2.3矢量场的通量与散度
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2.3矢量场的通量与散度
能区分出曲面的侧 的曲面叫做双侧曲面. 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
闭曲面分内侧和外侧
曲面还有左侧和右侧，前侧和后侧.
选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面.
用∑表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相
反侧的定向曲面用∑－表示.
注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
Sk
,
zSn2k,A,k
Sn .
Mk ( xk
,
yk
,
zk
)
设其面积也记成 Sk , 曲面Σ
在点Mk 处的单位法向量
百度文库
n0 (Mk ) cos(n, x),cos(n, y),cos(n, z) o
y
x
单位时间流经曲面微元 的Sk流量 可近k 似地看做
一细柱体，底面为
∑n
∑－
n
1.通量
实例: 流向曲面一侧的流量.
设 A(x, y, z) P(x, y, z), Q(表x,示y,流z),体R(的x,流y, z速)场，∑为场
中的一片定向曲面，欲求单位时间内流体由曲面负侧 经曲面∑流向正侧的流量。
①分割 把曲面Σ 细分成小块 S1
任取一典型的微元 Sk , 在其 上任取一点Mk ( xk , yk , zk ) Sk ,
故 k
A(
Mk
) n0 (
，高S为k
Mk )Sk ,
A( Mk ) n0( Mk ),
② 求和 单位时间流 经Σ的流量：
n
n
A(M k
) n0 (M k
)Sk
k 1
③ 取极限
S 0，取极限得到
流量 的精确值
A
n
0
A
M dS
S
定义 设 A A(x, y, z) 是一向量场，∑是场中的一
r
0
其中r是点电荷q到点M的距离，r 0是从点电荷q指向点
M的单位向量，设为以点电荷q为球心，以R为半径
的球面，求从内穿出的电通量 e .
解 在球面上单位外法向量n0 r 0,则电通量
e
D dS q
4
1 r2
r
0
n0dS
q
4 R2
dS
q
4 R2
1
2
1在xoy面上的投影区域D : x2 y2 H 2 ,
A dS xdydz ydxdz zdxdy Hdxdy H 3
1
1
D
曲面2的外法向量n (2x, 2 y, 2z) A, A dS 0,
A dS H 3.
解 设 表示曲面 z x2 y2 和 z 2 x2 y2 所
围立体，其表面外侧为 ，则
所求通量为
n
z
A dS 2xzdydz yzdzdx z2dxdy
由Gauss公式
(2z z 2z)dV zdV
4
R2
q.
2.散度
设 A A(x, y, z) C (1)是一个不可压缩的稳定的流速场，
2
例2 设是柱面x2 y2 1被平面z 0及z 3所截得在 第一卦限内的部分的前侧，求向量场A x i y j z k 穿过的通量.
解 通量 xdydz ydxdz zdxdy
：x 1 y2 ( y, z) Dyz : 0 y 1, 0 z 3
[0 1 y2 y( y )] dydz
Dyz
1 y2
1
1
dydz
dy
3
dz
3
Dyz 1 y2
0 1 y2 0
2
例3 求向量场A (2xz, yz, z2 )穿过由曲面z x2 y2 和 z 2 x2 y2 所围成立体表面外侧的通量。
Gauss公式
设 是空间的有界闭区域，其边界 由有限光滑
或分片光滑的曲面所组成，取外侧，
A(x, y, z) P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) C (1)()
则
Pdydz Qdzdx
Rdxdy
(
P x
Q y
Dxy O
y
x
利用球坐标系，
2
d 4 d
2 r cos r 2 sin dr
0
0
0
2
d 4 sin cos d
2 r 3dr .
0
0
0
2
或用截面法得
zdV
1 z( z2)dz 0
1
2
z[ (2
定向曲面，称
A
n 0
dS
为向量场
A
流经曲面∑的通量.
当
A
是电位移向量，则
就是穿过曲面∑的电通量，
当
A
是磁感应强度，则
就是穿过曲面∑的磁通量.
记 dS n0dS cos(n, x), cos(n, y), cos(n, z) dS cos(n, x) dS, cos(n, y) dS, cos(n, z) dS
则
A
在单位时间流经曲面∑的通量为
A dS A n0dS
[P(x, y, z)cos(n, x) Q(x, y, z)cos(n, y) R(x, y, z)cos(n, z)]dS
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy
R )dV . z
(2.1)
例1 设曲面是由锥面 x2 y2 z2与平面 z H (H 0)所
围 成的闭曲面的外侧，求向量场A (x, y, z)从闭曲面内穿
出的通量.
解法1
记
1
2
,
1表示平面部分，
表示锥面部分，
2
则通量 A dS A dS A dS,
z 2 )]dz
4
4
2
.
设为闭曲面的外侧，流量 Q v dS 表示从内穿
出的正流量与从外穿入的负流量的代数和. 若Q 0, 则称内有正源(泉源)，若Q 0, 则称内有
负源(漏洞).
例4 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电
位移向量为
D
q
4 r2
能区分出曲面的侧 的曲面叫做双侧曲面. 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
闭曲面分内侧和外侧
曲面还有左侧和右侧，前侧和后侧.
选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面.
用∑表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相
反侧的定向曲面用∑－表示.
注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
Sk
,
zSn2k,A,k
Sn .
Mk ( xk
,
yk
,
zk
)
设其面积也记成 Sk , 曲面Σ
在点Mk 处的单位法向量
百度文库
n0 (Mk ) cos(n, x),cos(n, y),cos(n, z) o
y
x
单位时间流经曲面微元 的Sk流量 可近k 似地看做
一细柱体，底面为
∑n
∑－
n
1.通量
实例: 流向曲面一侧的流量.
设 A(x, y, z) P(x, y, z), Q(表x,示y,流z),体R(的x,流y, z速)场，∑为场
中的一片定向曲面，欲求单位时间内流体由曲面负侧 经曲面∑流向正侧的流量。
①分割 把曲面Σ 细分成小块 S1
任取一典型的微元 Sk , 在其 上任取一点Mk ( xk , yk , zk ) Sk ,
故 k
A(
Mk
) n0 (
，高S为k
Mk )Sk ,
A( Mk ) n0( Mk ),
② 求和 单位时间流 经Σ的流量：
n
n
A(M k
) n0 (M k
)Sk
k 1
③ 取极限
S 0，取极限得到
流量 的精确值
A
n
0
A
M dS
S
定义 设 A A(x, y, z) 是一向量场，∑是场中的一
r
0
其中r是点电荷q到点M的距离，r 0是从点电荷q指向点
M的单位向量，设为以点电荷q为球心，以R为半径
的球面，求从内穿出的电通量 e .
解 在球面上单位外法向量n0 r 0,则电通量
e
D dS q
4
1 r2
r
0
n0dS
q
4 R2
dS
q
4 R2
1
2
1在xoy面上的投影区域D : x2 y2 H 2 ,
A dS xdydz ydxdz zdxdy Hdxdy H 3
1
1
D
曲面2的外法向量n (2x, 2 y, 2z) A, A dS 0,
A dS H 3.
解 设 表示曲面 z x2 y2 和 z 2 x2 y2 所
围立体，其表面外侧为 ，则
所求通量为
n
z
A dS 2xzdydz yzdzdx z2dxdy
由Gauss公式
(2z z 2z)dV zdV
4
R2
q.
2.散度
设 A A(x, y, z) C (1)是一个不可压缩的稳定的流速场，
2
例2 设是柱面x2 y2 1被平面z 0及z 3所截得在 第一卦限内的部分的前侧，求向量场A x i y j z k 穿过的通量.
解 通量 xdydz ydxdz zdxdy
：x 1 y2 ( y, z) Dyz : 0 y 1, 0 z 3
[0 1 y2 y( y )] dydz
Dyz
1 y2
1
1
dydz
dy
3
dz
3
Dyz 1 y2
0 1 y2 0
2
例3 求向量场A (2xz, yz, z2 )穿过由曲面z x2 y2 和 z 2 x2 y2 所围成立体表面外侧的通量。
Gauss公式
设 是空间的有界闭区域，其边界 由有限光滑
或分片光滑的曲面所组成，取外侧，
A(x, y, z) P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) C (1)()
则
Pdydz Qdzdx
Rdxdy
(
P x
Q y
Dxy O
y
x
利用球坐标系，
2
d 4 d
2 r cos r 2 sin dr
0
0
0
2
d 4 sin cos d
2 r 3dr .
0
0
0
2
或用截面法得
zdV
1 z( z2)dz 0
1
2
z[ (2
定向曲面，称
A
n 0
dS
为向量场
A
流经曲面∑的通量.
当
A
是电位移向量，则
就是穿过曲面∑的电通量，
当
A
是磁感应强度，则
就是穿过曲面∑的磁通量.
记 dS n0dS cos(n, x), cos(n, y), cos(n, z) dS cos(n, x) dS, cos(n, y) dS, cos(n, z) dS
则
A
在单位时间流经曲面∑的通量为
A dS A n0dS
[P(x, y, z)cos(n, x) Q(x, y, z)cos(n, y) R(x, y, z)cos(n, z)]dS
P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy
R )dV . z
(2.1)
例1 设曲面是由锥面 x2 y2 z2与平面 z H (H 0)所
围 成的闭曲面的外侧，求向量场A (x, y, z)从闭曲面内穿
出的通量.
解法1
记
1
2
,
1表示平面部分，
表示锥面部分，
2
则通量 A dS A dS A dS,
z 2 )]dz
4
4
2
.
设为闭曲面的外侧，流量 Q v dS 表示从内穿
出的正流量与从外穿入的负流量的代数和. 若Q 0, 则称内有正源(泉源)，若Q 0, 则称内有
负源(漏洞).
例4 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电
位移向量为
D
q
4 r2