自适应滤波器的原理与设计

实验二 自适应滤波信号

一、实验目的：

1．利用自适应LMS 算法实现FIR 最佳维纳滤波器。

2．观察影响自适应LMS算法收敛性，收敛速度以及失调量的各种因素，领会自适应信号处理方法的优缺点。

3．通过实现AR 模型参数的自适应估计，了解自适应信号处理方法的应用。

二、实验原理及方法

自适应滤波是一种自适应最小均方误差算法（LMS ），这种算法不像维纳滤波器需要事先知道输入和输出信号的自相关和互相关矩阵，它所得到的观察值

,滤波器等价于自动“学习”所需要的相关函数，从而调整FIR 滤波器的权系数，并最终使之收敛于最佳值，即维纳解。 )(n y 下面是自适应FIR 维纳滤波器的LMS 算法公式：

（2-1）

)()()(0

^

^

m n y n h n x M

m m -=∑= （2-2） ^

)()()(n x n x n e -=M m m n y n e n h n h m m ⋯=-∙+=+,1)

()(2)()1(^

^

μ （2-3）

其中FIR 滤波器共有M+1个权系数，表示FIR 滤波器第m 个权系数在第n 步的估计值。

),0)((^

M m n h m ⋯=因此，给定初始值)M ,0(),0(⋯=m h m ，每得到一个样本，可以递归得到一组新的滤波器权系数，只要步长)(n y μ满足

max

1

0λμ<

< （2-4）

其中max λ为矩阵R 的最大特征值，当∞→n 时，)M ,0(),0(⋯=m h m 收敛于维纳解。

现在我们首先考察只有一个权系数h 的滤波器，如图2.1所示。假如信号由下式确定：

)(n y )()()(y n w n s n += （2-5） )()(n hx n s = （2-6） 其中h 为标量常数，与互不相关，我们希望利用和得到

)(n x )(n w )(n y )(n x )(n s

图1

利用公式（2-1），（2-2），（2-3），我们可以得到下面的自适应估计算法：

（2-7） )()()(^

^n x n h n s = （2-8） )())()()((2)()1(^

^

^

n x n x n h n y n h n h -+=+μ其框图如图所示。

图2

选择的初始值为，对式2-8取数学期望可得

^)(n h ^

)0(h （2-9） ))0(()21(])([^

^

h h R h n h E n

--+=μ其中

（2-10） ])()([R T n x n x E =因此，只要满足

R

1

0<

<μ （2-11） 的条件，总归可以收敛于最佳值，从而也逐渐收敛于。 ^

)(n h h ^

)(n s )(n s 自适应信号处理的一个重要应用是用来进行参数估计。下面是利用LMS 算法实现AR 模型参数的估计。

如果信号为一个M 阶的AR 模型，即

)(n y )()()2()1()(21n w M n y a n y a n y a n y M +--⋯-----= （2-12） 通过解Yule-Walker 方程可以得到AR 模型的参数估计，同样，利用LMS 算法，我们也可以对AR 模型的参数估计进行自适应估计，其算法如下：

（2-13）

∑=--=M

m m m n y n a n y 1

^

^

)()()( (2-14) ^

)()()(n y n y n e -= (2-15)

M m m n y n e a n a m m ≤≤-∙-=+1)()(2)1(^

^

μ这种算法的实现框图如图2.3所示。

图3

同样可以证明，只要步长μ值选择合适，当∞→n 时，上述自适应算法得到的

)(^

n a M =μ也收敛于AR 模型的参数。 m a ([h E 三、实验结果及分析

1. 时8.0,1,03.02

-==h w σ)]n 和)(n h 的比较：

图4 自适应滤波器)]([n h E 和)(n h

的比较

图1是时100=L )]([n h E 和)(n h

的比较，由图可以看出的均值刚开始一直在

变化，然后逐渐趋于稳定，最后收敛于最佳值。

^)(n h

2. 自适应滤波器的效果和)(n s )(n s

的比较：

图5 和)(n s )(n s

的比较

图2是时和100 L )(n s )(n s

的比较比较，由于滤波器逐渐收敛于最佳值，所以随着L 的增大滤波效果越好。

3.利用实验一中的维纳滤波器估计的h 和估计的到的)(n s )(n s

与2中的估计进行比较：

图6 自适应滤波器和维纳滤波器的估计比较

图3是利用卷积得到的100=L 时的)(n s 和有2中得到的)(n s

进行比较，可得出自适应滤波算法大大改善了滤波性能。

4、的情况

8.0,1,01.02

-===h w σμ

图7

01.0=μ时自适应滤波器的性能

8.0,1,1.02-===h w σμ的情况

图8

1.0=μ时自适应滤波器的性能

8.0,1,12

-===h w σμ的情况

图9

1=μ时自适应滤波器的性能

由图4-图6可知，当μ增大时，自适应滤波器的性能随之降低。当1=μ时滤波器失配。

5、时：

8.0,01.0,03.02-===h w σμ