2.3矢量场的通量与散度
矢量场的通量和散度
divA lim
AdV
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0
V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
பைடு நூலகம்任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
矢量场的通量和散度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的 量 散度是描述矢量场中任一点发散性质 的量
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在矢量场中，取一个有向曲面 S ，则矢量场A 在 S 上的面积分称为矢量 A 穿过曲面 S 的通量，即
Φ
A dS
二、矢量场的散度(divergence)
散度小结：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
3. 在矢量场中，若 A 0 ， 称之为有源场， 称为(通量)源密度；
4. 若场中处处 A 0 ，称之为无源场。
本节要点
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量 ——散度（分析矢量场的工具之一）
S
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过S 的流量。
v
S
en
Φ v dS S
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
通量与散度(中文)
前述的源称为正源，而洞称为负源。
<> =3<
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通
量等真于空该介闭电合常面数包围°之的比自，由电荷的电荷量q与
即,
皿E魅=普
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
= D< < > >1
已知真空中磁通密度B沿任一闭合有向曲线l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空
磁导率8 0的乘积。即
/---、
口 B 御=m I I /
式中，电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示 源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
包围的体积。
<> =3<
口
上式表明，散度d是iv一A个= l标im量-A-，--S-它-S--可- 理解为通过包围 单位体积闭合面的通量△。v □ Ay
直角坐标系中散度可表示为
div A = □4 +里+ 吳 因此散度可用算符表示为
div A = 5 □y □z
<> =3<
〈 散度定理
@ divA dV = 0s
2.矢量场的通量与散度
矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A 通过该
中 有向曲面S的通量，以标量 表示，即
=L A -姑
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生
矢量场的通量及散度
f ) z
f
( Fx x
Fy y
Fz z
) (Fx
f x
Fy
f y
Fz
f )
z
f F f F
证明： 设：
R R3 0
R0
F R
f 1 R3
( fF ) f F F f
1 R R 1
Ψ
Fds
s
sFxdydz Fydxdz Fzdxdy
3 散度
如果包围点P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时, 通
量与体积之比的极限 lim
Fd s
s
存在,我们就将它定义为P 点处F(r)
的散度（divergence），V 0 V
Fz(x,y,z+z)
+ a3zsincos（ez‧en）] ddz
所以
= 2a2zsin cos ddz
s1 F ds1
/2[a2sincos ( b 2zdz)]d
0
0
a2b2 /2 sincosd a2b2 sin 2 /2 a2b2
则
(
பைடு நூலகம்
f
F)
( x
ex
y
ey
z
ez
)(
fFx
ex
fFy
ey
fFz
ez )
x ( fFx ) y ( fFy ) z ( fFz )
(
f
Fx x
Fx
f ) ( x
f
散度 通量
散度通量散度和通量都是物理学中涉及到矢量场的概念。
在理解散度和通量之前，需要先了解矢量场的概念。
矢量场是指在空间中各点都有一个矢量与之对应的场。
“矢量”是指具有大小和方向的物理量，比如速度、力等。
在三维空间中，矢量通常用箭头表示，箭头长度代表矢量的大小，箭头指向代表矢量的方向。
矢量场描述了在空间中每个点的矢量是什么。
散度是描述矢量场的一个物理量。
它表示在一个给定点上的矢量场流出或流入的程度。
可以理解为矢量场的源与汇。
如果在一个点上，矢量场大量流出，则散度为正；如果流入，则散度为负；如果没有流入或流出，则散度为零。
通量则是散度的一种数学描述。
通量表示的是矢量场通过一个给定平面的流量，也可以理解为矢量场与该平面垂直的分量。
通量可以用来衡量矢量场在某个平面上的流动情况。
为了更好地理解散度和通量的概念，可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个假想的空气流场，我们在其中放置了一个球体。
球体内外的空气流动方式可能会有所不同。
在球体表面上，空气可能会流出或者流入。
如果空气大量流出，那么球体内的分子数就会减少，表示散度为正。
反之，如果空气流入球体内，散度就为负。
如果球体内外的空气流动情况相同，则表示散度为零。
与散度不同，通量主要描述的是矢量场通过某个平面的情况。
假设我们取球体表面为一个平面，那么空气流动通过这个平面的通量就是描述空气流动情况的一个量。
如果通量为正，表示有空气流出；如果通量为负，表示有空气流入；如果通量为零，则表示球体内外的空气流动情况相同。
散度和通量是紧密相关的物理量，它们描述了矢量场在空间中的流动情况。
散度描述了在一个给定点上的流出或流入程度，而通量描述了通过某个平面的流动情况。
需要注意的是，散度和通量是不同的概念。
散度是一个矢量场的性质，它是矢量场的一个标量函数；而通量是矢量场与一个平面垂直分量的大小。
在数学上，散度通过向量微积分中的散度算子表示，通量则是矢量场在某个平面上的贡献。
总结起来，散度和通量都是矢量场中重要的物理概念。
矢量场的通量和散度
∫ Pdx + Qdy + Rdz
l
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
Γ=
∫
l
r r A dl =
2π
∫ − ydx + xdy
l
= =
− R sin 3 θ d ( R cos3 θ ) + R cos3 θ d ( R sin 3 θ ) ∫
r r r rot ( µ A) = µ rotA + grad µ × A r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k µ = µ ( x, y , z )
第二章 场论
i j k r ∂ ∂ ∂ rot ( µ A) = ∂x ∂y ∂z µ P µQ µ R r r r = µ[( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k ] r r r +[( R µ y − Q µ z )i + ( P µ z − R µ x ) j + (Qµ x − P µ y )k ] i ∂ =µ ∂x P k i ∂ ∂µ + ∂z ∂x R P r r = µ rotA + grad µ × A j ∂ ∂y Q j ∂µ ∂y Q k ∂µ ∂z R
r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功 r r W = ∫ Ft dl = ∫ F dl
l
磁场强度环路积分
∫
l
r r m H dl = ∑ I k = I
矢量场的通量和散度
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S 的流量。
v
S
en
Φ S v dS
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
>0
(有正源)
<0
=0
(有负源) (无源或正负源同时存在)
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
divA lim S A dS
V 0 V S
矢量场 A 在点
M
M处的散度
V 0
单位体积发出的 通量—通量体密度
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
S
M
V 0
divA lim S A dS
情况的量 散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在上矢 的量面场积中 分， 称取 为一 矢个 量有A 向穿曲过面曲面S ，S则的矢通量量场，A即在
S
Φ
A dS
S
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0 V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
工程数学 矢量场的通量及散度
CQU
作业：1.6、1.7 补充题：试证明
R ∇ ⋅ 3 =0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR
x0 , y0 , z0
e z
称“
1.3 矢量场的通量及散度
∫
dS [ Fx ( x0 + F= ∆x ∆x , y0 , z0 ) − Fx ( x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z + 2 2 ∆y ∆y [ Fy ( x0 , y0 + , z0 ) − Fy ( x0 , y0 − , z0 )]∆x∆z + 2 2 ∆z ∆z [ Fz ( x0 , y0 , z0 + ) − Fz ( x0 , y0 , z0 − )]∆x∆y 2 2 ∂F ∂F ∂F = x ∆x∆y∆z + y ∆x∆y∆z + z ∆x∆y∆z ∂z ∂x ∂y
通量源与漩涡源cqu在直角坐标系中设13矢量场的通量及散度为了定量研究场与源之间的关系需建立场空间任意点小体积元的通量源与矢量场小体积元曲面的通量的关系
1.3 矢量场的通量及散度
定义：对于空间区域 V 内的任意一点 r，若有一个矢量 F(r) 与之对 应，我们就称这个矢量函数 F(r) 是定义于V 的矢量场。 特点：1) F(r)为空间坐标的函数（点函数），显示单值性； 2)占有空间性。 分类：恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。
得直角坐标式的矢量线方程
dx dy dz = = Fx Fy Fz
1.3 矢量场的通量及散度
2、矢量场的通量
问题：如何定量描述矢量场？
= S∫ d = 通量的概念： ψψ
CQU
引入通量的概念。
∫
S
F ⋅ dS =
∫
2.3 散度
求在单位时间内流向S 正面的流量 .
v
n
n
用元素法 .
ds
在单位时间内流经面积元素 dS 的流量元素 0 d (v n ) d S v dS
0 其中 dS n d S 为有向面积元素 .
v dS
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
Flux and Divergence of Vector Field
主要内容
1. 通量 2. 散度 教材：第2章 第3节
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
1
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
一、通量
不可压缩流体流速为 v (不变) ,
平面 上有洞面积为 s ,
> 0 (有正源) < 0 (有负源) = 0 (无源) 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合 曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系, 用来描 述空间某一范围内场的发散或会聚具有局域性质，不 能反映空间一点的情况.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
7
《场论初步》
例1 已知矢量场 r xi yj zk ，求由内向外穿过
单位法向量为 n (指向正侧 ) .
n
v
s
在单位时间内从 s 中流过的流体的体积 (流量)
s v cos v n s
(1)
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
2
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度.
xyz e , r xi yj zk 例4 已知 求 div r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功
r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1 s1
Hdxdy H dxdy H 3
x
1
1
r
s2 s1
dS rn dS 0dS 0
s2 s2
r dS r dS H 3
s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ 的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 q n D r 2 4 r 求从内穿出S的电通量Φ
在任一点M(x,y,z)的散度是
divA P q R x y z
第二章 场论
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s s
P q R ( )dV x y z P q R x y z V 根据中值定理有 M 其中M′为在Δ Ω 内的一点，由此
M s
D dS
s
q 4 R 2
r
dS
q 4 R 2
q 2 dS 4 R q 2 4 R s
第二章 场论 2 散度
divA lim lim M V M
矢量场的通量及散度(教案)
1.3矢量场的通量及散度1.3.1矢量场的概念定义：空间区域V 内的某一物理系统的状态，可以用一个矢量函数F (r ，t )来描述。
对于V 中任意一点r ，若F (r ，t )有确定的值与之对应，则称F (r ，t )是定义于V 区域上的矢量场。
矢量场也有两个特点：①F (r ，t )为空间坐标的函数（点函数），显示单值性；②F (r ，t )要占有一个空间。
矢量场也分恒稳矢量场F (r )和时变矢量场F (r , t )。
矢量场F (r ，t )可用矢量线（简称F 线）来形象地描述。
F 线是带有箭头的空间曲线，其上任一点的切线方向即为该处矢量场的方向，F 线的疏密反映矢量场分布的弱或强，矢量线互不相交。
直角坐标系下矢量场可表为：()()()()z z y y x x z y x F z y x F z y x F z y x e ,,e ,,e ,,,,F ++=(1.3.1)F 线上的任一线元矢量d l 总是与该处的F 共线，有 即则F 线的微分方程zy x F zF y F x d d d == (1.3.2) 1.3.2. 矢量场的通量（1）恒稳液流场v (r )液体流动形成液流场，其中每一点的流动特点用流速v （r ）表示，反映单位时间内流过与该处液流方向垂直的单位面积的液体体积的多少。
恒稳之意是指与时间无关恒稳液流场⇔恒稳流速矢量场v （r ）。
2）流量概念面元矢量：对于S 面上的任意面元d S ，指定其正法向方向，设置正法向单位矢量e n ，确定了正法向方向的面元称为面元矢量，表示为d S =d S e n 。
流量：设面元矢量d S 与该处v 间的夹角为θ，则穿过该面元d S 的元流量为ψd = v n d S = v cos θd S = v ‧d S (1.3.3)累加S 面上所有面元的元流量，得穿过S 面的流量⎰⎰⋅==sS v d d ψψ（1.3.4）推广流量的概念，对于任意闭合面，有v （r ）在闭面S 上的闭合面积分⎰⋅=s d s v ψ（1.3.5）规定闭面上各d S 的方向为外法线方向，上式就表示流出闭面S 的净流量。
《矢量分析与场论》 矢量场的通量及散度
q •o
径为 R 的球面的通量。
x
y
R
解：电位移矢量为
D
qr
4r 3
q
4r 2
r r
q
4r 2
r
r r x2 y2 z2
根据通量的定义，有 球面外法向单位矢量
D • dS
S
n
r
dS
ndS
r
在球面上有
rR
4.通量和源
为 n 个弧长小段，第 i 段有，
li (xi1 xi )2 ( yi1 yi )2 (zi1 zi )2 xi2 yi2 zi2
且 (i ,i , i ) 是在 li 内的一点。
2.曲线积分
如果（1）式的极限存在，则把该极限称之为数
量场u(x, y, z) 在曲L线 上对弧长的曲线积分，记 作
y
o
x
D
( k ) x y (k ,k , k )
3.曲面积分
(i ,i , i ) 是 曲 面 上 的Si 一 点 ，
若式（2）的极限存在，则称
z
S Si
y
为数量场
u(x, y在, z曲) 面上 x o
的面积曲面积分，也称为第I
D
型曲面积分。记作
( k )x y (k ,k , k )
最后得到：
(Axdydz Aydxdz Azdxdy)
为矢量函数
A(
S
x,
y,
z
)
对坐标的曲面积分，也称为
第II型曲面积分。
在上式中，被积函数 Ax , Ay , Az中的 x, y, z 并不独立， 受曲面 S 的约束。
2.3矢量场的通量与散度
出的通量.
解法1
记
r1
r
2
,
1r表示r平面部r 分r，
表示锥面部分，
2
则通量 Ò A dS A dS A dS,
1
2
1在xoy面上的投影区域D : x2 y2 H 2 , rr
A dS xdydz ydxdz zdxdy Hdxdy H 3
1
曲面
2的外法1 向量nr
4
1 r2
rr0 nr0dS
q
4 R2
Ò dS
q
4 R2
4
R2
q.
2.散度
设
v A
v A(
x,
y,
z)
C
(1)是一个不可压缩的稳定的流速场，
对于场中任一点M，在点M的某邻域作一张包围M的光
滑封闭曲面 ，取外侧，记 所围的区域为 ，这时，
,
A dS
表示单位时间从
经
流向外侧的流量，
而
()
x,
D2
q
4 r3
y,
D3
q
4 r3
z,
D1 x
q
4
r3
x 3r2 r6
x r
q
4
r2
3x2 r5 ,L
,
r divD
D1
D2
D3
0.
x y z
r
r
r
r
r
例7 设 A 2xyz2 i (x2z2 cos y) j 2x2 yz k，求divA.
利用Hamilton的算子 ，散度及其性质可表述为
注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
∑ n
∑－
n
通量和散度的概念
通量和散度的概念通量和散度是物理学中用来描述流过某一表面的物理量的概念。
它们在物理学的各个领域都有着广泛的应用，包括电磁学、流体力学和热力学等。
下面我将详细介绍这两个概念及其相关的理论和应用。
通量是一个贯穿某一表面的物理量的总量。
在物理学中，通量的概念经常用来描述一些物理量在一定时间内通过某一固定面积的流量。
通量可以是质量、能量、电荷等物理量的流量。
它的计算公式为：通量= 流量/ 时间。
通量的单位取决于所描述的物理量，例如，若是质量的通量，则单位为千克/秒；若是能量的通量，则单位为焦耳/秒。
散度是矢量场的一种性质，用来描述线、面、体积上物理量的变化情况。
矢量场是一个在空间中定义了每一个点上值与方向的矢量的场。
散度描述了一个矢量场的源头或汇聚情况，即在某一点上是否有物理量流入或流出这一点。
它的计算公式为：散度=（偏导数x方向上的分量+ 偏导数y方向上的分量+ 偏导数z方向上的分量）。
散度是一种标量场，它的大小和分布描述了物理量的变化情况，正负号则表示物理量流的方向。
如果散度为正，则表示物理量从该点流出；如果散度为负，则表示物理量流入该点；如果散度为零，则表示物理量在该点不变。
通量和散度之间有一个重要的关系，即散度定理。
散度定理是高斯定理的一种特殊形式，它表明通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内散度的体积分。
通俗地讲，散度定理说明了通过一个封闭的表面的物理量总量等于该表面内物理量的来源或消耗总量。
散度定理为物理学家提供了一个非常有用的工具，可以利用这个定理来简化复杂的物理问题的计算。
通量和散度在电磁学中具有重要的应用。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量场的形式来描述。
通量定律和散度定理是电磁场中的两个基本定律。
例如，根据电场的散度定理，通过一个封闭曲面的电场通量等于该曲面内电荷的总量除以真空介电常数。
这个定理为计算电场的分布和与电荷相互作用提供了一种简洁而有效的方法。
类似地，磁场的散度定理也可以用于计算磁场的分布以及与电流的相互作用。
三、矢量场的通量及散度
dy dx dz = = Fx Fy Fz
矢量线
2、矢量场的通量 、 为了克服矢量线不能定量描述矢量场的大小的问 题，引入通量的概念。在场区域的某点选取面元，穿 引入通量的概念。在场区域的某点选取面元， 称为矢量场对于面积元的通量。 过该面元矢量线的总数 称为矢量场对于面积元的通量。
在面元dS 的面积分为 矢量 E 在面元
Байду номын сангаас
∫ F⋅ d s
s
Fx(x,y,z+∆z) ∆x c ∆y
∆V → 0
∆V
∆z a
求边长分别为∆x、∆y、∆z 的小平行六面体的 求边长分别为 通量，其体积 通量，其体积∆V=∆x∆y∆z 。 根据泰勒极数可知
∂Fx ( x,y,z) ∆x] e x ∂x ∂Fy ( x,y,z) F y ( x,y + ∆y,z ) ≈ [ Fy ( x,y,z) + ∆y ] e y ∂y ∂F ( x,y,z) Fz ( x,y,z + ∆z ) ≈ [ Fz ( x,y,z) + z ∆z ] e z ∂z Fx ( x + ∆x,y,z) ≈ [ Fx ( x,y,z) +
divC = ∇ ⋅ C = 0(C为常矢量) divCf = C ⋅ ∇f divαF = α∇ ⋅ F (α为常量) divfF = f∇ ⋅ F + F ⋅ ∇f div(F ± G ) = ∇ ⋅ F ± ∇ ⋅ G
6、散度运算的几个基本关系式 • 相对坐标矢量函数 F (r − r ′) • 相对位置矢 量 • 标量场 f (r) 和矢量场 F(r) 之积 f F • R及其模 及其模R 及其模
F线
恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场 时变矢量场F(r , t)。 恒稳矢量场 时变矢量场 矢量场图 -- 矢量线 其方程为
2.3矢量场的通量及散度
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
Ax
y
Ay
ˆ A
ˆ y
ˆ z
A
ˆ 1 A
z
Az
1 A r 2 sin r
Ar
ˆ r
ˆ r
rA
r sin A
ˆ r sin
可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场 在空间的某种变化情况。
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
在M 点处的散度为： 为 V ，则定义场矢量 A(r )
2.3矢量场的通量及散度资料
du el dl
max
式中：el 为垂直于等值面（线）的方向。
2、梯度的物理意义 1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场 变化最快的方向，其幅度表示标量场的最大变化率。
3、梯度的运算
u u u 1）在直角坐标系中：u ex ey ez x y z u 1 u u 2）在柱面坐标系中：u er e ez r r z u 1 u 1 u 3）在球面坐标系中： u er e e r r r sin
ex ey ez
F
x y z Fx Fx Fx
由旋度的定义可以得到矢量场的旋度与该矢量场的关系为：
ˆ x RotA x Ax ˆ y y Ay
ˆ x
ˆ z z Az
z
Az
ˆ z
()
A
A
x
Ax
y
Ay
四、散度定理（矢量场的高斯定理）
高斯定理在数学上表示体积分与面积分的转换关系，反 映了体积表面上的矢量场与体积内的矢量场源的关系。
V
F (r )dV
s
F (r ) dS
该公式表明了区域V 中场 F (r ) 与边界S上的场 F (r ) 之间的关系。
散度定理的证明
从散度定义，可以得到：
第五节
一. 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理
在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界
条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是
亥姆霍兹定理的内容。
亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义：研究电磁场的一条主线。
第8讲矢量场的通量及散度2
2 2 2
，
解： 根据定义，
rax ra y raz r r r div(ra ) ax ay ax x y z x y z
r x r y r z , , x r y r z r
S
1.散度
A dS divAdV
S
通量和散度之间的关系，即穿过封闭曲面
通量，等于 S 所围的区域 重积分。
S
的
上的散度在 上的三
推论2：若在封闭曲面
S
S 内处处有 divA 0 ，则
A dS 0
若封闭曲面内无源，则通量为零。
A P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k
在任一点 M ( x, y, z) 处的散度为：
P Q R divA x y z
由该定理可以得到以下几个重要的推论。 推论1：高斯定理可以写成矢量形式
A dS divAdV
解：（1） 使 穿出 的通量为
divA a 2 y 2 x 2
2 2 divA 0 的等值线为一个圆周 l : x y
l
a ，场
2
A
An dl divAd (a 2 y 2 x 2 )d
l D D
2.平面矢量场的通量和散度
'
1.散度
例：设
r xi yj zk , r r ,
求，（习题4第9题）
（1）使
div[ f (r )r ] 0
的 f (r ) ；
复变函数第四版-第二章_2.3 矢量场的通量及散度
D dS V lim
Ω M
Φ e V
lim
Q V
Ω M
=
(3 .1 3)
其中ρ 为电荷分布的体密度。
（3）散度运算的基本公式。 1 ) div ( cA ) =c div A （c 为常数）
2) div ( A ± B ) = div A ± div B
3 ) div ( uA ) =u div A + A⋅grad u （u 为数性函数）
在磁感应强度矢量B 分布的磁场中，穿过曲面S 的磁通量
Φm =
B
s
n
dS
B d S
s
(3 .5)
第二章 场论
5
（1）通量的定义：设有矢量场A (M) ，沿其中某一方向曲面S
的曲面积分
Φ =
A
s
n
dS
A d S
s
(3 .6 )
叫做矢量场A (M) 向正侧穿过曲面S 的通量。
第二章 场论
11
例2.在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为
D = q 4 r
2
r
0
其中r 是点电荷q 到点M 的距离，r°是从点电荷q 指向点M 的 单位矢量。设S 为以点电荷为中心，R 为半径的球面，求从内 穿出S的电通量 Φe。 解：如图（2 − 15），在球面S 上恒有r = R，且法矢n 与r°的 方向一致。所以
(3 .1 4 )
叫做矢量场A (M) 沿法矢n 的方向穿 过曲线l 的通量（图 2 − 17）
第二章 场论
15
当 ΔΩ 缩向M 点时，M﹡就趋于点M 。所以
d ivA = P x Q y R z
矢量场的散度名词解释
矢量场的散度名词解释矢量场是数学中一个重要的概念，常见于物理学和工程学中的描述和分析问题。
散度作为矢量场的一个重要性质，具有深远的意义。
本文将对矢量场的散度进行一个名词解释，并探讨其在数学和物理领域中的应用。
一、矢量场的定义矢量场可以理解为在空间中的每个点上存在一个矢量，这个矢量可以表示某种物理量的大小和方向。
比如，速度场中的矢量可以表示每个点处的速度大小和方向。
形式上，矢量场可以用一个函数来描述，该函数将每个点和一个矢量相对应。
我们可以将矢量场看作是一个从空间到矢量的映射。
二、散度的定义矢量场的散度描述了在每个点上的矢量变化的“量级”。
在物理学中，我们常常将散度理解为物质或能量的流量。
正式地说，给定一个矢量场F=(F1,F2,F3)，其中F1、F2和F3分别表示空间中的x、y和z方向上的分量，那么矢量场的散度定义为散度向量D=(∂F1/∂x, ∂F2/∂y, ∂F3/∂z)的数量。
散度的物理解释是，如果在一个点上的矢量场的散度为正，表示该点上的物质或能量在单位时间内正方向上流入。
而如果散度为负，则表示物质或能量在单位时间内反方向上流出。
对于散度为零的情况，表示物质或能量在这个点周围没有流动。
三、散度的计算在计算散度时，我们使用偏导数来描述矢量场在各个方向上的变化率。
比如，如果F=(x^2, 3y^2, z^2)，那么我们可以计算出∂F1/∂x=2x、∂F2/∂y=6y和∂F3/∂z=2z，从而得到该矢量场的散度向量D=(2x, 6y, 2z)。
四、散度的应用散度作为矢量场的一个重要性质，在数学和物理领域中有着广泛的应用。
1. 流体力学中的应用：在流体力学中，散度描述了流体的流动情况。
例如，对于一个速度场，散度表示了流体的源和汇，以及流体流动的强度。
这对于分析流体流动和设计管道系统非常重要。
2. 电磁学中的应用：在电磁学中，电场和磁场都可以看作是矢量场。
通过计算电场和磁场的散度，可以得到电荷和电流的分布情况，从而研究电磁学现象。
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z 2 )]dz
4
4
2
.
设为闭曲面的外侧，流量 Q v dS 表示从内穿
出的正流量与从外穿入的负流量的代数和. 若Q 0, 则称内有正源(泉源)，若Q 0, 则称内有
负源(漏洞).
例4 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电
位移向量为
D
q
4 r2
Sk
,
zSn2k,A,k
Sn .
Mk ( xk
,
yk
,
zk
)
设其面积也记成 Sk , 曲面Σ
在点Mk 处的单位法向量
n0 (Mk ) cos(n, x),cos(n, y),cos(n, z) o
y
x
单位时间流经曲面微元 的Sk流量 可近k 似地看做
一细柱体，底面为
则
A
在单位时间流经曲面∑的通量为
A dS A n0dS
[P(x, y, z)cos(n, x) Q(x, y, z)cos(n, y) R(x, y, z)cos(n, z)]dS
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy
2.3矢量场的通量与散度
能区分出曲面的侧 的曲面叫做双侧曲面. 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
闭曲面分内侧和外侧
曲面还有左侧和右侧，前侧和后侧.
选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面.
用∑表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相
反侧的定向曲面用∑－表示.
注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
解 设 表示曲面 z x2 y2 和 z 2 x2 y2 所
围立体，其表面外侧为 ，则
所求通量为
n
z
A dS 2xzdydz yzdzdx z2dxdy
由Gauss公式
(2z z 2z)dV zdV
4
R2
q.
2.散度
设 A A(x, y, z) C (1)是一个不可压缩的稳定的流速场，
Gauss公式
设 是空间的有界闭区域，其边界 由有限光滑
或分片光滑的曲面所组成，取外侧，
A(x, y, z) P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) C (1)()
则
Pdydz Qdzdx
Rdxdy
(
P x
Q y
∑n
∑－
n
1.通量
实例: 流向曲面一侧的流量.
设 A(x, y, z) P(x, y, z), Q(表x,示y,流z),体R(的x,流y, z速)场，∑为场
中的一片定向曲面，欲求单位时间内流体由曲面负侧 经曲面∑流向正侧的流量。
①分割 把曲面Σ 细分成小块 S1
任取一典型的微元 Sk , 在其 上任取一点Mk ( xk , yk , zk ) Sk ,
r
0
其中r是点电荷q到点M的距离，r 0是从点电荷q指向点
M的单位向量，设为以点电荷q为球心，以R为半径
的球面，求从内穿出的电通量 e .
解 在球面上单位外法向量n0 r 0,则电通量
e
D dS q
4
1 r2
r
0
n0dS
q
4 R2
dS
q
4 R2
2
例2 设是柱面x2 y2 1被平面z 0及z 3所截得在 第一卦限内的部分的前侧，求向量场A x i y j z k 穿过的通量.
解 通量 xdydz ydxdz zdxdy
：x 1 y2 ( y, z) Dyz : 0 y 1, 0 z 3
Dxy O
y
x
利用球坐标系，
2
d 4 d
2 r cos r 2 sin dr
0
0
0
2
d 4 sin cos d
2 r 3dr .
0
002ຫໍສະໝຸດ 或用截面法得
zdV
1 z( z2)dz 0
1
2
z[ (2
[0 1 y2 y( y )] dydz
Dyz
1 y2
1
1
dydz
dy
3
dz
3
Dyz 1 y2
0 1 y2 0
2
例3 求向量场A (2xz, yz, z2 )穿过由曲面z x2 y2 和 z 2 x2 y2 所围成立体表面外侧的通量。
故 k
A(
Mk
) n0 (
，高S为k
Mk )Sk ,
A( Mk ) n0( Mk ),
② 求和 单位时间流 经Σ的流量：
n
n
A(M k
) n0 (M k
)Sk
k 1
③ 取极限
S 0，取极限得到
流量 的精确值
A
n
0
A
M dS
S
定义 设 A A(x, y, z) 是一向量场，∑是场中的一
1
2
1在xoy面上的投影区域D : x2 y2 H 2 ,
A dS xdydz ydxdz zdxdy Hdxdy H 3
1
1
D
曲面2的外法向量n (2x, 2 y, 2z) A, A dS 0,
A dS H 3.
R )dV . z
(2.1)
例1 设曲面是由锥面 x2 y2 z2与平面 z H (H 0)所
围 成的闭曲面的外侧，求向量场A (x, y, z)从闭曲面内穿
出的通量.
解法1
记
1
2
,
1表示平面部分，
表示锥面部分，
2
则通量 A dS A dS A dS,
定向曲面，称
A
n 0
dS
为向量场
A
流经曲面∑的通量.
当
A
是电位移向量，则
就是穿过曲面∑的电通量，
当
A
是磁感应强度，则
就是穿过曲面∑的磁通量.
记 dS n0dS cos(n, x), cos(n, y), cos(n, z) dS cos(n, x) dS, cos(n, y) dS, cos(n, z) dS