高中数学竞赛专题讲座---数列与和式不等式(1)

数列与和式不等式

数列与和式不等式的解题方法需要同学们深入了解，在解题过程中，往往要利用一些恒等式、变换法等方法对数列和式进行变形，并结合数列求和等相关知识，灵活运用各种技巧．尤其当涉及到整数命题的证明，有时候也可以考虑用归纳法进行证明，当然在证明过程中，解题方法并非千篇一律，而是灵活多变，根据具体题意可以寻找恰当的解法，二者之间的紧密结合，也在竞赛中作为考察学生的重要题型之一，下面通过例题简要介绍几种解题方法与技巧：

例1 已知i x R ∈(1,2,

,,2)i n n =≥，满足1

1

||1,0n n

i i i i x x ====∑∑．求证：

1

1122n

i i x i n =≤-∑ 证：设

1

1

,n

n

i

i i i x x A B a b i

===+=+∑∑

，其中,A a 为正项之和，,B b 为负项之和，由题意知， 0,1A B A B +=-=，得12A B =-=

,因为,A B a A B b n n ≤≤≤≤，所以A B B a b A n n

+≤+≤+, 即11111()2222n i i x n i n =--≤≤-∑，也就是11122n

i i x i

n =≤-∑ 说明：本题通过设元，将数列拆分成正负两部分，然后运用不等式相关知识，很自然过渡到绝对值不等式．

例2 设1112

n a n =+

++

，*n N ∈，求证：对2n ≥，有2

322()23

n

n a a a a n

>+++

． 证：

22

221

2221111111

1

(1)(1)2(1)22

12

1

1211

()2.n n n n a a n n n n n a a n n n n n

--=+++-+++

=+⋅+++

--=+-=⋅-

故22

3

21222

111

2(

)()23

23

n n a a a a a n n -=+++

-+++

.所以 2

3322222332211

1

111

2(

)(1)2()(1)

2323

231223

(1)1

2()2().2323n n n n n a a a a a a a n n n n n

a a a a a a n n n

=++++----

>+++

+----⨯⨯-=++++>++

+ 说明：本题若通过n a 表达式来证明将非常复杂，可以考虑通过建立递推关系，使问题很容易得到解决．

例3 无穷正实数列{}n x 有以下性质：011,(0)i i x x x i +=≤≥

(1) 试证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个1n ≥，使下式成立222

01112 3.999n

n

x x x x x x -++

+≥ (2) 寻找这样一个数列，使得下列不等式22

2

01112

4n

n

x x x x x x -++

+<对任一n 成立. 证：（1）

3

2

2

22222222

22

2

010210301111112

121122121111

1

221124

222

2

2313

1

2122

2

.

n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x ----------++++++-

---+++≥++++≥++++≥+++

++≥≥+≥=

2

122

lim 2

4n n --

→∞

=，因此必存在足够大的n 使得222

01112

3.999n

n x x x x x x -++

+≥. （2）取无穷递缩等比数列12n

n x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭，2

22201112

112142

2n n n x x x x x x --⎛⎫

++

+=++++< ⎪⎝⎭

.

( 0,1,2,

n =)

说明：该题用到了数列极限的思想，运用放缩法，通过步步缩小，得到新数列之和恒比一极限为4的数列大，从而得证．

例4 设12,,

a a 是正实数列，且对所有,1,2,

i j =，满足i j i j a a a +≤+．求证：对于正整数n ，有

3

2123

n

n a a a a a n

+

+++

≥ 证：记12,1,2,

,i n s a a a i n =++

+=，约定00s =，则112()()i i i s a a a a =++

++1i ia +≥

1

1111111

111111111111()()12211111

1.2212n

n n n i i i i i n n

i i i i n n

i i n n i i a s s ia s s s s i n i i n i i n a a s s s i n i n --+====-+==-∴==-+≥+-+++=+⋅+=⋅++∑∑∑∑∑∑

11

22211

()()2n

i n n n n n n n i a n n s s a a a a a i n n n n

-=-+∴≥=+≥+=>∑

,原不等式成立． 方法二：对n 用数学归纳法．

当1n =时，11a a ≥，不等式显然成立．

假设当1,2,

,1n k =-时不等式成立，即有11

2212

112

21k k a a a a a a a a a k --≥⎧⎪

⎪+≥⎪⎨

⎪⎪+++

≥⎪-⎩ 相加得1

2

1121(1)(2)

((1))

2

1

k k a a k a k k k a a a k ---+-++--≥+++-，即

1

21121112211()2()()()()2

1

k k k k k k k a a k a a a a a a a a a a ka a k -----+

++

≥+++=++++++≥--

整理得212k k a a

a a k +++≥，得原不等式成立．

说明：本题在证法1中采用了Abel 变换法，将和式进行转化，得到需要的形式，然后加以证明．另