【人教版】数学(理)一轮复习：选修4-5《不等式选讲》(第1节)ppt课件

绝对值不等式的解法
[典题导入] (2012· 新课标全国卷)已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围．
[听课记录]
(1)当 a＝－3 时，
－2x＋5，x≤2， f(x)＝1，2＜x＜3， 2x－5，x≥3. 当 x≤2 时，由 f(x)≥3 得－2x＋5≥3，解得 x≤1； 当 2＜x＜3 时，f(x)≥3 无解； 当 x≥3 时，由 f(x)≥3 得 2x－5≥3，解得 x≥4； 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1，或 x≥4}．
[跟踪训练] 1．(2013· 新课标全国Ⅰ高考)已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x) ＝x＋3. (1)当 a＝－2 时，求不等式 f(x)＜g(x)的解集； (2)设 a＞－1，且当 范围．
a 1 － ， x∈ 2 2时，f(x)≤g(x)，求
a 的取值
• 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思 想； • 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函 数与方程的思想．
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)函数 y＝|x＋1|＋|x＋3|的最小值为________． 解析 wk.baidu.com|x＋1|＋|x＋3|≥|(x＋1)－(x＋3)|＝2， ∴ymin＝2. 答案 2
• 第一节
绝对值不等式
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• [主干知识梳理] 一、绝对值三角不等式 1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b| 当且仅当 时，等号成立． 2．定理 2：如果a，b，c是实数，那么 ab≥0 |a－c|≤ ，当且仅当 时，等号成立． (a－b)(b－c)≥0 |a－b|＋|b－c|
• [规律方法] • 形如|x－a|±|x－b|≥c不等式的常用解法： • (1)零点分段讨论法，其步骤为： • ①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对 值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不 要漏掉区间的端点值． • (2)用|x－a|±|x－b|的几何意义求解． • (3)数形结合，作出y＝|x－a|±|x－b|的图象，直观求解．
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4．若存在实数 x满足不等式 |x－ 4|＋ |x －3|<a，则实数 a 的取值范围是________． 解析 由绝对值不等式的几何性质知， |x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1， 所以函数y＝|x－4|＋|x－3|的最小值为1， 又因为原不等式有实数解， 所以a的取值范围是(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)
2．(2013· 江西高考)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1 的解集为 ________． 解析 依题意得－1≤|x－2|－1≤1， 即|x－2|≤2，解得 0≤x≤4. 答案 [0,4]
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3．|x|2－2|x|－15>0的解集是________． 解析 ∵|x|2－2|x|－15>0， ∴|x|>5或|x|<－3(舍去)， ∴x<－5或x>5. 答案 (－∞，－5)∪(5，＋∞)
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当 x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a| ⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1 且 2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[－3,0]．
[互动探究] 在本例条件下， 若 f(x)≥3 对一切实数 x 恒成立， 求 a 的取值范围． 解析 ∵f(x)＝|x＋a|＋|x－2|， ∴f(x)≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|. 由条件知|a＋2|≥3， 即 a＋2≥3 或 a＋2≤－3， ∴a≥1 或 a≤－5. 即 a 的取值范围为(－∞，－5]∪[1，＋∞)．
，
• 二、绝对值不等式的解法 • 1．不等式|x|<a与|x|>a的解集：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
|x|>a
{x|－a<x<a}
{x|x>a，或x<－a}
∅
{x|x≠0}
∅
R
• 2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： • (1)|ax＋b|≤c⇔ ； －c≤ax＋b≤c • (2)|ax＋b|≥c⇔ b≥ cc 或 ax和 ＋|b － c • (3)|x－a|＋|xax －＋ b|≥ c( >0) x≤ － a |＋|x－b|≤c(c>0)型不 等式的解法： • 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了 数形结合的思想；
解析
(1)当 a＝－2 时，
不等式 f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数 y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3， 1 －5x，x＜2， 1 则 y＝ －x－2，2≤x≤1， 3x－6，x＞1.
• 其图象如图所示．由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. • 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
5．(2012· 湖南高考)不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0 的解集为________． 解析 原不等式即|2x＋1|＞2|x－1|， 1 两端平方后解得 12x＞3，即 x＞ . 4 答案
1 xx> 4
• [关键要点点拨] • 1．不等式 |x－a|＋ |x － b|≥c的解就是数轴上到 A(a) ， B(b) 两点的距离之和不小于 c 的点所对应的实数，只要在数轴 上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的 解． • 2．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条 件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等 式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是 ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.