线性代数第五章作业参考答案(唐明)

第五章作业参考答案

5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T

T

T

ααα=-==

是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T

T

v v ==---

在这组基之下的坐标。

证明：要证123,,ααα

线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++=

的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232

32300320k k k k k k k k ++=⎧⎪

-++=⎨⎪+=⎩ 计算此方程系数的行列式123

1116003

2

-=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα

是3R 的一组基

设1v

在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v

在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232

212323

3,,,,,x y v x v y x y αααααα⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

== ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

代入易解得112233233,312x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即为1v ，2v 在这组基下的坐标。

5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T

αβγ=-=-=---

，求： （1

）,,,αβαγ

及,,αβγ

的范数；（2）与,,αβγ

都正交的所有向量。

解（1

）,1223111(1)6αβ=⨯+⨯-⨯+⨯-=

()()(),112112

121

αγ=⨯-+⨯--⨯-+⨯=

α=

=

β==

γ=

=

（2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T

x x x x x =，则

123412341234,20

,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ⎧=+-+=⎪⎪=++-=⎨⎪=---+=⎪⎩

解得1

43243334

4

5533x x x x x x x x x

x =-⎧⎪

=-+⎪⎨

=⎪⎪=⎩

令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-

则有12

55331001x t t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，其中12,t t 为任意实数，即为所求向量。

5-6证明：若β

与向量组1,m αα 中的每一个向量都正交，则它也与1,m αα

的任何线性组合正交。 证明：令α

为1,m αα 的线性组合，则1122m m k k k αααα=+++

，由题意知

12,0,,0,,,0m βαβαβα===

则11221122,,,,0,0m m m m k k k k k k βαβαααβαβαβα=+++=+=++=

原命题得证。

5-7用施密特正交化方法将123113212,,258137ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

正交规范化。

解：1111221αβα⎛⎫

⎪⎪

=

=

=

⎪⎪-⎝⎭

2221

123,32γααββ⎛⎫

⎪ ⎪=-= ⎪- ⎪⎝⎭

同理可得2

22

2332γβγ⎛⎫ ⎪⎪

==

⎪-⎪⎝⎭

3331132

221

,,12γααββαββ⎛⎫

⎪- ⎪=--= ⎪- ⎪-⎝⎭

3

33

2112γβγ⎛⎫ ⎪-⎪

==

⎪-⎪-⎝⎭

综上所述，正交规范的结果为123122231,,231122βββ⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎪

=

==⎪⎪⎪--⎪⎪⎪--⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

5-9已知()11,1,1,1T

α=

，试由它出发构造4R 的一组规范正交基。这样的基唯一吗？ 解：令1234,,,αααα

为4R 的一组规范正交基，由已知得234,,ααα

都与1α

正交，应满足方程

11,0T

x x α==

，设()1234,,,T

x x x x x =，故12340x x x x +++=

1

23422334

4x x x x x x x x x x =---⎧⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 的基础解系123111100

,,010001ξξξ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

1112322112221

11111111,,,,10222100αξββγξξββξββαξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪

=

====--=

⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

343433333224341111221,,,,2113033γγβγξξββξβββγγ-⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪

===--=-==

⎪

⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

所以1234,,,ββββ

为4R 的一组规范正交基，但这样的基不唯一。

5-10已知矩阵327

7327

7

a Q b

c d e ⎛⎫- ⎪

⎪

= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

为正交阵，求,,,,a b c d e 的值 解：由Q 为正交阵得