第五章准静态电磁场
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第五章准静态电磁场
电容器两极板间电压
U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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U BA
q 1 idt C C
B B
A
第 五 章
准静态电磁场
有
di 1 (t ) L idt i( Ri r R) uL uC uR dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
(0) J 当 x , Jy 有限，故 C2 0 , C1 J y 0
则
x jx J y ( x) J 0 e e
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0 e e
jH H ( x) j 由 E z
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件 ( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t 解方程，得面电荷密度为
图5.3.2 双层有损介质的平板 电容器
t τ
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
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MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，
在任一时刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。
B 而MQS场的电场按 计算。 E t
以下两种情况可看作磁准静态场来计算：
1 1，对于导体中的时变电磁场，满足： 则位移电流可以忽略，可按磁准静态场来处理。把
满足上述条件的导体称为良导体。
为电导率很大，驰豫时间远小于1，e指数约为0，
一般认为良导体内无自由电荷的积累。电荷分布在
导体表面。
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五、准静态电磁场
第五章
准静态电磁场
§5-1 电准静态场和磁准静态场
基 本 内 容
§5-2 磁准静态场与电路 §5-3 电准静态场与电荷驰豫 §5-4 集肤效应 §5-5 涡流及其损耗 §5-6 导体的交流内阻抗 §5-7 邻近效应和电磁屏蔽
基本要求
掌握电准静态场和磁准静态场的基本定义 电准静态场和磁准静态场的基本定义、 1.掌握电准静态场和磁准静态场的基本定义、 判别条件及基本方程。 判别条件及基本方程。 2.了解导体中的驰豫过程、分界面上的积累过 了解导体中的驰豫过程、 程。 3.了解导体中电流流动、涡流和磁扩散过程。 了解导体中电流流动、涡流和磁扩散过程。 4.定性说明集肤效应、邻近效应、电磁屏蔽。 定性说明集肤效应、邻近效应、电磁屏蔽。 5.了解交流内阻抗的概念。 了解交流内阻抗的概念。
J = γ (E + Ee ) ∂A Ee = − E = + + ∇ϕ γ γ ∂t J J
B B
Ee C A B
L
ε
B i ∂ B ∫AEe ⋅ dl = ∫A γS ⋅ dl + ∂t ∫A A⋅ dl + ∫Adϕ di 1 + ∫ idt (t) = i(R + r + R) + L i dt C 或 (t) =UR +UL +UC • 说明：路是场的近似， 说明：路是场的近似，
ε
• 基尔霍夫第二定律
实际问题中采用场或 路的方法进行计算， 路的方法进行计算， 需要根据具体条件。 需要根据具体条件。
§5-4 集肤效应
导体内通过交变 交变电流时，周围、内部产生交变的磁场， 交变 而交变的磁场产生感应电场，使导体内部的电流分布不均， 在靠近导体表面处电流密度增加，而内部电密减小，高频时 更趋于只有表面有电流通过，这种现象称为集肤效应。
准静态电磁场
§5-1 电准静态场和磁准静态场
基 本 内 容
§5-2 磁准静态场与电路 §5-3 电准静态场与电荷驰豫 §5-4 集肤效应 §5-5 涡流及其损耗 §5-6 导体的交流内阻抗 §5-7 邻近效应和电磁屏蔽
基本要求
掌握电准静态场和磁准静态场的基本定义 电准静态场和磁准静态场的基本定义、 1.掌握电准静态场和磁准静态场的基本定义、 判别条件及基本方程。 判别条件及基本方程。 2.了解导体中的驰豫过程、分界面上的积累过 了解导体中的驰豫过程、 程。 3.了解导体中电流流动、涡流和磁扩散过程。 了解导体中电流流动、涡流和磁扩散过程。 4.定性说明集肤效应、邻近效应、电磁屏蔽。 定性说明集肤效应、邻近效应、电磁屏蔽。 5.了解交流内阻抗的概念。 了解交流内阻抗的概念。
J = γ (E + Ee ) ∂A Ee = − E = + + ∇ϕ γ γ ∂t J J
B B
Ee C A B
L
ε
B i ∂ B ∫AEe ⋅ dl = ∫A γS ⋅ dl + ∂t ∫A A⋅ dl + ∫Adϕ di 1 + ∫ idt (t) = i(R + r + R) + L i dt C 或 (t) =UR +UL +UC • 说明：路是场的近似， 说明：路是场的近似，
ε
• 基尔霍夫第二定律
实际问题中采用场或 路的方法进行计算， 路的方法进行计算， 需要根据具体条件。 需要根据具体条件。
§5-4 集肤效应
导体内通过交变 交变电流时，周围、内部产生交变的磁场， 交变 而交变的磁场产生感应电场，使导体内部的电流分布不均， 在靠近导体表面处电流密度增加，而内部电密减小，高频时 更趋于只有表面有电流通过，这种现象称为集肤效应。
电磁场与电磁波：第五章 准静态场
ε
l
Ei
dl
Ei
(
s
Ei
(V
) dS
B)
B t
在静止媒质中 Ei
ε L
B t
(V
B
)
dl
B dt
dS
变化感的应磁电场场是Bt是非产保生守的场Ei涡，旋电源力。线呈闭合 曲线 ，
图5.4 变化的磁场 产生感应电场
若空间同时存在库仑电场, 即
E
B
E EC则 E有i ,
不相同。E
分界面上的衔接条件
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三 章类同，归纳如下：
磁场：
B1n B2n H 2t H1t k
电场：
D2n D1n
E2t E1t
折射定律
tan1 1 tan2 2 tan 1 1 tan 2 2
例 5.1 试推时变场中导理想导体与理想介质分界面上的衔 接条件。
▪ 电磁感应定律 ▪ 全电流定律
▪ 时变电磁场的基本方程组·准静态场的分类和特点
5-1 电磁感应定律
电磁感应定律 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动
势，这就是法拉弟电磁感应定律。
d
dt
负号表示感应电流产生的磁场总是阻
碍原磁场的变化
图5.1感生电动势的参考方向
引起磁通变化的原因分为三类：
磁 准
低频时，忽略二次源 D的作用，即
t
H，D 电0 磁场基本方程为
静
H J , B 0, J 0
态
E B/t , D ρ
场
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。
用库仑规范 A ，0得到动态位满足的微分方程
电磁场课件12准静态电磁场涡流平面电磁波资料教学文案
HJDJ t
H J
J E
B H
E B t
B0
2H H 0
t
2E E 0
t
J E
2J j J 正弦稳态情况 2J J 0
t
在正弦稳态下，电流密度满足扩散方程。
2J k 2J
式中 k j / 2 (1 j)
1 (1 j) j
d
设半无限大导体中，电流
沿 y 轴流动，则有
定义： d
1
2 称为透入深度（skin depth）或集肤深度
其大小反映电磁场衰减的快慢。
当 x = x0 时， J y (x0 ) J0e x0
当 x=x0+d 时，
J y (x0 d ) J0e (x 0d)
J0ex0 e1
J
y
透入深度
(x0 ) 36.8%
d 表示电磁场衰减到原来值的36.8% 所经过的距离。
用洛仑兹规范 A t ，化简得到泊松方程
2 A J , 2 /
一般低频交流电情况下，平板电容器中的电磁场属于电准静态场。
5.1.2 磁准静态场MQS
若位移电流远小于传导电流，忽略感应项 D 的
作用，即
JD
D t
0
t
条件：场与源近似具有瞬时 对应关系，忽略推迟效应。
麦氏方程： H J , B 0 ,
在 MQS 场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程）
2H k 2H
d 2 Hz dx2
jHz
k 2Hz
解方程得到
HZ B0ch(kx) /
Bz B0ch(kx)
利用 (kx)
Bz和 Jy 的幅值分别为
1
Bz
B0
《电磁场与电磁波》准静态电磁场
导电媒质的典型特征是电导率 ≠ 0
电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流J=E
存在，同时伴随着电磁能量的损耗
1 导电媒质的复介电常数
D
H E
t
H = E +j E j ( j ) E
c j
H j c E
复介电常数
电磁波的相位速度仅与媒质相关
z 增大，相位滞后变
大，故k 称相位常数
dz
1
vp
dt k
真空中电磁波的相位速度： v0
1
0 0
5）电磁场关系—波阻抗
Ex Ex0 cos t kz
Hy
k
Ex 0 cos t kz
Z
Hy
理想介质
Z
（实数，纯电阻性质）
Ɛ替换为Ɛc
导电媒质 Z c
c
Zc
Z c e j
j
1
1
tan
2
π
0~
4
（呈电阻电感性）
6）相位速度（波速）
1
理想媒质中：v k
损耗媒质中：
媒质损耗使波的传播速度变慢，波长变短
波长 λ：相位差2π的两个相邻空间点的间隔
k 2π
k
2π
=
波数 k：2π距离内的波长数
k ：相移常数
单位距离内相位的变化量
相位变化的快慢: 随时间--频率
随空间--波数
电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流J=E
存在，同时伴随着电磁能量的损耗
1 导电媒质的复介电常数
D
H E
t
H = E +j E j ( j ) E
c j
H j c E
复介电常数
电磁波的相位速度仅与媒质相关
z 增大，相位滞后变
大，故k 称相位常数
dz
1
vp
dt k
真空中电磁波的相位速度： v0
1
0 0
5）电磁场关系—波阻抗
Ex Ex0 cos t kz
Hy
k
Ex 0 cos t kz
Z
Hy
理想介质
Z
（实数，纯电阻性质）
Ɛ替换为Ɛc
导电媒质 Z c
c
Zc
Z c e j
j
1
1
tan
2
π
0~
4
（呈电阻电感性）
6）相位速度（波速）
1
理想媒质中：v k
损耗媒质中：
媒质损耗使波的传播速度变慢，波长变短
波长 λ：相位差2π的两个相邻空间点的间隔
k 2π
k
2π
=
波数 k：2π距离内的波长数
k ：相移常数
单位距离内相位的变化量
相位变化的快慢: 随时间--频率
随空间--波数
大学物理第五章
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第 五 章
准静态电磁场
时变电磁场分类总结
准静态电磁场 时变电磁场 动态电磁场
B 0) 电准静态场 ( t D H J t
电准静态场 磁准静态场 磁准静态场
D ( 0) t
判别式
H J
B E t D
E 0
① EQS中忽略感应电场，场量是时间的函数，电 场是无旋场，可以引入电位概念。 ② 电场分布同静电场，利用静电场的方法求解出电 场后，再用Maxwell方程求解与之共存的磁场。 ③ 工程中如两线间的电磁场和电容器中的电磁场可 以看作EQS。
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第 五 章
准静态电磁场
磁准静态场（MQS） 时变电磁场中各处位移电流密度远小于传导电流 密度时（忽略电场变化对磁场分布的影响）称为磁准 静态场。
J C ( E Ee )
A
B
US U C Ri t
di U S L U C Ri dt
即集总电路的基尔霍夫电压定律
u 0
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第 五 章
准静态电磁场
例 解
求缓变场中电容器的等效电路模型。 设 uS (t ) U cos ωt
i (t )
JC
D(r , t ) t
H (r , t )
H J D t B E t
D E
B H
B ( r , t ) t
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E (r , t )
第 五 章
准静态电磁场
er E V dV 2 4 r
结论
D (J C ) er t B V dV 4 r
准静态电磁场
2019/5/21
8/48
2 证明基尔霍夫电压定律
J (E Ee )
.. BA
Ee
J
E
A t
J
环路电压
B
A Ee dl
B A dl
A t
B
dl
A
BJ dl
A
E(t)
us
Ri
L di
L ddit dt
17/48
解方程组
aE1 bE2 u(t)
消去 E1
(
2E2
1E1)
d dt
(
2
E2
1E1)
0
(a 2
b1)
dE2 dt
(a
2
b1)E2
1u(t)
1
d dt
u(t)
（1）
通解
E2 E2 E2
Ae pt
E2
t
Ae
E2
5/48
忽略位移电流的条件（似稳条件）
a. 导体内的时变电磁场
ωε<<γ
D | J | E | J | J | J |
t
t
t
涡流场：导体中的磁准静态场。
良导体：满足ωε<<γ的导体。
b. 理想介质中的时变电磁场 R <<λ
- j R
e v 1
R 2R 1
t
特点: 与恒定磁场相比，电场方程发生变化，磁场方程无变化
准静态电磁场PPT讲稿
Ｈ、Ｂ
3/48
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
11/48
例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
3/48
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l （>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压 u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的
圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
E
U ln(b /
a)
e
a
H
H 2I e b P
Re[
S
2
UI* 2 ln(b /
a)
dS ]
Re[
b a
UI* ln(b /
a)
d ]
Re[UI* ]
I
S E
S
E
H*
2
UI* 2 ln(b
/
a)
ez
5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。 b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论
的近似。 c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略，
此时采用磁准静态场定律来研究。
2020/6/30
11/48
例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解：
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
E
U0 sint ln(b / a)
e
ρ
JD
D t
E t
U0 cost ln(b / a)
e
iD
sJ D
dS
2l
U0 cost ln(b / a)
电磁场课件12-准静态电磁场、涡流、平面电磁波
集肤效应-电流扩散方程
在磁准静态场MQS中，导体中的位移电流远小于传导电流，忽略。
D H J J t
H J
J E
B E t
B H
H H 0 t E 2 E 0 t
2
B 0
J E
t
0
对应关系，忽略推迟效应。
麦氏方程： H J , B 0 ,
磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准静态场（MQS）。
B E , D 0 t
1 R
用库仑规范 A 0 ，化简整理得到
A J ,
2
/
热效应 涡流是自由电子的定
向运动，与传导电流有相同的热效应。
工程应用：电磁炉、变压器电机铁心叠片等。
涡流
去磁效应 涡流产生的磁场反抗原磁场的变化。
工程应用：电磁闸。
涡流方程
在磁准静态场MQS中，导体中的位移电流远小于传导电流，忽略。
D H J J t
H J
J E
j J J
2
正弦稳态情况
J J 0 t
2
在正弦稳态下，电流密度满足扩散方程。
2 J k J 2
式中 k
j / 2 (1 j)
1 (1 j) j d 设半无限大导体中，电流 沿 y 轴流动，则有
( x) dJ y
则
x j x J y ( x) J 0e e
k j
E 由 J
1 x jx E y ( x) J 0e e
( x) j H z kJ 0 e x e jx
第5章 准静态电磁场
设电容内部为EQS场，且
dl ( ex e y ez ) (dxex dye y dzez ) x y z
( dx dy dz ) d x y z b b dl d b a uc
的表达式。
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件
( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t
解方程，得面电荷密度为
双层有损介质的平板电容器
t 2 1 1 2 σ U s (1 e τ ) a 2 b 1
1 J y J 0 (ch 2 Kx cos 2 Kx) 2
1 2
1 2
Bz , J y 模值分布曲线
式中 K / 2 结论:
k j K (1 j)
去磁效应，薄板中心处磁场最小； 集肤效应，电流密度奇对称于y 轴，表面密度
大，中心处 J y 。 0
似稳场
电磁波
磁准静态场
电准静态场
（忽略推迟效应）
D ( 0) t
具有静态电磁场的特点
B ( 0) t
第5章 准静态电磁场
5.1 电准静态场和磁准静态场
电准静态场
B 库仑电场远大于感应电场，忽略二次源 的作用，即 Ei 0 t
E 0 D H J t B 0 D
第5章 准静态电磁场
第5章
准静态电磁场
第5章 准静态电磁场
5.0 序
低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。 电准静态场（Electroquasistatic） 简写 EQS
dl ( ex e y ez ) (dxex dye y dzez ) x y z
( dx dy dz ) d x y z b b dl d b a uc
的表达式。
解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 U S
分界面衔接条件
( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t
解方程，得面电荷密度为
双层有损介质的平板电容器
t 2 1 1 2 σ U s (1 e τ ) a 2 b 1
1 J y J 0 (ch 2 Kx cos 2 Kx) 2
1 2
1 2
Bz , J y 模值分布曲线
式中 K / 2 结论:
k j K (1 j)
去磁效应，薄板中心处磁场最小； 集肤效应，电流密度奇对称于y 轴，表面密度
大，中心处 J y 。 0
似稳场
电磁波
磁准静态场
电准静态场
（忽略推迟效应）
D ( 0) t
具有静态电磁场的特点
B ( 0) t
第5章 准静态电磁场
5.1 电准静态场和磁准静态场
电准静态场
B 库仑电场远大于感应电场，忽略二次源 的作用，即 Ei 0 t
E 0 D H J t B 0 D
第5章 准静态电磁场
第5章
准静态电磁场
第5章 准静态电磁场
5.0 序
低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。 电准静态场（Electroquasistatic） 简写 EQS
准静态电磁场-PPT课件
H J B E t B 0 D
H J
2 H H E
• 同理
H 2 H t E 2 E t J 2 J t
E J J E C D t R R j ( t ) v 2）理想介质中 E Re E e 1 R 0 v
1）导体内
§5-2 磁准静态场与电路
磁准静态场是交流电路的场理论基础。 恒定电流场： S J d s 0
§5-4 集肤效应
导体内通过交变电流时，周围、内部产生交变的磁场， 而交变的磁场产生感应电场，使导体内部的电流分布不均， 在靠近导体表面处电流密度增加，而内部电密减小，高频时 更趋于只有表面有电流通过，这种现象称为集肤效应。
Ei Ec Jc
一、E、H和J的微分方程
磁 准 静 态 场
一、涡流
1.定义：位于交变磁场中的导体，在其内部产生与磁场交 链的感应电流，由于感应电流自成闭合回路，呈旋涡状流 动，故称为涡流。
程。
3.了解导体中电流流动、涡流和磁扩散过程。
4.定性说明集肤效应、邻近效应、电磁屏蔽。
5.了解交流内阻抗的概念。
§5-1 电准静态场和磁准静态场
• 时变场中，一些场量（B、D）随时间变化，但变化的速 度很慢（可以忽略），可以按照静态场来处理。这样的场 称为准静态场。
D r , t H r , t J r , t t B r , t E r , t t B r , t 0 D r , t r , t
D t B t
090525第五章准静态电磁场
s
教材P335 教材
∫ J ⋅ dS = 0
流出任意闭合曲面的总传导电流是0。 流出任意闭合曲面的总传导电流是 。
５. ２磁准静态场和电路
∫ J ⋅ dS = 0
s
i1 i1 +i2 +i3 =0 i3 基尔霍夫电压定律（自学） 二、基尔霍夫电压定律（自学）
i2
５. 4 集肤效应
交流电流流过线圈， 交流电流流过线圈，导线周围变化的磁场在导线中感应电 流，从而使导线截面的电流分布步均匀。尤其频率较高时 从而使导线截面的电流分布步均匀。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动， 集肤效应。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动，即集肤效应。 （讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 导线自身有电流 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 （ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计
二、磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ和φ关系 磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ Ｅ、Ｂ 关系
同恒定磁场
（1）矢量动态位
： A
B = ∇× A
∂A ∴∇ × E + =0 ∂t
（2）标量动态位 ϕ ：Φ标量函数 标量函数
∂B ∂ ∵ ∇× E = − = − (∇ × A) ∂t ∂t
令
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
得
∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H ∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H
教材P335 教材
∫ J ⋅ dS = 0
流出任意闭合曲面的总传导电流是0。 流出任意闭合曲面的总传导电流是 。
５. ２磁准静态场和电路
∫ J ⋅ dS = 0
s
i1 i1 +i2 +i3 =0 i3 基尔霍夫电压定律（自学） 二、基尔霍夫电压定律（自学）
i2
５. 4 集肤效应
交流电流流过线圈， 交流电流流过线圈，导线周围变化的磁场在导线中感应电 流，从而使导线截面的电流分布步均匀。尤其频率较高时 从而使导线截面的电流分布步均匀。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动， 集肤效应。 电流几乎在导线表面附近的一薄层中流动，即集肤效应。 （讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 讨论导线自身有电流，其内部电流流动及电磁场分布） 导线自身有电流 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 磁准静态场（ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计。 （ＭＱＳ）：位移电流密度忽略不计
二、磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ和φ关系 磁准静态场Ｅ、Ｂ与动态位Ａ Ｅ、Ｂ 关系
同恒定磁场
（1）矢量动态位
： A
B = ∇× A
∂A ∴∇ × E + =0 ∂t
（2）标量动态位 ϕ ：Φ标量函数 标量函数
∂B ∂ ∵ ∇× E = − = − (∇ × A) ∂t ∂t
令
∂A E+ = −∇ϕ ∂t
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
得
∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ H
2
∇ × (∇ × H ) = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H ∇ × J = ∇(∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H
第五章准静态电磁场
在MQS场中，磁场满足涡流场方程（扩散方程）
图5.5.4 薄导电平板的磁场
& ∇ H =k H
2 2
→
& d 2H z & & = j ωµγ H z = k 2 H z 2 dx
解方程，代入假设条件，可以得到
& & HZ = B0ch( kx ) / µ
& & Bz = B0ch( kx )
1 2
−
t
时的电荷分布τ ，= ε e
/γ
( 驰豫时间)，
说明导电媒质在充电瞬间，以体密度分布的电荷随时间迅速衰减。 t − ρ 1 EQS场中，导体媒质内的电位满足 2ϕ = − = − ρ 0 e τ e ∇ 特解之一为
ϕ ( r ,t ) = ∫ V
− − ρ0 τ e dV = ϕ 0 ( r ) e τ 4 πε r
以电工钢片为例设kxcoskx50500图556电工钢片的集肤效应56导体的交流内阻抗561计算圆柱导体的交流参数设透入深度直流或低频交流电流均匀分布高频交流集肤去磁效应电流不均匀分布电流不均匀分布图561圆柱导体57电磁兼容简介电磁兼容是在有限空间时间频谱资源条件下各种用电设备生物可以共存不致于引起降级的一门科学
例5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，写出分界面 上面电荷密度σ 的表达式。 解 EQS： aE1 + bE2 = US
∂ (ε 2 E2 − ε1E1 ) = 0 ∂t
分界面衔接条件
(γ 2 E2 − γ 1E1 ) +
图5.3.2 双层有损介质的平板电容器
解方程，得面电荷密度为
5.3
电准静态场与电荷驰豫
第五章准静态电磁场.教程文件
即集总电路的基尔霍夫电压定律 u0
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
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第五章
准静态电磁场
5.3 电准静态场与电荷驰豫
EQS Field and Charge Relaxation
5.3.1 电荷在均匀导体中的驰豫过程
第五章
准静态电磁场
第五章准静态电磁场.
第五章
准静态电磁场
本章要求
了解EQS和MQS的共性和个性， 掌握工程计算中简化为准静态场的条件； 掌握准静态场的计算方法。
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第五章
准静态电磁场知识结构 时变电磁场
准静态电磁场
动态场（高频）
准静态电磁场
似稳场 电磁波 （忽略推迟效应）
R 1
磁准静态场
B 0 B A
E B t
(EA)0 t
EA
t
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准
静态场（MQS）。 用库仑规范 A0，得到泊松方程
2 A J, 2 / 返 回 上 页 下 页电磁场
, A 满足静态泊松方程，说明 EQS 和 MQS 没有波动性(忽
注意：电准静态场中的电场方程与静电场中方程相同， 但电准静态场中的电场是时变的，这区别于静电场。
在低频交流情况下，平板电容器中的电磁场属于电 准静态场
P187例
第五章
磁准静态场（MQS）。
准静态电磁场
若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 D 的
作用，即 J d 0
t
HJ, B0,
EB/t, D0
当 l0时，有
J2n
J1n
t
表明电路理论是特殊情况下得麦克斯韦电磁理论的近似。 当满足MQS的似稳条件时，研究场的问题时可以采用路 的方法。
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第五章
准静态电磁场
5.3 电准静态场与电荷驰豫
EQS Field and Charge Relaxation
5.3.1 电荷在均匀导体中的驰豫过程
第五章
准静态电磁场
第五章准静态电磁场.
第五章
准静态电磁场
本章要求
了解EQS和MQS的共性和个性， 掌握工程计算中简化为准静态场的条件； 掌握准静态场的计算方法。
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第五章
准静态电磁场知识结构 时变电磁场
准静态电磁场
动态场（高频）
准静态电磁场
似稳场 电磁波 （忽略推迟效应）
R 1
磁准静态场
B 0 B A
E B t
(EA)0 t
EA
t
特点：磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称为磁准
静态场（MQS）。 用库仑规范 A0，得到泊松方程
2 A J, 2 / 返 回 上 页 下 页电磁场
, A 满足静态泊松方程，说明 EQS 和 MQS 没有波动性(忽
注意：电准静态场中的电场方程与静电场中方程相同， 但电准静态场中的电场是时变的，这区别于静电场。
在低频交流情况下，平板电容器中的电磁场属于电 准静态场
P187例
第五章
磁准静态场（MQS）。
准静态电磁场
若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 D 的
作用，即 J d 0
t
HJ, B0,
EB/t, D0
当 l0时，有
J2n
J1n
t
第5章 准静态静电场
H J D t E B t
(4) MQS的电场计算：
参考资料：
[1] 晁立东，仵杰，王仲奕. 工程电磁场基础[M]. 西北工业大学出版社，2002.1.
[2] 倪光正. 工程电磁场原理[M]. 高等教育出版社，2002.6
5.2 涡流(Eddy Current)
E 2 E ( H ) t t
所以
E 2 E t
E J /
J 2 J t
2 在正弦电磁场中，令 k j
，有扩散方程
2 Jk J
2
2 Hk H
“涡流”参考资料
[1] 程志光，高生，李琳. 电气工程涡流问题的分析与验证[M]. 北京：高等教育出版社，2001.6. [2] 谢德馨，姚缨英，白保东，李锦彪. 三维涡流场的有限元分
析[M]. 北京：机械工业出版社，2001.
[3] 盛剑霓. 工程电磁场数值分析[M]. 西安：西安交通大学出版 社，1991. [4] 《变压器》期刊 [5] 中国期刊网.
利用 B 0
，有
H 2 H t
B H 2 H J ( E ) t t
Hale Waihona Puke 所以 B 同理，对 E 两边取旋度 t 2 E ( E ) E B t 利用导体中 0 , E 0 ，有
这种现象称为邻近效应（Proximity effect）。 频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近效应与
集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。
两根交流汇流排的邻近效应
(4) MQS的电场计算：
参考资料：
[1] 晁立东，仵杰，王仲奕. 工程电磁场基础[M]. 西北工业大学出版社，2002.1.
[2] 倪光正. 工程电磁场原理[M]. 高等教育出版社，2002.6
5.2 涡流(Eddy Current)
E 2 E ( H ) t t
所以
E 2 E t
E J /
J 2 J t
2 在正弦电磁场中，令 k j
，有扩散方程
2 Jk J
2
2 Hk H
“涡流”参考资料
[1] 程志光，高生，李琳. 电气工程涡流问题的分析与验证[M]. 北京：高等教育出版社，2001.6. [2] 谢德馨，姚缨英，白保东，李锦彪. 三维涡流场的有限元分
析[M]. 北京：机械工业出版社，2001.
[3] 盛剑霓. 工程电磁场数值分析[M]. 西安：西安交通大学出版 社，1991. [4] 《变压器》期刊 [5] 中国期刊网.
利用 B 0
，有
H 2 H t
B H 2 H J ( E ) t t
Hale Waihona Puke 所以 B 同理，对 E 两边取旋度 t 2 E ( E ) E B t 利用导体中 0 , E 0 ，有
这种现象称为邻近效应（Proximity effect）。 频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近效应与
集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。
两根交流汇流排的邻近效应
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作业：p189 5-1-1，5-1-2 p192 5-2-2 p198 5-3-3
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23/48
5.4 集肤效应 Skin Effect 1 导体中任一点E、H、Ｊ的微分方程（在MQS近似下） 对 H J 取旋度，
H ( H ) 2 H J
求解方法：分两步
1）电场的求解采用静电场的公式 2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解 静电场公式
电荷 分布
Ｅ、Ｄ
D H J , B 0 t
Ｈ、Ｂ
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2013-7-14
例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l
（>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压
应，属于似稳场。 2. 在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互 依存。 3. EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程，在任一时 刻 t ，两种电场分布一致，解题方法相同。
D EQS场的磁场按 H J t
计算。
4. MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时 刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。 MQS场的电场按
l
0 时，有
J 2 n J 1n 0 t
根据
J E
及 D2 n D1n
( 2 E2n 1E1n ) ( 2 E2n 1E1n ) 0 t 导电媒质分界面上全电流密度法向分量连续 E1t E2t 导体分界面
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a b
H
E
I
S
I H e 2 I * U * S EH ez 2 2 ln( b / a)
b UI * UI * P Re[ dS ] Re[ d ] Re[UI * ] 2 S 2 ln( b / a ) a ln( b / a )
u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的 圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
U 0 sin t E e ln( b / a)
U 0 cos t D E JD e t t ln( b / a)
ρ
U 0 cos t 2l iD J D dS 2l U 0 cos t CU 0 cos t s ln( b / a) ln( b / a)
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2 磁准静态场
定义： 若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 D 的 t 作用，即
2013-7-14
19/48
解方程组
消去 E1
aE1 bE2 u(t ) d ( 2 E2 1E1) ( 2 E2 1E1) 0 dt
（1）
dE2 d (a 2 b1 ) (a 2 b 1 ) E2 1u (t ) 1 u (t ) dt dt
在导体中的自由电荷体密度随时间按指数规律衰减，其
衰减快慢取决于驰豫时间。
良导体中 ， τ e <<1 ，故良导体内部无自由电荷的积累。 电荷驰豫过程的电磁场可近似为电准静态场。
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在 EQS 场中， 2 1 0e 其解为
τ
t
e
(r , t )
, 均匀，且各向同性， 由电荷守恒定律
D
及高斯定律
J t
D ( ) D t
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0 t
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0 t
其解为
oe
t e
τ o 为 t 0 时的电荷分布 ， e / －驰豫时间。
利用
B H B 0 H ( E ) t t
2
H H t
a ρ0 h y a h
' ' '
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2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
根据 有 当
SJ dS q / t,
1 1 J1n S J 2 n S S 1l S 2l S t 2 2
例4 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，
写出分界面上面电荷密度的表达式。 解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 u(t )
分界面衔接条件 双层有损介质的平板 电容器
( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t
联立求解方程组可得面电荷密度
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确定 E2 (0 ), 对式（1）积分，t 从 0 0 ，且 得
U (0 ) 0 E2 (0 ) 0
1 E2 (0 ) U s ＝Α＋Ε"2 a 2 b 1
（4）
式（3）代入式（4）
1 1 A Us ( ) a 2 b1 a 2 b 1
V
0 e 4r
t τe
dV
s
dS 4r
0 ( r )e
t τe
S
dS 4r
说明导体中体电荷 产生的电位很快衰减，导体电位由面电
荷决定。
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例3 一无限大金属平板，其上方的半无限空间内充满了
均匀的不良导体。在t=0瞬时，在该导体中已形成了一球
涡流场：导体中的磁准静态场。 良导体：满足ωε<<γ的导体。 b. 理想介质中的时变电磁场
e
-j
R <<λ
1 R
R
v
1
R
v
2R
近区或似稳区
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思考 EQS 与 MQS 的共性与个性
1.
, A 满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 忽略了滞后效
6 导体交流内阻抗
7 电磁屏蔽
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本章要求
1 了解EQS和MQS的共性和个性， 2 掌握工程计算中简化为准静态场的条件； 3 掌握准静态场的计算方法。
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5.1 电准静态场和磁准静态场 Electroquasistatic and Magnetoquasistatic 1 电准静态场 定义： 若库仑电场Ec远大于感应电场Ei，电场呈无旋时， 即
通解
E2 E2 E2 Ae pt E2
t Ae
E2
（2）
a 2 b 1 1 a 2 b1 p , 特征根： a 2 b1 a 2 b 1 （驰豫时间） t 时，E , u(t ) 均不随 t 变化 1 从式(1)得稳态解 E2 Us （3） a 2 b 1
2013-7-14
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面电荷密度
2 1 1 2 σ 2 E2 (t ) 1E1 (t ) U s (1 e a 2 b 1
当 t 0 时，
t τ)
0
= 常数
t ，
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。 多层有损介质，在低频交流电压作用下，若位移电流 大于介质中的传导电流，电场按介电常数分布，属静 电场问题；在直流电压作用下，稳态仅有传导电流， 电场按电导率分布，属恒定电流场问题。
b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论 的近似。
c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略， 此时采用磁准静态场定律来研究。
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例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解： E
U e ln( b / a)
第五章 准静态电磁场 主要内容
Quasistatic Electromagnetic Field
1 电准静态场与磁准静态场 （Electroquasistatic） 简写 EQS 2 磁准静态场与集总电路 （Magnetoquasistatic ）简写 MQS 3 电准静态场与电荷驰豫 4 集肤效应与邻近效应 5 涡流及其损耗
i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
结点电流
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2 证明基尔霍夫电压定律
J ( E Ee )
. . B A
J A J Ee E 环路电压 t B B A B BJ A Ee dl A t dl A dl A dl
E (t )
di 1 us Ri L idt u R u L uC dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
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di L dt
1 1 q(t ) idt C C
l
S
i Ri
3 磁准静态场与电路 a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。
E ( E c Ei ) E c 0
此时的电磁场称为电准静态场。 基本方程组（微分形式）：
D E 0 , H J , D , B 0 t
特点: 与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。
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5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation
作业：p189 5-1-1，5-1-2 p192 5-2-2 p198 5-3-3
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5.4 集肤效应 Skin Effect 1 导体中任一点E、H、Ｊ的微分方程（在MQS近似下） 对 H J 取旋度，
H ( H ) 2 H J
求解方法：分两步
1）电场的求解采用静电场的公式 2）磁场的求解通过电准静态场的基本方程求解 静电场公式
电荷 分布
Ｅ、Ｄ
D H J , B 0 t
Ｈ、Ｂ
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例1 内外导体半径分别为a和b的同轴圆柱形电容器，其长度为l
（>>a,b），充填有电介质（μ，ε）。若内外导体间加一正弦电压
应，属于似稳场。 2. 在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，两者相互 依存。 3. EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程，在任一时 刻 t ，两种电场分布一致，解题方法相同。
D EQS场的磁场按 H J t
计算。
4. MQS场的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程，在任一时 刻 t ，两种磁场分布一致，解题方法相同。 MQS场的电场按
l
0 时，有
J 2 n J 1n 0 t
根据
J E
及 D2 n D1n
( 2 E2n 1E1n ) ( 2 E2n 1E1n ) 0 t 导电媒质分界面上全电流密度法向分量连续 E1t E2t 导体分界面
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a b
H
E
I
S
I H e 2 I * U * S EH ez 2 2 ln( b / a)
b UI * UI * P Re[ dS ] Re[ d ] Re[UI * ] 2 S 2 ln( b / a ) a ln( b / a )
u=U0sinωt，且假定频率不高，则可认为电容器内的电场分布与恒定情 况相同。试求（1）电容器中的电场强度E；（2）证明通过半径为ρ的 圆柱面的位移电流总值等于电容器引线中的传导电流。
解：由于频率不高，故电场为电准静态场
U 0 sin t E e ln( b / a)
U 0 cos t D E JD e t t ln( b / a)
ρ
U 0 cos t 2l iD J D dS 2l U 0 cos t CU 0 cos t s ln( b / a) ln( b / a)
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2 磁准静态场
定义： 若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 D 的 t 作用，即
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解方程组
消去 E1
aE1 bE2 u(t ) d ( 2 E2 1E1) ( 2 E2 1E1) 0 dt
（1）
dE2 d (a 2 b1 ) (a 2 b 1 ) E2 1u (t ) 1 u (t ) dt dt
在导体中的自由电荷体密度随时间按指数规律衰减，其
衰减快慢取决于驰豫时间。
良导体中 ， τ e <<1 ，故良导体内部无自由电荷的积累。 电荷驰豫过程的电磁场可近似为电准静态场。
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在 EQS 场中， 2 1 0e 其解为
τ
t
e
(r , t )
, 均匀，且各向同性， 由电荷守恒定律
D
及高斯定律
J t
D ( ) D t
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0 t
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0 t
其解为
oe
t e
τ o 为 t 0 时的电荷分布 ， e / －驰豫时间。
利用
B H B 0 H ( E ) t t
2
H H t
a ρ0 h y a h
' ' '
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2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
根据 有 当
SJ dS q / t,
1 1 J1n S J 2 n S S 1l S 2l S t 2 2
例4 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压源的过渡过程，
写出分界面上面电荷密度的表达式。 解： 极板间是EQS场
aE1 bE2 u(t )
分界面衔接条件 双层有损介质的平板 电容器
( 2 E2 1E1 ) ( 2 E2 1E1 ) 0 t
联立求解方程组可得面电荷密度
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确定 E2 (0 ), 对式（1）积分，t 从 0 0 ，且 得
U (0 ) 0 E2 (0 ) 0
1 E2 (0 ) U s ＝Α＋Ε"2 a 2 b 1
（4）
式（3）代入式（4）
1 1 A Us ( ) a 2 b1 a 2 b 1
V
0 e 4r
t τe
dV
s
dS 4r
0 ( r )e
t τe
S
dS 4r
说明导体中体电荷 产生的电位很快衰减，导体电位由面电
荷决定。
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例3 一无限大金属平板，其上方的半无限空间内充满了
均匀的不良导体。在t=0瞬时，在该导体中已形成了一球
涡流场：导体中的磁准静态场。 良导体：满足ωε<<γ的导体。 b. 理想介质中的时变电磁场
e
-j
R <<λ
1 R
R
v
1
R
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2R
近区或似稳区
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思考 EQS 与 MQS 的共性与个性
1.
, A 满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 忽略了滞后效
6 导体交流内阻抗
7 电磁屏蔽
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本章要求
1 了解EQS和MQS的共性和个性， 2 掌握工程计算中简化为准静态场的条件； 3 掌握准静态场的计算方法。
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5.1 电准静态场和磁准静态场 Electroquasistatic and Magnetoquasistatic 1 电准静态场 定义： 若库仑电场Ec远大于感应电场Ei，电场呈无旋时， 即
通解
E2 E2 E2 Ae pt E2
t Ae
E2
（2）
a 2 b 1 1 a 2 b1 p , 特征根： a 2 b1 a 2 b 1 （驰豫时间） t 时，E , u(t ) 均不随 t 变化 1 从式(1)得稳态解 E2 Us （3） a 2 b 1
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面电荷密度
2 1 1 2 σ 2 E2 (t ) 1E1 (t ) U s (1 e a 2 b 1
当 t 0 时，
t τ)
0
= 常数
t ，
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。 多层有损介质，在低频交流电压作用下，若位移电流 大于介质中的传导电流，电场按介电常数分布，属静 电场问题；在直流电压作用下，稳态仅有传导电流， 电场按电导率分布，属恒定电流场问题。
b. 电路理论是在特殊条件下的麦克斯韦电磁理论 的近似。
c. 当系统尺寸远小于波长时，推迟效应可以忽略， 此时采用磁准静态场定律来研究。
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例2 用磁准静态场的方法处理同轴电缆内的电磁问题。
设电源到负载的距离远小于六分之一波长。
解： E
U e ln( b / a)
第五章 准静态电磁场 主要内容
Quasistatic Electromagnetic Field
1 电准静态场与磁准静态场 （Electroquasistatic） 简写 EQS 2 磁准静态场与集总电路 （Magnetoquasistatic ）简写 MQS 3 电准静态场与电荷驰豫 4 集肤效应与邻近效应 5 涡流及其损耗
i1 i2 i3 0
即集总电路的基尔霍夫电流定律
i 0
结点电流
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2 证明基尔霍夫电压定律
J ( E Ee )
. . B A
J A J Ee E 环路电压 t B B A B BJ A Ee dl A t dl A dl A dl
E (t )
di 1 us Ri L idt u R u L uC dt c 即集总电路的基尔霍夫电压定律 u 0
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di L dt
1 1 q(t ) idt C C
l
S
i Ri
3 磁准静态场与电路 a. 磁准静态场方程是交流电路的场理论基础。
E ( E c Ei ) E c 0
此时的电磁场称为电准静态场。 基本方程组（微分形式）：
D E 0 , H J , D , B 0 t
特点: 与静电场相比，磁场方程发生变化，电场方程无变化。
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5.3 电准静态场与电荷驰豫 EQS Field and Charge Relaxation