高一数学数列
高一数学必修5：数列(知识点梳理)
第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
高一数学数列知识点
高一数学数列知识点数列作为数学中的一种重要的数学工具和概念，不仅在高中阶段的数学学习中占据着重要的地位，同时也在其他学科中有着广泛的应用。
在高一数学课程中，学生将学习数列的定义、性质和应用等内容，以下将对数列相关知识点进行介绍。
一、数列的概念及表示方法数列指的是按照一定顺序排列的一组数字集合。
其中，每一个数字称为数列的项，而数列的顺序则由项之间的位置关系来确定。
数列可以用文字描述、图形表示和符号表示等多种方式来表达。
以数列 {an} 为例，其中 a1、a2、a3 分别表示数列的第一项、第二项、第三项，an 表示数列的第 n 项。
此外，数列也可以用递推公式表示，该公式表明每一项的值与前一项的关系，如 an = an-1 + 1。
二、等差数列等差数列是指数列中，每一项与它前一项之间的差值都相等的数列。
这个公差可以是整数、小数甚至负数。
一般来说，等差数列的递推公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示第一项，d 表示公差。
等差数列是数学中十分重要的数列之一，它的性质和规律让人们在各个领域中广泛应用。
例如在物理学中，等差数列可以表示匀速直线运动的位置随时间的变化规律。
三、等比数列等比数列是指数列中，每一项与它前一项之间的比值都相等的数列。
这个公比可以是正数、小数甚至负数。
一般来说，等比数列的递推公式为 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 表示第一项，r 表示公比。
等比数列同样也是数学中十分重要的数列之一，它的性质和规律在金融、工程等领域中有广泛的应用。
例如在金融中，等比数列可以用来计算复利的增长规律。
四、数列的求和在数学中，我们经常需要计算数列的前 n 项和。
对于等差、等比数列，我们可以使用求和公式来计算。
等差数列的前 n 项和为 Sn = (a1 + an) * n / 2，等比数列的前 n 项和为 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中 Sn表示前 n 项和。
高一数学数列与数学归纳法的初步认识
高一数学数列与数学归纳法的初步认识数列与数学归纳法是高中数学中的基础知识，对于数学学科的深入理解和应用起着重要的作用。
本文将对高一数学中数列与数学归纳法的初步认识进行探讨，并从定义、性质、应用等方面进行论述。
一、数列的定义与性质数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
通常用字母$a_n$表示数列中的第$n$个数。
例如，数列$1, 2, 3, 4, 5, ...$可以表示为$a_n = n$。
数列有许多不同的类型，比如等差数列、等比数列等。
等差数列是指数列中相邻两个数之差保持不变的数列。
设首项为$a_1$，公差为$d$，则等差数列可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
等差数列的一个重要性质是，相邻两项之差恒等于公差。
这个性质在解决数学问题时经常被用到。
等比数列是指数列中相邻两个数之比保持不变的数列。
设首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列可以表示为$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$。
等比数列的一个重要性质是，相邻两项之比恒等于公比。
这个性质在复利、指数函数等问题中有着重要应用。
二、数学归纳法的基本思想与步骤数学归纳法是一种证明方法，通过证明两个基本命题：1）第一个命题成立；2）若第$k$个命题成立，则第$k+1$个命题也成立。
从而可以得出对于任意正整数$n$，命题均成立。
数学归纳法的基本步骤如下：1. 证明基本命题成立。
通常是通过给定$n=1$时命题成立的证明，作为数学归纳法的起点。
2. 假设对于任意正整数$k$，第$k$个命题成立。
这是数学归纳法的归纳假设。
3. 证明根据归纳假设，对于第$k+1$个命题成立。
通过利用归纳假设的前提条件，进一步推导出第$k+1$个命题成立。
通过这三个步骤反复迭代，可以证明对于任意正整数$n$，命题均成立。
三、数学归纳法的应用数学归纳法在高中数学中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的例子。
1. 数学归纳法在等差数列求和中的应用。
高一数学上册 第三章 数列：§3.2.2等差数列优秀课件
得
又由
a2na2n11(1), a2n1a2n3(2),
a1 2,
a 2 3,
得 a2n1a2n14,
a 1 ,a 3 ,a 5 ,a 7 成 等 差 数 列 ,
a 2 n 1 a 1 4 (n 1 ) 4 n 2 .
代 入 ( 1 ) 得 a 2 n a 2 n 1 1 4 n 1 ,
求数列{ a n } 的通项公式.
分析：n 为奇数，说明 n+1 为偶数，即
a 2 a 1 1 ,a 4 a 3 1 ,a 6 a 5 1 ,
n 为偶数，说明 n+1 为奇数，即
a 3 a 2 3 ,a 5 a 4 3 ,a 7 a 6 3 ,
h
9
解：由
a1 a2 5, a2 a1 1
bn
1 an
2
得
an
22(nN*). n
h
5
练习：求下面数列得通项公式
（1）在数列 { a n } 中，a12,anan12an11;
（2）在数列
{
a
n
}
中，a1
1,an1
2an ; an 2
（3）在数列 { b n } 中，b 1 2 ,b n 1 b n b n 1b n .
解：（1） a n a n 1 2a n 1 1 (a n 1 1 )2 , 又 a1 2, a n 0. an an1 1, 即an an1 1.
性质4：设 n N*，则a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 .
性质5：设 c, b 为常数，若数列 { a n } 为等差数列，则数 列 {a n b}及 {can b}为等差数列.
性质6：设 p, q 则数列
如何总结高一数学的数列递推关系与应用
如何总结高一数学的数列递推关系与应用在高一数学的学习中，数列递推关系及其应用是一个重要且具有一定难度的知识点。
要想学好这部分内容，我们需要深入理解其概念，掌握常见的递推关系类型，并能够灵活运用它们解决各种实际问题。
首先，我们来明确一下什么是数列递推关系。
简单来说，数列递推关系就是通过已知的项，按照一定的规则推出后续的项。
比如，对于数列{aₙ}，如果给出了 a₁的值，以及一个关于 aₙ和 aₙ₋₁（或者其他前面的项）的关系式，那么就可以依次求出后面的项。
常见的数列递推关系类型有很多。
等差数列的递推关系是 aₙ ＝aₙ₋₁＋ d（d 为公差），等比数列的递推关系是 aₙ ＝ aₙ₋₁ × q（q为公比）。
除了这两种基本的数列，还有一些更复杂的递推关系，比如线性递推关系（形如 aₙ ＝ paₙ₋₁＋ q，其中 p、q 为常数）、非线性递推关系（如 aₙ ＝ aₙ₋₁²＋ 1 等）。
在学习数列递推关系时，理解其通项公式的推导过程是非常关键的。
以等差数列为例，我们知道 a₁的值，公差为 d，那么 a₂＝ a₁＋ d，a₃＝ a₂＋ d ＝ a₁＋ 2d，以此类推，可以得到 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d。
这个通项公式就是通过对递推关系的不断累加得到的。
对于等比数列，同样可以通过类似的方法推导出通项公式 aₙ ＝ a₁ × qⁿ⁻¹。
掌握了数列递推关系的类型和通项公式的推导，接下来就是要学会应用它们解决实际问题。
在数学竞赛或者高考中，经常会出现与数列递推关系相关的题目。
比如，让我们求数列的某一项的值，或者判断一个数列是否满足某种递推关系。
这时候，我们就需要根据已知条件，选择合适的递推关系类型，然后运用相应的方法进行求解。
例如，有这样一道题目：已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ ＝2aₙ₋₁＋ 1（n ≥ 2），求 a₅的值。
首先，我们可以根据递推关系依次求出 a₂、a₃、a₄，最后求出 a₅。
高一数学数列高三总复习.pptx
若项数为2n-1(n∈N)，则S奇-S偶
=an ,
S奇 / S偶=n / (n-1)
⑥ 等差数列{an }、{bn }的前n项和为Sn、Tn， 则an S2n1
bn T2n1
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⑦
am an
n m
amn
0
Sm Sn
n m
Smn
(
m
n
)
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设元的技巧:
三个数成等差数列,可设为a-d , a ,
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练习1. 等差数列{an }、{bn }的 前n项和为Sn、Tn . (1)若am n, an m,求amn; (2)Sm n, Sn m(m n),求Smn; (3)若 Sn 7n 1 ,求an .
Tn 4n 27 bn
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⑤若项数为2n(n∈N)，则S偶-S奇=nd , S偶 / S奇=an+1 / an
}
的前 T n项和，求 n.
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6.在等差数列{an}中， a16+ a17+ a18= a9=-36，其前n 项和为Sn.
(1)求Sn的最小值，及取得最小值时的n 值
(2)求Tn=| a1 |+| a2 |+…+| an |
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(2010全国)如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=
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8. 有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售，甲 商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多 买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原 价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
高一数学必修一 - 数列知识点总结
高一数学必修一 - 数列知识点总结1. 数列的概念数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
a. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
如果数列的公差为d，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
b. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
如果数列的公比为r，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
2. 数列的性质a. 通项公式通项公式是数列中任意一项与项数之间的关系式。
根据数列的类型，可以通过公式求解任意项。
b. 公差和公比对于等差数列，公差是指相邻两项之间的差值。
公差可以用于确定数列的特征和性质。
对于等比数列，公比是指相邻两项之间的比值。
公比可以用于确定数列的特征和性质。
c. 首项和末项首项是数列中的第一项，通常用$a_1$表示。
末项是数列中的最后一项，通常用$a_n$表示。
d. 项数项数是数列中项的个数，通常用n表示。
e. 等差数列的和等差数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$，其中$S_n$表示前n项和。
f. 等比数列的和等比数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前n项和。
3. 数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，其中一些常见的应用包括：a. 金融计算数列可以应用于金融中的利息计算、贷款计算等，帮助人们进行财务规划和计算。
b. 物理学数列可以应用于物理学中的运动学问题，如运动物体所经过的位置、速度等的计算。
c. 统计学数列可以应用于统计学中的数据分析和预测，帮助人们了解和预测事物的发展趋势。
总结数列是数学中非常重要的概念，常见的数列包括等差数列和等比数列。
高一数学数列知识点总结
高一数学数列知识点总结在高一数学课程中，数列是一个重要的概念。
数列是一种按照一定规律排列的一系列数，通过研究数列的规律和特性，我们可以掌握很多解题技巧和方法。
本文将对高一数学数列相关的知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。
常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，d为公差。
以下是等差数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 + (n-1)d，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an) =n(a1 + an)/2，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d) = (n/2)(a1 + an) ，其中Sn为前n项和；4. 等差数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的中值；5. 若m项等于n项差相等，则m至n项也是等差数列。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。
常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，q为公比。
以下是等比数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；4. 等比数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的几何平均数；5. 如果q的绝对值小于1，那么等比数列的前n项和存在极限，即Sn = a1 / (1 - q)。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
通常用F(n)表示第n项，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
斐波那契数列的性质有：1. F(n) = F(n-1) + F(n-2)；2. 斐波那契数列的前n项和可以通过递推公式进行求解。
高一数学第4章知识点归纳
高一数学第4章知识点归纳第4章数列的概念与数列的性质数列是指按照一定规律排列的一组数。
在高一数学的学习中，数列是一个重要的概念，它涉及到很多数学问题的解法。
本章主要介绍了数列的概念、数列的性质以及数列运算等知识点。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。
数列可以看作是对一般函数的简化，它只涉及到自变量为正整数的情况。
数列的一般表示形式为{an}或者(a1, a2, a3, ...)，其中an表示数列的第n个数。
二、数列的性质1. 公式与通项数列可以用公式来表示，这个公式可以描述数列中的每一项与其下标之间的关系。
通项是指数列中的第n个数的一般表示形式。
通过得到数列的通项公式，我们可以方便地求出数列的任意项。
2. 递推关系数列中的每一项都与它前面的某些项有关，这种关系称为递推关系。
通过递推关系我们可以得到数列中的每一项，从而利用这些项进行数列的相关问题的求解。
3. 数列的有界性数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指数列的所有项都在某个范围内变动的数列，无界数列则是指数列中的项无限地趋向于正无穷或负无穷。
4. 数列的单调性数列可以是单调增加的，也可以是单调减少的。
单调增加的数列是指数列的每一项都大于前一项，单调减少的数列则是指数列的每一项都小于前一项。
三、数列运算1. 数列的四则运算数列之间可以进行加减乘除运算，这与我们在初中学习的四则运算是类似的。
对于两个数列进行加减乘除运算，我们只需要对相应的项进行对应的运算即可。
2. 数列的和与积数列的和指的是数列中所有项的和，数列的积则是指数列中所有项的乘积。
求数列的和与积可以通过数列的通项公式以及数列中项的个数来计算。
四、数列的应用1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是相等的数列。
等差数列在数学中有很多应用，特别是在代数运算以及几何问题中经常会用到。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是相等的数列。
等比数列在数学中也有广泛的应用，特别是在比例问题和指数函数中经常会用到。
高一数学数列知识点总结
高一数学数列知识点总结一、数列的概念与表示数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的数学对象。
通常用大写字母或数字来表示数列，如数列{a_n}表示数列的第n项为a_n。
数列可以是有限的，也可以是无限的，根据数列的项是否有规律，数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等。
二、等差数列等差数列是最常见的数列类型之一，它的每一项与前一项的差是一个常数，这个常数称为公差。
等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，其中a_1是首项，d是公差。
等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)。
等差数列的性质包括：1. 等差数列中，任意两项的差是相同的。
2. 如果一个等差数列的首项不为零，那么它的所有项的符号相同。
3. 等差数列的前n项和是关于n的二次函数。
三、等比数列等比数列是每一项与前一项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n - 1)，其中a_1是首项，q是公比。
等比数列的前n项和公式为S_n = a_1(1 - q^n) / (1 - q)，当q的绝对值小于1时，S_n趋向于a_1/(1 - q)。
等比数列的性质包括：1. 等比数列中，任意两项的比值是相同的。
2. 如果公比q的绝对值小于1，那么等比数列的项会逐渐趋近于零。
3. 当公比q大于1时，等比数列的项会无限增大。
四、递推数列递推数列是指通过数列中前一项或前几项的关系来确定下一项的数列。
递推数列没有简单的通项公式，但可以通过递推公式来计算任意一项。
递推数列的例子包括斐波那契数列，其递推公式为a_n = a_(n-1) +a_(n-2)，其中a_1 = a_2 = 1。
递推数列的性质和特点：1. 递推数列的计算依赖于前面的项。
2. 递推关系可以复杂多变，需要通过具体的递推公式来分析。
3. 递推数列可能具有周期性或者无界性等特点。
五、数列的应用数列在数学和其他科学领域都有广泛的应用。
高一数学数列全章知识点
高一数学数列全章知识点数列是数学中比较重要的一个概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在高一数学课程中，数列是一个重要的章节，它是以高中数学的理论与实践紧密结合的一门学科。
下面将介绍高一数学数列全章的知识点。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
我们用a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项。
等差数列有以下几个重要的性质：1. 等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)n/2。
通过将首项和末项相加，再乘以项数的一半可以得到数列的前n项和。
2. 相邻两项之和等于常数项，即an+an+1=常数。
这是等差数列的一个重要性质，它说明了等差数列中相邻两项的和是一个常数。
3. 若数列的首项、末项和公差已知，则可通过等差数列的前n项和公式求出项数n。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
我们用a 表示首项，q表示公比。
等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中an表示第n项。
等比数列有以下几个重要的性质：1. 等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
通过将首项乘以1与公比的n次方之差再除以1与公比之差可以得到数列的前n项和。
2. 相邻两项之比等于常数项，即an/an+1=常数。
这是等比数列的一个重要性质，它说明了等比数列中相邻两项的比值是一个常数。
3. 若数列的首项、末项和公比已知，则可通过等比数列的前n 项和公式求出项数n。
三、求和公式的推导除了等差数列和等比数列的求和公式外，我们还可以通过数学推导得到其他类型数列的求和公式。
如一个比较常见的例子是求和公式Sn=1^k+2^k+...+n^k，其中k为常数，n为项数。
我们可以通过写出Sn与Sn-1的差值来进行推导。
假设Sn-Sn-1=an，则Sn=an+Sn-1。
我们可以观察到，当n增加时，an的值具有一定的规律性。
通过观察可以得到以下结论：1. 若k=1，则an=n，所以Sn=n(n+1)/2。
知识点：高一数学数列公式大全
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高一数学是高中生学好高中数学的重要组成部分，学好化学直接影响着高中三年理综的成绩。
下面是查字典数学网为大家汇总的高一数学数列公式大全。
一、高中数列基本公式：
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n 的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=
Sn=
Sn=
当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
当q1时，Sn=
Sn=
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、
1) 是等差数列。
13. 在等差数列
中：
(1)若项数为
，则
(2)若数为
则，
14. 在等比数列
中：
(1) 若项数为
，则
(2)若数为
则，
以上就是小编为大家整理的高一数学数列公式大全。
高一数学《数列》
考点1：数列的定义与分类1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123a a a ，，，简记为{}n a ．<教师备案>以前面的斐波那契数列为例，12341123a a a a ====，，，，， 需要注意的：① 数列中每一项都和它的序号有关，数列中的数是按一定次序排列的．如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列．如：数列1，2，3，4，5与5，4，3，2，1是不同的数列．数列12341235a a a a ====，，，，和斐波那契数列也是不同的数列．② 数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同．因此，同一个数在数列中可以重复出现．如：1，1-，1，1-，1，…；2，2，2，2，2，…等．③ {}n a 与n a 是不同的概念．{}n a 表示数列1a ，2a ，3a ，…，n a …，而n a 仅表示数列{}n a 的第n 项．2．数列的分类① 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列．② 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．③ 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列． <教师备案>斐波那契数列是无穷数列，递增数列，无界数列．更多的例子见例1【例1】 ⑴下面数列哪些是递增数列，递减数列，常数列，摆动数列？哪些是有穷数列，无穷数列？①全体自然数组成数列：0，1，2，3，…；②某校6个班学生人数构成的数列：15，16，18，20，22，30； ③数列：5，1-，3， 2.6-， 1.5-，8； ④数列：5，5，5，5，5；2.1数列的认识经典精讲知识点睛第2讲 与数列的第一次亲密接触⑤数列：100，90，80，70，60，50，…． ⑵根据数列的规律填空①1 1 2 3 5 8 ＿＿②5 3 10 6 15 12 ＿＿ ＿＿ ③3 5 9 17 33 ＿＿④1 2 2 3 4 6 ＿＿⑶（2010湖南文20）给出下面的数表序列：12845314311表3表2表1其中表(123)n n =，，，有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和，写出表4．【解析】 ⑴ ①递增数列 无穷数列 ②递增数列 有穷数列③摆动数列 有穷数列 ④常数列 有穷数列 ⑤递减数列 无穷数列 ⑵ ①13．此数列为著名的斐波那契数列，从第三项起每一项是前两项之和． ②20，24．此数列是混合数列，奇数项为首项为5，公差为5的等差数列，偶数项是首项为3，公比为2的等比数列，按顺序应填20，24． ③65根据数列的规律每一项为21n +． ④9从第三项起每一项为前两项之和减1，所以空格应填9． ⑶<教师备案>趣味数列：（供课堂增加趣味性，活跃气氛选用）1．请写出下列数列的下一项：2，12，1112，3112，211213，______．2．按规律填空：①17＿＿ 9 100；②3 6 21 42 84 69 291 ＿＿ ＿＿；【解析】 1．这个数列中每一项都和前一项和读法有关，第一项是2，第二项是一个2，第三项是一个1一个2，第四项是三个1一个2，往后以此类推．所以应该填入的数列为：312213．2．①101278910-，所以应该填1；②将数列的前几项反过来写：3612244896192，，，，，，，所以，以此类推后边应该为 384768，，所以应该填483867，考点2：数列的通项公式与递推公式数列的表示方法：⑴ 图象法：数列是以正整数集*N （或它的有限子集{}12n ，，，）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是一知识点睛10865443221Ona n 12322012847531系列函数值．所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列．全体正偶数组成的数列246，，，用图象法表示为（如图）：数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点． ⑵ 列表法：与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示．如：全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列2，4，6，8，…用列表法可表示为n 1 2 3 … k …n a2 4 6 … 2k …列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，但由于受某些条件的限制，用列表的方法有时不能完整的反映一个数列，或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示． <教师备案>图象法可以比较清楚的揭示数列的变化规律，列表法表示数列能使人一目了然，但它们的缺点就是数列的项数比较多时，表示起来一般会非常费劲，比如斐波那契数列用这两种方法就不好表示．数列更多的是用下面两种方法来表示．⑶ 递推公式法：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任意一项n a 与它相邻的一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的递推公式．如：数列3，4，5，6，7，…用递推公式可这样表示：13a =，11n n a a +=+，n *∈N ．⑷ 通项公式法：数列{}n a 的第n 项n a 也叫做数列的通项．如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可用一个函数关系()n a f n =来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．⑶中的数列可以用()*2n a n n =+∈N 来表示．<教师备案>理解数列的通项公式：① 数列的通项公式实际上是一个以正整数集*N 或它的有限子集{}12n ，，，为定义域的函数的表达式；② 如果知道了数列的通项公式，那么依次用12n ，，，去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项．③ 数列的通项公式形式不是惟一的，如111111---，，，，，，，它可以写成(1)n n a =-，也可以写成cos πn a n =或11n n a n -⎧=⎨⎩，为奇数，，为偶数.．④ 不是所有的数列都有通项公式，好比不是所有的函数都有解析式一样．有穷数列一定有通项公式．无穷数列不一定有．比如由全体质数组成的数列2357，，，，，目前就没有通项公式．前面提过的斐波那契数列的递推公式：121a a ==，()112n n n a a a n n +-=+∈N ≥，， 通项公式为11515225n nn a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，这是一个正整数列用无理数来表示通项的例子．高中阶段只学习比较简单的递推形式的通项公式，象斐波那契这种比较复杂的递推和通项仅作为帮助了解数列的相关概念．【例2】 ⑴观察数列前几项，求出下列数列的一个通项公式① 1111--，，，，； ② 0101，，，，； ③ 1234--，，，，； ④ 1111111111，，，，； ⑤ 131793832435--，，，，，； ⑥ 11315228432，，，，，…； ⑵已知数列{}n a 满足11a =，11n n na a n -=+（*2n n ∈N ，≥），则2a =_____；5a =______． 经典精讲⑶已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a -=+（*2n n ∈N ，≥）），则2a =_____；10a =______． ⑷（目标班专用）（2010西城二模理14）我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()n *∈N ，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则2425a a +=_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项．【解析】 ⑴ ①(1)nna =-或cos πn a n =（可以不讲）或11n n a n -⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数． ②()112nn a +-=或01n n a n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数； ③ 1(1)n n +-⋅；④ 1(101)9n -；⑤ 121(1)(2)n n n a n n +-=-⋅+；（观察分子觉得分子可能为13579，，，，，从而得到分母为38152435，，，，） ⑥2n nna =；（观察分母得分母都为2k ，将分母整理为2481632，，，，，得到规律）． ⑵2133，； 212233a a ==；323142a a ==；434255a a ==；545163a a ==．可以推断21n a n =+； ⑶31023，； 21213a a =+=；32217a a =+=；415a =；531a =．可以推断21n n a =-．101023a =． ⑷28；640．2412633a a a a ====，同时2525a =，因此242528a a +=；第k 个5出现在第152k -⋅项，因此第8个5是该数列的第752640⋅=项．【例3】 ⑴根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式，并分析． ① 24816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？②111124816⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ③111124816----⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ④ 111124816--⋅⋅⋅，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？ ⑵类比函数的单调性、有界性来分析数列的性质．① 数列{}n a 的通项公式是2610n a n n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？ ② 数列{}n a 的通项公式是()23.61n a n =-+，*n ∈N ，当n 取何值时，n a 最小？【解析】⑴ ① 2n n a =，最小值为首项2，没有最大值，该数列为单调递增数列． ② 12n n a =，最大值为首项12，没有最小值，该数列为单调递减数列．③ 12n n a =-，最小值为12-，没有最大值，该数列为单调递增数列．④ ()1112n n n a +=-⋅，最大值为12，最小值为14-，该数列不是单调数列．⑵ ①3n =时，n a 最小为1． 该数列无最大值． ②4n =时，n a 最小为1.16．该数列无最大值．【点评】 引出用函数的分析方法分析数列的取值，强调数列是一种特殊的函数，用函数的方法进行分析时，要注意其定义域是大于0{}()12n a f n n ⇔=，，，【拓展】若25n a n n λ=-+，当且仅当3n =时n a 有最小值，问λ的取值范围． 【解析】 函数2()5f x x x λ=-+的对称轴为2x λ=，故3x =离2λ最近， 即3222λλ-<-且3422λλ-<-，解得57λ<<．考点3：数列的前n 项和n S数列{}n a 的前n 项和用n S 来表示，如果n S 与n 的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的前n 项和公式．数列的前n 项和121n n n S a a a a -=++++．于是有1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，，≥1121n n n S S n a S n --=⎨=⎩，≥，<教师备案>等差等比数列的前n 项和公式我们会在相关小节学习，数列求和的常用方法我们会在春季同步讲义时系统学习，这里可以举一些最简单的可以求和的例子：如求常数列{}n a ：5n a =的前n 项和．或者求数列111n a n n =-+的前10项的和等．如果有学生问斐波那契数列的前n知识点睛数列12a a ，， 函数()f x 定义域{}12，， 前n 项和减去前1n -项和第1项 12n n S a a a =+++项和公式的话，也可以提一下，它是两个等比数列的和，且1221n n a a a a ++++=-．后面的例题主要是练习给定n S 的通项公式求n a ，要注意1n n n a S S -=-只对2n ≥成立，用n S 求n a 时，1n =必须单独讨论，忽视这个很容易造成错误，见易错门诊．【铺垫】⑴已知数列{}n a 的前n 项和3n S n =，则1a =______，3a =_____，通项n a =______．⑵已知数列{}n a 的前n 项和1n n S n+=，则1a =_____，6a =______． 【解析】⑴113a S ==；3323a S S =-=；2n ≥时，13n n n a S S -=-=，故对*n ∈N ，有3n a =． ⑵112a S ==；6657616530a S S =-=-=-；【例4】 ⑴已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a =＿＿；若它的第k 项满足 58k a <<，则k =＿＿．⑵已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则其通项n a =______；满足2013k a <的最大正整数k 为______． 【解析】⑴ 210n -；8． 118a S ==-；2n ≥时，1210n n n a S S n -=-=-，对1n =也满足；由52108k <-<得：1592k <<，故8k =．⑵ 1211n -，；111a S ==；2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，对1n =也满足；故12n n a -=；122013k k a -=<，由101121024201320482=<<=知，满足不等式的最大的k 为11．1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+-，求n a ．【解析】 当1n =，110a S ==2n ≥， 1n n n a S S -=-222(1)(1)2n n n n =+-----+2n =∴0122n n a n n =⎧=⎨⎩，，≥．2．已知数列{}n a 的前n 项和2n n S =，求n a ．【解析】 112a S ==；111222n n n n n n a S S ---=-=-=，故12122n n n a n -=⎧=⎨⎩，，≥． 【点评】 强调利用前n 项和求通项的时候，对首项要单独处理．<教师备案>前面我们对于一般的数列学习了一些基本概念和知识，总体而言，大部分数列是没什么规律的，小部分规律明显，接下来我们学习一类有迹可循的特殊数列．例如：自然数数列，每个数都比它后面的数小1，正偶数数列，从第二项起，每项都比它前面的数多2，等等．这一类特殊的数列就是等差数列．经典精讲2.2等差数列基本量计算考点4：等差数列的概念定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．<教师备案>先从直观上认识等差数列，通过一些具体的数列感觉等差数列，之后再学习等差数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等差数列的项数．再学习等差数列的求和公式，以及一些简单的性质．希望把概念分开讲解，分别配例题．【例5】 下列数列是等差数列吗？如果是求出公差，如果不是请说明理由．①13579，，，，，；②5137--，，，，；③5555，，，，； ④222222---，，，，，，；⑤531123---，，，，，，； 【解析】 ①是．2d =；②是，4d =；③是．d =0；④不是；⑤不是．考点5：等差数列的通项公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，第n 项（通项）为n a ，通项公式：()11n a a n d =+-． 1a a n d =+-<教师备案>通项公式的推导：我们可以说明第二项与第一项相差d ，第三项与第一项相差2d ，第n 项与第一项相差()1n d -，所以()11n a a n d =+-．还可以用叠加法求其通项公式．叠加法：1n n a a d --= 12n n a a d ---= 23n n a a d ---=21a a d -=将这1n -个式子左右分别相加可得1n a a -=()1n d -，故()11n a a n d =+-． 知道数列的首项与末项，可以求项数，公式为11n a a n d-=+．经典精讲知识点睛知识点睛首项 公差 等差数列{}n a 第n 项【例6】 ⑴已知等差数列{}n a 的通项公式为73n a n =-，则公差为_______，首项为_____．⑵等差数列951，，，的第4项4a =_______，第20项20a =_______． ⑶等差数列3711103，，，，的项数n =______，第5项为_______． ⑷已知数列{}n a 是等差数列，且22a =-，510a =，则数列{}n a 的通项n a =_______．【解析】 ⑴ 3-，4．∵73n a n =-，∴1734a =-=，21a =，故3d =-（也可直接由通项公式看出）； ⑵3-，67-；()1(1)9(1)4413n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+，43a =-，2067a =-．⑶2619，； 公差734d =-=，故10331264n -=+=，再写两项即得第5项为19()37111519，，，，． 也可以先写出通项公式41n a n =-，于是1034261=⨯-为第26项；519a =． ⑷ 解法一：设{}n a 的公差为d ，由已知条件112410a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解出4d =，16a =-，所以1(1)6(1)4n a a n d n =+-=-+-⨯644n =-+-410n =-．解法二：52310(2)12d a a =-=--= ∴4d =，12a d +=-，∴16a =-，∴410n a n =-．<教师备案>例6给出了等差数列的通项公式与项数的常规求法，如果把数列看成特殊的函数，可以将通项公式整理成1()n a dn a d =+-，故n a 是关于n 的一次函数（在0d ≠时），从这个角度出发，给出等差数列的通项公式可以马上得出公差，即n 前的系数，给出公差也可以立刻得到一次项，再结合给出的某项的值即得到通项公式．具体见下面的练习．准确快速地求出等差数列的项数非常重要，可以结合“挑战5分钟”多练多算．【挑战5分钟】 ⑴已知43n a n =-，则d =______．⑵已知1001n a n =-，则d =______．⑶已知123a d ==，，则n a =______．⑷已知512a d ==-，，则n a =______． ⑸已知4132a d ==，，则n a =______．⑹已知315122a d ==-，，则n a =_____．⑺等差数列34575，，，，的项数为______． ⑻等差数列42026-，，，，的项数为_______． ⑼等差数列3032013-，，，，的项数为______． ⑽等差数列110824--，，，，的项数为______．【解析】 ⑴3-；⑵100；⑶31n -；n a 等于3n 加上某数，由12a =知，31n a n =-．⑷211n -+；2n a n λ=-+，则51a =知11λ=．⑸112n +；12n a n λ=+，4231a λλ=+=⇒=．⑹192n -+；12n a n λ=-+，3315922a λλ=-+=⇒=．⑺73；⑻16；⑼673；⑽35．考点6：等差数列的求和公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，通项为n a ，前n 项和为n S ．经典精讲知识点睛前n 项和n S 的公式：⑴()12n n n a a S +=；⑵()112n n n S na d -=+．1n n a d n a S ，，，，知三求二，可考虑根据公式统一转化为两个基本量．()()11122n n n a a n n S na d +-==+<教师备案>相信大家对高斯小时候算123100++++的故事耳熟能详，对于怎么算也知道的八九不离十，那对于一般的等差数列，前n 项和公式怎么求呢，类似的推导如下：若等差数列{}n a 的公差为d ，n S 为数列{}n a 前n 项和，可以用倒序相加法求和．倒序相加法：[]1231111()(2)(1)n n S a a a a a a d a d a n d =++++=+++++++-把项的顺序反过来：[]121()(2)(1)n n n n n n n n S a a a a a a d a d a n d --=++++=+-+-++--两式相加得11112()()()()n n n n n S a a a a a a a a =++++++++，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．<教师备案>从函数角度看等差数列的前n 项和公式：将前n 项和公式整理成2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故0d ≠时，n S 是关于n 的常数项为0的二次函数，从函数的角度看n S 知，当0d >时，n S 有最小值；当0d <时，n S 有最大值．可以结合下面例7的拓2理解一下这个结论，这方面的更多性质及其应用会在春季同步时展开．由等差数列求和公式的形式，我们可以直接看出公差d 的值，如29n S n n =-⇒2d =；22n S n n =-+，则4d =-；若n S 是n 的二次函数，那么这个数列一定是等差数列吗？举例22n S n n =++，则n a 不是等差数列，首项会出问题，从第二项起是公差为2的等差数列．如果n S 的表达式不含常数项，则{}n a 是等差数列．所以由前n 项和判断是不是等差数列，一定要检验一下前两项满不满足．【铺垫】⑴等差数列371179，，，，的各项的和为_______． ⑵已知数列{}n a 是等差数列，13a =，2d =，则20S =________．【解析】 ⑴ 820；∵134a d ==，，∴1120n a a n d -=+=，20379208202S +=⋅=．⑵ 440；20201920324402S ⨯=⨯+⨯=；【例7】 ⑴已知数列{}n a 是等差数列，15a =，525a =，则前n 项和n S =________．⑵已知数列{}n a 是等差数列，14a =，716a =，则使得154n S =的项数n =________．经典精讲项数 首项 等差数列前n 项和 第n 项 公差⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和236n S n n =+，则1a =_____，n a =_______．⑷（2010辽宁文14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = ． ⑸（目标班专用）（2010丰台一模理8）已知正整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,5【解析】 ⑴25522n n +；∵1425a d +=，∴5d =．2(1)5555222n n n S n n n -=+⨯=+． ⑵ 11；∵14a =，716a =，∴71612d a a =-=，∴2d =．∵1(1)(1)4215422n n n n n S a n d n --=+=+⨯=，有4(1)1540n n n +--=，即231540n n +-=，(14)(11)0n n +-=，∴11n =或14n =-（舍去）． ⑶ 963n +，；119a S ==；由32d=⇒6d =，故63n a n =+．（也可求出1n n n a S S -=-求和）．⑷ 15；316132332656242S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，∴91815a a d =+=． ⑸（目标班）C根据题中数列的规律，坐标和为k 的数有1k -个： 和为2：()1,1、 和为3：()1,2、()2,1、和为4：()1,3、()2,2，()3,1， 和为5：()1,4，()2,3，()3,2，()4,1， ……(1)122n n n ++++=，10111112556022⨯⨯=<<， 即和小于等于11的数有55个，从而第60项的和为12，前几项依次为：(111)(210)(39)(48)(57)，，，，，，，，，，……， 因此第60项为()5,7．<教师备案>学过了等差数列的基本概念和简单的计算后，我们会发现等差数列只需要确定两个基本量1a d ，，然后不管条件怎么变，等差数列的题都可以由这两个数经过一定的运算求出来．不过在求解的过程中，如果只是生搬等差数列最基本的公式，有的题目的运算量就会比较大，导致计算出错的可能就会增加．如何尽可能避免很多不必要的繁琐的计算，这就要学习一点点小技巧，这些小技巧就是我们要学的等差数列的性质．2.3 等差数列性质初步O 123456654321考点7：等差数列的性质1．等差中项：若x A y ，，成等差数列，则A 称为x y ，的等差中项，2x yA +=． 2．等差数列{}n a 的简单性质（其中公差为d ）： ⑴ ()n m a a n m d =+-（*m n ∈N ，）； ⑵ 若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）；若p q m n +=+p q m n a a a a +=+⑶ 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +，，为等差数列，公差为md ；⑷{}n a 的前n 项和为n S ，则()2121n n S n a -=-． (2121n n -=-<教师备案>对于性质⑴可以举简单的例子，353a d ==，，求6a ，可以先求1a ，再由1a 和d 求6a ，也可以引入性质⑴求解．对于⑵，可以由一些简单的例子1423a a a a +=+之类的得出猜想，然后进行证明．对于性质⑶，可以从隔项取一个的等差数列进行探索，然后隔两个，隔多个进行考虑． <教师备案>这一讲对等差数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习．对性质⑵⑶⑷的简单证明如下：⑵()()()1111122p q a a a p d a q d a p q d +=+-++-=++-，同理可得()122m n a a a m n d +=++-，∵p q m n +=+，∴p q m n a a a a +=+． ⑶()11n a a n d =+-，()11n m a a n m d +=++-，()2121n m a a n m d +=++-， ∴()()1111n m n a a a n m d a n d md +-=++----=， ()()211211n m n m a a a n m d a n m d md ++-=++---+-=，∴n a ，n m a +，2n m a +，，为等差数列，公差为md ；⑷()()121211221212n n n n a a S a a a ----+=+++=，∵1212n n a a a -+=，∴()2121n n S n a -=-．这条性质是⑵的推论，性质⑵是等差数列题目中经常出现的．【铺垫】⑴在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ）经典精讲知识点睛下标和相等对应项的和相等211221n n S a a a --=+++ 项数中间项A ．5B ．6C ．8D ．10 ⑵在等差数列{}n a 中，37513a a ==，，则d =_______．11a =______．13S ＝_______．【解析】 ⑴ A ；由等差数列性质1得1952a a a +=，所以55a =；⑵221169，，；7324a a d -==；1173221a a a =-=；13713169S a ==．【例8】 ⑴①a 是42-与42+的等差中项，则a = ；②220180a ，，为等差数列，则a = ． ⑵（2010全国卷Ⅱ6）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=（ ）A ．14B ．21C ．28D ．35⑶设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-，99S =-，则16S = ． ⑷已知等差数列{}n a 满足244a a +=，7910a a +=，则其前10项的和10S =______．⑸（目标班专用）在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为________．【解析】 ⑴①4；()()424242a -++==；②200；1802202002a +==．⑵C ；由34512a a a ++=，得44a =， 所以 12717417()7282a a a a a a +++=⨯⨯+==．⑶ 955991S a a ==-⇒=-，5121616722a a S +=⨯=-． ⑷35；2433242a a a a +==⇒=；79882105a a a a +==⇒=；1101038105()352a a S a a +=⨯=+=． ⑸16；468101281205a a a a a a ++++==，故824a =．()9118881122324163333a a a d a d a -=+-+=⨯=⨯=．<教师备案>本题可以让学生先用普通方法做一遍，然后再介绍利用等差数列性质解题的简便方法，通过这个对比说清学习等差数列性质的重要性，并说明春季我们会介绍更多的性质．【拓展】（第21届希望杯全国数学邀请赛高一16）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不经过点O 的直线上的三点A B C 、、满足32008OB a OA a OC =+，则2010S =_________．【解析】 1005A 、B 、C 三点共线，则由32008320081OB a OA a OC a a =+⇒+=． 又∵{}n a 为等差数列∴120102200932008100510061a a a a a a a a +=+=+==+=∴2010122010S a a a =+++1201010051006()()a a a a =++++1005=．实战演练【演练1】 写出下列数列{}n a 的通项n a ：⑴ 9999999999，，，，；⑵1313，，，；⑶24816--，，，，． 【解析】 ⑴101n n a =-；⑵2(1)n n a =+-；⑶(2)n n a =--．【演练2】 数列{}n a ：111234，，，，求出()n a f n =，n a 是否有最大、最小值？【解析】 1()1n a f n n ==+，n a 有最大值12，没有最小值．【演练3】 已知数列{}n a 是一个等差数列，且48a =-，820a =-，则数列{}n a 的通项n a =______． 【解析】34n a n =-+； 解法一：设{}n a 的公差为d ，由已知条件1138720a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ 解出3d =-，11a =，()1(1)1(1)3n a a n d n ∴=+-=+-⨯-133n =-+34n =-+．解法二：84420(8)12d a a =-=---=- ∴3d =-，138a d +=-，∴11a =．∴34n a n =-+．【演练4】 ⑴已知等差数列{}n a 满足3824a a +=，则它的前10项的和10S 为________．⑵在等差数列{}n a 中，{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，则24a a += ． 【解析】 ⑴120法一：∵3824a a +=，∴111272924a d a d a d +++=+=，()10111045529120S a d a d =+=+=．法二：∵3824a a +=，∴1103824a a a a +=+=，()11010101202a a S +==．⑵ 6；∵53515S a ==，∴33a =，24326a a a +==．【演练5】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，求5a 的值，当n S 取最小值时n 的值． 【解析】 设该数列的公差为d ，由等差数列的性质46526a a a +==-，53a ∴=-，111a =-，()5143118d a a =-=---=，解得2d =，所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值．【演练6】列的数是 ．【解析】2n n +． 第n 行第1列的数为n ，第n 行的数构成公差为n 的等差数列， 故第n 行，第1n +列的数为2(11)n n n n n ++-=+．1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n a =___________．2．等差数列{}n a 的前n 项和公式n S =_______________=_____________． 3．等差数列{}n a ，若2p q m +=，则p q a a +____2m a谷神星的发现1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学教师，把下面的数列： 3，6，12，24，48，96，192…… 的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每个数字都加上4，就得到了下面的数列： 4，7，10，16，28，52，100，196…… 再把每个数都除以10，最后得到： 0.40.71 1.6 2.8 5.21019.6，，，，，，，，令提丢斯惊奇的是，他发现这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、 水星 金星 地球 火星 谷神星 木星 土星 天王星 …计算距离 0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10 19.6 …提丢斯的朋友，天文学家波得深知这一发现的重要意义，就于1772年公布了提丢斯的这一发现，这串数从此引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯——波得定则即太阳系行星与太阳的平均距离． 当时，人们还没有发现天王星、海王星，以为土星就是距太阳最远的行星．1781年，英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星，从此，人们就对这一定则深信不疑了．根据这一定则，在数列的第五项即2.8的位置上也应该对应一颗行星，只是还没有被发现．于是，许多天文学家和天文爱好者便以极大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程． 1801年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空．突然，他从望远镜里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯——波得定则中2.8的位置上．可是，当皮亚齐再想进一步观察这颗小行星时，他却病倒了．等到他恢复健康，再想寻找这颗小行星时，它却不知去向了．皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”． 在高斯之前，著名数学家欧拉曾经研究出了一种计算行星轨道的方法．可是，这个方法太麻烦．高斯决心去寻找一种简便易行的方法．在前人的基础上，高斯经过艰苦的运算，以其卓越的数学才能创立了一种崭新的行星轨道计算理论．他根据皮亚齐的观测资料，利用这种方法，只用了一个小时就算出了谷神星的轨道形状，并指出它将于何时出现在哪一片天空里．1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空．果然不出所料，谷神星出现了！高斯的计算方法成功了．高斯从笔尖上寻找到的这颗行星，在隐藏了整整一年后，向人们显示了数学在科学研究中的巨大作用．概念要点回顾。
高一数学知识点带例题大全
高一数学知识点带例题大全一、数列与数列求和1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
记作：an=a1+(n-1)d。
例题：已知等差数列{an}的通项公式为an=2n+1，求该数列的首项和公差，并计算第10项的值。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
记作：an=a1*q^(n-1)。
例题：已知等比数列{an}的首项为3，公比为2，求该数列的通项公式，并计算第5项的值。
3. 数列求和数列求和是指对数列中一定范围内的项进行求和。
常用的求和公式有等差数列求和公式、等比数列求和公式以及部分和公式。
例题：已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和。
二、函数与方程1. 函数表示与性质函数是一种具有确定性的映射关系。
常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。
例题：已知一次函数y=2x+1，求该函数的定义域、值域以及它的奇偶性和单调性。
2. 方程的解与解法方程是指两个代数式之间相等的关系。
常见的方程类型有一次方程、二次方程、指数方程、对数方程等。
解方程的方法有代入法、因式分解法、配方法、公式法等。
例题：求解方程2x^2-5x+2=0，并判断解的个数和属性。
三、几何与三角形1. 向量与平面几何向量是具有大小和方向的量，可以表示位移、速度、力等。
平面几何研究的是平面内点、线、面的关系及性质。
例题：已知两个向量a=3i-2j和b=i+4j，求它们的数量积和夹角，并判断是否垂直。
2. 三角形的性质与定理三角形是由三条线段组成的闭合图形。
常见的三角形类型有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
三角形的性质包括角度关系、边长关系、面积公式等。
例题：已知三角形ABC，AB=AC，∠BAC=60°，求证：BC=AB。
四、概率与统计1. 概率计算与事件关系概率是指某个事件发生的可能性大小。
常见的事件关系有互斥事件、独立事件、事件的并、交与差等。
高一数学数列的概念知识点
高一数学数列的概念知识点数列是数学中的一个重要的概念，在高一数学学科中也是一个基础的知识点。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
它的重要性在于通过研究数列的性质和规律，可以揭示数学中的许多重要概念和理论，同时也可以应用到许多实际问题的解决中。
本文将重点介绍高一数学数列的概念和知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、数列的定义和表示数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数称为项，通常用字母来表示，如$a_1$，$a_2$，$a_n$等。
数列可以用不同的表示方法来表示，最常见的表示方法有公式表示法和递归表示法。
公式表示法是通过给出数列中每一项与前一项之间的关系用一个公式来表示整个数列。
比如等差数列$a_1$，$a_2$，$a_3$，...，$a_n$的公式表示为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。
递归表示法是通过给出数列中前两项的值和一个递推关系来表示整个数列。
比如斐波那契数列$F_1$，$F_2$，$F_3$，...，$F_n$的递归表示为$F_1=1$，$F_2=1$，$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$。
二、数列的分类和性质根据数列的性质和规律，数列可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等不同类型的数列。
不同类型的数列有不同的性质和特点。
等差数列是每一项和前一项之间的差恒定的数列，可以用公差$d$来表示。
等差数列的常见性质包括：前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$、任意相邻两项和的公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$、通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$等。
等比数列是每一项和前一项之间的比值恒定的数列，可以用公比$r$来表示。
等比数列的常见性质包括：前$n$项和公式$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$、无穷项和公式$S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}$、通项公式$a_n=a_1 \times r^{n-1}$等。
高一数列归纳知识点总结
高一数列归纳知识点总结数列是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学研究中的一个基本对象。
在高一阶段，数列的学习是数学学习的一个重要内容。
本文将从数列的定义、常见数列的特点以及数列的求和公式等方面进行归纳总结。
一、数列的定义与表示方法1. 数列的定义：数列是按照一定的顺序排列起来的数的集合，其中每个数称为数列的项。
2. 数列的表示方法：（1）通项公式表示法：数列可以通过一个解析式来表示，该解析式可以计算出数列中各项的具体数值。
（2）递推公式表示法：数列可以通过一个递推公式来表示，该递推公式利用前一项或前几项来递推求得后一项。
二、常见数列的特点与分类1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
常用通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
常用通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
通常用F(n)表示第n项，前两项分别为F(1) = 1，F(2) = 1。
4. 平方数列：平方数列是指数列中每一项都是某个整数的平方的数列。
例如1，4，9，16，25，...5. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中同时满足等差和等比条件的数列。
通常用an表示第n项，其通项公式为：an = a1 * r^(n-1) + (n-1)d。
三、数列的性质与求和公式1. 数列的有界性：数列可以是有界的，即存在一个上界或下界，也可以是无界的。
2. 数列的递增性与递减性：数列可以是递增的，即每一项都大于前一项，也可以是递减的，即每一项都小于前一项。
3. 奇数数列与偶数数列：数列中的奇数项或偶数项构成了两个新的数列，分别称为奇数数列和偶数数列。
4. 数列的求和公式：对于某些特殊的数列，可以通过递推或另外的方法得出它们的求和公式。
高一年级数学数列知识点
高一年级数学数列知识点数学是一门既让人望而却步又充满挑战的学科。
而在高一的数学课程中，数列是一个非常重要的知识点。
所以，我们有必要系统地学习和理解数列的相关概念和应用。
本文将介绍高一年级数学中与数列相关的知识点。
一、数列的定义与分类数列是由一列按顺序排列的数字组成的列表。
它为我们研究和描述数字之间的规律提供了一个有效的工具。
根据构成数列的数字的特点，数列可以分为等差数列和等比数列。
等差数列是一个常见的数列类型。
它的特点是每个相邻的数字之间的差是相同的。
我们用公式an = a1 + (n-1)d来表示等差数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，d表示公差。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
相比之下，等比数列的特点是每个相邻的数字之间的比值是常数。
我们用公式an = a1 * r^(n-1)来表示等比数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，r表示公比。
例如，1，4，16，64，256就是一个公比为4的等比数列。
二、数列的求和公式在数列的研究中，我们经常需要求出数列的前n个数字的和。
根据数列的类型不同，我们可以使用不同的求和公式。
对于等差数列，求和公式是Sn = n/2(2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和。
而对于等比数列，求和公式是Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)。
在应用求和公式时，我们需要注意数列的边界条件。
特别是在使用等差数列求和公式时，我们必须确认数列的首项、公差和终项。
三、数列的应用数列作为一种有序的数字排列方式，可以在各种实际问题中发挥重要的作用。
首先，数列可以用于描述一些规律或模式。
通过观察和推理数列的数字，我们可以发现其中的规律，并利用这些规律解决问题。
例如，一个数列的通项公式可以帮助我们预测和计算数列中的任意一个数字。
其次，数列可以应用于计算和统计。
例如，我们可以使用数列的求和公式计算某个连续数列的总和。
高一数学数列知识点
高一数学数列知识点高一数学数列知识点1.数列的函数理解：①数列是一种特殊的函数。
其特殊性主要表现在其定义域和值域上。
数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。
图像法;c.解析法。
其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不)。
数列通项公式的特点：(1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。
(2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。
3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
数列递推公式特点：(1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不。
(2)有些数列没有递推公式。
有递推公式不一定有通项公式。
注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。
高一数学数列知识点1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。
这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。
有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n 个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
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单元学习主题
数列
设计意图说明
掌握数列的概念及数列的通项公式;掌握等差数列、等比数列的基本概念及性质,掌握等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式。
求通项公式及解决其他数列问题.利用方程的思想、根据公式列方程(组),解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问题。利用函数的思想,根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前n项和Sn的最值问题，利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问题转化为等差数列、等比数列问题来解决，数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透。
学习单元的
课时框架（用图示的方式说明包括 Nhomakorabea具体内容及相互关系）
单元学习主题设计检验提示
检验指标
实现程度
1.主题是否与课标要求相一致？
是
2.主题是否是一个或多个学科领域中的核心或起着核心作用？能否反映学科本质?（可以利用知识网、概念图、思维导图）
见上表
3.主题能否反映富有挑战性的、能吸引师生兴趣的学习问题或任务？
主题能反映富有挑战性的、能吸引师生兴趣的学习问题或任务
4.主题是否与生活、生产中的真问题相关？能否让学生理解主题的意义和价值。
与生活、生产中的真问题相关，可以让学生理解主题的意义和价值
5.与主题相关的资源是否丰富？
是