有介质时的高斯定理

1 S / 2 2 S / 2 S
r2 r3 2
2
2 3 2 3
有电介质时的高斯定理
电位移
2( r 2 r 3 )( r1 1) 1 0 ( r1 1) E1 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3
r2 r3 2
2

S
D1 1
下底
D2 D3 2
有电介质时的高斯定理
电位移
由电场与电位移关系得： D1 1 D2 2 E1 E2 0 r 1 0 r 1 0 r 2 0 r 2 平衡时导体是等势体 电荷守恒
E3
0 r 3
有电介质时的高斯定理
电位移
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介 质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍, 可求出电极化强 度为
q0 q0 q0 r 1 P r 0 r r 3 3 3 4r 4 0 r r 4r r 电极化强度 P 与 r 有关，是非均匀极化。在电介
由 P n 0 ( r 1) E n 得束缚电荷的分布
上负下正 上负下正 上负下正
4 r（ 3 r 2 1) 0 ( r 2 1) E2 2 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3 4 r（ 2 r 3 1) 0 ( r 3 1) E3 3 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3
质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布 在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表 面在无限远处），其电荷面密度为
P en
有电介质时的高斯定理
电位移
q0 r 1 2 4R r
因为εr >1，上式说明σ’恒与q0反号，在交界 面处只有电荷和极化电荷的总电荷量为
电位移
例2. 一平板电容器板间为真空时，两极板上所带电荷 的面密度分别为+和-，，电压U0=200V。撤去充 电电源，在板间按图示充以三种介质，介质1充满一 半空间，介质2和3的厚度相同。求介质表面的束缚 电荷。（忽略边缘效应）
忽略边缘效应，板间各 解： 处 E、 D 均垂直于板面,

1
r1
且在同一介质中相同。

1
r2 r3 2
2
以1、2分别表示极板左半部及右半部分的面电荷密 E3、 度， D2、 D3 表示各介质中的电场和电位移。 E 2、 E1、 D1、
有电介质时的高斯定理
电位移
在各电介质中作圆柱 形高斯面，两底面平行于 极板，上底在上极板内。
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 q S C d1 d 2 VA －VB 可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可 以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层 的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电 容器两极板的表面相平行）。
1
2
有电介质时的高斯定理
电位移
（2）正、负两极板A、B间的电势差为
S内
q0 代入得 S ( 0 E P ) dS S内 定义：电位移矢量 D E P 0 有介质时的高斯定理 D d S q 0
S S内
S
S
通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等 于该面包围的自由电荷的代数和。
有电介质时的高斯定理Fra Baidu bibliotek
代入得到电场的分布为：
E
r ln( R2 / R1 ) U
0
沿半径向里
0
r R2
有电介质时的高斯定理
电位移
由 P 0 ( r 1) E 得电极化强度矢量的分布 0 r R1
P
r ln( R2 / R1 ) 0 ( r 1)U
R1 r R2 沿半径向里
1
r1
侧面、上底面电场电位 1 移通量均为零。 电介质中高斯定理 D dS D dS D dS D dS D dS S 上底 下底 侧面 下底 分别考虑三种介质： 介质1 dS D dS D1 S 1 S SD 下底 介质2 dS D dS D2 S 2 S SD 下底 介质3 D dS D dS D3 S 2 S
0
r R2
有电介质时的高斯定理
电位移
由电位移与电场的关系，知
E
U
R1
20 r r
0
r R1
R1 r R2
R2 R1

0
r R2
内外筒电势差
R2
R2 E dl
R1
R2 dr ln 20 r r 20 r R1
r R1
R1 r R2
d1 d 2 q d1 d 2 VA－VB＝E1d1 E2 d 2 1 2 S 1 2
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 q S C d1 d 2 VA －VB 可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以 推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的 厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容 器两极板的表面相平行）。
有电介质时的高斯定理
电位移
D dS D1S＋D2 S＝0
S1
所以
即在两电介质内，电位移 D1和 D2 的量值相等。由于
D1＝D2
D1＝1 E1 , D2＝ 2 E2 E1 2 r 2 所以 E2 1 r 1
可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和 电容率（或相对电容率）成反比。
1
2
电位移
电位移矢量 同时描述电场和电介质极化的复合矢量。 电位移线与电场线 性质不同。 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
电场线 电位移线

三矢量间关系
2. D、E、P 三矢量之间关系 D 0 E P D 0 r E E P 0 ( r 1) E
§9-6 有电介质时的高斯定理 电位移
1.有电介质时的高斯定理
1 E dS
电位移
同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场自由电荷 总电场

S
0
(q
S内
0
q)
束缚电荷
由电荷守恒定律和面上束缚 电荷，得面内束缚电荷
高斯
有电介质时的高斯定理
电位移
q dS P cosdS SP dS
E2 2 r 2 0
方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理
电位移
（2）正、负两极板A、B间的电势差为
d1 d 2 q d1 d 2 VA－VB＝E1d1 E2 d 2 1 2 S 1 2
有电介质时的高斯定理
电位移
为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们 可另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示， 这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按 有电介质时的高斯定理，得
D S D
S1
1
S ＝ S
E1 1 r1 0
再利用 D1＝1 E1 , D2＝ 2 E2 可求得
有电介质时的高斯定理
电位移
2 D dS D 4r q0 q0 D 所以 2 4r q0 写成矢量式为 D r 3 4r 因 D E , 所以离球心r 处P点的场强为 D q0 q0 E E r r 3 3 4r 4 0 r r r
r 1 q0 q0 q 0 r r
总电荷量减小到自由电荷量的1/εr倍，这是离球 心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。
有电介质时的高斯定理
电位移
+
例题9-7 平行板电容器两板极 S1 的面积为S，如图所示，两板极 1 2 之间充有两层电介质，电容率分 S2 别为ε1 和ε2 ，厚度分别为d1 和d2 ， E1 E2 电容器两板极上自由电荷面密度 D1 D2 为±σ。求（1）在各层电介质的 电位移和场强，（2）电容器的 A B d1 d2 电容. 解 （1 ）设场强分别为E1 和E2 ，电位移分别为D1 和D2 ，E1和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层 电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的 自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得
D3
2 0 r 3
E1d E2 d / 2 E3 d / 2
可解得 r 2 r3 2 1 E1 0 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3 1 r3 4 r1 E2 0 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3 1 4 r2 1 E3 0 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3
0
r R2
R2 R1
r R1 r R2
由 P n 得束缚电荷的分布 1 2 1

R ln( R / R ) 0 ( r 1)U R2 ln( R2 / R1 ) 0 r ( 1)U
束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理
电位移
例题9-6 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀 “无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场 强及极化电荷分布。 P 解: 根据金属球是等势体，而 r 且介质又以球体球心为中心对 称分布，可知电场分布必仍具 R Q0 球对称性，用有电介质时的高 斯定理来。 S 如图所示，过P点作一半 径为r并与金属球同心的闭合 球面S，由高斯定理知
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯 面，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
有电介质时的高斯定理
电位移
例1. 一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为R1，外筒半径 为R2，内外筒间充满相对介电常数为r的油，在内外筒间 加上电压U(外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。 根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和 解： 电位移矢量均应有柱对称性。 设内圆筒单位长度带电为，以r为底半径、l为高作 一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则 2 1 R R 1 D q0 rl q0 S D dS D 20 1 2rl S内 S内 r R 2r 1 r R2 R D