(完整word版)山大离散练习分析

1、Solve the recurrence relation a n=a n-1+a n-2with a0=a1=1 using generating function.

2、Determine the number of the terms in the expansion of

(x1+ x1+…+ x10)20.

3、将m个无区别的球，放入n个有区别的盒子，在允许有空盒和不允许有空盒两种情况下分别讨论可能的放法数。

4、求n元集合到m元集合单射、满射、双射的个数。

5、用容斥原理求1~n中与n互素的元素个数。

6、是个群，x∈G，定义G中的运算“∆”为a∆b=a*x*b，对∀a,b ∈G，证名也是群。

证明：1）∀a,b∈G，a∆b=a*x*b∈G，运算是封闭的。

2）∀a,b,c∈G，（a∆b）∆c=（a*x*b）*x*c=a*x*（b*x*c）=a∆（b∆c），运算是可结合的。

3）∀a∈G，设E为∆的单位元，则a∆E=a*x*E=a，得E=x-1，存在单位元。

4）∀a∈G，a∆ x-1*a-1*x-1=a*x* x-1*a-1*x-1= x-1=E，

x-1*a-1*x-1∆ a = x-1*a-1*x-1* x* a=x-1=E,a的逆元为x-1*a-1*x-1，每个元素都有存在。所以也是个群

7、设是有限交换群，a,b∈G，|a|=m,|b|=n,m,n是整数，且

GCD（m,n）=1即m,n互素，证明：|ab|=mn

证明：设|ab|=k，因为(ab)mn= (ab)(ab)…(ab)=(a m)n(b n)m=e,所以k|mn, e=((ab)k)m=(ab)km=(a km)(b km)= b km, 所以n|km,由于GCD（m,n）=1，所以n|k 同理可求，所以m|k.

所以有mn|k，mn=k ,|ab|=mn

8、设是环，1是其乘法幺元，在S上定义运算和：

a⊕b＝a＋b＋1，a b＝a＋b＋a·b。

（1）证明是一个环。

（2）给出的关于运算⊕和 的单位元。

证明：（1）对任意a、b、c∈S，

则（a⊕b）⊕c＝a⊕b＋c＋1＝a＋b＋c＋1＋1，

a⊕（b⊕c）＝a＋b⊕c＋1＝a＋b＋c＋1＋1，

于是（a⊕b）⊕c＝a⊕（b⊕c），即⊕满足结合律。

a⊕b＝a＋b＋1＝b＋a＋1＝b⊕a，所以⊕是可交换的。

a⊕（-1）＝a＋（-1）＋1＝a＝（-1）⊕a，

所以-1是⊕单位元。

a⊕（-1-1-a）＝a＋（-1-1-a）＋1＝-1＝（-1-1-a）⊕a，

所以-1-1-a是a的逆元。

综上可知，是一个交换群。

（2）（a b） c＝a b＋c＋（a b）·c＝a＋b＋a·b＋c＋（a＋b＋a·b）·c ＝a＋b＋a·b＋c＋a·c＋b·c＋a·b·c

a （

b c）＝a＋b c＋a·（b c）

＝a＋b＋c＋b·c＋a·（b＋c＋b·c）

＝a＋b＋c＋b·c＋a·b＋a·c＋a·b·c

所以（a b） c＝a （b c），即 满足结合律。

又a 0＝a＋0＋a·0＝a，

0 a＝0＋a＋0·a＝a，

0 是 单位元

因而是有幺元的半群。

a （b⊕c）＝a＋b⊕c＋a·（b⊕c）

＝a ＋b ＋c ＋1＋a ·（b ＋c ＋1）＝2a ＋b ＋c ＋a ·b ＋a ·c ＋1

（a b ）⊕（a c ）＝a b ＋a c ＋1＝a ＋b ＋a ·b ＋a ＋c ＋a ·c ＋1

＝2a ＋b ＋c ＋a ·b ＋a ·c ＋1

a （

b ⊕

c ）＝（a b ）⊕（a c ），

所以 对 ⊕ 满足分配律。

从而是一个环。

9、设 G 是一个群,e 是G 的单位元,H 是G 的子群. 如下定义关系R ：

1121212,,,.a a G a a R a ea H -∀∈<>∈⇔∈ 证明R 是G 上的等价关系.

证明: 对于任意的a ∊G ，∵ aea -1=e ∊H ， ∴ ∊ R ，故R 是自反的。 对于任意的a ，b ∊G ，若∊ R ，

∴ aeb -1∊H ，∴(aeb -1)-1=(ab -1)-1=ba -1∊H ，

∴ ∊ R ，故R 是对称的。

对于任意的a,b,c ∊G ，若 ∊ R ， ∊ R ， ∴ aeb -1∊H 且 bec -1∊H ，

∴ (aeb -1) (bec -1)=ac -1∊H ， ∴ ∊ R ，故R 是传递的

10、是个群，u ∈G ，定义G 中的运算“∆”为a ∆b=a*u -1*b ，对任意a,b ∈G ，求证：也是群。

证明：1）∀a,b ∈G ，a ∆b=a*u -1*b ∈G ，运算是封闭的。

2）∀a,b,c ∈G ，（a ∆b ）∆c=（a*u -1*b ）*u -1*c=a*u -1*（b*u -1*c ）=a ∆（b ∆c ），运算是可结合的。

3）∀a ∈G ，设E 为∆的单位元，则a ∆E=a*u -1*E=a ，得E=u ，存在单位元。

4）∀a ∈G ，a ∆x=a*u -1*x=E ，x=u*a -1*u ，则x ∆a=u*a -1*u*u -1*a=u=E ，每个元素都有逆元。 所以也是个群

11、证明有限群中阶（周期）大于2的元素的个数必定是偶数。 证明x 与其逆元x-1的周期相同，又当x 的周期大于2时，x ≠x-1。定义映射f: x →x-1,是群中的双射函数，所以阶大于2的元素成对出现（x 与其逆元x-1是一对），故其个数必定是偶数。

12、 证明n 阶循环群的子群的个数恰为 n 的正因子数。

证明：对n 的每一正因子d ，令k=d

n ,b=a k , H={e,b,b 2,…,b d-1}。 因为|a|=n,所以b d =(a k )d =a kd =a n =e 且|b|=d 。