经济数学建模 (1)

当边际收入等于边际成本且边际收入的变化率小于边 际成本的变化率时，利润最大。 条件：唯一驻点
经济数学模型
4．边际需求 需求函数 Qd ( p) （p为价格）的导数 ' ( p), 称
为价格为p单位时的边际需求．
边际需求 ' ( p) 表示当价格为p时，价格再上涨1 个单位,需求量将改变 ' ( p) 个单位． 5．边际供给
经济数学模型
第二章
经济应用模型
经济数学模型
2.1
一、边际的概念
边际及弹性分析
在经济学中，如果一个经济指标 y是另一个经济指标 x 的函数y=f (x), 当自变量x在x0处有一个单位的改变量时 ，所对应的函数y的改变量称为该函数所表示的经济指标 在x0处的边际量。 例如：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)的 增量为2个单位，因变量改变的2个单位就是边际产量.
将方程组(1)中前两式代入(2)式中
* * dz* dx dy * * * dC x dC y dC
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(2)
（3）
对 ( x, y) C两边对C求导
dx dy 1 x dC y dC
经济数学模型
dz dC
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2.3
均衡价格
均衡价格 P e 是市场上供需量相等时的价格，这时的
供需量叫做均衡商品量。
P(t ) 的涨速 一般来说价格P 随时间t 波动 P P(t )，，
与过剩需求 Qd Qs 成正比，故有数学模型
dP k (Qd Qs ) dt
解这个模型就得到价格和时间的关系。
若 Qd , Qs 的表达式是线性的：
商品的最优价格问题. 收入函数和成本函数分别为
R Qd ( p) p
C Qs ( p) q r [Qs ( p) Qd ( p)]
总利润为
L( p ) R C Qd ( p ) p Qs ( p )q r[Qs ( p ) Qd ( p )] ( p) p (a bp )q r[(a ) (b ) p ] p 2 [ bq r (b )] p r ( a ) aq
t
此时即为通货膨胀。控制通货膨胀的关键是降低消费资 金的投放和增加商品的供应量。
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如果企业生产的产品不脱销，并认为商品需求量即为销售量 供给量即为生产量。故此时发生的商品库存量为 Qs ( p) Qd ( p)
设企业生产和库存单位商品的成本分别为q和r.若需求和供给
Qd ( p) p , Qs ( p) a bp ，下面讨论该 函数都为线性函数：
dQd M EM dM Qd
若需求收入弹性 EM 0，则称这样的商品为正常商品，其中 若 EM 1 ，认为是缺乏弹性的，例如生活必需品；若 EM 1
，则为是富有弹性的，例如奢侈品或高档商品。若需求收入
弹性 EM 0 ，则认为该商品是低档或劣质产品，即吉芬（ Giffen）商品。
称为产量为 x 单位时的边际成本． 边际成本 C' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品时总成本将改变 C' ( x) 个单位． 2．边际收益 （x为产量）的导数 R' ( x), 总收益函数 R R( x) 称为产量为x单位时的边际收益．
边际收益 R' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单
它表示在价格为p的水平上，当价格改变1%时，需求量 Ｑ变化的百分数． 根据需求弹性值的大小，需求价格弹性可以划分为
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（1）缺乏弹性： 0
1
（2）富有弹性： 1 （3）单位弹性： 1
（4）完全有弹性： （5）完全无弹性：

0
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3、需求弹性、总收入与价格之间的关系 总收入函数为 R PQ
量单位不同而有不同的解释。
2.7 古诺产量竞争模型
1、古诺双头模型
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古诺模型是最早的寡头模型，研究的是
在一个只有两家成本结构相同的企业生产完
全相同产品的市场中，企业如何确定自己的
产量使利润达到最大，使市场达到一个稳定
边际分析法就是分析自变量变动1单位时，因变量
会变动多少的方法.
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问题：怎样用数学方法来描述边际呢？
y 设函数f(x)可导. 根据导数的定义，有 f ( x) lim . x0 x
当 | x | 很小时，有 于是
y f ( x) . x
y f ( x x) f ( x) f ( x)x.
位产品，总收益将改变 R' ( x) 个单位．
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3．边际利润 总利润函数 L L( x) （x为产量）的导数 L' ( x), 称 为产量为x单位时的边际利润． 边际利润 L' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单位 产品，总利润将改变 L' ( x) 单位． 最大利润原理
L( x) R(x) C(x)
i 1
m
, xn ))
（ 同样称 i i 1,2,
, m）为拉格朗日乘数
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拉格朗日乘数是函数 f ( x1, x2 ,
f * ( x*1, x*2 ,
, xn ) 的条件极值
, x*n ) 对约束常数 Ci 的一阶偏导数，即
f * i , i 1,2, Ci
,m
其经济意义随目标函数、约束条件的经济意义和度
（3）求利润最大的产量。
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解 （1）
C' ( x) (300 1.1x)' 1.1;
R' ( x) (5x 0.003x )' 5 0.006x;
2
L' ( x) R' ( x) C' ( x) 3.9 0.006x.
（2） L' (600) 3.9 0.006 600 0.3.

经济数学模型
多变量多约束下拉格朗日乘子的经济意义
研究有m个等式约束：
i ( x1, x2 , , xn ) Ci
函数 f ( x1, x2 ,
i 1, 2,
,m
, xn ) 的极值问题
构造拉格朗日函数
L f ( x1 , x2 ,
, xn ) i (Ci i ( x1, x2 ,
称
y / f ( x0 ) [ f ( x0 x) f ( x0 )] / f ( x0 ) x / x0 x / x0
为函数在区间 ( x0 , x x) 上的弧弹性。
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2．需求价格弹性 设需求函数为 Q Q( p)（p为价格），则需求价格弹性 为
EQ p = Q '( p). Ep Q( p)
拉格朗日函数为
L( x, y, ) f ( x, y) [C ( x, y)]
经济数学模型
令
L x 0 L 0 y L 0
f x x f y y ( x, y ) C 0
经济数学模型
由于商品不脱销，所以 Qs Qd ，由此
a p pe b
最优价格问题转化为求函数L(p）在区间 [ pe , )上的 最大值问题。
L(p)的唯一驻点为
bq r (b ) p 2
0
不难证明p0是L(p)的最大值，所以当 p0 pe ，最优价格
y f '( x) 1 f '( x).
特别地，当 x 1 时，有
当自变量增加1单位时，函数的增量近似地等于其导数值.
定义 把函数 y f ( x) 的导数 f ' ( x) 称为边际函数
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1．边际成本
（x为产量）的导数 C' ( x), 总成本函数 C C ( x)
若价格有微小的变化 p ，则收入函数的改变量为
（p p） (Q Q) R
pQ
pQ pQ pQ
总收入的变动量近似为
Q p R pQ pQ ＝pQ(1 ) p Q
R Q(1 ) p
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4、需求的收入弹性
设需求关于收入函数为 Qd Qd ( M ) ，其中 M 表示消费者的 收入 需求收入弹性的计算公式为
(1)
若将C 看作变量 ，解出最优解
, x, y
(C), x x(C), y y(C)
z f ( x, y) 的最值 z 也可视为 C 的函数
z f ( x (C), y (C))
经济数学模型
z 对 C 求导
dz f dx f dy dC x dC y dC
Qd ( p) p , Qs ( p) a bp
b 0, 0
经济数学模型
可得供求平衡时的价格为 则问题简化为
a pe b
dP P Pe dt
其通解为
从而
k ( b)>0
P(t ) cet Pe
lim P (t ) Pe
0 p 为 ， 当 p0 pe ，最优价格为 pe ，综上，最优价格为
p* max pe , p 0
2.4、拉格朗日乘子的经济意义
经济数学模型
1、以二元函数为例说明拉格朗日乘子的经济意义
( x, y) C 是影响目标函数中两 设 z f ( x, y) 是目标函数， 个因素的约束条件，在此约束条件下，求目标函数 z f ( x, y) 的最值问题。
t
这说明价格虽是波动的，但随着时间的推移，最后 趋于均衡价格。
经济数学模型
若需求是一个常数 Qd ，供给也是一个常数 Qs，且供不应
Qd Qs ，则 求：
dP k (Qd Qs ) k dt
其通解为 从而
Qd Qs
P(t ) k t +c
lim P (t )
供给函数 Qs ( p（ ) p为价格）的导数 ' ( p), 称
为价格为p单位时的边际需求．
边际需求 ' ( p) 表示当价格为p时，价格再上涨1
个单位,需求量将改变 ' ( p) 个单位．
经济数学模型
例
设生产某种产品的总成本为 C ( x) 300 1.1x ,
2
总收益为 R( x) 5x 0.003x , 试求： （1）边际成本、边际收入和边际利润函数. （2）当产量为600及700个单位时的边际利润, 并 说明其经济意义.
拉格朗日乘子 是目标函数最值 z 对约束条件 之常数 C 的变化率或边际值。


随目标函数、约束条件的经济意义和度量 单位不同而有不同的经济解释。
为 ( x, y) C 若总成本限定为 C ，两种原料投入为x、y， 目标是使总产量 z f ( x, y) 最大，则 是在最优投 入水平时的边际产量。
L' (700) 3.9 0.006 700 0.3.
经济意义：当产量为600时，再增加单位产量会使利 润增加0.3,当产量为700时，再增加单位产量会使利 润减少0.3 （3）令 L( x) 0, 得x 650. 这时，有
C(650) R(650) 1.1.
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比的极限
y x y lim f ( x). x0 x f ( x) x Ey 称为函数 y f ( x) 在点 x 处的弹性，记作 Ex , 即
Ey x f ( x) Ex f ( x)
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弹性意义为：当自变量变化1%时，函数变化的百
Ey %. 分数为 Ex
注意 弹性研究的是相对变化率．因此，弹性没有 量纲．
二、弹性分析
1、弹性的概念
经济数学模型
设函数 y f ( x)可导，函数 f ( x) 在点 x 处的 增量为 y f ( x x) f ( x), 自变量的增量为 x , 则比 y x 与 分别称为在点 x 处函数 y 的相对改变量及 值 y x
自变量 x 的相对改变量. 当x 0时, 两个相对改变量之