积运算说明A→B1·M→N＝0.
4.空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向
量为a＝(a1，a2， a3)，直线m的方向 向量为b＝(b1，b2， b3)，则 l⊥m ⇔ a⊥b .
设直线l的方向向 若平面α的法向量u＝
量是a＝(a1，b1， (a1，b1，c1)，平面β
c1)，平面α的法向 的法向量为v＝(a2，
如图所示，正方体
ABCD － A1B1C1D1 中 ， M 、 N 分 别 为AB、B1C的中点．试用向量法判 断MN与平面A1BD的位置关系．
D1 A1
C1 B1
N
D A
M
C B
[规范作答] 设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点，DA、DC、
DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz.2 分
量u＝(a2，b2，c2)，b2，c2)，则
则l⊥a∥α ⇔ u
. α⊥β⇔ u·v＝.0
u
α
a l a // u a u R.
βv
u α u v u • v 0.
B
2．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的 法向量为u＝(4,0,8)，则( B )
3-2 空间向量与垂直关系
→
x＝ 1，则 y＝ 1， z＝－ 1，
∴ n＝ (1， 1，－ 1)，∴EF＝－ n，∴EF∥ n， ∴ EF⊥平面 B1AC.
→
→
题型三
证明面面垂直
【例3】 (12分)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD， ∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中 点， 求证：平面BEF⊥平面ABC.
于是PA＝(3，0，0)，FG＝(1，0，0)， 故PA＝3FG，∴PA∥FG. 而 PA⊥平面 PBC，∴FG⊥平面 PBC， 又 FG⊂平面 EFG， ∴平面 EFG⊥平面 PBC.
→
→
→
→
误区警示
审题不清致误
【示例】 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB1
的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?
【变式3】 在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是 △PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝ PF∶FB＝1∶2. 求证：平面GEF⊥平面PBC； 证明 如图，以三棱锥的顶点P为原
点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x
轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3， 则A(3，0，0)、B(0，3，0)、C(0，0， 3)、E(0，2，1)、F(0，1，0)、G(1， 1，0)，P(0，0，0)．
→
→ → 1 1 ∴MN·AB1＝－ ＋0＋ ＝0. 4 4
→ → ∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.
规律方法 将线线垂直问题转化为向量垂直问题后，注意 选择基向量法还是坐标法，熟练掌握证明线线垂直的向量
方法是关键．
【变式1】 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，若侧 棱C1C的中点为D，求证：AB1⊥A1D. 证明 设AB中点为O，作OO1∥AA1，
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§3.2立体几何中的向量方法(二)
——空间向量与垂直关系
课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．
1．空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系
线线垂直线面垂直面面垂直
设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔______
设直线l的方向向量是a＝
(a1，b1，c1)，平面α的法向量
u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔
________
若平面α的法向量u＝(a1，b1
，
c1)，平面β的法向量为v＝
(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔
________
线线垂直线面垂直面面垂直
①证明两直线的方向向量的数
量积为______．
①证明直线的方向向量与平面的法向
量是______．
①证明两
个平面的
法向量
_________
___．
②证明两直线所成角为
______.
②证明直线与平面内的相交直线
________.
②证明二
面角的平
面角为
________._
_______.
一、选择题
1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于()
A．1B．2C．3D．4
2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是()
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交但不垂直
C ．垂直
D ．不能确定
5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( )
A ．平行
B ．垂直
C ．相交不垂直
D ．不确定 6.
如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系
是( )
A ．平行
B ．相交
C ．相交且垂直
D ．以上都不是 二、填空题
7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.
8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中：
①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题
10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱
CC 1上的点，且CN ＝1
4
CC 1.求证：AB 1⊥MN .
11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.
能力提升
12．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC ＝1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.
13．如图，四棱锥P－ABCD中，底
面ABCD为矩形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.
垂直关系的常用证法
(1)要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
(2)要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直． (3)要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
§3.2 立体几何中的向量方法(二)
——空间向量与垂直关系
知识梳理 1．a ⊥b a ∥u u ⊥v
1．B [∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3，m )＝－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2.]
2．C [∵AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，BC →＝(2,6,4)，∴AB →·AC →
＝0，∴AB ⊥
AC ，且|AB →|≠|AC →|≠|BC →
|，∴△ABC 为直角三角形．] 3．B [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.] 4．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．] 5．B [∵a·b ＝2×1－2×3＋2×2＝0，∴a ⊥b ， ∴l 1⊥l 2.]
6．C [可以建立空间直角坐标系，通过AC 1→与CE →
的关系判断．] 7．－9
解析 ∵l ⊥α，∴u ⊥v ， ∴(1，－3，z )·(3，－2,1)＝0， 即3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9. 8．0
解析 ∵a·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0， a·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0， b·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.
∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直． 9．①②③ 10．证明
如图，以平面ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴，AC →、AA 1→
所在直线为y 轴、z 轴，则A (0,0,0)，
B 1⎝⎛⎭
⎫32，1
2，1， M ⎝⎛⎭⎫34，3
4，0，N ⎝
⎛⎭⎫0，1，14. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，MN →
＝⎝⎛⎭
⎫－34，14，14.
∴AB 1→·MN →
＝－38＋18＋14＝0， ∴AB 1→⊥MN →
，即AB 1⊥MN . 11．证明
如图，取AB 1的中点M ， 则D M →＝D C →＋CA →＋AM →. 又D M →＝DC 1→＋C 1B 1→＋B 1M →，
两式相加得2D M →＝CA →＋C 1B 1→
＝CA →＋CB →.
由于2D M →·AA 1→＝(CA →＋CB →)·AA 1→＝0， 2D M →·AB →＝(CA →＋CB →)·(CB →－CA →) ＝|CB →|2－|CA →
|2＝0.
∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ， ∴DM ⊥平面ABB 1A 1，而DM ⊂平面AB 1D . ∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1. 12．证明
取O 为坐标原点，以OA ，OC 所在的直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz (如图所示)．
设A (1,0,0)，C (0,0,1)，
B ⎝⎛⎭
⎫－12，3
2，0.
∵P 为AC 中点，∴P ⎝⎛⎭⎫12
，0，12. ∵AB →
＝⎝⎛⎭
⎫－32，32，0，
又由已知，可得AQ →＝13AB →
＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0，
又OQ →＝O A →＋AQ →＝⎝⎛⎭
⎫1
2，36，0，
∴PQ →＝OQ →－OP →
＝⎝⎛⎭⎫0，36，－12.
∴PQ →·O A →＝⎝
⎛
⎭⎫0，36，－12·(1,0,0)＝0，
故PQ →⊥O A →
，即PQ ⊥OA . 13.
证明 如图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz . 设D (0，a,0)，
则B (2，0,0)，C (2，a,0)，
P (0,0，2)，E (22，0，2
2)．
于是AE →＝(22，0，22
)， BC →
＝(0，a,0)，
PC →
＝(2，a ，－2)， 则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0. 所以AE ⊥BC ，AE ⊥PC .
又因为BC ∩PC ＝C ，所以AE ⊥平面PBC .。