运筹学--第十三章 排队论

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习题十三

13.1 某市消费者协会一年365天接受顾客对产品质量的申诉。设申诉以λ＝4件/天的普阿松流到达，该协会每天可以处理申诉5件，当天处理不完的将移交专门小组处理，不影响每天业务。试求：

（1）一年内有多少天无一件申诉；

（2）一年内多少天处理不完当天的申诉。

13.2 来到某餐厅的顾客流服从普阿松分布，平均每小时20人。餐厅于上午11：00开始营业，试求：

（1）当上午11：07有18名顾客在餐厅时，于11：12恰好有20名顾客的概率（假定该时间段内无顾客离去）；

（2）前一名顾客于11：25到达，下一名顾客在11：28至11：30之间到达的概率。

13.3 某银行有三个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，服务时间服从均值为0.5分钟的负指数分布，试求：

（1） 银行内空闲时间的概率；

（2） 银行内顾客数为n 时的稳态概率；

（3） 平均队列长Lq ；

（4） 银行内的顾客平均数Ls ；

（5） 平均逗留时间Ws ；

（6） 平均等待时间Wq 。

13.4 某加油站有一台油泵。来加油的汽车按普阿松分布到达，平均每小时20辆，但当加油站中已有n 辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿等待而离去，离去概率为4

n （n ＝0，1，2，3，4）。油泵给一辆汽车加油所需时间为具有均值3分钟的负指数分布。

（1）画出此排队系统的速率图；

（2）导出其平衡方程式；

（3）求出加油站中汽车数的稳态概率分布；

（4）求那些在加油站的汽车的平均逗留时间。

13.5 某无线电修理商店保证每件送到的电器在一小时内修完取货，如超过一小时则分文不取。已知该商店每修理一件平均收费10元，其成本平均每件5.50元。已知送来修理的电器按普阿松分布到达，平均每小时6件，每维修一件的时间平均为7.5分钟，服从负指数分布。试问：

（1）该商店在此条件下能否盈利；

（2）当每小时送达的电器为多少件时该商店的经营处于盈亏平衡点。

13.6 某企业有5台车运货，已知每台车每运行100小时平均需维修2次，每次需时20分钟，以上分别服从普阿松及负指数分布。求该企业全部车辆正常运

行的概率，及分别有1，2，3辆车不能正常运行的概率。

13.7 要求在某机场着陆的飞机服从普阿松分布，平均每小时18架次，每次着陆需占用基础跑道的时间为2.5分钟，服从负指数分布。试问该机场应设置多少条跑道，使要求着陆飞机需要在空中等待的概率不超过5％；求这种情况下跑道的平均利用率。

13.8 某仓库贮存的一种商品，每天的到货与出货量分别服从普阿松分布，其平均值为λ和μ，因此该系统可以近似看成为M/M/1/∞/∞的排队系统。设该仓库贮存费为每天每件c1元，一旦发生缺货时，其损失为每天每件c2元，已知c2＞c1，要求：

（1）推导每天总期望费用的公式；

（2）使总期望费用为最小的ρ＝λ/μ值。

13.9 某电话亭有一部电话，来打电话的顾客服从普阿松分布，相继两个人到达的平均时间为10分钟，通话时间服从负指数分布，平均为3分钟。求：（1）顾客到达电话亭要等待的概率；

（2）等待打电话的平均顾客数；

（3）打一次电话要等10分钟以上的概率是多少？；

（4）当一个顾客至少要等待3分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问到达速度增加到多少时，安装第二台电话机才是合理的？

（5）第二台电话机安装后，顾客的平均等待时间为多少？

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