2020高考数学模拟试题专题模板 (17)

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2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷(十七)文科数学

2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷（十七）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷1.已知集合{}{2,xP y y Q x y ====，则P Q =I （）A. []1,1-B. [)0,+∞C. (][),11,-∞+∞UD. (]0,1 2.计算21ii-（i 为虚数单位）等于（） A.1i -+ B. 1i -- C. 1i + D. 1i -3.已知一组数据点11223377(,),(,),(,),,(,),x y x y x y x y ⋅⋅⋅用最小二乘法得到其线性回归方程为24y x =-+，若数据1237,,,,x x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则71i i y ==∑（）A ．2B ．11C ．12D ．144.经过原点且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程为( )A.22(1)(1)2x y -++= B.22(1)(1)2x y ++-= C.22(1)(1)4x y -++= D.22(1)(1)4x y ++-=5. 已知向量(1,3),(3,)a b m ==．若向量a b ⊥，则实数m 等于( )A ．3 3B ．-3 3C ． 3D ．－ 36.如图，在程序框图中，若输入6n =，则输出k 的值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57.如图，正三棱柱111ABC A B C -中， E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1AB E8. 赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．413B C ．926D 9. 等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3711a a a ++是一个定值，则下列各数也为定值的是( ).A. 7SB. 8SC. 13SD. 15S10. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则在区间[0,6]上函数()y f x =的图像与x 轴的交点的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．911.已知点P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PF 的中垂线，则该双曲线的离心率是（）ABC ．2D12.函数223,0,(),0,x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩若0a b >>，且()()f a f b =，则()f a b +的取值范围是（） A ．[1,)-+∞B ．[0,)+∞C ．[7,)-+∞D ．(,0]-∞第II 卷二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数3log ,0()41,0x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩，则((2))f f -=_______．14. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次。

2020年高考数学模拟试题(附答案)

2020年高考数学模拟试题（附答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。

（共8题；共40分）1.设集合，则（）A. B. C. D.2.若实数满足则的最小值是（）A. B. C. D.3.设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 5B. 12C. 27D. 585.已知奇函数是定义在上的减函数，且，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.6.已知P为双曲线上一点，为双曲线C的左、右焦点，若，且直线与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.7.将函数的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像，则函数的单调增区间为（）A. B.C. D.8.已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（共6题；共30分）9.已知复数，其中为虚数单位，则复数的模是________．10.集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0，x∈Z}用列举法表示为________11.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为________.12.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.13.若，，，则的最小值为________．14.在△ABC中，tanA＝﹣3，△ABC的面积S△ABC＝1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0＝BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.（共6题；共80分）15.某单位开展“党员在线学习” 活动，统计党员某周周一至周日（共天）学习得分情况，下表是党员甲和党员乙学习得分情况：党员甲学习得分情况党员乙学习得分情况（1）求本周党员乙周一至周日（共天）学习得分的平均数和方差；（2）从本周周一至周日中任选一天，求这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于分的概率；（3）根据本周某一天的数据，将全单位名党员的学习得分按照，, ，，进行分组、绘制成频率分布直方图（如图）已知这一天甲和乙学习得分在名党员中排名分别为第和第名，请确定这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图．（直接写结果，不需要过程）16.如图四边形中，分别为的内角的对边，且满足．（1）证明：；（2）若，设, 求四边形面积的最大值.17.如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=1，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）线段AD上是否存在一点M，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为?若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．18.已知数列满足.(Ⅰ)若成等差数列，求的值；(Ⅱ)是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.19.已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数)．（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；（2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．20.已知函数f（x）=kx，（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（3）求证：．答案一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。

山东省2020年高考模拟考试数学试题 Word版含答案

山东省2020年普通高等院校统一招生模拟考试高三教学质量检测数学试题2020．02本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分．注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年(江苏)高考数学(理)大一轮复习检测：专题十七立体几何

专题十七立体几何一、填空题考向一立体几何中的计算问题1.(2017·苏州、无锡、常州、镇江二模)已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是,则该正四棱锥的体积为.2.(2018·南通、泰州一模)如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm,圆柱的底面积为9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为cm.(不计损耗)(第2题)(第3题)3.(2018·苏州期初)如图,正四棱锥P-ABCD的底面一边AB的长为2 cm,侧面积为8 cm2,则它的体积为cm3.4.(2017·江苏大联考)已知正四面体P-ABC的棱长为2,若M,N分别是PA,BC的中点,则三棱锥P-BMN 的体积为.(第5题)5.(2018·苏州一模)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为.(容器壁的厚度忽略不计,结果保留π)6.(2018·无锡一模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.考向二立体几何中的命题真假的判定问题7.(2017·丹阳高级中学期初)设α,β为两个不重合的平面,m,n为两条不同的直线,给出下列四个命题:①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若n⊂α,m⊂β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直;③若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;④若m∥n,n⊥α,α∥β,则m⊥β.其中正确的命题是.(填序号)8.(2016·南京三模)已知α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不同的直线,l⊥α,m⊂β.给出下列四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③m∥α⇒l⊥β;④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是.(填序号)9.(2016·镇江期末)已知b,c表示两条不同的直线,α,β表示两个不重合的平面,给出下列四个命题:①若b⊂α,c∥α,则b∥c;②若b⊂α,b∥c,则c∥α;③若c∥α,α⊥β,则c⊥β;④若c∥α,c⊥β,则α⊥β.其中正确的命题是.(填序号)10.(2017·南京、盐城、连云港二模)已知α,β是两个互不重合的平面,m,n是两条不同的直线,下列命题中正确的是.(填序号)①若α∥β,m⊂α,则m∥β;②若m∥α,n⊂α,则m∥n;③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β;④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β.11.(2017·广州模拟)已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法中正确的是.(填序号)①若m∥α,α∩β=n,则m∥n;②若m⊥α,n⊥m,则n∥α;③若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n;④若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β.(第12题)12.(2017·咸阳模拟)如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论:①PC∥平面OMN;②平面OMN⊥平面PAB;③OM⊥PA;④平面PCD∥平面OMN.其中正确的结论是.(填序号)考向三立体几何中的综合问题(第13题)13.(2016·无锡期末)如图,在圆锥VO中,O为底面圆的圆心,点A,B在圆O上,且OA⊥OB.若OA=VO=1,则点O到平面VAB的距离为.14.(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在体积为的四面体ABCD中,若AB⊥平面BCD,AB=1,BC=2,BD=3,则CD长度的所有值为.二、解答题15.(2017·常州一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都相等,且∠ABB1=60°,D为AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求证:AB⊥B1C.(第15题)16.(2017·苏州、无锡、常州、镇江二模)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.(第16题)17.(2017·扬州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,E,F分别是棱PC和PD的中点.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)若AP=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求证:AF⊥平面PCD.(第17题)18.(2018·苏州一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是A1D1,B1C1,D1D,C1C的中点.(1)求证:EF∥平面ABHG;(2)求证:平面ABHG⊥平面CFED.(第18题)19.(2018·苏州期初)如图,在三棱锥P-ABC中,已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC,CP⊥PB,求证:CP⊥PA;(2)若过点A作直线l⊥平面ABC,求证:l∥平面PBC.(第19题)20.(2018·常州一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,PC⊥平面ABCD,PB=PD,点Q 是棱PC上异于P,C的一点.(1)求证:BD⊥AC;(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上),求证:QF∥BC.(第20题)专题十七立体几何(第1题)1.【解析】如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=,AB=2,故AO=AB=,所以PO==1,所以V=Sh=×22×1=.2. 2【解析】由题知,铜质六角螺帽毛坯的体积V=6××42×sin60°-9×4=60(cm3).设正三棱柱的底面边长为a cm,则×a2×sin60°×6=60,解得a=2,所以正三棱柱的底面边长为2 cm.3. 4【解析】设正四棱锥P-ABCD的高为H,斜高为h,由题意得×2×4h=8,解得h=2,所以H==1,所以该四棱锥的体积V=S·H=×(2)2×1=4(cm3).4.【解析】如图,连接AN,作MD⊥PN,垂足为D.因为正四面体P-ABC的棱长为2,M,N分别是PA,BC 的中点,所以AN⊥BC,PN⊥BC,由此可得MN⊥AP,且AN=PN=.因为AN∩PN=N,AN⊂平面PAN,PN⊂平面PAN,所以BC⊥平面PAN.因为MD⊂平面PNA,所以MD⊥BC.因为MD⊥PN,BC∩PN=N,BC⊂平面PBN,PN⊂平面PBN,所以MD⊥平面PBN.又由题知MN==,因为PN·MD=PM·MN,所以MD===,所以三棱锥P-BMN 的体积==×S△PBN×MD=××1××=.(第4题)5. 30π【解析】由题图知,该鲁班锁外接球的直径与长、宽、高分别为2,1,5的长方体的外接球直径相同.设该球形容器的半径为R,则2R≥,即R≥,所以S=4πR2≥4π×=30π.6. 50π【解析】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AB⊥BC,所以可以将该直三棱柱补形成长、宽、高分别为3,4,5的长方体,该长方体的体对角线长即为该直三棱柱的直径,且2R==5,所以S=4πR2=50π.7.③④【解析】因为m⊥α,m⊥n,所以n∥α或n⊂α,故①错误;对于②,当m平行α与β的交线,n垂直于α与β的交线时,m⊥n,故②错误;由面面垂直的性质定理知③正确;因为n⊥α,α∥β,所以n⊥β,又m∥n,所以m⊥β,故④正确.8.①④【解析】对于①,因为l⊥α且α∥β,所以l⊥β,又m⊂β,所以l⊥m,故①正确;对于②,由l⊥α,α⊥β,可知l∥β或l⊂β,则l与m的位置关系不确定,故②不正确;对于③,由m∥α且m⊂β,可知α与β平行或相交,若α与β相交,则l与β不垂直,故③不正确;对于④,由l⊥α且l⊥β,可知α∥β,又m⊂β,所以m∥α,故④正确.9.④【解析】对于①,b与c的位置关系不确定;对于②,可能c⊂α;对于③,c与β的位置关系不确定;只有④是正确的.10.①④【解析】①是面面平行的性质,故①正确;②m,n可能异面,故②错误;③当m⊄α时,m⊥β不成立,故③错误;④由m⊥α,n⊥α,得m∥n,又n⊥β,所以m⊥β,故④正确.(第11题)11.③【解析】对于①,如图,m∥α,α∩β=n,此时m,n异面,故①错误;对于②,若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故②错误;对于③,若n⊥β,α⊥β,则n∥α或n⊂α,又m⊥α,所以m⊥n,故③正确;对于④,若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m也可能与β相交、平行或在β内,故④错误.12.①③④【解析】如图,其中E,F分别为AD,BC的中点,G为OE的中点,平面OMN即平面MNFE.因为PC∥OM,所以PC∥平面OMN,同理PD∥ON,又OM∩ON=O,所以平面PCD∥平面OMN,故①④正确;由于四棱锥的棱长均相等,所以PA2+PC2=AB2+BC2=AC2,所以PC⊥PA,又PC∥OM,所以OM⊥PA,故③正确;因为OM=PC=PD=ME,所以MG⊥OE,又MN∥OE,所以GM⊥MN,假设平面OMN⊥平面PAB,则GM⊥平面PAB,则MG⊥PA,设四棱锥的棱长为4,则MA=2,AG=,MG=,三边长度不满足勾股定理,所以MG不垂直PA,与假设矛盾,故②不正确.(第12题)13.【解析】方法一:设点O到平面VAB的距离为h.由题意知=,所以××1×1×1=××h,解得h=.方法二:取AB的中点M,连接OM,VM.在Rt△VOM中,点O到VM的距离即为点O到平面VAB的距离.因为VO=1,OM=,VM=,所以点O到VM的距离d==,故点O到平面VAB的距离为.14.,【解析】因为四面体ABCD的体积V=××2×3×sin∠CBD×1=,所以sin∠CBD=,所以∠CBD=60°或120°.当∠CBD=60°时,CD2=22+32-2×2×3×cos 60°=7,所以CD=;当∠CBD=120°时,CD2=22+32-2×2×3×cos 120°=19,所以CD=.综上,CD长度的所有值为,.15.(1)连接AB1交A1B于点E,连接DE.因为D,E分别为AC,AB1的中点,所以DE∥B1C.因为DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)取AB的中点O,连接OC,OB1.因为BA=BB1,且∠ABB1=60°,所以△ABB1为正三角形.而O为AB的中点,所以OB1⊥AB.在正三角形ABC中,O为AB的中点,所以OC⊥AB.因为OB1∩OC=O,且OB1⊂平面OB1C,OC⊂平面OB1C,所以AB⊥平面OB1C.又因为B1C⊂平面OB1C,所以AB⊥B1C.16.(1)如图,连接BC1,因为OE∥平面BCC1B1,OE⊂平面ABC1,平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1,所以OE∥BC1.因为侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,所以O是AC1的中点.所以==1,即E是AB的中点.(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C.因为AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC.因为BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.(第16题)17.(1)因为点E,F分别是棱PC和PD的中点,所以EF∥CD.又在矩形ABCD中,AB∥CD,所以EF∥AB.又AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)在矩形ABCD中,AD⊥CD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又AF⊂平面PAD,所以CD⊥AF.因为PA=AD且F是PD的中点,所以AF⊥PD.因为PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PD∩CD=D,所以AF⊥平面PCD.18.(1)因为E,F分别是A1D1,B1C1的中点,所以EF∥A1B1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥AB,所以EF∥AB.又EF⊄平面ABHG,AB⊂平面ABHG,所以EF∥平面ABHG.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BB1C1C.又BH⊂平面BB1C1C,所以BH⊥CD.①如图,设BH∩CF=P,△BCH≌△CC1F,所以∠HBC=∠FCC1.因为∠HBC+∠PHC=90°,所以∠FCC1+∠PHC=90°,所以∠HPC=90°,即BH⊥CF.②由①②,又DC∩CF=C,CF,CD⊂平面CFED,所以BH⊥平面CFED.又因为BH⊂平面ABHG,所以平面ABHG⊥平面CFED.(第18题)(第19题)19.(1)因为平面PBC⊥平面ABC,平面PBC∩平面ABC=BC,AB⊂平面ABC,AB⊥BC,所以AB⊥平面PBC.因为CP⊂平面PBC,所以CP⊥AB.又因为CP⊥PB,且PB∩AB=B,AB,PB⊂平面PAB,所以CP⊥平面PAB,因为PA⊂平面PAB,所以CP⊥PA.(2)如图,在平面PBC内过点P作PD⊥BC,垂足为D.因为平面PBC⊥平面ABC,平面PBC∩平面ABC=BC,PD⊂平面PBC,所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC,所以l∥PD.又l⊄平面PBC,PD⊂平面PBC,所以l∥平面PBC.20.(1)因为PC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PC.如图,记AC,BD的交点为O,连接OP.平行四边形对角线互相平分,则O为BD的中点,又在△PBD中,PB=PD,所以BD⊥OP.又PC∩OP=P,PC,OP⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.(2)因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC.又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.又AD⊂平面ADQF,平面ADQF∩平面PBC=QF,所以AD∥QF.又AD∥BC,所以QF∥BC.(第20题)。

2020高考数学全真模拟试卷含答案

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，少年！一、选择题 (每小题5分,共10小题,50分)1．设I 为全集，M 、N 、P 都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是A. M ∩（N ∪P ）B.M ∩［（I N ）∩P ］C.［（I M ）∩（I N ）］∩PD.（M ∩N ）∪（M ∩P ）（）. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4=18－a 5,则S 8等于 ( )A.18B.36C.54D.723．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是 ( )A.121B.21C.61D.31 4.函数)4sin()4sin()(x x x f -+=ππ是（） A ．周期为π2的奇函数； B ．周期为π2的偶函数； C ．周期为π的奇函数； D ．周期为π的偶函数. 5．已知等差数列{a n }第一项、第三项、第七项分别是一个等比数列｛b n ｝的连续三项，则数列｛b n ｝的公比等于（）Ａ．2 Ｂ．２2 Ｃ．２Ｄ．３26．已知f (cos x )=cos3x ,则f (sin30°)的值是( )A.1B.23C.0D.－17．若2tan()45πα+=、1tan()44πβ-=，则tan()αβ+= （）A ．1B ．1318 Ｃ．518 Ｄ．－１８．若函数f(x)＝1()cos 1x a x e +-是奇函数，则常数a 等于（）Ａ．－１Ｂ．１Ｃ．12Ｄ．12-9．设)(x f 是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，)1(log )(21x x f -=，则)(x f 在)2,1(上（）A ．是减函数，且0)(>x f ；B ．是增函数，且0)(>x f ；C ．是减函数，且0)(<x f ；D ．是增函数，且0)(<x f . 10．已知函数c bx ax x x f +++=23)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f （x ）的解析式为：x x x f 4)(3-=，∈x [-2，2] ②f （x ）的极值点有且仅有一个③f （x ）的最大值与最小值之和等于零其中正确的命题个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二. 、填空题 ( 每小题4分,共4个小题,16分)11．过曲线y =x 3－x 上点（1，0）的切线方程的一般式是 .12．已知数列1，4,,21a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则221b a a +的值为13．设sin αβ==，α、β∈(0,)2π，则β－α＝．a 114．已知数列{a n }中，a 1＝１，a 6=32，a n+2=21nna a +,把数列{a n }的2a 3a 4a各项排成如图的三角形形状，记A(m,n)为第m 行从左5a 6a 7a 8a 9a…………………………… 起的第n 个数，则A(4,3)＝；A(m,n)＝．三、解答题( 共6 小题,总分84分,要求写出必要的解题过程 ) 15．（本题14分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，A=2B ，cos B =，求sinC 的值． 16（本题14分）.：已知函数3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f .（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值；（6分）（Ⅱ）当θ=3π时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合. （6分）17． (本题14分) 如图, 四棱锥P －ABCD 的底面是正方形, PA ⊥底面ABCD, PA ＝AD ＝2, 点M 、N 分别为棱PD 、PC 的中点. (1) 求证: PD ⊥平面AMN; （7分） (2) 求二面角P －AN －M 的大小. （7分）NMDCBAP18．(本题14分)已知定义域为（0，+∞）的函数f(x)满足：①对任意m、n，有f(m﹒n)=f(m)+f(n);②当x＞1时，有f(x)＜０. （1）求证：1()()=-（6分）；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上f f mm为减函数．（8分）19．(本题14分) 某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室，要求全体教职员工都参加其中的某一项目. 据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而去娱乐室的人有20%下次去健身房.(Ⅰ) 设第n次去健身房的人数为a，试用n a表示1 n a；n(Ⅱ) 随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？说明理由.20．（本小题满分14分）已知定义域为R的二次函数f x()的最小值为0且有f x f x ()()11+=-，直线g x x ()()=-41被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=，()()()()a a g a f a n N n n n n +-+=∈10*。

2020年高考数学(理科)全国1卷高考模拟试卷(17)

2020年高考数学（理科）全国1卷高考模拟试卷（17）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝N ，则A ∩B ＝（） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{0，1，2} C ．{﹣2，﹣1，0，1} D ．{0，1}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足z⋅i 3+2i=1−i ，则z =（） A ．1+5iB ．﹣1﹣5iC ．1﹣5iD ．﹣1+5i3．（5分）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊈α，n ⫋α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知数列{a n }满足a n +1•（1﹣a n ）＝1，且a 1=−12，则a 2020＝（） A ．3B ．−12C ．23D ．134525．（5分）根据如下样本数据：x 1 2 3 4 5 6 y54.53.532.52得到的线性回归方程为y =b x +a ，则（） A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞06．（5分）若直线y ＝ax +2a 与不等式组{x −y +6≥0x ≤3x +y −3≥0表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是（） A ．[0，95]B ．[0，9]C ．[0，+∞]D ．[﹣∞，9]7．（5分）已知数列{a n }中，a 1=12，a n +1＝1−1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A ．n ≤2 015B ．n ≤2 018C ．n ≤2 020D ．n ≤2 0218．（5分）设向量CA →=2OB →，|OA →|＝2√5，OA →•OB →=1，则OA →•OC →=（） A ．14B ．16C ．18D ．209．（5分）函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx2−π4)−sin 2ωx +cosωx(ω＞0)的区间[0，π]上的最大值与最小值之和是0，则ω的最小值是（） A ．94B ．54C ．1D ．3411．（5分）若双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +3）2+y 2＝9所截得的弦长为3，则E 的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．2D ．2√3312．（5分）已知定义在R 上的连续函数f （x ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），且f （﹣2）＝0，f '（x ）为函数f （x ）的导函数，当x ＜2时，有f （x ）+f '（x ）＞0，则不等式x •f （x ）＞0的解集为（）A ．（0，6）B ．（﹣2，0）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，6）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|MN |＝2|NF |，则∠NMF ＝． 14．（5分）若二项式(x −x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为．15．（5分）若无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）是等差数列，则其前10项的和为． 16．（5分）边长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC =√5，PC =√2，P A =√5，PB =√6，E 是线段BC 的中点．（1）求点C 到平面APE 的距离d ；（2）求二面角P ﹣EA ﹣B 的余弦值．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +b =√3c ，2sin 2C ＝3sin A sin B ．（1）求C ；（2）设P （﹣1，cos A ），Q （﹣cos A ，1），且A ≤C ，OP →与OQ →的夹角为θ，求cos θ的值． 19．（12分）已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品．（1）求一、二、三等品各取到一个的概率；（2）记X 表示取到一等品的件数，求X 的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C ：x 23+y 2b 2=1（b ＞0）的右焦点为F ，过F 作两条直线分别与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相切于A ，B ，且△ABF 为直角三角形．又知椭圆C 上的点与圆O 上的点的最大距离为√3+1．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若不经过点F 的直线l ：y ＝kx +m （其中k ＜0，m ＞0）与圆O 相切，且直线l 与椭圆C 交于P ，Q ，求△FPQ 的周长．21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣x +2sin x ，f '（x ）为f （x ）的导函数．（Ⅰ）求证：f '（x ）在（0，π）上存在唯一零点；（Ⅱ）求证：f （x ）有且仅有两个不同的零点四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）记f （x ）的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1a+2b+12a+b=m ，求a +b 的最小值．2020年高考数学（理科）全国1卷高考模拟试卷（17）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{0，1}【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝[﹣2，3]，B＝N，则A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z⋅i3+2i=1−i，则z=（）A．1+5i B．﹣1﹣5i C．1﹣5i D．﹣1+5i【解答】解：因为z⋅i3+2i=1−i，所以z•i＝（1﹣i）•（3+2i）＝5﹣i，所以z=−1−5i，z−1+5i，故选：D．3．（5分）已知平面α，直线m，n满足m⊈α，n⫋α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m⊈α，n⫋α，“m∥n”⇒“m∥α”．∴m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知数列{a n}满足a n+1•（1﹣a n）＝1，且a1=−12，则a2020＝（）A．3B．−12C．23D．13452【解答】解：数列{a n}满足a n+1•（1﹣a n）＝1，且a1=−1 2，a2=23，a3＝3，a4=−12，…，所以数列的周期为：3，则a2020＝a673×3+1＝a1=−1 2．故选：B．5．（5分）根据如下样本数据：x123456y 54.53.5 3 2.5 2得到的线性回归方程为y =b x +a ，则（） A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0【解答】解：【方法一】根据表中数据，计算x =16×（1+2+3+4+5+6）＝3.5， y =16×（5+4.5+3.5+3+2.5+2）=4112≈3.4；计算b =∑ 6i=1xi y i−6xy∑ 6i=1x i2−6x 2=(5+9+10.5+12+12.5+12)−6×3.5×3.4(1+4+9+16+25+36)−6×3.52≈−0.66＜0；a =y −b x =3.4﹣（﹣0.66）×3.5＝5.71＞0．【方法二】根据表中样本数据知，变量y 随x 的增大而减小，所以线性回归方程y =b x +a 中，b ＜0；又x ＞0，对应y ＞0，所以a ＞0．故选：A ．6．（5分）若直线y ＝ax +2a 与不等式组{x −y +6≥0x ≤3x +y −3≥0表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是（） A ．[0，95]B ．[0，9]C ．[0，+∞]D ．[﹣∞，9]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示 {x −y +6=0x +y −3=0⇒{x =−32y =92；∴C （−32，92），直线y ＝a （x +2）过定点A （﹣2，0），直线y ＝a （x +2）经过不等式组表示的平面区域有公共点则a ＞0，k AC =92−0(−32)−(−2)=9，∴a ∈[0，9]．故选：B ．7．（5分）已知数列{a n }中，a 1=12，a n +1＝1−1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A ．n ≤2 015B ．n ≤2 018C ．n ≤2 020D ．n ≤2 021【解答】解：因为a 1=12，a n +1＝1−1a n，所以a 2=1−1a 1=1−2=−1，a 3=1−1a 2=1+1=2，a 4=1−1a 3=1−12=12，所以数列{a n }是以3为周期的周期数列，循环的三项分别是12，−1，2，即输出的数字2是循环数列中的第三项，20153=671⋯⋯2，20183=672⋯⋯2，20203=673⋯⋯1，20213=673⋯⋯2，只有选项C 对应的余数是1，不是2，故选：C ．8．（5分）设向量CA →=2OB →，|OA →|＝2√5，OA →•OB →=1，则OA →•OC →=（） A ．14B ．16C ．18D ．20【解答】解：∵CA →=OA →−OC →=2OB →， ∴OA →=2OB →+OC →，∴OA →2=OA →⋅(2OB →+OC →)=2OA →⋅OB →+OA →⋅OC →， ∴(2√5)2=2×1+OA →⋅OC →， ∴OA →⋅OC →=18．故选：C ．9．（5分）函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2，其定义域为{x |x ≠0}，且f （﹣x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2＝﹣（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2）＝﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，排除A 、C ，又由x →0时，（3x ﹣3﹣x ）→0，则f （x ）→0，排除D ；故选：B ．10．（5分）已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx +cosωx(ω＞0)的区间[0，π]上的最大值与最小值之和是0，则ω的最小值是（） A ．94B ．54C ．1D ．34【解答】解：f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx +cosωx(ω＞0) ＝2sin ωx ⋅1+cos(ωx−π2)2−1−cos2ωx 2+cosωx ＝sin ωx +sin ωx •sin ωx −12+12cos2ωx +cos ωx ＝sin ωx +sin 2ωx −12(1−cos2ωx)+cos ωx＝sin ωx +cos ωx =√2sin(ωx +π4)．由ωx +π4=π2+kπ，得x =π4ω+kπω，k ∈Z ；由ωx +π4=3π2+kπ，得x =5π4ω+kπω，k ∈Z ． ∵f （x ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之和是0，∴{π4ω≥05π4ω≤π，即ω≥54．∴ω的最小值是54．故选：B ．11．（5分）若双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +3）2+y 2＝9所截得的弦长为3，则E 的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．2D ．2√33【解答】解：由圆C ：（x +3）2+y 2＝9可得圆心（﹣3，0），半径为3，双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为：bx ﹣ay ＝0，渐近线被圆（x +3）2+y 2＝9所截得的弦长为：3，圆心到直线的距离为：√a 2+b 2，由弦长公式可得32=√9−9b 2a 2+b 2，可得a 2a 2+b 2=14，即c 2a 2=4．可得e ＝2，故选：C ．12．（5分）已知定义在R 上的连续函数f （x ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），且f （﹣2）＝0，f '（x ）为函数f （x ）的导函数，当x ＜2时，有f （x ）+f '（x ）＞0，则不等式x •f （x ）＞0的解集为（） A ．（0，6） B ．（﹣2，0）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，6）【解答】解：由f （x ）＝f （4﹣x ），且f （﹣2）＝0，可得f （6）＝0，且函数图象关于x ＝2对称，令g （x ）＝e x f （x ），则g ′（x ）＝e x [f （x ）+f ′（x ）]当，因为x ＜2时，有f （x ）+f '（x ）＞0，即g ′（x ）＞0，所以g （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，根据函数的对称性可得f （x ）在（2，+∞）上单调递减，g （x ）的大致图象如图所示，则不等式x •f （x ）＞0可化为x⋅g(x)e x＞0即x •g （x ）＞0，所以{x ＞0g(x)＞0，或{x ＜0g(x)＜0，可得，0＜x ＜6或x ＜﹣2．故不等式的解集（0，6）∪（﹣∞，﹣2）故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|MN |＝2|NF |，则∠NMF ＝π3．【解答】解：过点N 作NP ⊥准线，交准线于P ，由抛物线定义知|NP |＝|NF |， ∴在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°， |MN |＝2|PN |， ∴∠PMN ＝30°， ∴∠NMF =π3．故答案为：π3．14．（5分）若二项式(x −1√x )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 15 ．【解答】解：由二项式(x −1√x )n展开式中只有第4项的二项式系数最大，即展开式有7项，∴n ＝6； ∴展开式中的通项公式为T r +1=C 6r•（﹣1）r •x 6−32r ；令6−32r ＝0，求得r ＝4，故展开式中的常数项为（﹣1）4•C 64=15．故答案为：15．15．（5分）若无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）是等差数列，则其前10项的和为 10 ．【解答】解：∵无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）是等差数列， ∴ω＝0，∴cos （ωn ）＝1，∴无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）的前10项的和为：S 10＝10×1＝10．故答案为：10．16．（5分）边长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为π4．【解答】解：如图，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ，则∠MNO 即为直线MN 与底面ABCD 所成线面角，所以tan ∠MNO =MO NO =2，则NO =12，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心0为圆心，以12为半径的圆，则N 的轨迹围成的封闭图象的面积为S =π4．故答案为：π4．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC =√5，PC =√2，P A =√5，PB =√6，E 是线段BC 的中点．（1）求点C 到平面APE 的距离d ；（2）求二面角P ﹣EA ﹣B 的余弦值．【解答】解：∵AB 2+BC 2＝AC 2，PC 2+BC 2＝PB 2，P A 2+AB 2＝PB 2， ∴∠ABC =∠PCB =∠PAB =π2，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，易得OP ＝1，且BC ⊥OC ，BA ⊥OA ， ∴四边形ABCO 为矩形，（1）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C （1，0，0），E （1，1，0），A （0，2，0），P （0，0，1）， AP →=(0，−2，1)，AE →=(1，−1，0)，CE →=(0，1，0)，设平面APE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AP →=−2y +z =0n →⋅AE →=x −y =0，令x ＝1，则n →=(1，1，2)， ∴d =|CE →⋅n →||n →|=√66；（2）由（1）知平面APE 的法向量为n →=(1，1，2)，取平面ABE 的一个法向量m →=(0，0，1)，且二面角P ﹣EA ﹣B 为钝角，设其为θ，故cosθ=−|n →⋅m →||n →||m →|=−√63．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +b =√3c ，2sin 2C ＝3sin A sin B ．（1）求C ；（2）设P （﹣1，cos A ），Q （﹣cos A ，1），且A ≤C ，OP →与OQ →的夹角为θ，求cos θ的值．【解答】解：（1）∵2sin 2C ＝3sin A sin B ， ∴sin 2C =32sinAsinB ， ∴由正弦定理得c 2=32ab ， ∵a +b =√3c ， ∴a 2+b 2+2ab ＝3c 2，根据余弦定理得：cosC =a 2+b 2−c 22ab =2c 2−2ab 2ab =ab 2ab =12，∴C =π3．（2）由（1）知C =π3，代入已知，并结合正弦定理得：{sinA +sinB =32sinAsinB =12，解得sinA =12或sin A ＝1（舍去），所以A ＝30°，B ＝90°， ∴OP →⋅OQ →=2cosA =√3，而|OP →|⋅|OQ →|=√1+cos 2A ⋅√cos 2A +1=1+cos 2A =74， ∴cosθ=2cosA 1+cos 2A =√374=4√37． 19．（12分）已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品．（1）求一、二、三等品各取到一个的概率；（2）记X 表示取到一等品的件数，求X 的分布列和数学期望．【解答】解：（1）一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品．基本事件总数n =C 93=84，一、二、三等品各取到一个包含的基本事件个数m ＝2×3×4＝24， ∴一、二、三等品各取到一个的概率p =m n =2484=27．（2）记X 表示取到一等品的件数，则X 的可能取值为0，1，2， P （X ＝0）=C 73C 93=512， P （X ＝1）=C 21C 72C 93=12， P （X ＝2）=C 22C 71C 93=112， ∴X 的分布列为：X 012 P51212112数学期望E （X ）=0×512+1×12+2×112=23． 20．（12分）已知椭圆C ：x 23+y 2b =1（b ＞0）的右焦点为F ，过F 作两条直线分别与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相切于A ，B ，且△ABF 为直角三角形．又知椭圆C 上的点与圆O 上的点的最大距离为√3+1．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若不经过点F 的直线l ：y ＝kx +m （其中k ＜0，m ＞0）与圆O 相切，且直线l 与椭圆C 交于P ，Q ，求△FPQ 的周长．【解答】解：（1）椭圆C 上的点与圆O 上的点的最大距离为√3+1，可得√3+1⇒a +r =√3+1⇒r =1； △ABF 为直角三角形⇒c =√2r ⇒c =√2；又b 2+c 2＝3⇒b ＝1．圆O 的方程为：x 2+y 2＝1；椭圆C 的方程为：x 2+y 2=1．（2）y＝kx+m与圆相切：则m2＝k2+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由{x23+y2=1y=kx+m得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，由△＞0，得3k2+1＞m2…（※），且x1+x2=−6km1+3k2，x1x2=3m2−31+3k2，|PQ|=2√3√k2+1⋅√3k2−m2+13k2+1=−2√6k√k2+13k2+1，|PF|+|QF|=2a−e(x1+x2)=2√3+2√6k √k2+13k2+1，△FPQ的周长为|PQ|+|PF|+|QF|=2√3．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+2sin x，f'（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求证：f'（x）在（0，π）上存在唯一零点；（Ⅱ）求证：f（x）有且仅有两个不同的零点【解答】解：（Ⅰ）设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈（0，π）时，g′(x)=−2sinx−1x2＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减．又∵g(π3)=3π−1+1＞0，g(π2)=2π−1＜0，∴g（x）在(π3，π2)上有唯一的零点．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当x∈（0，α）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，α）上单调递增；当x∈（α，π）时，f'（x）＜0，f（x）在（α，π）上单调递减；∴f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值点α(π3＜α＜π2)，∴f(α)＞f(π2)=lnπ2−π2+2＞2−π2＞0．∵f(12)=−2−12+2sin12＜−2−12+2＜0，∴f（x）在（0，α）上恰有一个零点．∵f（π）＝lnπ﹣π＜2﹣π＜0，∴f（x）在（α，π）上也恰有一个零点；②当x∈[π，2π）时，sin x≤0，f（x）≤lnx﹣x．设h（x）＝lnx﹣x，ℎ′(x)=1x−1＜0，∴h（x）在[π，2π）上单调递减，∴h（x）≤h（π）＜0，∴当x ∈[π，2π）时，f （x ）≤h （x ）≤h （π）＜0恒成立， ∴f （x ）在[π，2π）上没有零点．③当x ∈[2π，+∞）时，f （x ）≤lnx ﹣x +2，设φ（x ）＝lnx ﹣x +2，φ′(x)=1x −1＜0，∴φ（x ）在[2π，+∞）上单调递减，∴φ（x ）≤φ（2π）＜0， ∴当x ∈[2π，+∞）时，f （x ）≤φ（x ）≤φ（2π）＜0恒成立， ∴f （x ）在[2π，+∞）上没有零点．综上，f （x ）有且仅有两个零点．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①．直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②．所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0．设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =82=4√2．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）记f （x ）的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1a+2b+12a+b=m ，求a +b 的最小值．【解答】解：（1）当x ≥2时，f （x ）＝x +1﹣（x ﹣2）＝3≥1恒成立，∴x ≥2，当﹣1≤x ＜2时，f （x ）＝x +1+x ﹣2＝2x ﹣1≥1，解得1≤x ＜2，当x ＜﹣1时，f （x ）＝﹣（x +1）+x ﹣2＝﹣3≥1不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1，+∞）；（2）由（1）知m ＝3，即1a+2b+12a+b=3，∴a +b =19[(a +2b)+(2a +b)(1a+2b +12a+b )=19(2+a+2b2a+b +2a+ba+2b )≥19(2+2√a+2b 2a+b ⋅2a+ba+2b )=49，当且仅当a+2b 2a+b=2a+b a+2b ，即a =b =29时等号成立，∴a +b 的最小值是49．。

专题17 定积分与微积分基本定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) Word版含解析

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题17定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.基础知识融会贯通1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )．在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.重点难点突破【题型一】定积分的计算【典型例题】函数为奇函数，则（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由于函数为奇函数，则，得a＝1，因此，．故选：D．【再练一题】计算（cos x+e x）dx为（）A．e B．e 2 C．e D．e【解答】解：（cos x+e x）dx＝（sin x+e x）（）﹣（sin0+e0）＝11．故选：A．思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．【题型二】定积分的几何意义命题点1利用定积分的几何意义计算定积分【典型例题】（π）dx＝．【解答】解：依题意，（π）dx（）dx（﹣π）dx（）dx﹣πx|（）dx﹣4π．而（）dx的几何意义为圆x2+y2＝4（y≥0）在x轴上方的面积，所以（）dx﹣4π4π＝﹣2π．故填：﹣2π．【再练一题】，则T的值为（）A．B．C．﹣1 D．1【解答】解：根据题意，M dx的几何意义为半径为1的圆的的面积，则M dx，则T sin2xdx cos2x；故选：A．命题点2求平面图形的面积【典型例题】由直线与曲线y＝sin x所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作出对应的图象，则封闭区域的面积S＝﹣∫sin xdx+∫sin xdx﹣∫sin xdx＝﹣（﹣cos x）|（﹣cos x）|（﹣cos x）|＝cos0﹣cos（）﹣cosπ+cos0+cos cosπ＝11+11＝4，故选：B．【再练一题】如图是函数y＝x与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得两函数的交点为（0，0），（1，1）．所以阴影部分的面积S（）|．故选：A．思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．【题型三】定积分在物理中的应用【典型例题】汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S（3t+1）dt＝（t） 5.5；故选：C．【再练一题】一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx∫12（5﹣x2）dx（5x x3）|12故选：C ．思维升华定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .基础知识训练1．【吉林省白城市通榆县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考（期中)】已知函数，则（）A ．16B ．8C ．2cos2D ．2cos2-【答案】A 【解析】，故选：A2．【河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试】已知图中的三条曲线所对应的函数分别为，2y x =，314y x =，则阴影部分的面积为（）A ．1ln2+B ．ln 2C ．1D ．2【答案】B 【解析】由1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1x =；由14y xx y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2x =. 阴影部分的面积.故选：B3．【河南省豫南六市2018-2019学年高二下学期期中测试】已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数，若()f x 在xa 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A ．1a <B ．10a -<<C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <【答案】C 【解析】，即1m =则当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意当0a <时或时，()0f x '<，此时()f x 单调递减时，()0f x '>，此时()f x 单调递增则()f x 在x a 处取得极大值，满足题意当01a <<时或时，()0f x '>，此时()f x 单调递增时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a 处取得极小值，不满足题意当1a >时或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在xa 处取得极大值，满足题意综上所述：1a >或0a <4．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】下列积分值最大的是（） A ．B ．C ．D ．11edx x【答案】 A 【解析】 A ：，函数y=2sin x x 为奇函数，故，，B:，C:表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的14，故，D:，通过比较可知选项A 的积分值最大，故选：A5．【福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二下学期期中考试】由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( )A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22【答案】B 【解析】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =，所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为，故选B ．6．【湖南省醴陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图所示,在边长为1的正方形OABC 内任取一点P,用M 表示事件“点P 恰好取自曲线2y x =与直线1y =及y 轴所围成的曲边梯形内”,N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”,则P(N | M)等于( )A ．14B ．15C ．16D ．71 【答案】A 【解析】根据条件概率的公式得到()P MN 表示落在阴影部分的概率，故答案为：A.7．【福建省福州市2018-2019学年高二下学期期中联考】设1d a x x =⎰，，12d c x x =⎰，则,,a b c 的大小关系A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】 ∵，由定积分的几何意义可知，表示单位圆在第一象限部分与x 轴、y 轴所围成的封闭曲线的面积，等于4π，，∴b a c >>，故选C.8．【广东省佛山市第二中学2018-2019学年第二学期第三次月考高二级】已知，则22()d f x x -⎰的值为（）A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．不确定【答案】A 【解析】由题意，.故选A9．【云南省昭通市云天化中学2018-2019学年高二下学期5月月考】射线与曲线3y x =所围成的图形的面积为（） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】将射线方程与曲线方程联立34y xy x=⎧⎨=⎩，解得：1100x y =⎧⎨=⎩，2228x y =⎧⎨=⎩ 即射线与曲线3y x =有两个公共点所围成的图形的面积为本题正确选项：B10．【吉林省长春市九台区师范高中、实验高中2018-2019学年高二下学期期中考试】（）A ．πB ．2πC ．2D ．1【答案】A 【解析】因为定积分表示直线与曲线24y x =-围成的图像面积，又24y x =-表示圆224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分表示圆224x y +=的14，其中，故.故选A11．【福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知区域，区域，在Ω内随机投掷一点M，则点M落在区域A内的概率是（）A．1112e⎛⎫-⎪⎝⎭B．1114e⎛⎫-⎪⎝⎭C．1118e⎛⎫-⎪⎝⎭D．11e-【答案】B【解析】由题意，对应区域为正方形区域，其面积为224S==；对应区域如下图阴影部分所示：其面积为，所以点M落在区域A内的概率是.故选B12．【湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，当时，由可得；所以，又，所以在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为.故选B13．【福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】若是偶函数，则______．【答案】【解析】由题意，函数是偶函数，则，即，所以，又由定积分的几何意义可知，积分，表示所表示的半径为2的半圆的面积，即，所以，故答案为：．14．【广西南宁市第三中学、柳州市高级中学2018-2019学年高二下学期联考（第三次月考)】二项式的展开式中，第三项系数为2，则11adx x=⎰_______ 【答案】ln 2 【解析】展开式的通项为，第三项系数为，因为0a >，所以2a =，，故答案为ln 2.15．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二下学期期中考试】__________．【答案】8π 【解析】由题表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以=，440xdx -=⎰所以故答案为8π16．【福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期中考】如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.【答案】14【解析】由图象可知，直线OB 方程为：y x = 则阴影部分面积为：∴所求概率本题正确结果：1417．【云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试】定积分______. 【答案】2 【解析】.18．【四川省树德中学2018-2019学年高二5月阶段性测试】定积分__________．【答案】2π+ 【解析】因为表示圆224x y +=面积的14，所以；又，所以.故答案为2π+19．【安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考】二项式的展开式的第四项的系数为-40，则21ax dx -⎰的值为__________．【答案】3 【解析】二项式（ax ﹣1）5 的通项公式为： T r +15rC =•（ax ）5﹣r •（﹣1）r ，故第四项为35C -•（ax ）2＝﹣10a 2x 2，令﹣10a 2＝﹣40，解得a ＝±2，又a ＞0，所以a ＝2．则故答案为：3．20．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】曲线22y x =-与曲线y x =所围成的区域的面积为__________. 【答案】92【解析】由曲线y ＝x 与y ＝2-x 2，得2-x 2=x ，解得x ＝-2或x ＝1，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积（2x-231123x x -）1-2| ＝=78+4+2-63= 92；故答案为：92．能力提升训练1．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，在正方形OABC 内任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（）A ．14 B ．13 C ．25D ．37【答案】B 【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S 阴1=⎰（1x -）dx ＝（x 3223x -）101|3=，设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A ，由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．2．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 【答案】B 【解析】由题意，阴影部分的面积为，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为.故选B3．【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图，在半径为π的圆内，有一条以圆心为中心，以2π为周期的曲线，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．1πB ．21πC ．22πD ．无法确定【答案】B【解析】由题意知：圆的面积为：周期为2π可得：22ππω= 1ω∴=设圆的圆心为：(),0πϕπ⇒=∴曲线为：∴阴影部分面积∴所求概率本题正确选项：B4．【河南省开封市2019届高三第三次模拟】如图，在矩形中的曲线是的一部分，点，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】阴影部分面积为矩形的面积为则此点落在阴影部分的概率故选B。

新高考数学一轮二轮复习专题-专题十七圆锥曲线的方程(原卷版)-4月5月真题汇编

十七圆锥曲线的方程一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）已知F 为抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，M 为其上一点，且|MF |＝2p ，则直线MF 的斜率为（）．A ．－3B ．±3C D ．2．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=3．（2020·全国高二课时练习）已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是（） A ．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－3，0) D ．(－2，0)4．（2020·全国高二课时练习）抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是（） A ．43 B ．25C ．85D ．35．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线C 的焦点在x 轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M (2，m )满足|MF |＝6，则抛物线C 的方程为（） A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x6．（2020·全国高二课时练习）“双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>”是“双曲线C 的渐近线方程为by x a=±”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件7．（2021·全国高三月考（理））已知点1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P 与12PF F △的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点Q ，且2PI IQ =，则该椭圆的离心率为（） A ．12B ．13C ．14D ．238．（2019·湖南长沙市·长沙一中高二月考）已知椭圆22162x y m+=的一个焦点为()0,2，则m 的值为（） A ．1B ．3C ．5D ．89．（2020·全国高二单元测试）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为曲线的一条渐近线与直线20x y +=平行，则双曲线的方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221164x y -=D ．22331520x y -=10．（2021·湖北高二期中）已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b -=>>的渐近线方程为12y x =±，则双曲线的离心率为（）A B C D 11．（2021·湖南师大附中高三月考）如图，已知双曲线()222210x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A ．53B ．54C ．43D ．3212．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知椭圆C 与双曲线221x y -=有相同的左焦点1F 、右焦点2F ，点P 是两曲线的一个交点，且120PF PF ⋅=.过2F 作倾斜角为45°的直线交C 于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），且2AB AF λ=，则λ的值为（）A ．3+B ．3C ．2D ．2+13．（2021·全国高三专题练习（文））过曲线1C ：22221x y a b-=(0a b >>)的左焦点1F 做曲线2C ：222x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线3C ：22y px =(0p >)于点N ，其中1C ､3C 有一个共同的焦点，若1MF MN =，则曲线1C 的离心率为（）A 1 BC D 114．（2021·全国高三专题练习）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．1015．（2021·甘肃高三二模（文））抛物线()220y px p =>准线上的点A 与抛物线上的点B 关于原点O 对称，线段AB 的垂直平分线OM 与抛物线交于点M ，若直线MB 经过点()4,0N ，则抛物线的焦点坐标是（） A ．()4,0B ．()2,0C ．()1,0D ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭16．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列说法不正确的是（）A ．C 在点A 处的切线方程为()11y y p x x =+B ．2sin AOBp S θ=△ C ．过抛物线C 准线上的任意一点P 作C 的切线，则过两切点12,Q Q 的弦必过焦点F D ．22sin pAB θ=17．（2021·全国高三专题练习）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于点A 、B ，若A 、B 两点在准线上的射影分别为M 、N ，线段MN 的中点为C ，则下列叙述不正确的是（） A ．AC BC ⊥B ．四边形AMCF 的面积等于AC MF ⋅ C ．AF BF AF BF +=⋅D ．直线AC 与抛物线相切二、多选题18．（2020·全国高二单元测试）（多选题）若椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和椭圆()222222222:10x y C a b a b +=>>的离心率相同，且12a a >，则下列结论正确的是（）A ．椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点B ．1122a b a b = C ．22221212a a b b -<-D ．1212a a b b -<-19．（2021·全国高三专题练习）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线()222210,0x y a b a b+=>>上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB ．椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点处的曲率半径的最大值为aC ．椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点处的曲率半径的最小值为2b aD ．对于椭圆()22211x y a a +=>上点01,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率半径随着a 的增大而减小20．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知抛物线22x y =，点1(,1),,12M t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，过M作抛物线的两条切线,MA MB ，其中A ，B 为切点，直线AB 与y 轴交于点P ，则下列结论正确的有（） A ．点P 的坐标为(0,1)B ．OA OB ⊥C ．MAB △的面积的最大值为D ．||||PA PB 的取值范围是[2,2+ 21．（2020·全国高二课时练习）以椭圆22169x y +＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（）A ．228016x y -＝1 B ．22459y x -＝1C ．221648x y -＝1 D ．22927y x -=122．（2021·湖北高二期中）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右端点分别为1A ，2A ，点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且1212PA PA k k ⋅=-，则下列说法正确的有（） A ．椭圆C的离心率为2B ．椭圆C 的离心率不确定 C ．11PA QA k k ⋅的值受点P ，Q 的位置影响D ．12cos A PA ∠的最小值为13-23．（2021·河北高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，长轴长为4，点)P在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（） A ．离心率的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B时，1QF QP +的最大值为2a +C ．存在点Q 使得120QF QF ⋅= D ．1211QF QF +的最小值为1 24．（2020·全国高二课时练习）(多选)已知直线y =kx +1与椭圆2215x y m+=，则（）A ．直线y =kx +1恒过定点(0，1)B ．方程2215x y m +=表示椭圆的条件为m >0C ．方程2215x y m+=表示椭圆的条件为0<m <5D ．直线与椭圆总有公共点的m 取值范围是m ≥1且m ≠525．（2021·广东茂名市·高三月考）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，C 的一条渐近线l的方程为y =，且1F 到l的距离为点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为()2,0，PQ 为12F PF ∠的平分线.则下列正确的是（）A ．双曲线的方程为221927x y -=B ．122PF PF =C ．1236PF PF +=D ．点P 到x 轴的距离为226．（2021·湖南师大附中高三月考）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（） A ．PQ 的最小值为4B ．已知曲线C 上的两点S ，T 到点F 的距离之和为10，则线段ST 的中点横坐标是4 C ．设()0,1M ，则12PM PP +≥D ．过()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条27．（2021·全国高三其他模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与双曲线22:11832x y Ω-=有相同的渐近线，且过点(6,P ，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A ．若双曲线C 上一点M 到它的焦点1F 的距离等于16，则点M 到另一个焦点2F 的距离为10B ．过点(3,0)的直线l 与双曲线C 有唯一公共点，则直线l 的方程为43120x y --=C ．若N 是双曲线C 左支上的点，且1232NF NF ⋅=，则12F NF △的面积为16 D ．过点(2,2)Q 的直线与双曲线2222178x y a b -=--相交于A ，B 两点，且(2,2)Q 为弦AB 的中点，则直线AB 的方程为460x y --=第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、解答题28．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点与上顶点关于直线y x =-对称，又点12P ⎫⎪⎪⎝⎭在E 上．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，过点()1,0M 作直线l 的垂线，垂足为Q ，试证点Q 总在定圆上．29．（2021·云南高三二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A ，B 是一动点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且123111k k k +=，记B 点的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）过(1,0)C 的直线与E 交于M ，N 两点，过线段MN 的中点D 且垂直于MN 的直线与x 轴交于H 点，若4MN DH =，求直线MN 的方程．30．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线C 的中心在原点，抛物线2y =的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线:1l y kx =+与双曲线C 相交于A 、B 两点. （1）求双曲线C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求实数k 值.31．（2021·浙江高二期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，点M 在椭圆上运动，当时，12120F MF ∠=︒时，12MF F △的面积取得最大值O 是坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:2l x =与椭圆C 在第一象限交于点N ，过N 作两条关于直线l 对称的直线12l l ，，分别交椭圆于不同于N 的两点A ，B ．求证：//ON AB ．32．（2020·全国高二课时练习）椭圆E ：22x a＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2，0)，且离心率为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (4，0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2020·全国高二课时练习）过椭圆216x ＋24y ＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．（1）求此弦所在的直线方程；（2）求此弦长．34．（2020·全国高二单元测试）已知曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-. （1）若l 与C 左支交于两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A B 、两点，O 是坐标原点，且AOB，求实数k 的值.35．（2021·河北高三月考）已知坐标原点为O ，双曲线()2222C :10,0x y a b a b-=>>的. （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设过双曲线上动点()00,P x y 的直线0012y yx x -=分别交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，求AOB 的外心M 的轨迹方程.36．（2020·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；（2）焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(；（3）经过两点(，-1,2⎛ ⎪⎝⎭. 37．（2020·全国高二课时练习）如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，求抛物线的方程．38．（2020·全国高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；（2）与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-.39．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，B 是一动点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且123111k k k +=，记B 点的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知直线l ：1x ty =+，l 与曲线E 交于C ，D 两点，直线AC 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，直线AD 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点.当四边形MNPQ 的面积最小时，求直线l 的方程.40．（2020·全国高二课时练习）已知过点()1,1A -的直线l 与椭圆22184x y +=交于点B ，C ，当直线l 绕点()1,1A -旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程.41．（2021·湖南高三月考）已知椭圆2222C:1(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若1F AB 的周长为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，过原点作直线与椭圆C 分别交于点M 、N （点P 不在直线MN 上），求PMN 面积的最大值.42．（2021·全国高三专题练习）设椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0A -、()10B ,，C 为椭圆M 上的点，且3ACB π∠=，ABC S =△（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E 、F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE DF ⋅为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由.43．（2021·湖南长沙市·长沙一中高二月考）已知抛物线E ：22x py =的焦点为F ，准线为l ，l 与y 轴的交点为P ，点M 在抛物线E 上，过点M 作MN ⊥l 于点N ，如图1．已知cos ∠FMN ＝35，且四边形PFMN 的面积为72．（1）求抛物线E 的方程；（2）若正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 都在抛物线E 上（如图2），求正方形ABCD 面积的最小值．44．（2021·全国高三专题练习）设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l ：x=t ，曲线Γ：()280,0y x x t y =≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP 的面积；（3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．45．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆C ：22x ＋y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D .（1）求四边形OAHB (O 为坐标原点)的面积的取值范围. （2）证明：直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标.46．（2021·甘肃高三二模（文））已知圆222:O x y b +=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点2F ，且经过点2F 作圆O 的切线被椭圆C 截得的弦．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 经过椭圆C 的右焦点2F 与椭圆交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=，求直线l 的方程．47．（2021·全国高三专题练习）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C 1：24x ＋y 2＝1，椭圆C 2与C 1是“相似椭圆”，且椭圆C 2的短半轴长为b . （1）写出椭圆C 2的方程；（2）若在椭圆C 2上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围. 四、填空题48．（2020·全国高二课时练习）已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是________．49．（2021·全国高三二模（理））已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 交该双曲线的右支于M ，N 两点(M 点位于第一象限)，12MF F △的内切圆半径为1R ，12NF F △的内切圆半径为2R ，且满足124R R =，则直线l 的斜率为___________.50．（2021·全国高一课时练习）如图，已知点C 的坐标是(2,2)过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ，设点M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为__.51．（2020·全国高二课时练习）已知a >b >0，椭圆C 1的方程为2222x y a b +＝1，双曲线C 2的方程为2222x y a b -＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．52．（2020·全国高二课时练习）若椭圆焦距为8，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程为____________．53．（2020·全国高二课时练习）已知曲线221x y a b-=与直线x +y -1=0相交于P ，Q 两点，且0OP OQ ⋅=(O 为原点)，则11a b-=________. 54．（2020·全国高二课时练习）已知以F 1(-2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线40x ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________.55．（2020·全国高二课时练习）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆与直线280x y ++=相交于P ，Q 两点，若PQ =，则椭圆方程为_________________________.56．（2020·全国高二课时练习）若直线2y x b =+与椭圆2214x y +=无公共点，则b 的取值范围为____________.57．（2021·湖北荆门市·高三月考）已知椭圆22122:1x y C a b+=与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，且两曲线在第一象限的交点为P ，若212PF F F ⊥，且2a b =，则双曲线2C 的离心率为_________．58．（2021·湖南高三月考）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点1F 作以焦点2F 为圆心的圆的切线，其中一个切点为M ，12F F M△的面积为2c ，其中c 为半焦距，线段1MF 恰好被双曲线C 的一条渐近线平分，则双曲线C 的离心率为________.。

专题17 解三角形-2020年高考数学(理)(全国Ⅱ专版)(原卷版)

专题17解三角形【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴△周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴△周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==113sin 222ABC S ac B ==⨯=△【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．BC ．D ．【答案】A【解析】因为2253cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.【命题意图】三角函数主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以选择、填空、解答题的形式出现，属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，可能与三角函数的图象和性质等交汇命题，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【命题规律】本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.【应试技巧】在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则1．正弦定理：sin sin sin a b c==A B C.2．常见变形sin sin sin 1,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ======（）2;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C+++++======+++++（）3::sin :sin :sin ;a b c A B C =（）3．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，4．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===5．三角形面积公式（1）三角形的高的公式：h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ．（2）三角形的面积公式：S =21ab sin C ，S =21bc sin A ，S =21ca sin B.6．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4==.sin sin sin a b cR R ABC A B C（）正弦定理的推广：，其中为△外接圆的半径7．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例）（1）从代数角度来看：①若sin sin 1b AB=a>，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sin sin 1b A B=a =，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b A B=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2.注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论.（2）从几何角度来看：①当A 为锐角时，一解一解两解无解②当A 为钝角或直角时，一解一解无解无解8．利用余弦定理解三角形的步骤【解题经验分享】1．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．2．在解实际问题时，需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．3．利用正弦定理与余弦定理解题时，经常用到转化思想一个是把边转化为角，另一个是把角转化为边，，具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标，对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便，根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论，利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角，但计算麻烦．1．（2020·河北新乐市第一中学高三）已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC 的面积A ．12B ．1C ．D ．22．（2020·安徽省高三三模）在ABC 中，若3,120AB BC C ==∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．43．（2020·横峰中学高三）在ABC 中，已知45A ∠=︒，AB =，且AB 边上的高为则sin C =A ．1010BC ．5D ．54．（2020·广西壮族自治区高三）已知ABC 中，BC 边上的中线3AD =，4BC =，60BAC ∠=︒，则ABC ∆的周长为A 4+B ．4+C ．4+D ．45．（2020·山东省高三）在ABC 中，cos cos A B +=，AB =当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．26．（2020·陕西省洛南中学高三）在ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π7．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：+c2a b S p +==；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的△ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为A ．B ．C ．D ．128．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b a cosC sinC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，c 3=，则角C =A ．π3B ．π6C ．3π4D ．π49．（2020·麻城市实验高级中学高三）锐角ABC ∆中，角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，若()sin 04A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，1b c ==，则角C 的大小为A ．12πB ．6πC ．3πD ．512π10．（2020·麻城市实验高级中学高三）《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为A ．2114mB ．257mC ．254m D ．248m 11．（2020·福建省高三）设ABC 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知()4cos cos a c B b C -=，则cos B =______．12．（2020·青海省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =4b =，120A =︒，则ABC 的面积为______．13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3A π=，6a =，b =，则C =_______．14．（2020·四川省阆中中学高三二模）在ABC 中，若()22235a c b+=，则cos B 的最小值为______．15．（2020·全国高三月考）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2cos cos 0a c B b C ++=，且4ac =，则ABC 的面积为______．16．（2020·内蒙古自治区高三二模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2B Cb a B +⋅=⋅，且2c =，则锐角ABC 面积的取值范围是______．17．（2020·赣榆智贤中学高三）在ABC 中角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且352115cos cos cos bc A ac B ab C==，则cos C 的值为______．18．（2020·河南省高三月考）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()222cos cos b a a B b A -=+，ABC ∆的周长为)51，则ABC ∆面积的最大值为______．19．（2020·福建省厦门外国语学校高三）如图所示，三个全等的三角形ABF 、BCD 、CAE V 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=______．20．（2020·江苏省高三）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其接圆半径为R .已知1c =，且△ABC 的面积()()22sin sin S R B A B A =-+，则a 的最小值为______．21．（2020·山东省高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =______，ABC ∆面积的最大值为______．22．（2020·西藏自治区高三二模）在ABC 中，4a =，5b =，6c =，则cos A =________，ABC 的面积为________．23．（2020·浙江省杭州高级中学高三）在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，135o B ∠=，AB =，AC =，5CD =，则sin ACB ∠=________，AD =________.24．（2020·广东省高三月考）已知锐角ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos cos b A A C =2cos A，则tan A =______；若2a =，则b c +的取值范围为______．25．（2020·浙江省高三）已知在ABC 中，1cos3B =，AB =，8AC =，延长BC 至D ，使2CD =，则AD =______，sin CAD ∠=______．26．（2020·山东省高三三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos sin a b C c B -=．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，sin 3sin A C =，求BC 边上的高．27．（2020·天津高三二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a 2+c 2＝b 2105+ac .（1）求cosB 及tan 2B 的值；（2）若b ＝3，A 4π=，求c 的值.28．（2020·定远县育才学校高三）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos c a B -=.（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC 面积的取值范围.29．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos a C b c A =-.（1）求角A 的大小；（2）若a =，2b =，求ABC ∆的面积.30．（2020·全国高三月考）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且57b c =，4cos 5A =，ABC 的面积21S =.（1）求边b 和c ；（2）求角B .31．（2020·广东省高三）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22sin 1cos22A B C +=-.（1）求出角C 的大小；（2）若ABC ，求ABC 的周长的最小值.32．（2020·湖北省高三）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积S 2224b c a +-=．（1）若a =b =cos B ．（2）求sin （A +B ）+sin B cos B +cos （B ﹣A ）的最大值．33．（2020·四川省泸县五中高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.34．（2020·六盘山高级中学高三）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c +的最大值.35．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模）在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin b A B=.（1）求A ；（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积.36．（2020·定西市第一中学高三）在锐角ABC 中，a =，________，（1）求角A ；（2）求ABC 的周长l 的范围.注：在①(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A A m n =-= ，且12m n ⋅=- ，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(,()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.37．（2020·天津耀华中学高三一模）在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且a b ¹.（Ⅰ）求cos B 及a 的值；（Ⅱ）求cos 23B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.38．（2020·山东省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin cos cos cos A B C A B C+=+（1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC 的面积S =（2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围．39．（2020·广东省金山中学高三三模）已知ABC 内接于单位圆，且()()112tanA tanB ++=，()1求角C()2求ABC 面积的最大值．40．（2020·梅河口市第五中学高三）已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，()sin sin sin sin a A C b B c C -=-，点D 在边AB 上，1BD =，且DA =.（1）求角B 的大小；（2）若BCD 的面积为2，求b 的值.41．（2020·江苏省高三三模）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若5(sin C sin B)5sin A 8sin B a b c--=+．（1）求cosC 的值；（2）若A ＝C ，求sinB 的值．42．（2020·湖南省高三三模）已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，()cos (cos cos )b a C c A B -=-，22b ac =．（1）求cos C ；（2）若ABC c ．43．（2020·云南省云南师大附中高三）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且三个内角A 、B 、C 依次成等差数列.（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC 为钝角三角形，且a c >，求21cos cos 2222A A C -+的取值范围.44．（2020·巩义市教育科研培训中心高三）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒.（1）若2a b =，求tan A 的值；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且1CD =，求ABC 的面积的最小值.45．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=.（1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.46．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin c b A b -=．（1）证明：2A B =．（2）若3cos 4B =，求sinC 的值．47．（2020·甘肃省高三）如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s 3c in os 3b C C a-=.（1）求A ；（2）若点P 是线段CA 延长线上一点，且3PA =，2AC =，6C π=，求PB .48．（2020·黑龙江省哈师大附中高三）在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且直线x C =为函数()22cos sin cos f x x x x x =--图象的一条对称轴．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若kc a b ≥+恒成立，求实数k 的最小值．49．（2020·甘肃省西北师大附中高三）在ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且)()2cos cos b A C π--=.(Ⅰ)求A 的值；(Ⅱ)若角,6B BC π=边上的中线AM =，求ABC ∆的面积.50．（2020·福建省厦门一中高三）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，33CD AB ==．（1）若CA CD =，且tan ABC ∠=ABC 的面积S ；（2）若2cos 4DAC ∠=，3cos 4ACD ∠=，求BD 的长．51．（2020·全国高三三模）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别等于a ，b ，c ，列举如下五个条件:①sin sin 2B C a B b +=；sin A A +=；③cos A +cos2A =0；④a =4；⑤△ABC 的面积等于.（1）请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角A 大小的条件来求角A ；（2）在（1）的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求△ABC 周长的取值范围52．（2020·山东省高三二模）在①222b ac a c +=+，②cos sin B b A =cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_________，4A π=，b =（1）求角B ；（2）求ABC 的面积.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷数学(浙江专用)试题(十七)含解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(十七)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{x ∈Z |x 2－3x －10<0}，集合P ＝{0，3}，Q ＝{2，0，1}，则∁U (P ∪Q )＝( ) A ．{－1，4，5} B ．{－1，4} C ．{－1，1，2，3，4}D ．{1，2，3}2．若复数z 满足z (1＋i)＝|1＋i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B ．2－1C ．1D ．2＋123．若a ，b 为实数，则“ 3a <3b ”是“1|a |>1|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(0<φ<π)的图象关于原点对称，且f (x )在区间[0，π4]上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．(0，2]B ．(0，1]C ．[－2，0)D ．[1，2]5．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )6．已知数列{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( ) A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不能确定7．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若对任意x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，存在x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥28．已知点P (x ，y )∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2，M (2，－1)，则OM →·OP →(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－89．在△ABC 中，AD ⊥BC ，CD ＝2BD ＝4，AD ＝2 3.若将△ACD 沿AD 折起，构成三棱锥C ′ABD .若点C ′在平面ABD 上的射影H 在线段DB 的延长线上，则cos ∠BAC ′的取值范围为( )A ．(277，5714)B ．(277，9728)C ．(77，9728) D ．(77，277) 10．已知O 为坐标原点，双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)上有一点P ，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A 、B ，若平行四边形 OAPB 的面积为1，则双曲线C 的离心率为 ( )A. 2 B ． 3 C ．2D ．52第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．已知抛物线y 2＝4x ，则其焦点坐标为________，点(x 0，2)到准线的距离为________．12．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，A ＝π6，a ＝2，b ＝23，则B ＝________，△ABC 的面积S ＝________.13．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，1个白球．现从甲，乙两袋中各任取2个球，记取到的4个球中是白球的个数为ξ，则ξ＝2的概率为________，ξ的期望为________．14．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，则AB 与AC 的夹角为________，以|AB →|，|AC →|为边的平行四边形的面积为________．15．若⎝⎛⎭⎫ax ＋bx 6展开式中常数项为20，则a 2＋b 2的最小值是________．16．如图，已知在四面体ABCD 中，平行于AB ，CD 的平面α截四面体所得的截面为EFGH ，AEEC ＝2，则多面体ABFEHG 与四面体ABCD 的体积之比为________．17．记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b a ，a ＜b .设实数x ，y ＞0，k ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫22x ＋y ，y x 2＋y 2，则k 的取值范围是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围．19.(本题满分15分)如图，直线P A 与平行四边形ABCD 所在的平面垂直，且P A ＝AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°.(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．20．(本题满分15分)已知函数f (x )＝|x 2－a |，g (x )＝x 2－ax ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求f (x )在区间[－1，1]上的最大值； (2)求f (x )在区间[－1，1]上的最大值M (a )的最小值；(3)若关于x 的方程f (x )＋g (x )＝0在(0，2)上有两个解，求a 的取值范围．21.(本题满分15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为23，以A 为圆心的圆(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)与椭圆相交于B 、C 两点．(1)求椭圆的标准方程； (2)求AB →·AC →的取值范围；(3)设P 是椭圆上异于B 、C 的任一点，直线PB 、PC 与x 轴分别交于M 、N ，求S △POM ·S △PON 的最大值．22．(本题满分15分)已知数列{a n}满足a31＋a32＋…＋a3n＝n2（n＋1）24，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：对任意的n∈N*，都有a12a1－a1＋a22a2－a2＋a32a3－a3＋…＋a n2a n－a n<4.高考仿真模拟卷(十七)1．解析：选B.法一：解不等式x 2－3x －10<0，即(x ＋2)(x －5)<0，得－2<x <5，故U ＝{－1，0，1，2，3，4}．而P ∪Q ＝{0，1，2，3}，所以∁U (P ∪Q )＝{－1，4}，故选B.法二：显然全集中不含元素5，所以排除A 选项；又1∈Q ，所以1∉∁U (P ∪Q )，故可排除C 、D 选项，所以选B. 2．解析：选D.由z (1＋i)＝|1＋i|＋i ，得z ＝2＋i 1＋i ＝（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋12＋1－22i ，故z 的实部为2＋12，故选D. 3．解析：选D.根据题意，若“3a <3b ”，则有a <b ，而“1|a |>1|b |”不一定成立，如a ＝－3，b ＝1；若“1|a |>1|b |”，则有|a |<|b |，“3a <3b ”不一定成立，如a ＝1，b ＝－3，故“3a <3b ”是“1|a |>1|b |”的既不充分也不必要条件．4．解析：选A.由函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(0<φ<π)的图象关于原点对称，得函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<φ<π，所以φ＝π2.故f (x )＝cos(ωx ＋π2)＝－sin ωx .因为f (x )在区间[0，π4]上单调递减，所以ω>0，且π4≤T 4＝π2ω，解得ω≤2.所以ω的取值范围是(0，2]． 5．解析：选B.函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝cos( － x )·log 2|－x |＝cos x ·log 2|x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、D 两项；又当x ∈(0，1)时，cos x >0，log 2|x |<0，所以f (x )<0，即函数f (x )在(0，1)上的图象在x 轴下方，故排除C 项，选B.6．解析：选B.因为{b n }是等差数列，所以b 4＋b 10＝2b 7，又a 6＝b 7，所以b 4＋b 10＝2a 6.因为数列{a n }是正项等比数列，所以a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)≥2a 3q 3＝2a 6，所以a 3＋a 9≥b 4＋b 10，故选B.7．解析：选A.由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2，3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.8．解析：选C.由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，，显然集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x ＋2y －2＝0得A (－2，2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6.9．解析：选A.在△ABC 中，由AD ⊥BC ，CD ＝2BD ＝4，AD ＝23得AB ＝4，AC ＝27.设BH ＝t ∈(0，2)，则DH ＝2＋t .因为C ′H ⊥DH ，C ′D ＝4，所以C ′H 2＝16－(t ＋2)2，所以C ′B 2＝C ′H 2＋t 2＝16－(t ＋2)2＋t 2＝12－4t .在△ABC ′中，由余弦定理可知，cos ∠BAC ′＝AC ′2＋AB 2－BC ′22AC ′·AB ＝28＋16－12＋4t 2×27×4＝8＋t 47∈(277，5714)．10．解析：选D.渐近线方程是x ±ay ＝0，设P (m ，n )，过点P 且平行于x ＋ay ＝0的直线为l ，则l 的方程为x ＋ay －m －an ＝0，设l 与渐近线x －ay ＝0的交点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫m ＋an 2，m ＋an 2a ，|OA |＝|m ＋an 2|1＋1a2，P 点到OA 的距离是d ＝|m －an |1＋a 2.因为|OA |·d ＝1，所以⎪⎪⎪⎪m ＋an 2·1＋1a 2·|m －an |1＋a 2＝1，因为m 2a 2－n 2＝1，所以a ＝2.所以双曲线的离心率为52.故选D. 11．解析：抛物线y 2＝4x 是焦点在x 轴正半轴上的抛物线，故焦点为(1，0)，又4＝4x 0，所以x 0＝1，准线方程为x ＝－1，所以点(1，2)到x ＝－1的距离为2.答案：(1，0) 212．解析：由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝23×122＝32，所以B ＝π3或2π3.若B ＝π3，则C ＝π－A －B ＝π2，此时 S ＝12ab ＝12×2×23＝2 3.若B ＝2π3，则C ＝π－A －B ＝π6，所以A ＝C ，此时c ＝a ＝2，所以S ＝12ac sinB ＝12×2×2×32＝ 3.所以S ＝23或 3.答案：π3或2π323或313．解析：P (ξ＝2)＝C 12C 12C 11C 12＋C 22C 22C 24C 23＝918＝12，分布列为所以E (ξ)＝1×618＋2×918＋3×218＝53.答案：12 5314．解析：由题意可得：AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.所以sin 〈AB →，AC →〉＝32，即AB 与AC 的夹角为60°.所以以|AB →|，|AC →|为边的平行四边形的面积 S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.答案：60° 7315．解析：因为⎝⎛⎭⎫ax ＋b x 6展开式中常数项为C 36a 3b 3＝20，ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．答案：216．解析：过点E 作EM ∥AD ，交CD 于点M ，连接FM ，因为AE EC ＝2，所以V E CFM ＝(13)3V A BCD ＝127V A BCD .在三棱柱EFM HGD 中，S △GHD ＝19S △ABD ，设点C 到平面ABD 的距离为h ，则三棱柱的高为23h .故V EFM HGD ＝23h ×19S △ABD ＝29V A BCD ，所以V ABFEHG ＝(1－127－29)V A BCD ＝2027V A BCD . 答案：202717．解析：因为k ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫22x ＋y ，y x 2＋y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜k ≤22x ＋y 0＜k ≤y x 2＋y 2，所以0＜k 2≤（22x ＋y ）yx 2＋y 2. 令f (x ，y )＝22xy ＋y 2x 2＋y 2＝22y x ＋⎝⎛⎭⎫y x 21＋⎝⎛⎭⎫y x 2，令y x ＝t ＞0，令m ＝22t －1，所以f (t )＝t 2＋22t t 2＋1＝1＋22t －1t 2＋1＝1＋8m m 2＋2m ＋9＝1＋8m ＋9m ＋2≤1＋86＋2＝2，当且仅当m ＝3时，取“＝”，所以k ∈(0，2]．答案：(0，2]18．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)由题意可知，不等式f (x )≥m 有解，即m ≤f (x )max .因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值，且最大值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝2. 从而可得m ≤2 .19．解：(1)证明：因为AB ＝AD ，所以平行四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又P A ∩AC ＝A .所以BD ⊥平面 P AC .(2)设AC ∩BD ＝O ，取PC 的中点Q ，连接 OQ ，在△APC 中，AO ＝OC ，CQ ＝QP ，所以OQ ∥P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OQ ⊥平面ABCD .如图，取OA ，OB ，OQ 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (－3，0，0)，P (3，0，2)，所以AP →＝(0，0，2)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，而BC →＝(－3，－1，0)，PB →＝(－3，1，－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BC →，n ⊥PB →得⎩⎨⎧－3x －y ＝0，－3x ＋y －2z ＝0，令x ＝1，则y ＝－3，z ＝－3，所以n ＝(1，－3，－3)为平面PBC 的一个法向量．所以cos 〈AP →，n 〉＝AP →·n |AP →|×|n |＝－232×1＋3＋3＝－217.设直线P A 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AP →，n 〉|＝217.20．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x 2－1|，f (x )在区间[－1，1]上的最大值为1.(2)由于f (x )＝|x 2－a |在区间[－1，1]上是偶函数，故只需考虑f (x )在[0，1]上的最大值即可．若a ≤0，则f (x )＝x 2－a ，它在[0，1]上是增函数，故M (a )＝1－a ，若a >0，由a ＝1－a 知，当a <12时，M (a )＝1－a ；当a ≥12时，M (a )＝a .故当a ＝12时，M (a )最小，最小值为12. (3)令y ＝f (x )＋g (x )，当a ＝0时，方程y ＝2x 2＝0只有一解；当a <0时，y ＝2x 2－ax －a 对称轴为x ＝a4<0，故方程f (x )＋g (x )＝0在(0，2)上不存在两解；当a >0时，y ＝⎩⎨⎧2x 2－ax －a （x <－a 或x >a ）.－ax ＋a （－a ≤x ≤a ）令h (x )＝2x 2－ax －a 由h (0)＝－a <0知方程h (x )＝0在(0，＋∞)只有一解，故方程－ax ＋a ＝0必有一解x ＝1，知a ≥1，所以方程h (x )＝0在(1，2)必有一解，由h (1)h (2)<0得(2－2a )(8－3a )<0所以1<a <83.综上所述，a 的取值范围为1<a <83.21．解：(1)椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设B (x 0，y 0)则C (x 0，－y 0)且x 204＋y 20＝1，所以AB →·AC →＝(x 0－2)2－y 20＝(x 0－2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 204＝54x 20－4x 0＋3＝54⎝⎛⎭⎫x 0－852－15，因为－2<x 0<2，所以AB →·AC →的取值范围为⎣⎡⎭⎫－15，16. (3)设P (x 1，y 1)(y 1≠±y 0)，则x 214＋y 21＝1，直线PB 、PC 的方程分别为PB ：y －y 1＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 1)，PC ：y －y 1＝－y 0－y 1x 0－x 1(x －x 1)，分别令y ＝0得x M ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，x N ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，所以x M x N ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21＝（4－4y 21）y 20－（4－4y 20）y 21y 20－y 21＝4（y 20－y 21）y 20－y 21＝4，于是S △POM ·S △PON ＝14|OM ||ON |·y 21＝14|x M x N |·y 21＝y 21. 因为－1≤y 1≤1，所以S △POM ·S △PON 取得最大值为1. 22．解：(1)因为数列{a n }满足a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝n 2（n ＋1）24，n ∈N *.所以当n ＝1时，a 31＝1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，满足a 31＋a 32＋…＋a 3n －1＝n 2（n －1）24，n ∈N *. 所以a 3n ＝n 2（n ＋1）24－n 2（n －1）24＝n 3，n ∈N *. 解得a n ＝n ，当n ＝1时也满足，所以a n ＝n .(2)证明：由(1)得a n 2a n －a n ＝n 2n －n . 因为2n ＋1－(n ＋1)－(2n －n )＝2n －1>0，所以2n －n ≥2－1>0，所以a n 2a n －a n>0. 又a n 2a n －a n －2n 2n ＝2n （n －2n －1）2n （2n －n ）≤0. 所以a n 2a n －a n ≤n 2n －1. 所以a 12a 1－a 1＋a 22a 2－a 2＋a 32a 3－a 3＋…＋a n 2a n －a n <121－1＋222－1＋323－1＋…＋n 2n －1. 设S ＝121－1＋222－1＋323－1＋…＋n 2n －1， 12S ＝12＋222＋…＋n －12n －1＋n 2n ，由错位相减法，得12S ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12－n 2n ＝2－2＋n 2n <2，所以S <4.所以a 12a 1－a 1＋a 22a 2－a 2＋a 32a 3－a 3＋…＋a n 2a n －a n<4.。

备战2020高考数学之冲破压轴题-专题17 立体几何中的最值问题【学生版

第四章立体几何专题17 立体几何中的最值问题【压轴综述】在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．在涉及最值的问题中主要有三类，一是距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何量）的值.从解答思路看，有几何法（利用几何特征）和代数法(应用函数思想、应用基本不等式等)两种，都需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换．要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，有关计算公式熟练掌握.一、涉及几何体切接问题最值计算求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；二.涉及角的计算最值问题1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．四结论．3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”. （2）利用向量法求线面角的方法(i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.【压轴典例】例1.（2018·全国高考真题（理））已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A B C ．4 D 例2.（2018·全国高考真题（文））设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．例3.（2017·全国高考真题（理））a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）例4.（2017·全国高考真题（理））如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为______．例5.（2016·浙江高考真题（理））如图，在ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .例6.（2019·安徽芜湖一中高三开学考试）在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =．Rt AOC ∆可以通过Rt AOB ∆以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（1）求证：平面COD 平面AOB；（2）求直线CD与平面AOB所成角的正弦的最大值．例7.（2019·深圳市高级中学高三月考（文））如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO 垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；(2)求三棱锥P－ABC体积的最大值；(3)若，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．例8.（2016·江苏高考真题）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？【压轴训练】1．（2019·四川石室中学高三开学考试（文））在ABC △中，已知AB =BC =045ABC ∠=，D 是边AC 上一点，将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围为（）A.(B.C.D.(2．（2019·四川高三月考（文））已知球O 表面上的四点A ，B ，C ，P 满足AC BC ==2AB =．若四面体PABC 体积的最大值为23，则球O 的表面积为（） A ．254π B ．254π C ．2516π D ．8π3．（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，则θ的取值范围是（）A ．),2πB ．π⎡⎤⎣⎦C ．}D ．π⎫⎪⎪⎣⎭4．（2019·安徽高考模拟（理））如图，已知四面体ABCD 为正四面体，1AB ＝，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）A ．14BCD ．15．（2019·湖北高三月考（理））若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为( )A ．3B ．C ．D ．6．（2019·四川雅安中学高三开学考试（文））已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上，且AB BC ==2AC =，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（） A.50081π B.1009π C.259π D.4π7．（2017·山西高三（理））两球1O 和2O 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内部，且互相外切，若球1O 与过点A 的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为( )A ．(32pB ．(42pC ．(32p +D ．(42p8．（2019·广东高考模拟（理））平面四边形ABCD 中，AD AB ==CD CB ==且AD A B ⊥，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折成A BD '∆，则在A BD '∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线A C '与平面BCD 所成最大角的正切值为（）A ．2B ．12C D9．（2019·云南省玉溪第一中学高二月考（理））已知底面边长为，侧棱长为S ABCD -内接于球1O ．若球2O 在球1O 内且与平面ABCD 相切，则球2O 的直径的最大值为__________．10．（2019·山西高三月考）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，AB AC ⊥，则该三棱锥体积的最大值是__．11．（2019·云南师大附中高三月考）在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且14BB =，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O -ABC 的体积为2，则球O 的表面积的最小值是_____________.12．（2019·湖南高三月考（文））已知三棱锥A BCD -满足3AB BD DC CA ====，则该三棱锥体积的最大值为________.13．（2019·河南高三月考（文））已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足BA BC ==2ABC π∠=，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为________.14．（2019·四川双流中学高三月考（文））已知球的直径4DC =，A ，B 是该球面上的两点，6ADC BDC π∠=∠=，则三棱锥A BCD -的体积最大值是______.15．（2019·河北高三月考）在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=，若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____.16.（2016·浙江高考真题（文））如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，CD=1，直线AC 将ACD 翻折成ACD'，直线AC 与BD' 所成角的余弦的最大值是______.17．（2019·重庆一中高三开学考试（理））已知正方形ABCD 的边长为ABC ∆沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B-ACD .若O 为AC 的中点，点M ，N 分别为DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =，则当三棱锥N-AMC 的体积取得最大值时，点N 到平面ACD 的距离为______.18．（2019·浙江高三开学考试）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），使四面体1A BMP 体积为23，则1C P 的最小值是___________．19．（2019·安徽合肥一中高考模拟（文））如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是____．20．（2019·湖南高三期末（文））点P 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 及其边界上运动，并保持1AP BD ⊥，若正方体边长为2，则PB 的取值范围是__________．。

2020高考数学模拟试卷及答案理科

数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，{|124}x B x =≤<，则A ∩B 等于 A. {1} B. {-1，1} C. {1，0} D. {-1，0，1} 2. 如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若80分以上为优秀，根据图形信息可知：这次考试的优秀率为A ．25%B ．30%C ．35%D ．40% 3.给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a b >，则221ab >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； ③“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是“2,11x x ∃∈+≤R ”；④若，则1E ξ=. 其中不正确．．．的命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．14. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为8，则侧视图的面积为正视图11A. 8B. 4C. 43D. 35. 已知平面向量、为三个单位向量，且.满足(),则x+y 的最大值为A.1B.C.D.26. 设F 是抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y ab-= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 A ． 5B ．3C ．52D ． 27．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R =R (x )=214000400280000400x x x x ⎧-(≤≤)⎪⎨⎪(>)⎩则总利润最大时，每年生产的产品数是A ．100B ．150C ．200D ．300 8．设102m <<，若1212k m m+≥-恒成立，则k 的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题） 9.计算：34|2|x dx -+⎰=__________.10. 已知cos 31°＝m ，则sin 239°·tan 149°的值是________11. 若x y 、满足不等式组5030x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩时，恒有246x y +≥-，则k的取值范围是___ .12. 在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567,,,,,,a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式共有________种.(用数字作答)13. 设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，| M 1 M 2 | 为半径作圆交x 轴于点M 3 (不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，| M 2 M 3 | 为半径作圆交x 轴于点M 4 (不同于M 3)，记作⊙M 2；……；以M n 为圆心，| M n M n +1 | 为半径作圆交x 轴于点M n +2(不同于M n +1)，记作⊙M n ；……当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ．考察下列论断：当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2；当n ＝2时，| A 2B 2 |＝15；当n ＝3时，| A 3B 3 |＝23354213⨯＋－；当n ＝4时，| A 4B 4 |＝34354213⨯－－；……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，| A n B n |＝．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）直线112,:2x t l y t=+⎧⎨=+⎩()t 为参数与直线22cos ,:sin x s l y s αα=+⎧⎨=⎩()s 为参数平行，则直线2l 的斜率为 .14.. （几何证明选讲选做题）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．则AECE=_______________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）若23()3cos sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->的图像与直线)0(>=m m y 相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列.(1)求ω和m 的值；(2)在⊿ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边。

2020高考数学模拟试卷含解答

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！一、选择题（本题每小题5分，共60分）1、若P={2|,y y x x R =∈},Q={}2(,)|,x y y x x R =∈,则必有 A 、P ⋂Q=Φ B 、P ⊂Q C 、P=Q D 、P ⊃Q2、函数y =的定义域是 A 、(,3)(3,)-∞+∞U B 、(2,)+∞ C 、(3,)+∞ D 、(2,3)(3,)+∞U3、(2)(8)(0)x x y x x++=<的值域是 A 、[18，+∞) B 、(-∞，2]C 、[ 2，18]D 、(-∞，2]U [18，+∞)4、不等式 10x x->成立的一个必要不充分条件是 A 、10x -<<或x>1 B 、x<-1或0<x<1C 、x>1D 、x>-15、若的图象与则函数其中x x b x g a x f b a b a ==≠≠=+)()(),1,1(0lg lgA 、关于直线y=x 对称B 、关于x 轴对称C 、关于y 轴对称D 、关于原点对称6、函数f(x)是定义域为R 的偶函数，又f(x)=f(x-2),如果f(x)在[-1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是A 、增函数B 、减函数C 、先增后减的函数D 、先减后增的函数7、若函数f (x )=x －2p x p +在（1，+∞）上是增函数，则实数p 的取值范围是A 、［－1,＋∞)B 、［1,+∞)Ｃ、(－∞,－1］Ｄ、( －∞,1］8、函数1,(0,)1x x e y x e +=∈+∞-的反函数是 A 、)1,(,11ln -∞∈+-=x x x y B 、)1,(,11ln -∞∈-+=x x x y C 、),1(,11ln +∞∈+-=x x x y D 、),1(,11ln +∞∈-+=x x x y9、函数)(x f =21log (23)x x π--的递增递减区间分别为A 、(1,)+∞与∞（-，1）B 、∞（-，1）与(1,)+∞C 、∞（3，+）与∞（-，-1）D 、∞（-，-1）与∞（3，+）10、设函数)(x f =x |x | + b x + c 给出下列四个命题： ①c = 0时，y =)(x f 是奇函数 ②b =0 , c >0时，方程)(x f =0 只有一个实根 ③y =)(x f 的图象关于(0 , c)对称 ④方程)(x f =0至多两个实根其中正确的命题是A 、①、④B 、①、③C 、①、②、③D 、①、②、④11、利用数学归纳法证明“22111(1,)1n n a a a aa n N a++-++++=≠∈-L ”时，在验证n=1成立时，左边应该是 A 、1 B 、1a+ C 、21a a ++ D 、231a a a +++12、同一天内，甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12，假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响，那么甲、乙两地都不下雨的概率是A 、0.102B 、0.132C 、0.748D 、0.982二、填空题（t 本题每小题4分，共16分x ）13、如果复数ibi 212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于________14、已知函数,2))((.0,cos 2,0,)(02=⎩⎨⎧<<≤=x f f x x x x x f 若π则x 0= 15、若对于任意a ∈[－1,1], 函数f (x ) = x 2+ (a －4)x + 4－2a 的值恒大于零, 则x 的取值范围是 .16、如果函数f (x )的定义域为R ，对于)1(,6)()()(,,--+=+∈f n f m f n m f R n m 且恒有是不大于5的正整数，当x >－1时，f (x )>0. 那么具有这种性质的函数f (x )= .（注：填上你认为正确的一个函数即可）三、解答题（本大题共6小题，共74分。

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷17

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A.[0，2]B.（1，3）C.[1，3）D.（1，4）2.（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A.5﹣4iB.5+4iC.3﹣4iD.3+4i3.（5分）函数f（x）=的定义域为（）A.（0，）B.（2，+∞）C.（0，）∪（2，+∞）D.（0，]∪[2，+∞）4.（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5.（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A. B.ln（x2+1）＞ln（y2+1）C.sinx＞sinyD.x3＞y36.（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.2B.4C.2D.47.（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.188.（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx.若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A.（0，）B.（，1）C.（1，2）D.（2，+∞）9.（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A.5B.4C.D.210.（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为.12.（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为.13.（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE 的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=.14.（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为.15.（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g （x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称.若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是.三、解答题（共6小题，满分75分）16.（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）.（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g （x）的单调递增区间.17.（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点.（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.18.（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n.20.（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）.（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围.21.（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A.[0，2]B.（1，3）C.[1，3）D.（1，4）【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C.【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键.2.（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A.5﹣4iB.5+4iC.3﹣4iD.3+4i【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值.【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D.【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题.3.（5分）函数f（x）=的定义域为（）A.（0，）B.（2，+∞）C.（0，）∪（2，+∞）D.（0，]∪[2，+∞）【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域.【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C.【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础.4.（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根.故选：A.【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查.5.（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A. B.ln（x2+1）＞ln（y2+1）C.sinx＞sinyD.x3＞y3【分析】实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），可得x＞y，对于A.B.C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误.【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A.取x=2，y=﹣1，不成立；B.\取x=0，y=﹣1，不成立C.取x=π，y=﹣π，不成立；D.由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D.【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.6.（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A.2B.4C.2D.4【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D.【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题.7.（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人.故选：C.【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题.8.（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx.若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A.（0，）B.（，1）C.（1，2）D.（2，+∞）【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围.【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B.【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题.9.（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A.5B.4C.D.2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0.a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b ﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案.【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）.化目标函数为直线方程得：（b＞0）.由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小.∴2a+b=2.即2a+b﹣2=0.则a2+b2的最小值为.故选：B.【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题.10.（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程.【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0.故选：A.【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查.二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11.（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为 3 .【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可.【解答】解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3.故答案为：3.【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力. 12.（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC 的面积为AB•AC•sinA，计算求得结果.【解答】解：△ABC中，∵•=AB•AC•cosA=tanA，∴当A=时，有 AB•AC•=，解得AB•AC=，△ABC的面积为AB•AC•sinA=××=，故答案为：.【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题.13.（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE 的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=.【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比.【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==.故答案为：.【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题.14.（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2 .【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值.【解答】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，所以T r==，+1令12﹣3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号.a2+b2的最小值为：2.故答案为：2.【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查. 15.（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g （x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称.若h （x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞） .【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论.【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键.三、解答题（共6小题，满分75分）16.（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）.（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g （x）的单调递增区间.【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x.令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得.解得 m=，n=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin （2x+）.将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g （x）最高点的纵坐标为2.y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x.令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ﹣≤x≤kπ，故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z.【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题.17.（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点.（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.【分析】（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.【解答】解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，又M为AB的中点，∴AM=1.∴CD∥AM，CD=AM，∴AM C1D1，∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，∴C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴面D1C1M与ABC1D1共面，作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，∴CN=，在Rt△D1CN中，CD1=，CN=，∴D1N=∴cos∠D1NC===解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），∴=（1，0，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，∴=（0，2，1）.显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos＜，＞|===，显然二面角为锐角，∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为.【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力.18.（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分.对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.【分析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ.【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）×=+=.（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=2）=×=；P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=4）=×+×=；P（ξ=6）=×=；故ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 6P故ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大.19.（12分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n.【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=.对n分类讨论“裂项求和”即可得出.【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，∴S n==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1.∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==.∴T n=﹣++…+.当n为偶数时，T n=﹣++…+﹣=1﹣=.当n为奇数时，T n=﹣++…﹣+=1+=.∴Tn=.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题.21.（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p 值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C 有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ）利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值.【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，A（3，），F（，0），，∴.∵△ADF为正三角形，∴.又∵，∴，∴p=2.∴C的方程为y2=4x.当D在焦点F的左侧时，.又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，∵△ADF为正三角形，∴3+=p﹣6，解得p=18，∴C的方程为y2=36x.此时点D在x轴负半轴，不成立，舍.∴C的方程为y2=4x.（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0），∴k AD=﹣.由直线l1∥l可设直线l1方程为，联立方程，消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）.点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），即，∴，∴，∴，∴直线AE过定点（1，0）；（ⅱ）直线AB的方程为，即.联立方程，消去x得，∴，∴=，由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：=，∴△ABE的面积=，当且仅当y1=±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16.【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题.20.（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）.（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围.【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点.【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣k（﹣）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴e x﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=e x﹣kx，x∈（0，+∞）.∵g′（x）=e x﹣k=e x﹣e lnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=e x﹣k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，创作人：百里公地创作日期：202X.04.01得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e ，）【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想.是一道导数的综合应用题.属于中档题.创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校创作人：百里公地创作日期：202X.04.01。