计算物理作业 2

计算物理作业

第一题：

a.用最小二乘法拟合下面的一组数据

0 1 2 3 4 5 6 7 7.82 7.93 7.98 7.59 7.92 7.91 7.80 7.71 寻求经验公式，并拟合以上数据。

答：

matlab程序如下：

n=7; % n表示拟合的精度，在此取7

x=0:1:7;

y=[7.82 7.93 7.98 7.59 7.92 7.91 7.80 7.71];

a1=polyfit(x,y,n);

x1=0:0.1:7;

y1=polyval(a1,x1);

plot(x,y,'*',x1,y1,'-r'); %作出x-y的散点图和x1-y1的拟合曲线

程序运行之后：

a1 -0.0024 0.0610 -0.6073 3.0190 -7.7576 9.4799 -4.0827 7.8200

所以该组数据的经验公式就是：

用matlab拟合的曲线

蓝色的散点图是x-y图，红色的多项式曲线就是拟合后的曲线。

当n取6或者更小时，拟合效果并没有上面的好，如下n=6时的拟合曲线所示：

b．

在某次实验中需要观察水分的渗透速度，测得时间t与水重量w的数据

t 1 2 4 8 16 32 64

w 4.22 4.02 3.85 4.59 3.44 3.02 2.59 已知t与w关系，试用最小二乘法确定A、S。

答：

先对式子两边取对数，化为一阶，然后使用上题的一阶拟合的程序，取n=1 t=[1 2 4 8 16 32 64];

w=[4.22 4.02 3.85 4.59 3.44 3.02 2.59];

x=log(t);

y=log(w);

a1=polyfit(x,y,1);

A=exp(a1(2));

S=a1(1);

x1=1:0.1:64;

y1=A*x1.^S;

plot(t,w,'*',x1,y1,'-r');

程序运行结果：

a1 -0.1107 1.5153

因此，A=S=-0.1107

拟合曲线：

第二题：

复化梯形计算定积分：

要求：递交算法说明过程，源程序及实际结果。答：

复化梯形的迭代公式为：

在这里，a=0，b=π，。

算法如下：

x=zeros(1,100);

y=zeros(1,100);

%x、y是两个一维零矩阵，用来存储不同的n和与之对应的梯形公式的定积分% t=0;j=1;

for n=1:1:100;

for i=1:n-1;

t=t+2*sin(i*pi/n); %每个n对应的的值赋值给

t%

end;

t1=(pi/(2*n))*t;

y(1,j)=t1;

x(1,j)=n; %每个n（存储在x矩阵）对应的定积分值存储在y矩阵% j=j+1;

t=0; %n值递增，t归零，j递增来将不同n对应的值y矩阵的不同位置% end;

plot(x,y); %作图x-y%

图梯形算法在计算精度n不同时的取值

可以从matlab中读出y矩阵中的不同元素，比如n=10时，y=1.9835；n=10时，y=1.9959。

n=2~100,

1.57079632679490 1.81379936423422 1.89611889793704 1.93376559809281

1.95409723331371 1.96631667876589 1.97423160194555

1.97965081121648 1.98352353750945 1.98638698658166

1.98856377658432 1.99025717534777 1.99160042735507

1.99268383153077 1.99357034377234 1.99430494430946

1.99492046358345 1.99544131832019 1.99588597270872

1.99626859873946 1.99660022026927 1.99688951646677

1.99714339580395 1.99736741254563 1.99756607326404

1.99774306535854 1.99790142946568 1.99804369097056

1.99817196134365 1.99828801696417 1.99839336097014

1.99848927218760 1.99857684413418 1.99865701633345

1.99873059962485 1.99879829674997 1.99886071919655

1.99891840105786 1.99897181049707 1.99902135927808

1.99906741072689 1.99911028641187 1.99915027177344

1.99918762088765 1.99922256051286 1.99925529354004

1.99928600194513 1.99931484932406 1.99934198307626

1.99936753629151 1.99939162938520 1.99941437151965

1.99943586184290 1.99945619057124 1.99947543993767

1.99949368502489 1.99951099449860 1.99952743125456

1.99954305299081 1.99955791271468 1.99957205919314

1.99958553735338 1.99959838864004 1.99961065133415

1.99962236083861 1.99963354993397 1.99964424900812

1.99965448626288 1.99966428789999 1.99967367828896

1.99968268011871 1.99969131453476 1.99969960126350

1.99970755872496 1.99971520413531 1.99972255360002

1.99972962219876 1.99973642406284 1.99974297244584

1.99974927978828 1.99975535777672 1.99976121739797

1.99976686898870 1.99977232228115 1.99977758644500

1.99978267012597 1.99978758148133 1.99979232821263

1.99979691759594 1.99980135650976 1.99980565146076

1.99980980860766 1.99981383378336 1.99981773251536

1.99982151004476 1.99982517134390 1.99982872113273

1.99983216389399 1.99983550388744

可以看到当n取较小值时，梯形公式计算定积分的值逐渐接近精确值2而且是迅速的上升；在n比较大时，值接近平缓，也无限接近理论值2。

第三题：