从三角函数看高三数学的“二轮复习”
三角函数：三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习
(4)对称轴：ωx + =________.
(5)对称中心：ωx + =________.
试卷讲评课件
(6)值域：若已知三角函数y = Asin ωx + + B，且x ∈ [m, n]
①若ωx +
π
可以取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则Asin ωx + + B的最大
值为________，最小值为________；
2
2
A.1
B.2
= f x 的图象与直线
C.3
D.4
π
6
试卷讲评课件
例10.( ⋅辽宁·二模)已知函数f x = sin2x + 2 3cos2 x − 3，则下
列说法正确的是(
)
A.函数f x 的最小正周期为π
B.函数f x
π 3π
在区间[ , ]上单调递减
6 4
C.将函数f x
π
的图象向右平移 个单位长度，得到函数y
π
是y
6
π
,0
3
对称
上单调递增
= f x 图象的一条对称轴
)
试卷讲评课件
例12.( ⋅河北沧州·一模)已知函数f x = sin 2x +
且f x = f
2π
3
函数，则(
)
A. =
≤
π
2
，
− x ，若函数f x 向右平移a a＞0 个单位长度后为偶
π
−
6
B.函数f x 在区间
π
C.a的最小值为
6
象
高三数学第二轮专题复习(4)三角函数
高三数学第二轮专题复习系列(4)三角函数一、本章知识结构：二、高考要求1.理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2.掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
4.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A 、ω、 的物理意义。
5. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示角。
三、热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。
3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议应用同角三角函数的基本关任意角的概念 任意角的三角诱导公式 三角函数的图象与计算与化简 证明恒等式 已知三角函数值求和角公式 倍角公式 差角公式 弧长与扇形面积公角度制与弧度应用应用 应用应用本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1)首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。
三角函数专题复习-三角恒等变换导学案-2023届高三数学二轮专题复习
三角函数第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念【学习目标】1.了解任意角的概念会用公式求扇形弧长、面积；2.会用三角函数定义求值，能判断三角函数在各象限的符号. 【教学过程】 一、基础自测1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )2.一扇形的圆心角α＝︒60，半径R ＝10 cm ，该扇形的面积为 .3.若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则sin α－cos α＋tan α＝________.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[必备知识] 1.角的概念(1)定义： .(2)分类： (3)终边相同的角： . 2.弧度制的定义和公式(1)定义： .(2)公式： . 3.设角α终边上异于原点的任意一点P (x ，y )，r ＝x 2＋y 2.三角函数 定义 定义域第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号sin αcos αtan α角度 ︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180弧度 sin αcos α tan α二、典例精讲例1（1）已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则cos α＝________，tan α＝________. （2）若α为第二象限角，则cos 2α，cos α2，1sin 2α中，其值必为正的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个归纳：巩固练习1:（1）已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A.－12B.－32C.12D.32（2）设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角例2.扇形周长为20 cm ，这个扇形的面积最大时，扇形的圆心角α为 弧度归纳：巩固练习2（多选）已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2三、达标检测1.若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2B.3π4C.3π8D.3π162.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α等于( )A.－15B.3715C.3720D.13153.(多选)角α的终边在第一象限，则sinα2⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2⎪⎪⎪⎪cos α2＋tan α2⎪⎪⎪⎪tan α2的值为( )A.－1B.1C.－3D.34.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.5.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M ),53(m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值.思维导图 三角 函数任意角与弧度制任意角的三角函数角定义弧度制符号角度与弧度互化 特殊角弧度数 扇形弧长、面积三角函数第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式【学习目标】1.会用同角基本关系式解决给值求值问题；2.熟记诱导公式并会用诱导公式化简求值. 【教学过程】 二、基础自测1.若sin α＝55，π2<α<π，则αcos = tan α=2.若sin(π＋α)＝12，α∈02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则tan(π－α)等于( ) A ．－12B 3C 3D 33．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan α-=（ ）A ．–2B ．2C ．13- D ．134．sin 1 050°等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 [必备知识]1.同角三角函数的基本关系平方关系： 商数关系： 2.公式 角 正弦 余弦 正切 口诀① 2k π＋α(k ∈Z )奇变偶不变，符号看象限② －α ③ π－α ④ π＋α⑤ π2－α⑥ π2＋α⑦ 32π＋α⑧ 32π－α三、典例精讲例1（1）已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α等于( )A.54 B ．－54 C.53 D ．－53（2）已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈)4,0(π，则sin θ－cos θ的值为 ．归纳：巩固练习1:（1）已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ= ，tan θ＝ . 例2.（1）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin )22021(πα-等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45（2）已知sin )3(απ+＝1213，则cos )6(απ-等于( )A.513B.1213 C ．－513 D ．－1213 归纳：巩固练习2：（1）已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin )2(απ+·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817（2）sin )12(πα-＝13，则cos )1271(πα+＝ .四、达标检测1.已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517 B ．－1517 C.817 D ．－8172.已知(0,)απ∈，若2cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭5sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．14B 2C ．2D 143.(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sin B ＋C 2＝cos A2 C ．tan(A ＋B )＝－tan C )2(π≠C D ．cos(A ＋B )＝cos C4.sin 4π3·cos 5π6·tan )34(π-的值是 ．5.已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos )23(απ+－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)； (2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．思维导图三角函数第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【学习目标】1.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简求值；2.会用辅助角公式化简求值. 【教学过程】 三、基础自测1.(多选)下面各式中，正确的是( )A.cos π12＝cos π3－cos π4B.cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C.cos )12(π-＝cos π4cos π3＋64 D.3sin α＋cos α＝2sin )3(πα+2.已知tan θ＝2，则tan )4(πθ-＝ .3.cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝4.tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ . [必备知识]两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C α－β：cos(α－β)＝ ；(2)公式C α＋β：cos(α＋β)＝ ； (3)公式S α＋β：sin(α＋β)＝ ；(4)公式S α－β：sin(α－β)＝ ； (5)公式T α＋β：tan(α＋β)＝ ；(6)公式T α－β：tan(α－β)＝ . (7)(辅助角公式)a sin α＋b cos α＝ .五、典例精讲例1（1）若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin )4(πα+等于( )A.－210B.210C.－7210D.7210（2）已知534cos 23sin 23=+αα，则4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．23B 23C ．45-D ．45归纳：巩固练习1:（1）已知sin α＝35，α∈),2(ππ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A.－211B.211C.112D.－112（2）若3sin s 2a a +=，则tan()πα+=（ ）A 3B 2C 2D 3例2.已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6归纳：巩固练习2：已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝ ..六、达标检测1.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( ) A.12 B.33 C.22 D.322.已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan α，tan β是方程x 2＋12x ＋10＝0的两根，则tan(α＋β)等于( ) A.43 B.－2或12 C.12D.－2 3.（多选）已知3cos α－3sin α＝23cos(α＋φ)，则φ的值可能为（ ）A.π6 B.613π C. 6π- D.611π 4.已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3cos α，tan β＝33，则tan(α＋β)＝ . 5.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值.思维导图 辅助角公式 a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2三角函数第4课时 三角恒等变换【学习目标】1.熟记正弦、余弦、正切倍角公式；2.会用正弦、余弦、正切倍角公式、半角公式化简求值. 【教学过程】 四、基础自测1.sin 15°cos 15°等于( )A.－14B.14C.－12D.122.已知α，β为锐角，tan α＝43，则cos 2α等于( )A.725B.－725C.2425D.－24253.计算：4tanπ123tan 2π12－3等于( )A.233B.－233C.239D.－239[必备知识]二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝ .(2)公式C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)公式T 2α：tan 2α＝ .(4)(降幂公式)sin 2α＝ ，cos 2α＝ . (5)(半角公式)=2sinα，=2cosα.七、典例精讲例1（1）(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A.53B.23C.13D.59正用、逆用公式变形正弦：正余余正符号同余弦：余余正正符号异（2）已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ .归纳：巩固练习1:（1）(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255（2）已知()5sin 26cos 0απα+-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos 24απ⎛⎫ +⎪⎝⎭=（ ）A ．15-B ．15C ．35D ．45例2.若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于 . 归纳：巩固练习2：若1010)6cos(=+πθ，则)322cos(πθ- 等于 . 八、达标检测1.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A.－79B.－29C.29D.792.计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( )A.22B.12C.32D.－223.(多选)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14，则f (x )的值不可能是( ) A.－12 B.12C.－2D.24.若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010，则tan 2α＝ . 5.已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值思维导图。
届数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理专题一三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三
第2讲三角恒等变换与解三角形（文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1）边、角、面积的计算;（2）有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱（理科)年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10Ⅱ卷17解三角形求角和周长的12（文科）KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一三角恒等变换错误!错误!错误!错误!三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β。
(2）cos(α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β。
(3)tan(α±β)＝错误!。
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α。
（2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.（3）tan 2α＝错误!.3．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）（其中tan φ＝错误!)典错误!错误!错误!典例1（1)（2020·全国Ⅱ卷模拟）cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝（A)A．错误!B．错误!C．错误!＋错误!D．错误!(2)(2020·宜宾模拟）已知α∈错误!,且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝（A)A．1B．－错误!C．－错误!或1D．－1（3）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin2错误!－错误!.①求f（x)的单调递增区间;②若x∈错误!，f（x)＝错误!,求cos 2x的值．【解析】（1）原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10°＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!cos 60°＝34。
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
高三二轮复习教学案(三角函数)
高三数学二轮复习教学案（解三角形）班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=4bsinA ，则cosB=_________．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若bc b a 322=-，B C sin 32sin =，则A=______________．3．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=c=26+， 且∠A=75°，则b=__________4．据新华社报道，强台风“康森”在海南三亚登陆，台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少椰子树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是______m ．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且acosB —bcosA=53c ， 则tan(A －B)的最大值是__________________．6．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3min ．若此人步行的速度为每分钟50 m ，则该扇形的半径为_____________m ．7．在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若C b a a b cos 6=+， 求BC A C tan tan tan tan +的值．8．已知在斜三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--（1）求角A（2）若2cos sin >C B，求角C 的取值范围．9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，在水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC=0.1 km ，试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，并求出B 、D 的距离．高三数学二轮复习教学案（平面向量）班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________1．在四边形ABCD 中，“DC AB 2=”是“四边形ABCD 为梯形’’的______________条件．2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2BC =16，||||AC AB AC AB -=+ ，则|AM |=_____________3．已知平面向量),0(,βααβα≠≠满足1||=β，且α与αβ-的夹角为120°，则||α的取值范围是_________________4．设向量)cos 3,2(),3,sin 4(αα==b a ，且b a //，则锐角α为____________5．在△ABC 中，已知2π=C ，AC=1，BC=2，则|)1(2|)(CB CA f λλλ-+=的最小值是___________6．如图，在△ABC 中，已知AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若BC AB AM μλ+=，则μλ+=____________7．已知A )0,22(，B )22,0(，M )sin ,(cos αα，点N 满足)1(=++=μλμλON OB OA ，则||MN 的最小值是_______________8．已知)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos θθθθ-==b a ，且]3,0[πθ∈ （1||b a b a +（2）是否存在实数k ，使||3||b k a b a k -=+？若存在，求出实数k 的值，若不存在，请说明理由。
高三数学二轮复习重点
高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
高三理科数学最值微专题(2)三角函数篇
高三理科数学二轮复习最值专题（2）三角函数篇类型一：形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)。
例1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0 D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 例2．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.类型二：形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)。
例3、求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． [思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x ．转化为二次函数最值问题．[解]：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 类型三：形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．例4、求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[解] 令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]．又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1，∴sin x cos x ＝t 2－12， ∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53，y 大＝f (2)＝32＋ 2. 类型四：“逆向题”，即已知函数的最值去求某参数的值。
专题：三角函数及解三角形 第二课时 三角函数的图象与解析式(课件)高三数学二轮复习
（D）y=2sin（2x– ）
3
题型突破
题型一 三角函数的图象变换问题
2.(2022·浙江高考)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数 y 2sin3x
5
图象上所有的点 ( D )
A.向左平移 个单位长度
5
B.向右平移 个单位长度
5
C.向左平移 个单位长度
15
D.向右平移 个单位长度
( C)
A． 10π 9
B． 7π 6
C． 4π 3
D． 3π 2
题型突破
题型二 三角函数的图象及应用
7. 如 图 所 示 的 曲 线 为 函 数 f x Acosx A 0, 0, 的 部 分 图 象 , 将
2
y f x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再将所得曲线向右平移
2
8
个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求 gx =
2sin 2x
达标检测
1.为了得到函数 y 2sin 2x 的图象，可以将函数y＝2sin
3
2x的图象(
C)
A．向右平移π 个单位长度 6
B．向右平移π 个单位长度 3
C．向左平移π 个单位长度 6
D．向左平移π 个单位长度 3
达标检测
15Leabharlann 题型突破题型一 三角函数的图象变换问题
3. （2021年全国乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1 2
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
3
y＝sin（x−
）的图像，则f（x）＝（
4
B
）
A．sin（
2
−
7）
2023届新高考数学二轮复习：专题(三角函数的范围与最值)提分练习(附答案)
2023届新高考数学二轮复习：专题（三角函数的范围与最值）提分练习【总结】一、三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中ω的大小及取值范围 1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tkk ∈Z ； 2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tk k ∈Z ； 3、任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即()42T Tk k +∈Z ； 4、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内单调2Tb a ⇒-…且()22k a b k k πππωϕωϕπ-+++∈Z 剟?5、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内不单调(,)a b ⇒内至少有一条对称轴，2a kb πωϕπωϕ+++剟()k ∈Z6、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内没有零点2Tb a ⇒-…且(1)()k a b k k πωϕωϕπ+++∈Z 剟?7、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内有n 个零点(1)()(1)()k a k k k n b k n πωϕππωϕπ-+<⎧⇒∈⎨+-<++⎩Z ……． 二、三角形范围与最值问题1、坐标法：把动点转为为轨迹方程2、几何法3、引入角度，将边转化为角的关系4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36例2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||,24ππϕ≤-为()f x的零点：且()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ） A ．11 B ．13C ．15D ．17例3．（2023ꞏ高一课时练习）如图，直角ABC ∆的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA xOB yOC =+，（,x y ∈R ），记M OA OC =⋅，N x y =+，分别考查,M N 的所有运算结果，则A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值例4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ） A．B．CD例5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦例6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（ ）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦例7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A ．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．43⎤⎥⎣⎦ C ．43⎫⎪⎪⎝⎭D ．43⎫⎪⎪⎣⎭例8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A ．0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．453⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭例9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]例10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形,,,MN NP PQ QM 为亲水木平台区域（四边形MNPQ 是矩形，A ，D 分别为,MN PQ 的中点，50OA OD ==米），亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C 分别在平台区域,MQ NP 边界上（不含端点），且设计成2BAC π∠=，另一段玻璃桥F D E --满足//,,//,FD AC FD AC ED AB ED AB ==．(1)若计划在B ，F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：1.732≈≈）(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为AB AC DE DF +++，宽度、连接处忽略不计）．例11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)设3a =，2c =，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE EA ⋅的值；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 面积的取值范围．【过关测试】 一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知,a b R ∈，设函数1()cos 2f x x =，2()cos f x a b x =-，若当12()()f x f x ≤对[,]()∈<x m n m n 恒成立时，n m -的最大值为3π2，则（ ） A．1a ≥ B．1a ≤ C．2≥b D．2≤b 2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）ABC中，4AB ACB π=∠=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．53．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABCcos cos ()sin sin A CA B C a c+=，且cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A．(4⎤⎦B．(2,C ．(]0,4D ．(]2,44．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设ω∈R ，函数()()22,0,6314,0,22sin x x f x g x x x x x πωωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则ω的取值范围是（ ）A ．12,43⎛⎤ ⎝⎦B．233⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C．14⎡⎢⎣⎭D ．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦5．（2023秋ꞏ湖南长沙ꞏ高三长郡中学校考阶段练习）已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π；③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，； ④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）A ．在()0,π不存在1x ，2x 使得()()122f x f x -=B ．函数()f x 在()0,π仅有1个最大值点C ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调进增D ．实数ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．2⎢⎣D ．32⎡⎢⎣二、多选题9．（2023秋ꞏ山东济南ꞏ高三统考期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()tan 1tan tan A B A B +-= ） A ．π6A =B ．若b c -=，则ABC 为直角三角形C ．若ABC 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为D ．若D 为边BC 上一点，且1,:2:AD BD DC c b ==，则2b c +的最小值为710．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()2sin 212cos xf x x=+，则下列说法中正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．()f xC ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．22S a bc +的最大值为12B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos c b b A -=，则下列结论正确的有（ ）A ．2AB = B ．B 的取值范围为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．ab的取值范围为)2D ．112sin tan tan A B A -+的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭三、填空题13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin ,06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若5412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 在区间5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=_______． 14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，已知π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭且对于任意的x R ∈都有ππ066f x f x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在5π2π,369⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为______.15．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||2πϕ…，4π-为()f x 的零点，且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______16．（2023ꞏ全国ꞏ高三对口高考）在ABC 中，)(),cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________17．（2023ꞏ高一课时练习）用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为________．18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，cos cos 4b C c B -=，43C ππ≤≤，则tan A 的最大值为_______.19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，若120BAC ∠=︒，点D 为边BC 的中点，1AD =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值为______.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．21．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0θ>，对任意*n ∈N ，总存在实数ϕ，使得cos()n θϕ+<θ的最小值是___ 22．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A B >，若7sin 2cos sin 25C A B =+，则tan B 的取值范围为_______． 24．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.25．（2023秋ꞏ湖南衡阳ꞏ高一衡阳市八中校考期末）设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是________．26．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R ωωωω=+->∈，若()f x 在区间(),2ππ内没有极值点，则ω的取值范围是___________.27．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r 米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I （区域ACD ），区域II （区域CBE ）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方米造价是a 元，乙种花卉每平方米造价是3a 元，设∠BOC =θ，中植花卉总造价记为()f θ，现某同学已正确求得：()()2f arg θθ=，则()g θ=___________；种植花卉总造价最小值为___________.28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()2sin cos 0,06f x x a x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭对任意12,x x R ∈都有()()12f x f x +≤若()f x 在[]0,π上的取值范围是3,⎡⎣，则实数ω的取值范围是__________．29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若2a =，且2sin sin (sin sin )B A A C =+，则ABC 的周长的取值范围为__________． 30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD长的取值范围是_______; 四、解答题31．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值；32．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,sin cos 6a b c b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC 的中点，若BD =，求a c +的取值范围．参考答案【总结】一、三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中ω的大小及取值范围 1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tkk ∈Z ； 2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tk k ∈Z ； 3、任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即()42T Tk k +∈Z ； 4、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内单调2Tb a ⇒-…且()22k a b k k πππωϕωϕπ-+++∈Z 剟?5、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内不单调(,)a b ⇒内至少有一条对称轴，2a kb πωϕπωϕ+++剟()k ∈Z6、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内没有零点2Tb a ⇒-…且(1)()k a b k k πωϕωϕπ+++∈Z 剟?7、()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内有n 个零点(1)()(1)()k a k k k n b k n πωϕππωϕπ-+<⎧⇒∈⎨+-<++⎩Z ……．二、三角形范围与最值问题1、坐标法：把动点转为为轨迹方程2、几何法3、引入角度，将边转化为角的关系4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．【典型例题】例1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36【答案】A【答案解析】因为ABC 的内切圆的面积为16π，所以ABC 的内切圆半径为4．设ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．因为7cos 25A =，所以24sin 25A =，所以24tan 7A =．因为1sin 2ABC S bc A ==△1()42a b c ++⨯，所以25()6bc a b c =++．设内切圆与边AC 切于点D ，由24tan 7A =可求得3tan 24A ==4AD ，则163AD =．又因为2b c a AD +-=，所以323b c a +=+．所以2532251626333bc a a ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为b c +≥323a +≥即23210016333a a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得21264a a --0≥．因为0a >，所以16a ≥，当且仅当403b c ==时，a 取得最小值． 故选：A ．例2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||,24ππϕ≤-为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】C【答案解析】由题意，4x π=是()f x 的一条对称轴，所以14f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即11,42k k Z ππωϕπ+=+∈①又04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,4k k Z πωϕπ-+=∈②由①②，得()1221k k ω=-+，12,k k Z ∈又()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭区间上有最小值无最大值，所以24128T πππ⎛⎫≥--= ⎪⎝⎭ 即28ππω≥，解得16ω≤，要求ω最大，结合选项，先检验15ω=当15ω=时，由①得1115,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即1113,4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ≤ 所以4πϕ=-，此时()sin 154f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,1224x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3315,428x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当1542x ππ-=-即60x π=-时，()f x 取最小值，无最大值，满足题意.故选：C例3．（2023ꞏ高一课时练习）如图，直角ABC ∆的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA xOB yOC =+，（,x y ∈R ），记M OA OC =⋅，N x y =+，分别考查,M N 的所有运算结果，则A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值【答案】B【答案解析】依题意30,2,90BCA BC A ∠==∠= ，所以1AC AB ==.设OCB α∠=，则30,090ABx αα∠=+<< ，所以()())30,sin 30Aαα++ ，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，所以()()12cos sin 30sin 2302M OA OC ααα==+=++⋅ ，当23090,30αα+== 时，M 取得最大值为13122+=.OA xOB yOC =+ ，所以()()30sin 30,2sin 2cos x y αααα++==，所以()()30sin 302sin 2cos N x y αααα++=+=+12sin 2α=+，当290,45αα== 时，N 有最小值为1故选B. 例4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ）A ．B ．C D 【答案】D【答案解析】由221a b +=，令sin ,cos a b θθ==， 由()sin cos f x a x b x cx =++，得()cos sin sin cos cos sin f x a x b x c x x c θθ'=-+=-+()sin x c θ=-+，所以()11c f x c '-≤≤+由题意可知，存在12,x x ，使得12()()1f x f x ''=-，只需要21111c c c -+=-≥，即211c -≤-，所以20c ≤，0c =，πsin cos 4a b c a b θθθ⎛⎫++=+=+=+≤ ⎪⎝⎭所以a b c ++故选: D.例5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】A【答案解析】设()(2)ln(1)g x x x =-+，()cos 34h x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，求导()23ln(1)ln(1)111x g x x x x x -'=++=++-++ 由反比例函数及对数函数性质知()g x '在(]1,,0m m ->上单调递增，且102g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()10g '>，故()g x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内必有唯一零点0x ，当()01,x x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(]0,x x m ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；令()0g x =，解得0x =或2，可作出函数()g x 的图像， 令()0h x =，即3,42x k k Z πππ+=+∈，在(]0,π之间解得12x π=或512π或34π，作出图像如下图数形结合可得：π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，故选：A例6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（ ）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】B【答案解析】由已知，函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111π2ππ2πZ 3k x k k ω-≤-≤∈，解得：()1112π2π2ππZ 33k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()111Z π,π,642π2π2ππ33k k k ωωωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+∈，所以112ππ2π632πππ43k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()11141248Z 3k k k ω-≤≤+∈① 又因为函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()0f x ≥恒成立，所以()222πππ2π2π+Z 232k x k k ω-≤-≤∈，解得：()2222π2ππ5πZ 66k k x k ωωωω-≤≤+∈， 由于()2222π2ππ5π,Z 6π,46π3k k k ωωωω-+⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣∈⎦，所以222πππ462ππ5π36k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()2222586Z 32k k k ω-≤≤+∈② 又因为0ω>，当120k k ==时，由①②可知：04432532ωωω⎧⎪>⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得403ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，；当121k k ==时，由①②可知：02883221732ωωω⎧⎪>⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得1782ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.所以ω的取值范围为4170,8,32⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：B.例7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．433⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C．4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．4,33⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【答案解析】在ABC 中，1sin()sin ,sin 2A CB S ac B +==， 故题干条件可化为22b a ac -=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 故2cos c a B a =+，又由正弦定理化简得：sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+，整理得sin()sin B A A -=，故B A A -=或B A A -=π-（舍去），得2B A =ABC 为锐角三角形，故02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64A ππ<<tan 1A <<114tan tan (,3tan()3tan 33A AB A A +=+∈- 故选：C例8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．45⎡⎢⎣⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【答案解析】延长CG 交AB 于D ，如下图所示：G 为ABC 的重心，D ∴为AB 中点且3CD DG =，AG BG ⊥ ，12DG AB ∴=，3322CD AB c ∴==；在ADC △中，2222222225522cos 3232c bAD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅； 在BDC 中，2222222225522cos 3232c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅； BDC ADC π∠+∠= ，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，即222222525233c a c b c c--=-，整理可得：22225a b c c +=>，C ∴为锐角； 设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，2222222255a ba b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 0a b >>，03b a ∴<<，由余弦定理得：22222222cos 255533a b c a b a b C ab ab b a ⎛⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝， 又C为锐角，cos 1C <<，即cos C的取值范围为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.例9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]【答案】D【答案解析】因为,3A a π==，由正弦定理可得22sin sin sin 3ab cAB B π====⎛⎫-⎪⎝⎭， 则有22sin ,2sin 3b B c B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由ABC 的内角,,A B C 为锐角，可得0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，512sin 2124sin 2462666266B B B B πππππππ⎛⎫⎛⎫∴<<⇒<-<⇒<-≤⇒<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由余弦定理可得222222cos 3,a b c bc A b c bc =+-⇒=+- 因此有2223b c bc bc ++=+28sin sin 33B B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 3B B B =++22cos 25B B =-+(]54sin 27,96B π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭故选：D.例10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O 的圆，已知圆O 的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形,,,MN NP PQ QM 为亲水木平台区域（四边形MNPQ 是矩形，A ，D 分别为,MN PQ 的中点，50OA OD ==米），亲水玻璃桥以点A 为一出入口，另两出入口B ，C 分别在平台区域,MQ NP 边界上（不含端点），且设计成2BAC π∠=，另一段玻璃桥F D E --满足//,,//,FD AC FD AC ED AB ED AB ==．(1)若计划在B ，F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：1.732≈≈）(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为AB AC DE DF +++，宽度、连接处忽略不计）．【答案解析】（1）由题意，50,100OA OM ==，则100,2MQ AM BAC π==∠=，设,2MAB NAC πθαθ∠=∠==-．若C ，P重合，1tan tan tan 2αθα=====75MB =，∴75tan tan MB MB AM θθθ<<<<=⋅=，tan NC AN α=⋅=而100100MF CP NC ==-=∴1tan 1001)tan BF MB MF θθ⎫=-=+-≥⎪⎭，当tan 1θ=（符合题意）时取等号，又1)70->， ∴可以修建70米长廊． （2）cos cos AM AN AB AC θα====cos )cos sin sin cos AB AC θθθθθθ++=+=．设sin cos 4t πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则212sin cos t θθ=+，即21sin cos 2t θθ-=．AB AC t t+==-1）知tan 2θ<<，而132<<<<θ∃使42ππθ+=且3444πππθ<+<，即112t t t <≤<-≤，∴AB AC t t+=≥-4t πθ==时取等号． 由题意，AB AC DE DF +=+，则玻璃桥总长的最小值为米，∴铺设好亲水玻璃桥，最少需0.3=例11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)设3a =，2c =，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE EA ⋅的值；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 面积的取值范围．【答案解析】(1)πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理得：π1sin sin sin sin sin sin sin cos 322B A A B A B A B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以1sin sin cos 02A B A B =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1sin 02B B =，即tan B =因为()0,πB ∈，所以π3B =， 因为3a =，2c =，由余弦定理得：2222cos 9467b a c ac B =+-=+-=， 因为0b >，所以b =，其中11sin 3222ABC S ac B ==⨯⨯=△，所以2ABC S BD AC === 因为点E 为线段BD的中点，所以BE = 由题意得：EA ED DA BE DA =+=+，所以()227028BE EA BE BE DA BE ⋅=⋅+=+= . (2)由（1）知：π3B =，又2c =， 由正弦定理得：2πsin sin sin 3a cA CA ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2sin πsin 3A a A ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以π0,22ππ0,32A C A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭()0,3，()11,4tan A +∈，故()1,4a =，ABC面积为1sin ,222S ac B a ⎛==∈ ⎝ 故ABC面积的取值范围是2⎛ ⎝.【过关测试】 一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知,a b R ∈，设函数1()cos 2f x x =，2()cos f x a b x =-，若当12()()f x f x ≤对[,]()∈<x m n m n 恒成立时，n m -的最大值为3π2，则（ ） A．1a ≥ B ．1a C ．2≥b D ．2≤b 【答案】A【答案解析】设[]cos ,x t x m n ∈=，，因为n m -的最大值为3ππ22T>=，所以[,]x m n ∈时，cos t x =必取到最值，当3π2n m -=时，根据余弦函数对称性得cos 12π22m n m Z nk k ++=⇒=∈,，此时3π3πcos cos(cos(2π)cos 22442m n n mm k +-=-=-==-3π3πcos cos(cos(2π)cos 22442m n n m n k +-=+=+==-或者cos1π+2π22m n m n Z k k ++=-⇒=∈,，此时3π3πcos cos(cos(2π+π)cos 22442m n n m m k +-=-=-=-=3π3πcos cos(cos(2π+π)cos 22442m n n m n k +-=+=+=-=由()2212()()2cos 1cos 2cos cos 10f x f x x a b x x b x a ≤⇒-≤-⇒+-+≤，设[]cos ,x t x m n ∈=，时 ()2210t bt a +-+≤对应解为12t t t ≤≤，由上分析可知当1t =，21t ≥或11t ≤-，2t =n m -的最大值为3π2，所以122t t ≤-，即122a +-≤，所以1a ≥.12122b t t -=+≥-或12122b t t -=+≤-+，即2b ≤或2≥-b 故选：A.2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）ABC 中，4AB ACB π=∠=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5【答案】C【答案解析】过点O 作,OD AC OE BC ⊥⊥，垂足分别为D ，E ，如图，因O 是ABC 外接圆圆心，则D ，E 分别为AC ，BC 的中点，在ABC 中，AB CB CA =-，则222||||||2AB CA CB CA CB =+-⋅ ，即22||||22CA CB CA CB +-⋅=，21|cos |2CO CA CO CA OCA CD CA CA ⋅=∠=⋅=，同理21||2CO CB CB ⋅= ，因此，()OC AB CA CB OC CB CA CA CB CO CA CO CB CA CB ⋅+⋅=⋅-+⋅=⋅-⋅+⋅ 2222211||||2||||||1222CA CB CA CB CA +-=-+=-，由正弦定理得：||sin ||2sin 2sin sin 4AB B BCA B ACB π===≤∠ ，当且仅当2B π=时取“=”， 所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3. 故选：C3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在锐角ABCcos cos ()sin sin A CA B C a c+=，且cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A．(4⎤⎦B．(2,C ．(]0,4D ．(]2,4【答案】Acos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，Z k ∈，(0,)2C π∈ ，3C π∴=．由题cos cos A C a c +=cos cos 2b A Cb a ca +==，故cos cos sin sin 2sin A C bA C A+=，即sin cos sin sin cos 2b C A C A C ⋅+⋅==故()sin sin A C B +==即sin b B =由正弦定理有sin sin sin a b c A B C ===，故a A =，b B =，又锐角ABC ，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,)32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，2π，2sin )sin()]3a b A B A A π∴+=++-1sin )4sin(26A A A A π+=+， (6A π∈ ，2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()6A π+∈1]， a b ∴+的取值范围为(4⎤⎦．故选：A ．4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设ω∈R ，函数()()22,0,6314,0,22sin x x f x g x x x x x πωωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则ω的取值范围是（ ）A ．12,43⎛⎤ ⎝⎦B．23⎤⎥⎝⎦C．143⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦【答案】B【答案解析】当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，,6626x πππωπω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以262413312sin 62πωππωπ⎧+≤⎪⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得1243ω≤≤， 又因函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，所以在(),0x ∈-∞上函数()f x 与()g x 的图象有两个交点，即方程231422x x x ωω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根，即方程23610x x ω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根，所以22Δ3612003060102ωωω⎧⎪=->⎪-<⎨⎪⎪⨯+⨯+>⎩，解得3ω>，当233ω⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，当0x ≥时，令()()2sin 6f x g x x x πωω⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，由()()10f x g x -=>， 当562x ππω+=时，73x πω=， 此时，()()7203f xg x π-=-<， 结合图象，所以0x ≥时，函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点，综上所述，233ω⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦. 故选：B.5．（2023秋ꞏ湖南长沙ꞏ高三长郡中学校考阶段练习）已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】C【答案解析】π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππππ,π3333x ωωω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，其中2ππ4ππ3ωω≤-<，解得：36ω≤<，则ππ4π333ω+≥，要想保证函数在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有三个零点，满足①1111πππ+2π2π+2π33π4π+2π<π5π+2π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，1k Z ∈，令10k =，解得：1114,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；或要满足②2222ππ2ππ+2π33π2π+3π<π2π+4π3k k k k ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，2k Z ∈，令21k =，解得：175,3ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；经检验，满足题意，其他情况均不满足36ω≤<条件，综上：ω的取值范围是111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：C6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； ②()f x 的最小正周期可能是2π；③ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，； ④()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】B【答案解析】由函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω，令,42x k k Z ππωπ+=+∈，则()14,4k x k Zπω+=∈函数()f x 在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，即()1404k ππω+≤≤有4个整数k 符合，由()1404k ππω+≤≤，得140101444k k ωω+≤≤⇒≤+≤，则0,1,2,3k =， 即1434144ω+⨯≤<+⨯，131744ω∴≤<，故③正确； 对于①，(0,)x π∈ ，,444x ωωππππ⎡⎫∴+∈+⎪⎢⎣⎭，79,422ππωππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭当,442x ωππ7π⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点；当,442x ωππ9π⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间(0,)π上有且仅有4个不同的零点；故①错误；对于②，周期2T πω=，由131744ω≤<，则4141713ω<≤，881713T ππ∴<≤， 又88,21713πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()f x 的最小正周期可能是2π，故②正确； 对于④，015x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,，44154x ωωππππ⎛⎫∴+∈+ ⎪⎝⎭,，又131744ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，78,1541515ωππππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 又8152ππ>，所以()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③ 故选：B7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）A ．在()0,π不存在1x ，2x 使得()()122f x f x -=B ．函数()f x 在()0,π仅有1个最大值点C ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调进增D ．实数ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【答案解析】对于A,()f x 在[]0,π上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期T π< ， 所以在[]0,π上存在12,x x ，且12()1,()1f x f x ==- ，使得()()122f x f x -=，故A 错误； 由图象可知，函数在()0,π可能有两个最大值，故B 错误; 对于选项D,令,6x k k Z πωπ-=∈ ，则函数的零点为1(6x k k Z ππω=+∈ ,所以函数在y 轴右侧的四个零点分别是：71319,,,6666ππππωωωω， 函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，所以136196ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ ，解得1319[,66ω∈ ，故D 正确； 由对选项D 的分析可知，ω的最小值为136， 当02x π<< 时，11(,)6612x πππω-∈-， 但11(,)612ππ-不是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的子集， 所以函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调进增的，故C 错，故选：D.8．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C A A C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ） A．2⎝ B．32⎛ ⎝C．2⎢⎣D．32⎡⎢⎣【答案】A【答案解析】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π= ∴cos cos sin sin sin B C AB b cC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴cos cos c B b C ⋅+⋅==∴sin sin cos cos sin 3A C B C B +=∴sin()sin B C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin 326a c A C A A A A A ππ+=+=+-==+203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤a c <+≤故选：A . 二、多选题9．（2023秋ꞏ山东济南ꞏ高三统考期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()tan 1tan tan A B A B +-= ） A ．π6A =B ．若b c -=，则ABC 为直角三角形C ．若ABC 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为D ．若D 为边BC 上一点，且1,:2:AD BD DC c b ==，则2b c +的最小值为7【答案】BCD【答案解析】对于A ，因为()()tan 1tan tan A B A B +-=tan tan A B +=，()sin cos tan tan C A B A B =+()sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos cos A B A B A B CA B A A A B A A++=⋅=⋅=⋅，cos sin sin C A A C =，因为0πC <<，所以sin 0C >，故tan A = 又0πA <<，所以π3A =，故A 错误；对于B ，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，因为3b c a -=，即3b a c =+，代入上式得222a c c c c ⎫=+⎫⎪⎪⎝+-+⎪⎭⎭⎪⎝，整理得22320c a +-=，解得a =或2a c =-（舍去），则2b c =，所以222b a c =+，故B 正确；对于C ，设,,AB AC BC 边上的高分别是,,CE BF AD ，则由三角形面积公式易得222,,AD BF CE a b c ===，则()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，因为111a b c ++≥111a b c ==，即a b c ==时，等号成立，此时21sin 12S bc A ===，得2b =所以()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯=≤ ⎪⎝⎭C 正确； 对于D ，因为:2:BD DC c b =，所以22c AD AB AB BC b c BD =+=++()22222c b c AB AC AB AB AC b c b c b c=+-=++++ ，可得22222224212cos 60(2)(2)(2)b c bc c b cb b c b c b c ︒=+++++，整理得()22227b c b c +=，故12c b +=所以()1222225b c b c b c c b c b ⎫⎫+=++=++⎪⎪⎭⎭57⎛⎫≥=⎪⎪⎭，当且仅当22b c c b =且12c b +=，即7b c ==时，等号成立，所以2b c +≥2b c +D 正确. 故选：BCD.10．（2023秋ꞏ江苏苏州ꞏ高三苏州中学校考阶段练习）已知函数()2sin 212cos xf x x=+，则下列说法中正确的是（ ） A ．()()f x f x π+=B ．()f xC ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】ABD【答案解析】()2sin 2sin 2sin 21cos 212cos 2cos 2122xx xf x x xx ===+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， A 选项：()()()()sin 22sin 22cos 222cos 2x xf x f x x xπππ++===+++，A 选项正确；B 选项：设()sin 22cos 2xf x t x==+，则()sin 2cos 222x t x t x ϕ-==+≤解得213t ≤，t ≤≤，即max t =，即()f xB 选项正确；C 选项：因为022f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误；D 选项：()()()()()222cos 22cos 2sin 22sin 24cos 222cos 22cos 2x x x x x f x x x +--+'==++，令()0f x '=，解得1cos 22x =-，即3x k ππ=+或23x k ππ=+，Z k ∈， 当2,33x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x '<，函数单调递减， 当当24,33x k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x ¢>，函数单调递增， 所以函数()f x 的极大值点为3π，43π，L ，()13n ππ+-， 又函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则2021,202233a ππππ⎛⎤∈++ ⎥⎝⎦，即60646067,33a ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，D 选项正确； 故选：ABD.11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB的面积为13【答案】ACD【答案解析】对于选项A ：。
三角函数最值问题及其应用——例谈高三数学第二轮复习的有效选题
例 １ 已知函数 ， ） √ ｎｘ ＳＬ ＯＸ 求 ， ） （ ＝一 ３ ｉ ＋ ｉ ＣＳ ， （ ｓ ｒ ￣ 在 ∈［ ，Ｔ 上的最小值． ０ ］ ＂ Ｉ
例， 也提示学 生注意题设条件 ， 活选择合 适方法解题． 灵
简 由 ＝ ｓ＋ ｃ＝（ ， 解 ） ｉ ｓ 。 ｓ ｎ ｉ ｉ 学） ２眦 ｎ 戈
解 题思路 ， 注意 思维严谨 ， 以三 角 函数 为模 型的一 些 在
轮复 习一 般 以专题 的形式 ， 主于是 解题训 练 ， 以此 提高
学生的解题能力． 显然 ， 学生 解题能力 的形成 ， 并不 取决 于解题数 量 的多 少 ， 而与题 目的质 量有密 切的关 系 ， 因 此要想取得复习效益最大化 ， 教师精选 例习题显得 尤为
对ｆ １√ ］— ｃ ｘ 酉 ＝ ２ ∈（， ，ｎ＋ｏ ＝ ｔ ＿丁是减函数， ｓｘ ｓ ｉ一
Ｓ Ｏ Ｘ ｌ Ｃ Ｓ 仳 ｔ一 Ｉ 一
ｌ
如图 ， 现要在一块半 径为 ｌ 圆心 ｍ、 角为 ６ 的扇形 纸板 Ａ Ｂ上剪 出 ０。 Ｏ
一
个平行 四边形 ＭＮ Ｑ 使点 Ｐ在 Ｐ ，
的联系 ， 掌握 分析解决 问题 的一般 思维方 法 ， 进一步 领
悟数学思想 方法 ， 明确 “ 什 么” “ 考 、 怎么考 ” 及 时发 现 ， 在前 阶段的复 习中哪些知识 点和方法 技能掌握 不牢 固， 哪些地方复习还不到位 ， 做好查漏补 缺 、 固提 升 ， 巩 第二
熟悉 ， 取此例 指导学 生扎实抓 好基础 落实 ， 练把 握 选 熟
所 有高 中数学知识 和方法 系统化 、 网络化 ， 熟悉知识 间
（ ） Ｓ关于 ０的函数关系式 ； １求
（ ） ｓ的最大值及相应 的 ０的值． ２求 点评 本例 是三 角函数最 值 问题 中的常 规典 型 问
从三角函数看高三数学的“二轮复习”
从三角函数看高三数学的“二轮复习”作者：张维来源：《考试周刊》2013年第05期以“回归教材掌握基础知识，正确理解基本概念，深刻体会基本思想，灵活运用基本方法”为主旨的第一轮复习已经结束，高三数学将进入第二轮复习阶段.第二轮复习是由“量的积累”到“质的飞跃”即“由厚到薄”的过程，是形成知识系统化、条理化，全面提升能力的关键时期，它承上启下，其效果如何直接关系高考的成败.现以三角函数为例，谈谈第二轮复习的基本方法.一、明确复习重点（一）要深入研究《考试说明》数学高考对知识的要求由低到高分为“了解”、“理解”和“掌握”三个层次.《考试说明》指出：“对基本知识和基本技能的考查，既注意全面又突出重点，对支撑数学学科知识体系的主干知识，考查时保持较高的比例，并达到必要的深度.”通过对《考试说明》研究，三角恒等变换内容已淡化，三角函数的类型也只是正弦、余弦、正切，而三角函数的图像、倍角公式和正余弦定理依然是不变的重点，图像可以适当关注对称性和周期性.（二）要深入分析历年高考试题1.新课标近五年高考理科三角函数试题分析：2.新课标近五年高考文科三角函数试题分析：通过分析，我们可以看出，三角函数题目大多以容易或中等难度的题为主，从题型设计来看，大致是2道小题1道大题（或3道小题）；从考查内容来看，主要考查对三角函数有关概念、性质的理解，对基本公式的运用.具体主要有三类：（1）三角式的化简与求值；（2）三角函数的性质与图像；（3）解三角形及其应用.值得指出的是，新课标卷17题多是以解三角形的实际应用出题，但综合各省市试题来看，多以三角函数结合解三角形，可能还结合平面向量.解这类题目，要利用平面向量的运算，用三角公式将函数式化为标准形式：y=Asin（ωx+？准）+B，或y=Acos（ωx+？准）+B，然后结合正余弦定理做出解答.所以，在二轮复习中我们既要加强对《考试说明》的学习，又要加强对高考试题的分析.《考试说明》是高考命题的依据，而高考试题是《考试说明》要求的具体化.二、强化基础知识二轮复习要在形成知识体系上下工夫，注重知识的不断深化，新知识应及时纳入已有知识体系，关注知识之间的内在联系，使模糊的清晰起来，缺失的填补起来，杂乱的条理起来.应构建知识网络，网络应当是立体的、交叉的，单一的线状连接难以适应变化.高考数学历来注重基础知识和基本技能的考查，虽然高考数学试题不可能考查单纯背诵、记忆的内容，不会直接考查课本上的原题，但高考试题大多能在课本上找到它的“根”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合.比如2009年新课标文理17题是解三角形的应用，为必修五1.2例2的变式，而2012年的17题更是课本常见的解三角形题型.虽然现在高考试题力求体现新课改理念，但不论怎么新，解题的数学模型仍要以课本上重点数学知识为基础，所以夯实基础仍是重中之重，扎实的数学基础是成功解题、获取高分的关键，要防止忽视基础、专攻难题的不良倾向，真正做到：基本概念清晰明了，基本运算熟练正确，基本方法运用得当，书面表达规范准确.三、提炼思想方法怎样有效提高学生的解题能力？现在提倡高效课堂，有些老师往往着眼于多举例子，似乎学生做题越多越高效.我认为，不着重启发学生思路、推进其思维过程的课堂就不是高效课堂.只有让学生的“脑”和“手”都动起来，并使之在数学方法上有了突破，在数学思维能力上有了提升，才能称为高效.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是加强学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.因此，在二轮复习时应对高中数学涉及的四种主要思想方法即“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”进行专题研究，并在解题活动中注意提炼，而这些思想方法在各内容中侧重点各有不同.比如三角函数中公式及性质之类的内容较多，“等价转化”和“数形结合”的思想在三角函数这章中贯穿始终.例如：若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（ B ）A.1B.C.D.2分析：|MN|=|sina-cosa|=| sin（a- ）|= |sin（a- ）|≤ ，将两点之间的距离转化为三角函数的最值求解，而转化为三角函数的过程则运用了差角正弦公式的转化，体现了转化和数形结合的思想.四、加强专题训练高考命题强调全面考查考生的数学能力.在二轮复习中我主张将历年高考试题按内容分类，经过筛选组成专题让学生练习.但选题时做到既要纵选，又要横选.例如，我在编三角函数资料时，除了把本省近五年高考三角函数试题编出来给学生练习外，还选一些外省的比较新颖的试题让学生练习.例如：（2010年重庆卷文15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等.设第i 段弧所对的圆心角为α =（i=1，2，3），则cos cos -sin sin = .通过专题训练，使学生学会综合运用所学数学知识、思想和方法对新的信息、情境和设问进行分析与加工，独立思考，研究探索，解决问题，增强实践能力和创新意识.有利于学生了解认识新形势下高考试题，适应高考新要求.五、注重引导学生进行总结与反思每次考试或练习，教师讲评后要引导学生及时总结反思，总结试卷中试题涉及的知识点，采用了哪些解题方法，反思自己错误的原因，要把当时解题思路的误区进行剖析，并补充好的解法.例如：已知α∈（0，π），sinα+cosα= ，求tanα的值.【错点分析】本题利用平方关系求出sinα-cosα的值，再通过解方程组的方法可解得sinα、cosα的值.但在解题过程中忽视了sinαcosα平时做练习题时，我都要求学生把选择题和填空题的主要过程写在试卷上，一是节省草稿纸，高考只一张草稿纸，养成只用一张草稿纸的习惯；二是等以后复习时能知道当时自己的思路误区在哪里，让学生养成整理“错题集”的习惯.只有这样不断地反思，才能真正做到：退一步——触发灵感，进一步——认清本质，串一串——融会贯通，议一议——豁然开朗，从而提高练习的实效.总之，二轮复习绝不是一轮复习的翻版，要将重点放在指导学生“做真题、练真功”上，指导学生全面整理、提炼已有知识并创造性地运用到新问题和新情景中去.如此，方能真正实现“知识的深化”和“能力的活化”.。
三角函数中参数的取值范围 微专题-高三数学二轮复习备考
所以 f(x)在1π8，53π6上不单调，不满足题意；
当 ω＝9 时，－94π＋φ＝kπ，k∈Z，
因为|φ|≤π，所以φ＝π，
2
4
此时 f(x)＝sin9x＋π4.
当
x∈
π ，5π 18 36
时，9x＋π∈
3π，3π 42
，
此时 f(x)在1π8，53π6上单4调递减，符合题意.
又由于θ∈－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6， 经代入检验知符合题意． 答案：B
核心题型四：由三角函数的对称性求解参数.
例 4．函数 f(x)＝sin（ωx+π6）(ω>0)在（-π2，π2）上单调递增，且图象关于直线
x＝－π对称，则ω的值为________．
解析：因为函数 f(x)＝sin（ωx+π6）(ω>0)在（-π2，π2）上单调递增，
62 ωπ＋π≤π＋2kπ(k∈Z)，解得
0＜ω≤4，故
C
正确；
12 6 2
令 2ω×π2＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，解得ω＝13＋k，k∈Z，
由
0＜ω≤4
知ω的取值为1，4，7，10，共 333 3
4
个值，故
D
正确．
变式 7：已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)（ω>0,|φ|≤π2），x＝－π4为
核心题型三：由三角函数的奇偶性求解参数
例3.函数f(x)＝3 sin2x－π3＋φ ＋1，φ∈(0， π)，且f(x)为偶函数，则φ＝_5_π__，f(x)图象
6 的对称中心为___π4_＋__k2_π_，__1_，__k_∈__Z__.
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题三第二讲三角恒等变换与解三角形
[解析] 由题意S △ABC ＝12ab sin C ＝a2＋b2－c24.即sin C ＝a2＋b2－c22ab .由余弦定理可知sin C ＝cos C .即tan C ＝1.又C ∈(0.π).所以C ＝π4.3．(20xx·全国Ⅰ卷.11)已知角α的顶点为坐标原点.始边与x 轴的非负半轴重合.终边上有两点A ()1，a .B ()2，b .且cos2α＝23.则||a －b ＝( B )A ．15B ．55C ．255D ．1[解析] 由cos2α＝2cos 2α－1＝23可得cos 2α＝56＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.化简可得tan α＝±55；当tan α＝55时.可得a 1＝55.b 2＝55.即a ＝55.b ＝255.此时|a －b |＝55；当tan α＝－55时.仍有此结果.故|a －b |＝55. 4．(20xx·天津卷.6)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度.所得图象对应的函数( A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减 [解析] 选A ．因为将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度.得到函数y ＝sin2x 的图象． 用五点法作出草图.如图：从图中可以看出选项A 正确.其他都不正确．⎝ ⎛4－α＝5.sin22＋＝4.＋c＝.则△7．(20xx·淮北二模)在△ABC 中.角A .B .C 的对边分别为a .b .c .若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A .则C 等于π6.[解析] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 所以b 2＋c 2－2bc cos A ＝3b 2＋3c 2－23bc sin A .3sin A －cos A ＝b2＋c2bc .2sin(A －π6)＝b2＋c2bc ≥2.因此b ＝c .A －π6＝π2⇒A ＝2π3.所以C ＝π－2π32＝π6. 8．(20xx·长沙三模)在锐角△ABC 中.D 为BC 的中点.满足∠BAD ＋∠C ＝90°.则角B .C 的大小关系为B ＝C .(填“B <C ”“B ＝C ”或“B >C ”)[解析] 设∠BAD ＝α.∠CAD ＝β.因为∠BAD ＋∠C ＝90°.所以α＝90°－C .β＝90°－B . 因为D 为BC 的中点. 所以S △ABD ＝S △ACD . 所以12c ·AD sin α＝12b ·AD sin β.所以c sin α＝b sin β.所以c cos C ＝b cos B . 由正弦定理得.sin C cos C ＝sin B cos B .即sin2C ＝sin2B .所以2B ＝2C 或2B ＋2C ＝π. 因为△ABC 为锐角三角形.所以B ＝C ．9．为了竖起一块广告牌.要制造三角形支架.如图.要求∠ACB ＝60°.BC 的长度大于1米.且AC 比AB 长0.5米.为了稳定广告牌.要求AC 越短越好.则AC 最短为2＋3.[解析] 由题意设BC ＝x (x >1)米. AC ＝t (t >0)米.依题设AB ＝AC －0.5 ＝(t －0.5)米.在△ABC 中.由余弦定理得： AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°.所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213. cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513. 所以sin(2A ＋π4)＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝7226.B 组1．(20xx·福州三模)已知a .b .c 分别是△ABC 的内角A .B .C 所对的边.点M 为△ABC 的重心．若a MA →＋b MB →＋33c MC →＝0.则C ＝( D )A ．π4B ．π2 C ．5π6D ．2π3[解析] ∵M 为△ABC 的重心.则MA →＋MB →＋MC →＝0. ∴MA →＝－MB →－MC →. ∵a MA →＋b MB →＋33c ·MC →＝0.∴a ·(－MB →－MC →)＋b MB →＋33c ·MC →＝0.即(b －a )·MB →＋(33c －a )·MC →＝0.∵MB →与MC →不共线. ∴b －a ＝0.32c －a ＝0.得a b33c ＝111.令a ＝1.b ＝1.c ＝3.则cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝1＋1－32×1×1＝－12.∴C ＝2π3.故选D ．2．(20xx·××市一模)若sin(π6－α)＝13.则cos(2π3＋2α)＝( A )。
三角函数的图象与性质、三角恒等变换 高三数学二轮复习专题
(1)(2023·湖南长沙统考一模)若
则 cos 2α的值为(
A.√
B.
)
C.-
D.
-(- )
+(- )
= ,
解析:(1)由
-(- )
+(- )
= 可得,tan(α- )= ,
所以 tan α=tan( +α- ) =
函数 y=sin(x- )的图象,所以把函数 y=sin(x- )的图象向左
平移 个单位长度,得到函数 y=sin(x+ - )=sin(x+ )的图
象,再把图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不
变,可得函数 f(x)=sin( + )的图象.故选 B.
2
2
+(- )
- (- )
所以 cos 2α=cos α-sin α =
故选 A.
=
+
=2.
- -
=
=- .
+ +
(2)(2023·广东梅州统考一模)已知 sin(α+ )= ,则 cos( 2α)等于(
热点训练 2
(1)函数 f(x)=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0,-π<
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从三角函数看高三数学的“二轮复习”
以“回归教材掌握基础知识，正确理解基本概念，深刻体会基本思想，灵活运用基本方法”为主旨的第一轮复习已经结束，高三数学将进入第二轮复习阶段.第二轮复习是由“量的积累”到“质的飞跃”即“由厚到薄”的过程，是形成知识系统化、条理化，全面提升能力的关键时期，它承上启下，其效果如何直接关系高考的成败.现以三角函数为例，谈谈第二轮复习的基本方法.
一、明确复习重点
（一）要深入研究《考试说明》
数学高考对知识的要求由低到高分为“了解”、“理解”和“掌握”三个层次.《考试说明》指出：“对基本知识和基本技能的考查，既注意全面又突出重点，对支撑数学学科知识体系的主干知识，考查时保持较高的比例，并达到必要的深度.”通过对《考试说明》研究，三角恒等变换内容已淡化，三角函数的类型也只是正弦、余弦、正切，而三角函数的图像、倍角公式和正余弦定理依然是不变的重点，图像可以适当关注对称性和周期性.
（二）要深入分析历年高考试题
1.新课标近五年高考理科三角函数试题分析：
2.新课标近五年高考文科三角函数试题分析：
通过分析，我们可以看出，三角函数题目大多以容易或中等难度的题为主，从题型设计来看，大致是2道小题1道大题（或3道
小题）；从考查内容来看，主要考查对三角函数有关概念、性质的理解，对基本公式的运用.具体主要有三类：（1）三角式的化简与求值；（2）三角函数的性质与图像；（3）解三角形及其应用.值得指出的是，新课标卷17题多是以解三角形的实际应用出题，但综合各省市试题来看，多以三角函数结合解三角形，可能还结合平面向量.解这类题目，要利用平面向量的运算，用三角公式将函数式化为标准形式：y=asin（ωx+？准）+b，或y=acos（ωx+？准）+b，然后结合正余弦定理做出解答.
所以，在二轮复习中我们既要加强对《考试说明》的学习，又要加强对高考试题的分析.《考试说明》是高考命题的依据，而高考试题是《考试说明》要求的具体化.
二、强化基础知识
二轮复习要在形成知识体系上下工夫，注重知识的不断深化，新知识应及时纳入已有知识体系，关注知识之间的内在联系，使模糊的清晰起来，缺失的填补起来，杂乱的条理起来.应构建知识网络，网络应当是立体的、交叉的，单一的线状连接难以适应变化.
高考数学历来注重基础知识和基本技能的考查，虽然高考数学试题不可能考查单纯背诵、记忆的内容，不会直接考查课本上的原题，但高考试题大多能在课本上找到它的“根”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合.比如2009年新课标文理17题是解三角形的应用，为必修五1.2例2的变式，而2012年的17题更
是课本常见的解三角形题型.虽然现在高考试题力求体现新课改理念，但不论怎么新，解题的数学模型仍要以课本上重点数学知识为基础，所以夯实基础仍是重中之重，扎实的数学基础是成功解题、获取高分的关键，要防止忽视基础、专攻难题的不良倾向，真正做到：基本概念清晰明了，基本运算熟练正确，基本方法运用得当，书面表达规范准确.
三、提炼思想方法
怎样有效提高学生的解题能力？现在提倡高效课堂，有些老师往往着眼于多举例子，似乎学生做题越多越高效.我认为，不着重启发学生思路、推进其思维过程的课堂就不是高效课堂.只有让学生的“脑”和“手”都动起来，并使之在数学方法上有了突破，在数学思维能力上有了提升，才能称为高效.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是加强学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.因此，在二轮复习时应对高中数学涉及的四种主要思想方法即“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”进行专题研究，并在解题活动中注意提炼，而这些思想方法在各内容中侧重点各有不同.比如三角函数中公式及性质之类的内容较多，“等价转化”和“数形结合”的思想在三角函数这章中贯穿始终.
例如：若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图像分别交于m、n两点，则|mn|的最大值为（ b ）
a.1
b.
c.
d.2
分析：|mn|=|sina-cosa|=| sin（a- ）|= |sin（a- ）|≤，将两点之间的距离转化为三角函数的最值求解，而转化为三角函数的过程则运用了差角正弦公式的转化，体现了转化和数形结合的思想.
四、加强专题训练
高考命题强调全面考查考生的数学能力.在二轮复习中我主张
将历年高考试题按内容分类，经过筛选组成专题让学生练习.但选题时做到既要纵选，又要横选.例如，我在编三角函数资料时，除了把本省近五年高考三角函数试题编出来给学生练习外，还选一些外省的比较新颖的试题让学生练习.例如：（2010年重庆卷文15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线c，各段弧所在的圆经过同一点p（点p不在c上）且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为α =（i=1，2，3），则cos cos -sin sin = .
通过专题训练，使学生学会综合运用所学数学知识、思想和方法对新的信息、情境和设问进行分析与加工，独立思考，研究探索，解决问题，增强实践能力和创新意识.有利于学生了解认识新形势下高考试题，适应高考新要求.
五、注重引导学生进行总结与反思
每次考试或练习，教师讲评后要引导学生及时总结反思，总结
试卷中试题涉及的知识点，采用了哪些解题方法，反思自己错误的原因，要把当时解题思路的误区进行剖析，并补充好的解法.
例如：已知α∈（0，π），sinα+cosα= ，求tanα的值.
【错点分析】本题利用平方关系求出sinα-cosα的值，再通过解方程组的方法可解得sinα、cosα的值.但在解题过程中忽视了sinαcosα<0这个隐含条件来确定角α范围，主观认为sinα-cos α的值可正可负从而造成增解.
平时做练习题时，我都要求学生把选择题和填空题的主要过程写在试卷上，一是节省草稿纸，高考只一张草稿纸，养成只用一张草稿纸的习惯；二是等以后复习时能知道当时自己的思路误区在哪里，让学生养成整理“错题集”的习惯.只有这样不断地反思，才能真正做到：退一步——触发灵感，进一步——认清本质，串一串——融会贯通，议一议——豁然开朗，从而提高练习的实效.
总之，二轮复习绝不是一轮复习的翻版，要将重点放在指导学生“做真题、练真功”上，指导学生全面整理、提炼已有知识并创造性地运用到新问题和新情景中去.如此，方能真正实现“知识的深化”和“能力的活化”.。