2021届新高考数学一轮课件复数的概念及运算

考点 2 复数的模及几何意义
例 2：(1)(2017 年新课标Ⅲ)复平面内表示复数 z＝i(－2＋i)
的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：z＝i(－2＋i)＝－1－2i，点(－1，－2)位于第三象限.
故选 C.
答案：C
(2)(2019 年新课标Ⅱ)设 z＝－3＋2i，则在复平面内－z 对应
B.i2(1－i)
C.(1＋i)2
D.i(1＋i)
4.(2016 年新课标Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其
中 a 为实数，则 a＝( A )
A.－3
B.－2
C.2
D.3
5.(2016 年新课标Ⅰ)设 x(1＋i)＝1＋yi，其中 x，y 为实数，
则|x＋yi|＝( B ) A.1
的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析： z ＝－3－2i，对应的点为(－3，－2)位于第三象限.
答案：C
(3)(2019 年新课标Ⅰ)设复数 z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内
对应的点为(x，y)，则( ) A.(x＋1)2＋y2＝1
B.(x－1)2＋y2＝1
C.x2＋(y－1)2＝1
D.x2＋(y＋1)2＝1
解析：z 在复平面内对应的点为(x，y)，|z－i|＝|x＋(y－1)i|
＝ x2＋y－12＝1，即 x2＋(y－1)2＝1.
答案：C
(4)(2016 年新课标Ⅱ)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内
对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( )
A.(－3,1)
∴|z|＝ －122＋－12＝ 25，故选 C.
答案：C
【规律方法】复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i；z1z2＝(ac －bd)＋(bc＋ad)i；zz21＝ac＋bdc2＋＋db2c－adi(c2＋d2≠0).复数的运 算要做到细心准确.复数的除法是重中之重！
152＋－752＝ 5205＝ 2.
方法二，|z|＝|1|3＋－2ii||＝
312＋＋212＝
10＝ 5
2.
2.(2018 年新课标Ⅰ)设 z＝11－ ＋ii＋2i，则|z|＝( C )
A.0
B.12
C.1
D. 2
3.(2017 年新课标Ⅰ) 下列各式的运算结果为纯虚数的是
( C) A.i(1＋i)2
1.故选 A.
考点 1 复数的概念
例 1：(1)(2019 年新课标Ⅱ)设 z＝i(2＋i)，则－z ＝( )
A.1＋2i
B.－1＋2i
C.1－2i
D.－1－2i
解析：z＝i(2＋i)＝－1＋2i，则 z ＝－1－2i.
答案：D
(2)设 i 是虚数单位，复数 z＝12＋＋aii为纯虚数，则实数 a＝ ________.
四则运算，了解复数代数 复数的乘法与共轭复数的性质相结
形式的加减运算的几何意
义
合等.由于考题较容易，所以重点练
基础
1.复数的有关概念 (1)形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是复 数的实部和虚部.若 b＝0，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0，且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数. (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ba＝＝dc， (a，b，c，d∈R).
足(z－i)(－i)＝5，则 z＝6i；命题 q：复数11＋＋2ii的虚部为－15i，
则下面为真命题的是( )
A.( p)∧( q)
B.( p)∧q
C.p∧( q)
D.p∧q
解析：由题意，得 z－i＝－5 i＝5i，∴z＝6i，p 真；
11＋＋2ii＝11＋＋2ii11－－22ii＝3－5 i，其虚部为－15，q 错， q 真，
答案：D
【规律方法】(1)复数与其共轭复数的模相等，即|z|＝| z |＝ a2＋b2.
(2)共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有： ① z1±z2 ＝ z1 ±z2 ； ② z1·z2 ＝ z1 ·z2 ； ③z·－z ＝|z|2＝|－z |2； ④||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|； ⑤|z1z2|＝|z1|·|z2|； ⑥zz12＝||zz12||.
B.(－1,3)
C.(1，＋∞)
D.(－∞，－3)
解析：要使复数 z 对应的点在第四象限，则应满足
m＋3>0， m－1<0.
解得－3<m<1.故选 A.
答案：A
(5)(2018 年北京)在复平面内，复数1－1 i的共轭复数对应的 点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：复数1－1 i＝1－1i＋1i＋i＝12＋12i.共轭复数对应的点为 12，－12，位于第四象限.
考点 3标Ⅲ)若 z(1＋i)＝2i，则 z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析：z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝1＋i.故选 D.
答案：D
(2)(2015 年新课标Ⅱ)若 a 为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
易错、易混、易漏 ⊙对复数概念理解不透彻致误
例题：(1)设 z＝1＋ai (a∈R)，若 z(2－i)为实数，则 a＝( )
A.－2
B.－12
C.1
D.2
解析：z＝1＋ai ＝1－ai，z(2－i)＝(1－ai)(2－i)＝－a＋2－
(2a＋1)i∈R，∴2a＋1＝0，a＝－12.
答案：B
(2)(2018 年湖南益阳、湘潭调研)已知命题 p：若复数 z 满
从而 p∧( q)真.故选 C.
答案：C
(3)若复数 z＝(a2－a－2)＋(a＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，
则实数 a 的值是( )
A.－2 C.2 或－1
B.－2 或 1 D.2
解析：方法一，由题意得aa＋2－1a≠－02，＝0， 即(a－2)(a＋1)
＝0，且 a≠－1，解得 a＝2.选 D.
解析：11＋ －22ii＝1－12＋i21i＋2 2i＝－35＋4i＝－35＋45i.
答案：D
(6)已知复数 z 满足 z(1＋i)2＝2－i(i 为虚数单位)，则|z|为
()
5
A.2
B. 5
C. 2
D.1
解析：由 z(1＋i)2＝2－i，得 z＝12＋－ii2＝2－ 2i i＝22－i2ii＝
－12－i，
i.故选 D.
答案：D
(4)(2018 年新课标Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( )
A.－3－i
B.－3＋i
C.3－i
D.3＋i
解析：(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
答案：D
(5)(2018 年新课标Ⅱ)11＋ －22ii＝( A.－45－35i C.－35－45i
)
B.－45＋35i D.－35＋45i
方法二(排除法)，将选项中 a 的值代入题目中可得答案.若
a＝－2，则 a2－a－2≠0，不符合题意，故舍去；若 a＝－1，
则 a＋1＝0，此时 z 为实数，故舍去.选 D.
答案：D
【失误与防范】(1)两个复数不全为实数时不能比较大小， 只有相等和不相等的关系.
(2)复数 a＋bi(a，b∈R)的虚部是 b 而不是 bi. (3)对复数进行分类时要先将它整理成 a＋bi(a，b∈R)的形 式，判定一个复数是纯虚数需 a＝0，且 b≠0；判定一个复数是 实数，仅根据虚部为零是不够的，还要保证实部有意义才行.
答案：B
(5)(2019 年江苏)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是________.
解析：∵(a＋2i)(1＋i)＝a＋ai＋2i＋2i2＝a－2＋(a＋2)i， 令 a－2＝0 得 a＝2. 答案：2 【规律方法】(1)复数 a＋bi(a，b∈R)的虚部是 b 而不是 bi； (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 b≠0 时，z 为虚数；当 b＝ 0 时，z 为实数；当 a＝0，b≠0 时，z 为纯虚数.
第十章 复数的概念及运算
课标要求
考情风向标
1.理解复数的基本概念以
1.复习时要理解复数的相关概念，如 实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，
及复数相等的充要条件. 以及复数的几何意义.
2.了解复数的代数表示法 2.要把复数的基本运算作为复习的
及其几何意义.
重点，尤其是复数除法的运算，如
3.能进行复数代数形式的 复数幂的运算与加法、除法的结合，
④zz12＝ac＋bdc2＋＋db2c－adi(c2＋d2≠0). 3.常用结论 ①(1±i)2＝±2i；②11＋ －ii＝i；③in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈Z).
1.(2019 年新课标Ⅰ)设 z＝13＋－2ii，则|z|＝( C )
A.2
B. 3
C. 2
D.1
解析：方法一，z＝13＋－2ii＝13＋－2ii11－－22ii＝1－5 7i，则|z|＝
1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次 方根.除法实际上是分母实数化的过程.
2.两个复数不全为实数时不能比较大小，只有相等和不相 等的关系.
3.复数 a＋bi(a，b∈R)的虚部是 b 而不是 bi. 4.对复数进行分类时要先将它整理成 a＋bi(a，b∈R)的形 式，判定一个复数是纯虚数需 a＝0，且 b≠0；判定一个复数是 实数，仅根据虚部为零是不够的，还要保证实部有意义才行.