球函数 数学物理方法
第10章球函数
(2l 2)!
(2)(2l 1) 2l (l!)2 (1) 2l (l 1)!(l 2)!
ak
(k 2)(k 1) (k l)(l
(2l 2)! (l 1)!(l
2)!
al
(2l)! 2l (l!)2
l 为最高项, 设
al 4
(l 2)(l (4)(2l
勒让德方程的级数解
a2
l(l 1) 2 1
a0
y(x) ak xk k 0
a3
[l(l
1) 32
2]
a1
ak 2
l(l 1) k(k 1) (k 2)(k 1)
ak
d [(1 x2 ) dy] l(l 1) y 0
dx
dx
勒让德方程
y(x) ak xk k 0
勒让德方程的级数解
ak 2
2)!
(1)n1
(4n 1)(2n 2)! (n 1)!(n 1)!22n
1 f0 2
f0
1 2
f2n
(1)n1
(4n 1)(2n 2)! (n 1)!(n 1)!22n
x
1 2
P0 (x)
(1)n1
n 1
(4n 1)(2n 2)! (n 1)!(n 1)!22n P2n (x)
(七）、勒让德多项式的母函数
l
l 1
l l
1 2
1 2l
1 (x 1)0(x 1)2l dx
1
2 2l 1
Nl2
2 2l 1
2 Nl 2l 1 (l 0,1,2, )
(六）、广义Fourier级数
f (x) fl Pl (x)
l0
11
系数
湘潭大学数学物理方法课件之101轴对称球函数
(l 2)(l 3) (2 l 4)! 2 al 4 al 2 (1) (4)(2l 3) 2!2l (l 2)!(l 4)! (l 4)(l 5) (2l 6)! 3 al 6 al 4 (1) (6)(2l 5) 3!2l (l 3)!(l 6)!
(2l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0 中 k l / 2 n 的那一项，所以
[ l / 2] k
n
(2n)! (2n)! n n (2n 1)!! P2 n (0) (1) n (1) (1) n 2 2 n !2 n ! [(2n)!!] (2n)!!
数学物理方法
将多项式乘以适当的系数，称为 l 阶勒让德多项式，记作 Pl ( x) 。由于 m 0 时 ( ) 常数，是轴对称的。轴对称 球函数 Y ( , ) 简化为 P l ( x) 。 下面具体写出勒让德多项式。通常约定，用适当的常数乘 以本征函数，使最高次幂项 xl 的系数
dl 1 ( x 2 1)l d l 1 ( x 2 1)l dx l 1 1 dxl 1 dx
1
l
一次一次分部积分共 l 次，即得
(1) N 2l 2 (l !)2
2 l
d ( x 1) 1 ( x 1) dx2l dx
1 2l 2 l 2 l
注意到 ( x2 1)l 是 2l 次多项式，它的 2l 阶导数也就是最
l/2 1 π 1 π 2 2 cos sin d d 1 π 0 π 0
数学物理方法
*（二）第二类勒让德函数 略。
（三）勒让德多项式的正交关系 作为施图姆－刘维尔本征值问题的正交关系的特例，不同 阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上正交。
数学物理方法第十章球函数
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
u|raf()
u0
(r2R')' l(l1)R0
(sin') ' l(l1)sin0 (0),()有界
xcos
r2R"2rR 'l(l1)R0
[(1x2)'] ' l(l1)0 (1)有界
RAlrl Blrl1
Pl (x)
f() l 0Rl(a)P l(co)s u l 0Rl(r)Pl(co)s
o2s
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 2 x件 l 0B 得 lal 1 ： P l(x)
根据B 完 k 2 k 2 备 1 a k 1 性 1 1A 2 P x k ： (x )d x
0 N k 2 r 2 k
1r n ( 1 ) n r n n 1 n 1
2r 2 k 2 k 1
Nk2
2 2k 1
勒让德多项式的完备性
完备性
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
f(x) l0fl P l(x)
广义傅立叶系数为
1 f(x)P k(x)d x
fl l,kN k 2
u l0Blrl1Pl(cos)
哈尔滨工程大学《数学物理方法》2020考研专业课复试大纲
2020年考试内容范围说明
考试科目名称:数学物理方法
考查要点:
一、数学物理方程的定解问题
1．要求考生熟悉数学物理方程定解问题的相关概念，掌握数学物理方程的导出过程；
2．要求考生熟练运用达朗贝尔公式求解相关的定解问题。
二、分离变数法
1．要求考生熟练掌握用分离变数法求解齐次方程；
2．要求考生掌握用傅立叶级数法和冲量定理法求解非齐次振动方程和输运方程；
3．要求考生熟练掌握非齐次边界条件的处理方法；掌握用特解法求解泊松方程；
4．要求考生熟练掌握运用叠加原理处理非齐次方程，非齐次边界条件的定解问题。
三、球函数
1．要求考生熟练掌握勒让德多项式及勒让德函数的性质，掌握任意函数的勒让德多项式展开；2．要求考生熟练掌握拉普拉斯方程的轴对称定解问题；
3．要求考生掌握一般的球坐标系下的拉普拉斯方程的定解问题；
四、柱函数
1．要求考生熟练掌握三类柱函数的相关性质，递推公式及积分运算；
2．要求考生熟练掌握用三类柱函数表示贝塞尔方程的通解形式；
3．要求考生掌握柱坐标系下用贝塞尔函数求解定解问题。
五、格林函数解的积分公式
1．要求考生掌握用格林函数表示泊松方程及其边界条件下的通解形式；
2．要求考生掌握用电像法求解格林函数。
考试总分：200分（复试）考试时间：2小时考试方式：笔试
考试题型：计算题（120分）
简答题（80分）。
大学物理-球函数
u12ur 10有0限,
(0 r a) u1 ra u0
(1) (2)
2u2 0
(a r )
(3)
u2
ra u0 ,
lim
r
u2
E0 r
cos
(4)
(2) 对称性及通解形式。本题有轴对称性，因为接地 导体为等势体，故球内、外电势可分别表示为
(5)
(3) 定系数。将式 (5) 的 u2 代入式 (4) 得到
函数 Ylm ( , ) 进行展开
(8-3-19)
其中展开系数 Clm 可以利用 Ylm ( , ) 的正交归一性求得
(8-3-20)
d
(d = sindd：立体角元)
(四) 球坐标系下拉普拉斯方程的通解 球坐标系下的拉普拉斯方程为：
分离变量，令 其中： 则，特解为
由叠加原理，得到通解： 通解的另一种形式：
Yl m (0,)
(l
(l
m )!(2l
m )!4
1)
Pl
m
(1)ei
m
由 (8-2-7) 式知，当 m' = 0 时，Pl m (1) 0，而 Pl (1) = 1。故
Yl m (0,)
(2l
4
1)
m0
将上式代入 (8-3-24) 得到
B0
4
2l 1Yl*m源自(',')
Am
4
2l
一方面，如果以 k' 为轴建立球坐标系，则 k'' 的极角和方位
角分别用 , 表示。如前图所示 (图中未画出 角)。
以 , 和 '' , '' 为变量的球函数是 = l (l + 1) 的方
第十章 球函数
2 lm
故物理上取归一化球函数
1 m Ylm (θ , ) = Pl (cosθ )eim Nlm
place方程的解
指数形式: u (r , θ , ) = ∑ ∑ A
l l=0 m =l ∞
rl + lm
1 l k 2 l lk 1
∞ l =1 l l
2l + 1 fl = 2
1
∫ f (x )P (x )dx , (8 )
l
1
二.Laplace方程在轴对称时的通解 在轴对称时物理量绕对称轴转动不变,在球坐 标下Laplace方程: △u= 0的通解为
Bl l u (r , θ ) = ∑ Al r + l +1 Pl (cos θ ), (1) r l =1
∞
(1)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有 两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0, ∞ Bl = 0, u = ∑ Al r l Pl (cos θ ), (2 ) u有限, l =0 而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域 两系数由球面的边界条件与r→∞, 两个条件 确定.
Pl ( x ) =
l l 1 或 2 2
(2l 2n )! l 2 n ∑ ( 1) n!2l (l n )!(l 2n )! x .(1) n =0
n
前几项为
P0(x)= 1, P1(x) =x=cosθ, P2(x)=(3x2-1)/2, ….. 一般勒让德多项式的幂次取决L 当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0
=
∑
∞
北京大学数学物理方程讲义第十六章：球函数
f (x) = clPl(x)
l=0
当然, 展开系数由 Legendre 多项式的正交性得到
1
cl Pl(x) 2 = f (x)Pl(x)dx
−1
2l + 1 1
cl = 2
f (x)Pl(x)dx
−1
Example 16.1 将函数 f (x) = x3 按 Legendre 多项式展开.
Solution x3 为3次多项式, 而
方程+齐次边界条件构成本征值问题
d (1 − x2) dy + ν(ν + 1)y = 0
dx
dx
y(±1)有界
3
方程通解为 y(x) = APν(x) + BQν(x)
y(1) 有界, 而 Qν(x) 含对数项, ln(x − 1) 在 x = 1 无界, 所以 B = 0,
y(−1) = APν(−1)
(4)
即 θ = 0, π 不是方程解的奇点.
1
方程(3)为 Legendre 方程. 作变换
x = cos θ y(x) = Θ(θ)
Legendre 方程改写为
d (1 − x2) dy + λy = 0
(5)
dx
dx
16.1 Legendre 方程的解
令 λ = ν(ν + 1), 展开
(1
∼
(n + 1)2n+1e−(2n+2)
e
ν
ν+n+1/2
ν + 1 n−ν
=
1+
1−
n+1
n+1
n+1
→ e eν e−ν−1 = 1
数学物理方法第十章2010
习题9.3（ ） 习题 （5）P261 点邻域内， 在 x =1点邻域内，两个线性无关解 点邻域内 第一类勒让德函数 Pv ( x ) = ∑
n=0 ∞
d2 y dy (1 − x ) 2 − 2 x + v (v + 1) y = 0 dx dx y (-1)有限， y (1)有限
2
1 Γ(v + n + 1) x − 1 n ( ) 2 (n !) Γ(v − n + 1) 2
(sin θ Θ ') '+ l ( l + 1) sin θ Θ = 0 (r R ')'− l (l + 1) R = 0 Θ (0), Θ (π )有 界
2
x = cos θ
[(1 − x 2 ) Θ ']' + l ( l + 1) Θ = 0 Θ ( ± 1) 有 界
(35 cos 4θ + 20 cos 2θ + 9)
P2 n +1 (0) = 0
P2 n (0) = ( −1)n
每项总含 每项总含 x
( 2n)! n ! 22 n n !
唯一不含 x 的项 l = 2k
5
P0 ( x ) = 1
勒让德多项式的图象
P1 ( x ) = x P2 ( x ) = 1 (3 x 2 − 1) 2
1
本征值 v =0, 1, 2, 3, …
ρ ( x) = 1
−1
∫ P ( x )P ( x )dx = 0
k l
1
k≠l
1 2 dl d l −1 2 2 l d [ l −1 ( x − 1)l ] N l2 = ∫ [Pl ( x )]2 dx = ( l ) ∫ dx l ( x − 1) dx dx 2 l ! −1 dx −1
数学物理方法课件 第十二章-球函数 -2
§12.3 勒让德多项式的应用举例勒让德多项式在物理学领域中的应用：电磁学：计算静电场分布；热学：计算温度场分布；量子力学：计算粒子的波函数；量子力学计算粒子的波函数原子分子物理：计算原子分子的碰撞截面；等离子体物理：计算电子的能量分布函数；等离子体物理计算电子的能量分布函数核物理：计算中子输运；……如下仅讨论勒让德函数在计算静电场分布中的应用。
思考题：一个半径为r=a 的导体球壳，球面上的电势分布：0 0/2(,)u u a θπθ<<⎧=⎨−求球壳内任一点的电势分布。
0 /2u πθπ<<⎩例3 设一个半径为a 的均匀介质球，其介电常数为ε 。
在离球心为 b 的地方放置个电量为求在介质球内外的电势分布方放置一个电量为q 的点电荷( b>a )。
求在介质球内外的电势分布。
rθ分析：（1）取介质球的球心为坐标原点，z 轴通过点电荷所在的位置见右图显然该问ozbq a通过点电荷所在的位置，见右图。
显然该问题具有轴对称性，与方位角度无关，即具有轴对称性。
（2）点电荷的存在将在球面上产生极化电荷，但这种极化电荷只存在球面上，因此极化电荷产生的电势满足拉普拉斯方程：)()()∞⎧2(,)0p u r θ∇=01(,(cos l p l l l l u r A r P r a θθ=∞−−=<⎪⎪⎨⎪=∑0(,)(cos )()p l ll u r D r P r a θθ=>⎪⎩∑1. 球函数的定义：实数形式的球函数：⎧cos (,)(cos ) (0,1,2,3,...,;0,1,2,3,...)sin mml l m Y P m l l m ϕθϕθϕ⎫===⎨⎬⎩⎭记号{}表示列举的函数式是线性独立的，可以任取其一。
记号{ } 表示列举的函数式是线性独立的，可以任取其。
||(,)(cos ) (0,1,2,3,...,;0,1,2,3,...)m m im l l Y P e m l l ϕθϕθ==±±±±=复数形式的球函数：可见：对于给定的l 值，共有2l+1个线性无关的球函数。
数理方程总结(球函数)
球函数Legendre 多项式Helmholtz 方程球坐标下分离变量得到连带Legendre 方程21d d sin 0sin d d sin μθλθθθθΘ⎛⎫⎡⎤+-Θ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦作变换cos x θ=，()y θ=Θ改写为()22101d dy x y dx dx x μλ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦讨论0μ=情况：1. 三个正则奇点：1,z =±∞，其余全平面解析 z=0邻域内两个线性无关解()2210122212!22n n n n n w z n νννν∞=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑21n w +n 1，-1对数发散：21ln 1z-，在设()()()11nn n w z z c z ρ∞==--∑。
得到指标方程解120ρρ==得到两个线性无关解()()()()2011112!nn n z P z n n ννν∞=Γ++-⎛⎫= ⎪Γ-+⎝⎭∑()()()()()()2211ln 22121111111 (12)2!z Q z P z z n z n n n ννγψννν+⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦Γ++-⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪Γ-+⎝⎭⎝⎭∑2. 方程条件改变球内区域Laplace 方程轴对称边值问题20|u u f ∇==∑其中∑代表球面上的变点i ii令最下两个构成本征值问题，作变换()cos ,x y θθ==Θ，()1λνν=+变为同之前的两个结果，可以得到在0或1的邻域出发求解由于0出的解对数发散，要求ν取特殊值在1邻域得到()()()12y x c P x c Q x νν=+由于Q 发散，其系数为0，令1c 为1。
P 在1收敛，在-1对数发散3. ✧ ()11l P =✧2()()33532P x x x =- ✧ ✧✧✧✧ 由此得到的Legendre 多项式在0点的值：()()()()222!02!ll ll P l =-()2100l P +=✧ Legendre 多项式为l 次多项式，最高项系数为()22!2!l l l c l =4. Legendre 多项式的正交性Legendre 多项式为前述本征值问题的解 作为本征函数有正交性：()()110lkP x P x dx -=⎰证1：由本征值问题直接证明（仿照14.1，写出两个微分方程l 和k ，交叉相乘相减，分部积分得到相似的结果，由边界条件得到为0） 证2：求解积分()11k l x P x dx -=⎰当k l ±()(()111111121112!112!l kk l l l l l k l l d x P x dx x l dxd x x l dx ------=⎡=--⎢⎢⎣⎰⎰⎰前一项为0，继续分部积分l()12211ln x x dx --⎰ ()()()p q p q ΓΓΓ+得到结果为()!221!n l n ++5. Legendre 多项式的模方由之前的结论得到乘方求积分后，低次项全部为0，得到()()()11212!!!222!21!21l l l l l l l l c x P x dx l l l +-==++⎰6. Legendre 多项式的完备性任意在区间[-1,1]分段连续的函数f(x),在平均收敛的意义下，可以展开为级数7. Legendre 多项式生成函数将生成函数函数在0()0l l l P x t ∞==∑由此得到多项式递推关系 8. Legendre 多项式递推关系 ✧ ()()()1121()1l l l l xP x l P x lP +-+=++✧()()()()11'2''l l l l P x P x xP x P x +-=-+Laplace 方程在球坐标下求解1. 一般的Laplace 方程设在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球，球的半径为a 。
《数学物理方法》课程十六
Y (θ ,)[Yl (θ ,)] sinθdθd = 0 (n ≠ l, m ≠ k) ∫∫
m n k * s
4π ( n + m)! ∫∫ [Y (θ , )] sin θdθd = 2n + 1 (n m)! s
m n 2
3,展开定理 , 任一函数f , 可在球面上(0≤θ≤π,0≤ 任一函数 (θ, )可在球面上 可在球面上 , ≤2π)按球函数展开: 按球函数展开: 按球函数展开
第十二章 贝塞耳函数 柱函数 第一节 贝塞尔微分方程及贝塞尔函数 一,贝塞尔微分方程的导出
采用极坐标:
1,在柱坐标下求解拉普拉斯方程 考察三维拉普拉斯方程 2 2 2 u u u u = 2 + 2 + 2 = 0 x y z x = r cos y = r sin z=z 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ≤ 2π , ∞ < z < +∞
∞
n =0
∞
m =0
∑r
n
1
m m ( An cos m + Bn sin m )Pnm (cosθ ) n +1
1 m m ( An cos m + Bn sin m )Pnm (cosθ ) = f (θ , ) ∑ m=0 an+1 ∑ n =0 m m n+1 2n +1 (n m)! ∴An = a ∫∫ f (θ,)Pn (cosθ ) cosm sinθdθd 2πδm (n + m)! s m m n+1 2n +1 (n m)! Bn = a ∫∫ f (θ,)Pn (cosθ )sinm sinθdθd 2π (n + m)! s
数学物理方法课件-11 球函数
2
2
又
f ( ,) Am ( ) cosm Bm ( ) sin m m＝0
Am
(
)
1
m
2
f ( ,) cosmd
0
Bm
(
)
1
2 0
f ( ,) sin md
易判断，Bm ( ) 0，且m 0或2.
故
f ( ,) Am ( ) cosm
m0，2
比较知
m
0时，A0 (
)
3 2
sin 2
Pl
(x)
1
2
2 3
xi
2
l
1 x2 cos d ( )
1 2
3
2
xi
2
l
1 x2 cos d
1
2
0
2
0
3
2
1
2
0
1
2
0
2
1
3 2
2
1
xi
1 x2 cos
l
d
1
l
2 x i 1 x2 cos d
2 0
2 0
1
l
2 x i 1 x2 cos d ( )
x2)
(m
2) x 2
v
代入连带勒让德方程得
(1
x
2
)
m 2
1
v
2mx(1
m
x2) 2
v
m(1
x
2
)
m 2
1
(1
x2)
(m
2) x 2
v
2 x(1
x2
)
m 2
v
数学物理方法 第9章 球函数
2
2 m 2 cos l ( l 1) 2 dx sin
d
0
(1 x )
2
d
2
dx
2
2 m 2x l ( l 1) 2 dx 1 x
d
0
第四步：欧拉方程
r
2
d R dr
2
2
2r
dR dr
2．本征值与本征解
仅 l 0 , 1, 2 当时，本征方程才存在 内有限的解，记为 Pl ( x )
[ 1, 1]
l 阶勒让
德多项式
Pl ( x )
l 2
( 1) ( 2 l 2 k ) !
k
k 0
2 k ! (l k ) ! (l 2 k ) !
l
x
l2k
sin
3
d
2
dx
1
2
2 sin cos
d dx
0
2 2 d d m 3 sin 2 sin cos l ( l 1) 2 2 sin dx dx sin
sin
2
d
2
dx
2
2 d d m sin l ( l 1) 2 sin d d sin
1
0
第三步： 满足的方程 令 x cos
d d dx d d dx sin d dx
d d d d 2 sin sin d d d dx
2
在
x0 0
的领域内的解为
第十六章 球函数
奇点： z0
p( z ) q( z )
2z 1 z2
1 z t
p(1 t ) q(1 t )
1 2t 1 1 t 2 t 1 t 2
2
1 z
2
1 z
2
1 1 t
2
tHale Waihona Puke 2t2 1奇点： t0 0
1 1 2t 2 2t 2 2 p(1 t ) 2 2 2 2 t t 1 t 1 t 1 t2 1
数学物理方法——
第十六章
球函数
连带勒让德方程 勒让德方程
1 d dQ sinq 2 Q 0 sinq dq dq sin q 1 d dQ sinq Q 0 sinq dq dq
d d sinq dq dx dQ dy dy dx dy sinq dq dq dx dq dx
作变换：x = cos q ， y(x) = Q (q)
dx sinqdq ,
代入方程可得：
1 d dy y0 sinq sinq ( sinq ) 2 sinq dx dx 1 x 1 d dy sinq sinq ( sinq ) y 0 sinq dx dx
正则奇点
t
q(1 t ) 2
1 t
2
t 2
t2 1
t2 1
勒让德方程有三个正则奇点： z0 1,
以常点为展开中心的级数解 z = 0 是常点，解在 z 1 单位圆内解析，可展开为泰勒级数。
数学物理方法--球函数
l
再求导L次可得
积分表示
1 1 P ( x) l 2i 2l
( z 1) dz l 1 ( z x)
2 l
5
常用的勒让德多项式
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos P2 ( x ) 1 (3 x 2 1) 1 (3 cos 2 1) 2 4
k 0
( 1) k (2l 2k )! xl 2 k 2l k !(l k )!(l 2k )!
微分表示
1 d 2 l P ( x) l ( x 1) l l 2 l! dx
展开
1 1 l l! 2 l ( x 1) l ( x 2 ) ( l k ) ( 1) k 2l l ! 2 l ! k 0 (l k )! k !
2
2 (l m)! (N ) 正交性公式 2l 1 (l m)!
m相同的连带勒让德函数是完备的 模
f ( x) f l P m ( x) l
l 0
完备性
1 fl ( Nlm ) 2
1
1
f ( x) P ( x)dx l
m
19
一. 球函数
10.3
球函数
2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r sin r sin
完备性
f ( , ) [ Alm cos m Blm sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
例1. 用球函数把下列函数展开 1.sin cos , 2.sin sin 例2. 用球函数把 3sin 2 cos 2 1展开
第一章 球函数章
对比级数中 Pl (cos ) 项的系数有
1 A0 u 0 3
2 A r u0 3
2 2 0
Al 0
(l 0, 2)
1 2 r 所以 u (r , , ) u 0 P0 (cos ) u 0 3 3 r0
P2 (cos )
Y ( , ) ( )( )
2 ( ) m ( ) 0
满足自然周期条件: ( 2 ) ( ) 即 u(r , , 2 ) u(r, , ) 的解为
( ) A cosm B sin m
m 0, 1, 2,
例2：在球 r r0 的内部求解 u 0 ， 使满足边界条件 u r r u 0 cos 2 。
0
解： 定解条件与 无关，本问题是轴对称问题。
u (r , , ) ( Al r Bl
l l 0
1 r
l 1
) Pl (cos )
r r0
u r 0 有限
k k 2 l k C ( 1) ( x ) l k 0 l
1 dl l 2 l! dxl
l 2
l (1) k l! 2l 2k (1) k d l 2l 2 k x l x l k 0 k!(l k )! k 0 2 k!(l k )! dx l
(1) k l (2l 2k )( 2l 2k 1) (l 2k 1) x l 2 k k 0 2 k!(l k!)
u(r, , ) R(r )Y ( , )
d R dR r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
2 2
欧拉方程
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第十章
球函数
1
000)(',)(0)()()(')()(''c z w c z w z w z q z w z p z w 级数解法
一、二阶常微分方程的二阶常微分方程：
数。
定解条件，逐个确定系幂级数，并代入方程和的为中心，带有待定系数表示为以级数解法：将方程的解0z ,
sin cos 0'"x B x A y y y 的通解为例如：都可展为幂级数。
、处，在x x x sin cos 0 、方程的常点和奇点
1为方程的常点。
点解析，则在和）常点：如果（00)()(1z z z q z p 为方程的奇点。
的非解析点，则和是）奇点：如果（00)()(2z z q z p z 否则，为非正则奇点。
为正则奇点；的二阶极点，则的一阶极点，最多是若00)()(z z q z p z
00)
()(k k
k z z c z w 条件确定系数。
递推关系，再根据定解为零，找出系数之间的，令合并后各系数分别
代入方程，合并同幂项将
00)()(k k
k z z c z w 法
、常点邻域内的级数解2域内单值解析。
件的解存在，并在此区这个区域中满足定解条内单值解析，则方程在在、）定理：若（R z z z q z p ||)()(10）确定系数
（2
)
0()ln()()
()
()()
0()
()
()(00,10
02000
01212
1
b z z z Aw z z b z z z w a z z a z z z w n s s k k
k
s k k
k
s 数解
、正则奇点邻域中的级3两个线性无关解为：
002
010001)
()()()()
()()()(k k
k k k
k z z q z q z z z q z z p z p z z z p
0)
()(k s
k k z z c z w 设解的形式为：2
0)
(0)()()(')()(''z z z w z q z w z p z w 两边方程0
)()()()(')()()('')(2
02020 z w z q z z z w z p z z z w z z 0
)()()(')()()('')(1102
0 z w z q z w z p z z z w z z
)
()
()()()()
()1)((0
0000
000
k s
k k
k k
k k s k k k k
k k s
k k
z z c z z q z z c s k z z p z z c s k s k 零，可得判定方程：令最低次幂项的系数为0
)1(00 q sp s s 是较小的根。
其中是判定方程的两个根，、221s s s 。
；同理可得到从而求得可得到系数递推公式，，，令各项系数为代入方程，合并同幂项、、将)()(0)()()(211z w z w z w z q z p 0
)()()(')()()('')(1102
0 z w z q z w z p z z z w z z
0)
()(k s
k k z z c z w 设解的形式为：
02010001)()()()()
()()()(k k
k k k
k z z q z q z z z q z z p z p z z z p
)
1(02)1)((0
k s
k k k s
k k
z
c z
c s k s k ）式可得
代入（将11s
2
0]2)1)(2[(k k k
z
c k k 0)3( k c k k )
0(0 k c k 2
01)(z c z w 整数
321 s s )
0(ln )()(010
22
b z z Aw z
b z
z w k k
k s )
0(ln 02
1
-
b z Az z
b k k k
2
11
)(k k k k k
k
s z
c z
c z
z w
2
)3(k k k z
c k k
2")(2
2 w w z z w 代入方程将)
0(ln )(020
1
-2
b z Az z
b z w k k k 0
ln 22ln 23)2)(1(2
1
-2
2
1
-
z Az z
b z Az Az z
b k k k k k k k k
]2)2)(1[(30
1
-2
k k k z
b k k Az 项系数和为零2
z 003 A A 项系数和为零1
k z 0)3( k b k k )
3,0(0 k k b k 2
3-102)(z
b z b z w 0
)3(30
1
-2
k k k z
b k k Az
m
l im m l
l m l l
m l m
l m lm l e
P
r
b r a r R r u ,|
|)
1(,,,)(cos )()()(),,(
),(2
r u
l
l
l l l
l P r
b r a r u )
(cos ),()
1(方程的通解
六、Laplace )
(cos ~)(,1)(,0 l P m 轴对称问题，
,
0 m l 球对称问题
1
)( br
a r u。