《位似》教案

课题：27．3位似

课标要求

1．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．

2．在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的．

教学目标

知识与技能：

1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质；

2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小；

3．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，并掌握点的坐标变化的规律；

4．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．

过程与方法：通过设置问题情境，建立数学概念，解释、应用与拓展，引导学生观察、验证，推理，交流，探究位似变换和图形缩放及在直角坐标系中位似变换中对应点的坐标变化规律．让学生了解相似与轴对称、平移、旋转都是图形之间的基本变换，总结四种变换的异同．

情感、态度与价值观：发展学生的探究能力，养学生动脑动手的学习习惯，增强数学应用意识与能力．教学重点

1．位似图形的有关概念、性质与作图；2．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．

教学难点

利用位似将一个图形放大或缩小及其点的坐标变化的规律．

教学流程

一、情境引入

观察：在日常生活中，照相机把人物的影像缩小到底片上，它们有什么特征？

引出课题：这节课来探究这类问题

二、观察探究

（一）概念

图中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？

每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．这时的相似比又叫位似比．

追问：位似图形有什么性质呢？

（二）利用位似可以将一个图形放大或缩小

如何把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的21． 图1A

B

C

D

分析：把原图形缩小到原来的

2

1，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2．

作法一： ①在四边形ABCD 外任取一点O ；

②过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；

③分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′使得2

1''''====OD OD OC OC OB OB OA OA ；

④顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到四边形A ′B ′C ′D ′，如图2．

追问1：此题还可以如何画出图形？

作法二：①在四边形ABCD 外任取一点O ；

②过点O 分别作射线OA ， OB ， OC ，OD ；

③分别在射线OA ， OB ， OC ， OD 的反向延长线上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21''''====OD OD OC OC OB OB OA OA ； ④顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图3．

作法三：

①在四边形ABCD 内任取一点O ；

②过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；

③分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得；

④顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，

21''''====OD OD OC OC OB OB OA OA 如图4．

追问2：当点O 在四边形ABCD 的一条边上或在四边形ABCD 的一个顶点上时,怎样画？

（三）平面直角坐标系中的位似变换

1．如图，在平面直角坐标系中，有两点A （6,3），B （6,0）．以原点O 为位似中心，相似比为3

1，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

2．如图，△AOC 三个顶点的坐标分别为A （4，4），O （0，0），C （5，0）． 以点O 为位似中心，相似比为2，将△AOC 放大．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

归纳：

位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．

在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．

例题：（教材P 49例题）

如图，△ABO 三个顶点坐标分别为A （-2，4），B （-2，0），O （0，0）． 以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为2

3．

分析：问题的关键是确定位似图形的各个顶点的坐标，根据上面总结的规律，可以得到A ′的坐标⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⨯⨯-234,232，即（-3，6）． 类似的可以得到其他的对应顶点，然后依次连接各点，即可得到要求的三角形的位似图形．

解：利用相似中对应点的坐标的变化规律，分别取点A ′（-3，6），B ′（-3，0），O （0，0）．顺次连接点A ′，B ′，O ，所得的△A ′B ′O 就是要画的一个图形．

追问：还可以得到其他图形吗？

（四）四种图形变换

如图所示，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？

分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形……

思考：

1．还可以是什么图形变换？

2．位似变换与平移、轴对称、旋转的联系与区别是什么？

3．任意设计一个图案．

三、巩固提高

1．如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？

2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的3倍．

3．如图，把△AOB缩小后得到△COD，求△COD与△AOB的相似比．

4．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，-5），B（6，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△A′B′O′．写出△A′B′O′三个顶点的坐标．

第1题图第2题图第3题图第4题图

四、体验收获

说一说你的收获．

1．位似图形相关概念及性质；

2．位似的作用；

3．位似变换中，对应点的坐标变化的规律；