虚功原理及其应用

例1
两滑块放在光滑水平面 上，中间用一根细线相连。 两根等长的轻杆OA、OB分别 搁在两滑块上，且可绕铰链 O自由移动，两杆夹角为θ ， 当用竖直向下的力F作用在 铰链上时，求两滑块间细绳 上的张力T的大小。
O θ F
A
B
O
y
解析
在细绳中点为原点，细线所在方向 为x轴，建立如图所示的坐标系。设 两杆长度均为l， 则O点的竖直位置坐标为：
虚功原理： Fi ri 0，
表示的是物体在力系作用下处于平衡状态，若由于其 他原因使物体产生符合约束条件的微小连续位移δ r，则 所有主动力（外力与内力）在虚位移上所做的虚功总和 为零。由于导数与微分已经引入到高中数学，这为求复 杂情况下物体的虚位移带来了方便，因此在高中应用虚 位移原理求解物理问题已成为可能。高中物理有关静力 学问题，用常规方法求解有时需要列出复杂的方程进行 繁琐的数学运算，但如果应用虚功原理求解，往往会使 问题的求解过程大大简化。下面通过几个具体实例谈谈 虚功原理在求解静力学问题中的应用。
F
A
解析
如图所示，设想在A端将链条水平向 左拉出一段微小段长度dx， 则链条重力做 功 由虚功原理得
R
dW - dxgR
Fdx dW 0
B
可得
F gR
通过对以上几个实例的分析，我们 可以看出应用虚功原理求解问题，体 现了微元法、虚拟法、动态分析法等 物理分析方法，也能为问题的求解另 辟蹊径。
θ
dh dr
dh drcot
根据虚功原理有
Tdl Mgdh
解得
Mgcot T 2
例4
一个半径为R的1/4光滑的 圆柱面放置在水平面上， 其柱面上放置一个线密度 为ρ 的均匀链条，链条的 一端A固定在圆柱面的顶 点，另一端B恰好在水平 面上，求链条A端受到的 拉力F的大小。
A
R
B
解析
建立如图所示的坐标系，设杆长为l，则A、B 两个小球的竖直位置与水平位置坐标分别为：
A
y A lsin，x B lcos
若在力F作用下B球向左发生一段位移dxB， 则在理想约束情况下，A球应竖直向上发生 一段微小位移dyA，θ 角增加微小量dθ 。求 微分有： 由虚功原理得： 解得：
θ O B
F
x
dy A lcosd，dx B -lsind
Fdx B mgdy A 0
F mgcBaidu Nhomakorabeat
例3
如图3所示，一条长 为L、质量为M的均 匀链条套在一表面 光滑顶角为2θ 的圆 锥上处于静止状态， 求链条中的张力T的 大小。
θ
解析
设想链条的某处断开，拉动断开 处使套在圆锥上的圆形链条周长 缩短dL，则其半径缩短 dr=dL/2π 。 由图可知，链条上升的高度
A
θ F
x
B
y 0 lcos
B点水平位置坐标为：

2
①
x B lsin

2
②
假设在力F作用下O点竖直向下发生一小段位移dy0，在理 想约束情况下，B点应向右发生一段微小位移dxB，由对 称性知A点应向左发生和B点同样大小的位移，θ 角增加 微小量dθ 。我们分别对①、②式微分得：
1 dy 0 - lsin d 2 2 1 dx B lcos d 2 2
由虚功原理得：
2Tdx B Fdy 0 0
解得：
F T tan 2 2
例2
质量分别为m、M的A、 B两小球用一根轻杆连 接，A靠在竖直光滑墙 上，B放在光滑水平面 上。现用一水平向左的 力F作用在B上使系统处 于平衡状态，此时杆与 水平面成θ 角，求力F 的大小。
A
θ O B
F
y