有理函数的积分积分表的使用

一、 有理函数的积分
在有理分式中，n<m时，称为真分式；n≥m时，称为 假分式.
利用多项式除法，可以把任意一个假分式化为一个有理 整式和一个真分式之和.
有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.
一、 有理函数的积分
1. 最简分式的积分
统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数； A,M,N,a,p,q均为常数，且p2－4q<0.
有理函数的积分积 分表的使用
有理函数的积分积分表的使用
本节将介绍一种比较简单的特殊 类型函数的不定积分——有理函数的 积分，以及积分表的使用.
一、 有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实 数，并且a0≠0,b0≠0.
三、 积分表的使用
实际应用中常常利用积分表(见附录)来计算不定积分.求不定 积分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过少量 的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
三、 积分表的使用
该不定积分不能在积分表中直接査出，需先进行变量代 换.令u=数的积分
2. 有理分式化为最简分式的和
一、 有理函数的积分
对式(5-18) (1)若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，则分解后含有下列k 个最简分式之和：
其中A1,A2,…,Ak都是常数. (2)若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－ 4q<0，则分解后含有下列k个最简分式之和：
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
【例55】
二、 可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
求简单无理函数的积分，其基本思 想是利用适当的变换将其有理化，转化 为有理函数的积分.下面通过例子来说明.
二、 可化为有理函数的积分
【例57】
二、 可化为有理函数的积分
下面先讨论这四类最简分式的不定积分. 前两类最简分式的不定积分可以由基本积分公式直接得到.
一、 有理函数的积分
一、 有理函数的积分
综上所述，最简分式的不定积分都 能被求出，且原函数都是初等函数.根据 代数学的有关定理可知，任何真分式都 可以分解为上述四类最简分式的和，因 此，有理函数的原函数都是初等函数.
其中Mi,Ni(i=1,2,…,k)都是常数.
一、 有理函数的积分
(5-19) (5-20)
一、 有理函数的积分
第二种方法在恒等式(5-20)中，代入特殊的x值，从而求出待定的 常数.在式(5-20)中，令x=2，得A=－5;令x=3，得B=6.
(5-21)
一、 有理函数的积分
3. 有理函数积分举例 【例53】
一、 有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
1. 三角函数有理式的积分
由sinx，cos x和常数经过有限次四则运算构成 的函数称为三角有理函数，记为R(sin x, cosx).
三角函数的积分比较灵活，方法很多.在换元积 分法和分部积分法中介绍过一些方法.这里主要介绍 三角函数有理式的积分方法，其基本思想是通过适 当的变换，将三角有理函数化为有理函数的积分.
【例58】
三、 积分表的使用
本章介绍了不定积分的概念及计算方法.必须指出的是：初等 函数在它的定义区间上不定积分一定存在，但不定积分存在与不定 积分能否用初等函数表示出来不是一回事.事实上，有很多初等函数， 它们的不定积分是存在的，但它们的不定积分却无法用初等函数表
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的区别.求 一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做，而求一个函数 的不定积分却没有统一的规则可循，需要具体问题具体分析，灵活 应用各类积分方法和技巧.