分式方程解题技巧(提高)

分式方程解题技巧

例一， 一般结构的分式方程 解方程：x

x x x x ++-=-2227115 解：（分解因式以便确定最简公分母）原方程变形为：

)

1(7)1)(1(1)1(5++-+=-x x x x x x )1(7)1(5-+=+x x x

4=x

检验：把4=x 代入0)1)(1(≠-+x x x

所以4=x 是原方程的解。

例1：解方程：)

4)(1(52)3)(2(1)2)(1(1+++=+++++x x x x x x x 分析：一般解法，最简公分母为)4)(3)(2)(1(++++x x x x ，此题直接去分母较为复杂。经观察发现，左边分母两个因式的差等与分子，右边分母两个因式的和等与分子。故考虑将分式拆开。

解：原方程变形为：

4

11131212111+++=+-+++-+x x x x x x 4

132+=+-x x 2

7-=x 经检验2

7-=x 是原方程的根。 例2：解方程：

20

7245361121330163223223+++++=+++++x x x x x x x x x x 分析：经观察发现直接去分母计算量非常可观，而且分母用公式法或十字相乘法都不能分解成两个因式的积。但是，同时也发现分子的最高次项的次数都比分母的最高次项高。我们知道假分数可以转化为带分数，故考虑将假分式变为真分式。

解：原方程变形为：

20

72522134222+++++=+++++x x x x x x x x 20

725213422+++=+++x x x x x x 解得：5=x

经检验5=x 是原方程的根。

例3：解方程：02)1(2122=++-+x x x

x 分析：此题借用关系式2)1(122

2-+=+x x x x 较为简单。 解：原方程变形为：0)1

(2)1

(2=+-+x x x

x 设x

x y 1+= 则022=-y y 0=y 或2 当0=y 时，01=+x

x ，则方程无解。 当2=y 时，21=+

x x ，即0122=+-x x ，则1=x 经检验：1=x 是原方程的解。

例4：解方程：5

26423234=+-+-+x x x x 分析：根据题目特点，利用下面关系式解题较为简单， 若c c x x 11+=+（c 为常数），则X=C 或c

1。

解：原方程变形为：5

15423234+=+-+-+x x x x 则5234=-+x x 或5

1234=-+x x 解得：1=x 或11-=x

经检验：1=x 或11-=x 是原方程的解。

例5：解方程：1

6143132121+=-++++x x x x 分析：最简公分母是四个一次二项式的乘积，计算量非常大。但，观察发现左侧三个分式的分母之和恰等于右侧分式的分母。根据题目特点，利用下面关系式解题较为简单， 若c

b a

c b a ++=++1111则0))()((=+++c b c a b a 即0=+b a 或0=+c a 或0=+c b 解：∵1643322+=-++++x x x x

∴0322=+++x x 3

51-=x ∴0432=-++x x 2

12=x ∴04332=-++x x 513=

x 经检验：35

1-=x ，212=x ，5

13=x 是原方程的解。 教学小结：对于直接去分母较为复杂的而又具有特殊结构的分式方程，我们可以通过拆变分式或利用一些关系式来求解，可以达到事半功倍的解题效果。