曲线与方程(轨迹方程)

高二数学第二章曲线与方程学案

学习目标：

1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义；

2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤；

学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习难点：曲线和方程概念的理解； 学习过程：

完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义；

新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念

一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

例1、判断下列结论的正误并说明理由

（1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ；

（2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ；

（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ；

练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？

2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的 方程是0=x 吗？为什么？

3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上

例2、已知方程252

2=+by ax 的曲线经过点)3

5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。

练习：已知方程 2

2

25x y +=表示的曲线C

经过点)A m ，求m 的值。

完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤；

类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ） 例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，

且0=∙,||2||=,求椭圆的方程。

练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程；

类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系） 例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂

足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ∙=∙,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程；

**练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

**例3、线段AB 与CD 互相垂直平分，|AB|=2a,|CD|=2b,动点M 满足|MA|·|MB|=|MC|·|MD|，求动点M 的轨迹方程.

练习：已知两个定点A , B 的距离为6，点M 到A , B 的距离的平方和等于26，求点M 的轨迹方程.

类型三：定义法求轨迹方程（若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。）

例4：如图，已知圆A ：(x+2)2+y 2

=1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程.

（1）△PAB 的周长为10；

（2）圆P 过点B(2,0)且与圆A 外切(P 为动圆圆心)；

（3）圆P 与圆A 外切且与直线x=1相切（P 为动圆圆心）.

练习：如图,已知圆B ：(x+1)2+y 2=16及点A(1,0),C 为圆B 上任意一点，则线段AC 的垂直平分l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程

类型四：相关点法（动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。）

例5：设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且 MD ＝4

5PD .当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；

练习：双曲线2

219

x y -=有动点P ，F 1, F 2是曲线的两个焦点，求△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程。

课堂小结：

课堂检测：1、“点M 在曲线x y 42

=上”是“点M 的坐标满足方程x y 2-=”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2、已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，

那么动点Q 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线