有介质时的高斯定理
合集下载
有介质时的高斯定理,写出其物理意义
有介质时的高斯定理，写出其物理意义
高斯定理（也称为高斯通量定理）是电磁学中的一个基本定理，描述了电场或磁场通过一个封闭曲面的总通量与在该曲面内部源的大小之间的关系。
具体表达式为：对一个任意形状的封闭曲面，电场或磁场通过该曲面的总通量等于该曲面内部电荷或磁荷的代数和。
物理意义如下：
1. 电场或磁场通过一个封闭曲面的总通量是该曲面内部电荷或磁荷的性质之一，可以帮助我们了解场的发源和分布。
例如，通过测量通过一个闭合曲面的电场通量，可以推断该闭合曲面内部的电荷分布情况。
2. 高斯定理对于计算电场或磁场的分布以及场源的性质具有重要的应用。
通过选取适当的曲面以及利用高斯定理，可以简化计算复杂电场或磁场的过程，提高计算效率。
3. 高斯定理还有与能量和电荷守恒定律的联系。
当封闭曲面内部不存在电荷时，即电荷守恒定律成立时，通过该曲面的电场通量为零。
这可以用来推导电场能量的守恒。
总的来说，高斯定理在电磁学中具有重要的作用，它可以帮助我们理解场的分布、推断电荷或磁荷的性质，并且简化电场或磁场计算的过程。
有电介质的高斯定理
εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b
第七节 有电介质时的高斯定理
3
第七节 有电介质时的高斯定理
1. 有极分子和无极分子
电介质
无极分子：（氢、甲烷、石蜡等）
有极分子：（水、有机玻璃等）
有极分子— 极性电介质
特点：分子正负电重心不重合，有固有电偶极矩；
4
第七节 有电介质时的高斯定理
无极分子 — 非极性电介质 例如 H2、O2、CO2、CH4
特点：分子正负电中心重合，无固有电偶极
布求得合场强的分布。
11
第七节 有电介质时的高斯定理
例 7-13 设一带电量为Q 的点电荷周围充满电容率 为 的均匀介质，求场强分布。 解： 根据介质中的高斯定理
2 D ds D 4 r q0
S
r
q0 D 4 r 2
1 q0 E 2 4 r D
8
第七节 有电介质时的高斯定理
（2）有电介质时的高斯定理
1 SE dS ε0 (Q0 Q)
Q0 由 εr Q0 - Q
Q0
Q
Q0 得 E dS S ε0 ε r
S
0 r E dS Q0
9
第七节 有电介质时的高斯定理
S
0 r E dS Q0
S
D 2 π rl l
D
2πr
D E ε0 ε r 2 π ε0 ε r r
( R1 r R2 )
R2
r
R1
14
第七章 静电场
一 电介质的极化
二 有电介质时的高斯定理
1
第七节 有电介质时的高斯定理
一、电介质的极化
电介质指的是导电性极差的物质。在电介质内 几乎不存在自由电子（或正离子）。通常条件下的
9-6有电介质时的高斯定理 电位移
∫∫ D S
S1
= D 1 S＝S σ
σ σ E1 = = ε 1 ε r 1ε 0
v v v v 再利用 D 1＝ ε 1 E 1 , D 2＝ ε 2 E 2 可求得
σ σ E2 = = ε 2 ε r 2ε 0
方向都是由左指向右。 方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理 电位移
负两极板A、 间的电势差为 （2）正、负两极板 、B间的电势差为 ）
例题9-6 一半径为 的金属球，带有电荷 0,浸埋在均匀 一半径为R的金属球 带有电荷q 浸埋在均匀 的金属球， 例题 无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场 ），求球外任一点 “无限大”电介质（电容率为 ），求球外任一点 的场 强及极化电荷分布。 强及极化电荷分布。 P 根据金属球是等势体， 解: 根据金属球是等势体，而 ε r 且介质又以球体球心为中心对 称分布，可知电场分布必仍具 称分布， R Q0 球对称性， 球对称性，用有电介质时的高 斯定理来。 斯定理来。 S 如图所示， 如图所示，过P点作一半 点作一半 径为r并与金属球同心的闭合 径为 并与金属球同心的闭合 球面S， 球面 ，由高斯定理知
4εr（εr 2 1) 3 ′ σ 上负下正 σ2 = ε0 (εr2 1)E2 = εr1εr 2 +εr1εr3 + 2εr 2εr3
′ σ3 = ε0 (εr3 1)E3 =
4εr（εr3 1) 2 σ εr1εr 2 + εr1εr3 + 2εr 2εr3
上负下正
有电介质时的高斯定理 电位移
r r 由 P = ε0 (εr 1)E 得电极化强度矢量的分布
P=
r r 由 σ′ = P n 得束缚电荷的分布
有电介质时的高斯定理
解：（ 1 ）求 ： D D, E , P 具有球对称性
选过场点与球面同心的 球面为S：r
S内
R
q
r
P
2 D d S D 4 r q 0
S
r
当：r R : 当： r R :
q q
0
0 q0
D=0
E=0
P=0
0
E
(1 r )q0 R P n P 2 4r R 2 (1 r )q0 q 4R R
总结
D分布
球对称 面对称 轴对称
高斯面 同心球面 垂直于板的和中心 面对称的封闭柱面 同轴封闭园柱面
由于导体为等势体:
例：设无限长同轴电缆的芯线半径为R1，外皮 的内半径为R2。芯线与外皮之间充入两层绝缘 的均匀电介质，其相对电容率分别为εr1和εr2。 两层电介质的分界面半径为R，如图。求单位 长度的电容。 解： (1) 先求 ： D R2 εr1 设单位长芯线、外皮 R R1 分别带电λ、-λ εr2 D, E 具有轴对称性 选过场点与电缆同轴的单位长封闭园柱 面为高斯面：r
§9-4 有介质时的高斯定理
一、有介质时的环路定理和高斯定理：
E E0 E
L
有介质时的环路定理：
E d l 0
有介质时的高斯定理：
q内
E d S
S
q
S内
q
S
0
0
q0
1 1 S内 ) ( q0 q内 P dS 0 S内 0 0 S ( E P ) d S q 0 0
D, E , P
40 r r
有介质时的高斯定理
（1）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效中心 重合的称为无极分子（如H2、 CH4、CO2）
无极分子在电场中, 正负电荷中心会被
拉开一段距离,产生 感应电偶极矩，这
称为位移极化。
无极分子
l
q q
p ql
感应电偶极矩
（2）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效中心 不重合的称为有极分子（如 HCl、H2O、NH3 ）
例如左图的左右表面 上就有极化电荷。
正是这些极化电荷 的电场削弱了电介 质中的电场。
电介质的击穿
当外电场很强时，电介质的正负电中心 有可能进一步被拉开,出现可以自由移动的 电荷,电介质就变为导体了，这称为击穿。
电介质能承受的最大 电场强度称为该电介质 的击穿场强, 或介电强度。
例如. 空气的击穿场强 约 3 kV/mm.
介质中的高斯定理又写为： sD dS q内
… 的高斯定理
即通过任意封闭面的电位移的通量等于 该封闭面所包围的自由电荷的代数和。
说明： 1.它比真空中的E 的高斯定律更普遍,当没有电介质
时, 即r=1, 就过渡到真空中的高斯定律了。
2.如果电场有一定的对称性,我们就可以先从 D 的高
斯定理求出 D 来；然后再求出 来。
实验：插入电介质后，电压变小
U U0
r
Q Q Q Q
r>1……介质的
相对介电常数 （相对电容率）
r 随介质种类和
状
U
为什么插入电介质 会使电场减弱？
1电介质的极化
电介质这类物质中，没有自由电子, 不导电， 但可以极化。 电介质分子可分为有极和无极两类:
有极分子在电场中， 固有电偶极矩会转向 电场的方向，这称为 转向极化。
无极分子在电场中, 正负电荷中心会被
拉开一段距离,产生 感应电偶极矩，这
称为位移极化。
无极分子
l
q q
p ql
感应电偶极矩
（2）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效中心 不重合的称为有极分子（如 HCl、H2O、NH3 ）
例如左图的左右表面 上就有极化电荷。
正是这些极化电荷 的电场削弱了电介 质中的电场。
电介质的击穿
当外电场很强时，电介质的正负电中心 有可能进一步被拉开,出现可以自由移动的 电荷,电介质就变为导体了，这称为击穿。
电介质能承受的最大 电场强度称为该电介质 的击穿场强, 或介电强度。
例如. 空气的击穿场强 约 3 kV/mm.
介质中的高斯定理又写为： sD dS q内
… 的高斯定理
即通过任意封闭面的电位移的通量等于 该封闭面所包围的自由电荷的代数和。
说明： 1.它比真空中的E 的高斯定律更普遍,当没有电介质
时, 即r=1, 就过渡到真空中的高斯定律了。
2.如果电场有一定的对称性,我们就可以先从 D 的高
斯定理求出 D 来；然后再求出 来。
实验：插入电介质后，电压变小
U U0
r
Q Q Q Q
r>1……介质的
相对介电常数 （相对电容率）
r 随介质种类和
状
U
为什么插入电介质 会使电场减弱？
1电介质的极化
电介质这类物质中，没有自由电子, 不导电， 但可以极化。 电介质分子可分为有极和无极两类:
有极分子在电场中， 固有电偶极矩会转向 电场的方向，这称为 转向极化。
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
此定理的公式表述为：电场穿过一个封闭曲面的通量等于该曲面内部的电荷总量的比例，即ΦE=Q/ε0，其中ΦE为电场的通量，Q为曲面内部的电荷总量，ε0为真空中的电介质常数。
在有电介质时，电场的分布受到电介质的影响。
电介质的存在会使电场强度发生改变，这是因为电介质的分子会被电场极化，从而产生极化电荷。
这些极化电荷会改变电场的分布，使电场在电介质中的强度比在真空中的强度小。
因此，在有电介质时，要考虑电介质对电场的影响，才能准确地计算电荷的分布。
在应用高斯定理时，通常需要选择一个适当的曲面来计算电场的通量。
曲面的选择应当考虑到电荷分布的对称性，以便简化计算。
在有电介质时，曲面的选择也需要考虑到电介质的影响。
如果曲面穿过电介质，那么在计算电荷总量时，需要将电介质中的极化电荷也计算在内。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
在电场的计算中，高斯定理可以用来求解各种电场分布，例如电偶极子、均匀带电球面等。
在电容器的设计中，高斯定理可以用来计算电容器的电容量，从而确定电容器的电荷储存能
力。
在电荷分布的测量中，高斯定理可以用来测量电荷的总量，从而确定电荷的分布情况。
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
在应用该定理时，需要考虑到电介质的影响，并选择适当的曲面来计算电场的通量。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
4.2有电介质存在时高斯定理和环路定理
例题：均匀介质内部极化体电荷密度ρ’＝0
在介质内部取任意高斯面S，则有
∫∫ D ⋅ dS = 0
S
无自由电荷
在均匀线性介质中 D (r ) = ε 0 ε E (r ) P ( r ) = χ eε 0 E ( r )
χ e P= D ε
接触起电的危害和应用
人体放电
人体对地电容约为
100 ~ 200 pf，人坐在人造革椅 子上起立，或在塑料地板上步行数步所产生的接触 静电电荷造成人体的静电电压可以达到104V～空气 的击穿场强，有时会出现瞬间放电现象
航天工业
静电放电造成火箭和卫星发射失败，干扰航天飞行
例题
如上题。球形电容器内外半径 分别为R1与R2，其间充以相对 介电常数为ε1和ε2的均匀介质， 两介质界面半径为R。两介质 的击穿场强分别为E1和E2，且 E1<E2，为合理使用材料，最 好使两种介质内的电场强度同 时达到其击穿值，求此时R的 大小。
A B C D
场强分布
Q R1 < r < R, EB = 4πε 0ε1r 2 Q R < r < R2 , EC = 4πε 0ε 2 r 2
ε = 1 + χe
相对介电常数（与真空相对）
真空中
ε = 1, D = ε 0 E
应用
∫∫ D ⋅ dS = ∑ q0
S in S
可以用来计算某些场分布（由对称性决定）
利用D-
Gauss定理按以下路径求
3-5有介质时的高斯定理
s
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
有介质时的高斯定理公式
有介质时的高斯定理公式有介质时的高斯定理公式是物理学中的基本定理之一，它描述了电场、重力场等物理场在有介质的情况下的分布规律。
本文将介绍有介质时的高斯定理公式及其应用。
高斯定理公式指出，电场的通量与电荷量成正比，与介质极化强度成反比。
在有介质的情况下，电荷会在介质中引起电极化，从而影响电场的分布。
因此，高斯定理公式在描述有介质中电场分布时变得更加复杂。
在有介质时，高斯定理公式可以表示为：$$ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\epsilon_0}\int_V \rho dV - \oint_S \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S} $$其中，S是一个封闭曲面，V是该曲面所围成的空间区域，$\mathbf{E}$表示电场强度，$\rho$表示电荷密度，$\mathbf{P}$表示介质的极化强度，$\epsilon_0$为真空介电常数。
公式右边第一项表示电荷在该区域内总共产生的电场通量，第二项表示介质极化所产生的电场通量。
公式左边的积分表示电场穿过曲面S的总通量。
在应用高斯定理公式时，需要注意几个关键点。
首先，曲面S需要是一个封闭曲面，而不是一个任意的曲面。
其次，积分中包含的介质极化强度需要根据具体情况进行计算。
最后，公式只适用于稳态电场的情况，不适用于变化的电场。
高斯定理公式在物理学中有着广泛的应用，特别是在电学、磁学、地球物理学等领域。
在电学中，高斯定理公式可以用于计算电容器的电容量；在磁学中，可以用于计算磁通量；在地球物理学中，可以用于计算地球重力场分布。
有介质时的高斯定理公式是物理学中一个非常基础和重要的定理，描述了物理场在有介质时的分布规律。
在实际应用中，需要注意公式的条件和具体计算方法，才能得到准确的结果。
9.5 有电介质时的高斯定理
/
E
dS
q0内＋q内
0
S
电
q0内
介 q内
质
S
E：总场强,
q0：自由电荷,
q：极化电荷
为什么？
极化电荷 q内 PdS ，代入移项得
S
(0E P) dS q0内
S
(0E P) dS q0内
S
定义(引入)电位移矢量：
D0E P
D 的高斯定理：
通过任意封闭曲面的电位移矢量的通量，等于该 封闭面所包围的自由电荷的代数和
解： D 的高斯定理
D4r 2 q
D
q
rˆ
4r 2
E
D
0 r
q
40 r r 2
rˆ
-+
q' +q
-+ +-
-+
R
+
-
+r
+-
+
-
P E
D
r
E
q
4 0 r r 2
E0
q
4 0r 2
为什么？
P 0( r 1)E
0(
r
1)
4
q
0
r
r
2
rˆ
(1
1
r
)
q
4 r
2
rˆ
-
q' +q
-+
+
+-
-
+
D
dS
D1S＋D2S＝0
S1
所以 D1＝D2
即在两电介质内，电位移
D1和
D2
的量值相等。由于
2.5 介质中的高斯定理
P = χ e ε0 E
4
P = ε0χe E
D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E = ε E
ε = ε 0ε r
称为介质的介电常数
为正实数， 因此， 已知电极化率 χ e 为正实数 ， 因此 ， 一切介质的介电常 数均大于真空的介电常数。 大于真空的介电常数 数均大于真空的介电常数。 实际中经常使用介电常数的相对值， 实际中经常使用介电常数的相对值 ，这种相对值 称为相对介电常数， 表示， 称为相对介电常数，以εr表示，其定义为
(r < a)
(r < a )
(r > a)
介质球内， 介质球内，极化电荷分布为 ρ P = −∇ ⋅ P1 = −∇ ⋅ [(ε − ε 0 ) E1 ] = −(ε − ε 0 )∇ ⋅ E1 球坐标中， 球坐标中，
1 ∂ 2 ∇⋅ A = 2 (r ⋅ Ar ) r ∂r 3(ε − ε 0 ) q 1 d 2 qr ρ P = −(ε − ε 0 ) 2 (r ) =− 3 r dr 4πε a 4πε a 3 (ε − ε 0 ) q = (ε − ε 0 ) E1 ⋅ e r |r = a = 2 4πε a
12
在r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
例2:一个半径为 a 、介电常数为 ε 的均匀介质球内的极 2:一个半径为 化强度为 K
P=
r
er
为一常数。 其中 K为一常数。 1)计算束缚电荷体密度和面密度 计算束缚电荷体密度和面密度； 1)计算束缚电荷体密度和面密度； 2)计算自由电荷体密度 计算自由电荷体密度； 2)计算自由电荷体密度； 3)计算球内 外的电场和电位分布。 计算球内、 3)计算球内、外的电场和电位分布。 解：1)介质球内的束缚电荷体密度为 1)介质球内的束缚电荷体密度为
4
P = ε0χe E
D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E = ε E
ε = ε 0ε r
称为介质的介电常数
为正实数， 因此， 已知电极化率 χ e 为正实数 ， 因此 ， 一切介质的介电常 数均大于真空的介电常数。 大于真空的介电常数 数均大于真空的介电常数。 实际中经常使用介电常数的相对值， 实际中经常使用介电常数的相对值 ，这种相对值 称为相对介电常数， 表示， 称为相对介电常数，以εr表示，其定义为
(r < a)
(r < a )
(r > a)
介质球内， 介质球内，极化电荷分布为 ρ P = −∇ ⋅ P1 = −∇ ⋅ [(ε − ε 0 ) E1 ] = −(ε − ε 0 )∇ ⋅ E1 球坐标中， 球坐标中，
1 ∂ 2 ∇⋅ A = 2 (r ⋅ Ar ) r ∂r 3(ε − ε 0 ) q 1 d 2 qr ρ P = −(ε − ε 0 ) 2 (r ) =− 3 r dr 4πε a 4πε a 3 (ε − ε 0 ) q = (ε − ε 0 ) E1 ⋅ e r |r = a = 2 4πε a
12
在r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
例2:一个半径为 a 、介电常数为 ε 的均匀介质球内的极 2:一个半径为 化强度为 K
P=
r
er
为一常数。 其中 K为一常数。 1)计算束缚电荷体密度和面密度 计算束缚电荷体密度和面密度； 1)计算束缚电荷体密度和面密度； 2)计算自由电荷体密度 计算自由电荷体密度； 2)计算自由电荷体密度； 3)计算球内 外的电场和电位分布。 计算球内、 3)计算球内、外的电场和电位分布。 解：1)介质球内的束缚电荷体密度为 1)介质球内的束缚电荷体密度为
07--4、电介质中的电场高斯定理
解： （1）自由电荷所产生旳场强（在真空中）为
E0
σ0 ε0
9.0 106 8.85 1012
1.02 106 V/m
(2)
由
E
E0 εr
εσrε00
σ0 ε
可知电介质内的场强为
E
σ0 ε
9.0 106 3.5 1011
2.57 105
V/m
（3）极化电荷面密度为：
0
0
3.5 1011 8.85 1010 3.5 1011
有电介质时旳高斯定理得（注意导体中
D=0）：
D dS S2
D dS
右底面
D1 A
A
与前面的式子相比较， 有D1 D2
+ +
S2
利用 D1 1E1 ，D2 2 E2 ，可求得：
E1
1
r1 0
,
E2
2
r 2 0
（2）正、负两极板间旳电势差为：
U
E1d1
E2d2
(d1 1
E1 E2
S D dS D S 0 S
D＝ 0
E1
D
1
0 0 r
E2
D
0
0 0
U
E1
d 2
E2
d 2
0d 2 0 r
0d 2 0
0d 0
r 1 2 r
3 5 U0
C1
Q1 U1
2 r 0 S
d
C2
Q2 U2
2 0 S
d
C1，C2串联：
C
C1C2 C1 C2
5 3 C0
由前面知：
例6、同轴电缆半径分别为R1和R2，其间充斥电介质 r1,，r2 ，
介质中的高斯定理
v E
D
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+´0
DS 0S D 0
D +´
E
D
0r
0 0 r
- 0
0 0
E0
0 0
E 0
E E0 E
0 r 0 0
1
1
r
0
E
dS S
++++++
-q - - - - - -
移出S面
qi
留在S面内
介质中的高斯定理
v v E dS
S
1
0
qi
1
0
vv P dS
S
S 0E P dS qi
定义电位移矢量: D 0 E P C m2
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
D S
dS
qi
说明:
D S
dS
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2. 介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理.
真空中: P 0 所以: D 0E P 0E
v D dS
S
S 0E dS qi
vv E dS
S
1
0
qi
3. 电位移矢量D 是一个辅助量.描写电场的基本物理
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
有电介质时的高斯定理
0
v E
dsv
q0
S
S
Ò
S
v E
dsv
q0
0
真空中的高斯定理
有介质时的高斯定理是真空中的高斯定理的推广，
也可以说真空是介质的一个特例，真空是特殊的介质。
例1：书P103例题1
的半均径匀为无R，限电大荷电量介为质q中0的，金求属电球介埋质在内绝的对场介强电E常及量电为介
质与金属交界面上的极化电荷面密度。
（2）交界面上的极化电荷总量为
q
4
R2
0
q0
即 q q0 ： 极化电荷绝对值小于自由电荷绝对值。
（3）交界面上的总电荷量为
q q0 q q0 r
总电荷减小到自由电荷的
1
r
倍。
（4）把介质换为真空，则场强为
q0
4 0 r 2
rˆ
q0
4 r2
q0
1
r
4 0 r2
充满均匀介质时场强减小到无介质时的
二 电位移.有电介质时的高斯定理
有介质存在时，电介质的内部或表面上出现极化电 荷，极化电荷也要激发电场。即有介质存在时，增加 了新的场源电荷即极化电荷。但是，新的场源只改变 原有静电场的大小，不改变静电场的性质。即对有介 质存在时的静电场，高斯定理和环路定理仍然成立。
1、有介质时的高斯定理
ÒS
v E
②如果 q0 0，则
Ò
v D
dsv
0
S
说明 D 对S面的通量为0，但 D 不一定为0；S面内
不一定无极化电荷 q和自由电荷 q0，只是 q0 的代数
和为0。
（4）
Ò
v D
dsv
q0
6 有电介质时的高斯定理
于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和.
E dS
S 0r
Q
0i
i
自由电荷 代数和
讨论 电场中充满均匀各向同性电介质的情况下
1、定义：电位移矢量 D 0rE E
: 电容率,决定于电介质种类的常数
说明
(1)是描述电场辅助性矢量
(2) 对应电场线起始于正自由电荷，
(3)
终止于负自由电荷
电位移通量 Ψ D
二、电介质中的静电场环路定理
l E dl 0
D dl 0 l
电位移 有介质时的高斯定理
一、电介质中的高斯定理 电位移矢量 D
加入电介质(εr )
E dS
1
S
0
qi
i
1
0
(
0 )S
'(1 1r Nhomakorabea)
0
EdS Q
S 0r i
E
dS
0S
1
S
0 r 0 r
Q0i
i
0i
自由电荷的代数和
令： D0ErE
电位移矢量
DdS
S
Q0i
i
电介质中通过任一闭合曲面的电位移通量等
D
s
dS
电力线与电位移线的比较
E线
D线
+Q
+Q
r
r
2、电介质中电场 强度
E
、电极化强度
P
和电位移矢量D 之间的 关系
电位移
D 0rE E
电极化强度
P
(r1)0 E
D P 0E
3、电介质中的高斯定理
D dS Q0i
S
i
(自由电荷
真空中和介质中的高斯定理
真空中和介质中的高斯定理高斯定理，这个听上去有点复杂的名字，其实在物理界可是个大明星，简直就是“物理界的范冰冰”！说到它，大家首先想到的就是电场，没错，电场就像空气一样，围绕着我们，无时无刻不在。
想象一下，咱们周围的电荷，像小小的派对动物，互相排斥又吸引，搞得电场波动不断，真是热闹得很！高斯定理到底是什么呢？其实就是告诉我们，在一个封闭的区域内，电场的总流出量和这个区域里面的电荷量成正比。
简单来说，就是你放多少电荷在里面，电场就会“跑”多少出来。
这样一听，是不是觉得特别有趣？好了，咱们再聊聊真空和介质中的高斯定理。
这两个概念就像是两种不同风格的歌手，各有各的特点。
真空，嘿，它就像个独立的摇滚歌手，潇洒自如，不受任何干扰。
真空中的电场可以轻松发挥作用，根本不用担心周围的环境。
这时候，高斯定理变得格外简单，完全可以依靠电荷的数量来判断电场的强弱。
而介质嘛，就像是个嘈杂的聚会，环境复杂多变，电场的表现就有点“拗口”。
因为介质会影响电场的传播，咱们得考虑到介质的介电常数。
它就像是一个调音师，调整着电场的音量，让它在不同环境下表现得淋漓尽致。
想象一下，如果你把一个电荷放在真空中，它就像一个在阳光下炫耀的明星，电场四处发散，影响周围的一切。
而如果你把它放在一个充满水的泳池里，那就有点像在游泳的明星，周围的水流会干扰它的动作。
真空中电场的流动可以通过简单的公式算出，但在介质中，这个过程就要复杂得多。
介质的介电常数就像是一把调音器，让我们能更好地理解电场在不同环境中的变化。
可别小看这个常数，它可是高斯定理在介质中的关键！你要是搞不清楚，电场就会像失控的音乐节，变得乱七八糟。
再说了，咱们常常在生活中也能找到高斯定理的影子。
比如你在海滩上看着浪花拍打岸边，水流的运动就和电场有点像。
海浪涌向岸边，和电场中的电荷一样，都在不断变化着。
你要是能明白高斯定理，那你就是理解了自然界中一部分奥秘。
电场和电荷的关系，像是阳光和树影，互相依存，缺一不可。
4介质中的高斯定理
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
∫v D
S
⋅
v dS
=
∑
qi
说明:
∫ Dv S
⋅
v dS
=
∑
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2.
真介空质中中:的高Pv斯=定0理包含所了以真:空中D的v 高=斯ε 0定Ev理+.
v P
=
ε
0
v E
∫ ∫ ∫ v D
⋅
v dS
=
ε
S
S
3.
电位移矢量
v D
量是电场强度
v 0E
⋅
v dS
=
∑
qi
v E
⋅
v dS
=
1
S
ε0
是E.v一个辅助量.描写电场的基本物理
∑
qi
介质中的高斯定理
对于各向同性的电介质:
v P
=
χ
eε
0
v E
( ) v
D
=
ε
0
v E
+
v P
=
ε
0
v E
+
χ
eε
0
v E
=
Dv
ε
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为σ0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+σσ´0
D⋅S =σ0S D = σ0
D +σ´
E = D = σ0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有电介质时的高斯定理
电位移
2 D dS D 4r q0 q0 D 所以 2 4r q0 写成矢量式为 D r 3 4r 因 D E , 所以离球心r 处P点的场强为 D q0 q0 E E r r 3 3 4r 4 0 r r r
0
r R2
R2 R1
r R1 r R2
由 P n 得束缚电荷的分布 1 2 1
R ln( R / R ) 0 ( r 1)U R2 ln( R2 / R1 ) 0 r ( 1)U
束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。
有电介质时的高斯定理
§9-6 有电介质时的高斯定理 电位移
1.有电介质时的高斯定理
1 E dS
电位移
同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场自由电荷 总电场
S
0
(q
S内
0
q)
束缚电荷
由电荷守恒定律和面上束缚 电荷，得面内束缚电荷
高斯
有电介质时的高斯定理
电位移
q dS P cosdS SP dS
D3
2 0 r 3
E1d E2 d / 2 E3 d / 2
可解得 r 2 r3 2 1 E1 0 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3 1 r3 4 r1 E2 0 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3 1 4 r2 1 E3 0 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3
0
r R2
有电介质时的高斯定理
电位移
由电位移与电场的关系，知
E
U
R1
20 r r
0
r R1
R1 r R2
R2 R1
0
r R2
内外筒电势差
R2
R2 E dl
R1
R2 dr ln 20 r r 20 r R1
r R1
R1 r R2
质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布 在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表 面在无限远处），其电荷面密度为
P en
有电介质时的高斯定理
电位移
q0 r 1 2 4R r
因为εr >1，上式说明σ’恒与q0反号，在交界 面处只有电荷和极化电荷的总电荷量为
d1 d 2 q d1 d 2 VA－VB＝E1d1 E2 d 2 1 2 S 1 2
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 q S C d1 d 2 VA －VB 可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以 推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的 厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容 器两极板的表面相平行）。
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 q S C d1 d 2 VA －VB 可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可 以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层 的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电 容器两极板的表面相平行）。
1
2
有电介质时的高斯定理
电位移
（2）正、负两极板A、B间的电势差为
电位移
电位移矢量 同时描述电场和电介质极化的复合矢量。 电位移线与电场线 性质不同。 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
电场线 电位移线
三矢量间关系
2. D、E、P 三矢量之间关系 D 0 E P D 0 r E E P 0 ( r 1) E
S内
q0 代入得 S ( 0 E P ) dS S内 定义：电位移矢量 D E P 0 有介质时的高斯定理 D d S q 0
S S内
S
S
通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等 于该面包围的自由电荷的代数和。
有电介质时的高斯定理
由 P n 0 ( r 1) E n 得束缚电荷的分布
上负下正 上负下正 上负下正
4 r（ 3 r 2 1) 0 ( r 2 1) E2 2 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3 4 r（ 2 r 3 1) 0 ( r 3 1) E3 3 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3
有电介质时的高斯定理
电位移
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介 质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍, 可求出电极化强 度为
q0 q0 q0 r 1 P r 0 r r 3 3 3 4r 4 0 r r 4r r 电极化强度 P 与 r 有关，是非均匀极化。在电介
有电介质时的高斯定理
电位移
D dS D1S＋D2 S＝0
S1
所以
即在两电介质内，电位移 D1和 D2 的量值相等。由于
D1＝D2
D1＝1 E1 , D2＝ 2 E2 E1 2 r 2 所以 E2 1 r 1
可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和 电容率（或相对电容率）成反比。
有电介质时的高斯定理
电位移
为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们 可另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示， 这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按 有电介质时的高斯定理，得
D S D
S1
1
S ＝ S
E1 1 r1 0
再利用 D1＝1 E1 , D2＝ 2 E2 可求得
电位移
例2. 一平板电容器板间为真空时，两极板上所带电荷 的面密度分别为+和-，，电压U0=200V。撤去充 电电源，在板间按图示充以三种介质，介质1充满一 半空间，介质2和3的厚度相同。求介质表面的束缚 电荷。（忽略边缘效应）
忽略边缘效应，板间各 解： 处 E、 D 均垂直于板面,
E2 2 r 2 0
方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理
电位移
（2）正、负两极板A、B间的电势差为
d1 d 2 q d1 d 2 VA－VB＝E1d1 E2 d 2 1 2 S 1 2
r 1 q0 q0 q 0 r r
总电荷量减小到自由电荷量的1/εr倍，这是离球 心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。
有电介质时的高斯定理
电位移
+
例题9-7 平行板电容器两板极 S1 的面积为S，如图所示，两板极 1 2 之间充有两层电介质，电容率分 S2 别为ε1 和ε2 ，厚度分别为d1 和d2 ， E1 E2 电容器两板极上自由电荷面密度 D1 D2 为±σ。求（1）在各层电介质的 电位移和场强，（2）电容器的 A B d1 d2 电容. 解 （1 ）设场强分别为E1 和E2 ，电位移分别为D1 和D2 ，E1和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层 电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的 自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯 面，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
有电介质时的高斯定理
电位移
例1. 一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为R1，外筒半径 为R2，内外筒间充满相对介电常数为r的油，在内外筒间 加上电压U(外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。 根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和 解： 电位移矢量均应有柱对称性。 设内圆筒单位长度带电为，以r为底半径、l为高作 一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则 2 1 R R 1 D q0 rl q0 S D dS D 20 1 2rl S内 S内 r R 2r 1 r R2 R D
代入得到电场的分布为：
E
r ln( R2 / R1 ) U
0
沿半径向里
0
r R2
有电介质时的高斯定理
电位移
由 P 0 ( r 1) E 得电极化强度矢量的分布 0 r R1
P
r ln( R2 / R1 ) 0 ( r 1)U
R1 r R2 沿半径向里
r2 r3 2
2
S
D1 1
下底
D2 D3 2
有电介质时的高斯定理
电位移
由电场与电位移关系得： D1 1 D2 2 E1 E2 0 r 1 0 r 1 0 r 2 0 r 2 平衡时导体是等势体 电荷守恒
E3
0 r 3
1
r1
侧面、上底面电场电位 1 移通量均为零。 电介质中高斯定理 D dS D dS D dS D dS D dS S 上底 下底 侧面 下底 分别考虑三种介质： 介质1 dS D dS D1 S 1 S SD 下底 介质2 dS D dS D2 S 2 S SD 下底 介质3 D dS D dS D3 S 2 S