2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案

2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案一、填空题（每小题8分，共64分） 1.已知函数())()ln 10f x ax a =+>，则()1ln ln f a f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 答案：2 提示：()()))()2222lnln2ln 12 2.f x f x ax ax a x a x +-=++=+-+=2.设A 、B 两点分别在抛物线26y x =和圆()22:21C x y -+=上，则AB 的取值范围是． 答案：[)1,+∞提示：由于1AB AC ≥-，则只需要考虑AC 的范围．而()()()2222222262413,AC x y x xx x x =-+=-+=++=++又0x ≥，故min 2AC =，故AB 的取值范围为[)1,.+∞ 3.若tan 3tan 02παββα⎛⎫=<≤< ⎪⎝⎭，则αβ-的最大值为 ． 答案：6π． 提示：()2tan tan 2tan tan 1tan tan 13tan 213tan tan tan .36αββαβαββββπ--==++=+≤= 因为02πβα<≤<，所以0.2παβ≤-<所以6παβ-≤，即αβ-的最大值为.6π 4.已知△ABC 为等腰直角三角形，其中C ∠为直角，1AC BC ==，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得1DB =，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小值为 ．．提示：由题意可知，,4CDB π∠=且BDA ∠与CDA ∠之和为.2π如图，将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面1B DA 和2B DC ，且与侧面ADC 位于同一个平面上．则△BEF 周长的最小值即面12AB DB C 上两点1B 、2B 之间的线段长．由前面的分析可知，12123.244B DB B DA ADC CDB πππ∠=∠+∠+∠=+=由余弦定理可得，12B B ===所以，△BEF5.已知函数()33f x x x =+，对任意的[]2,2,m ∈-()()820x f mx f -+<恒成立，则正实数x 的取值范围为 ． 答案：0 2.x <<提示：由于()33f x x x =+为奇函数且为增函数，所以()()820xf mx f -+<等价于()()()822x x f mx f f -<-=-，即82.x mx -<-即280xmx +-<对任意[]2,2m ∈-恒成立．即2280,2280,xxx x ⎧+-<⎪⎨-+-<⎪⎩所以02,04,x x <<⎧⎨<<⎩即0 2.x <<6.已知向量a 、b 、c 满足()*::2::3a b c k k N =∈，且()2b a c b -=-，若α为a 、c 的夹角，则cos α的值为 ．答案：1.6-提示：由()2b a c b -=-得1233b ac =+，所以 222144.999b ac a c =++⋅又::2::3a b c k =，所以240241664cos ,.9999k α⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦又*k N ∈，所以2k =，所以cos α的值为1.6-7.现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭正四面体容器，则该容器棱长最小值为 ．答案：4+提示：这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3的小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为342343+⨯⨯=+ 8.将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球．无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为 ． 答案：1.6提示：方法一 如果只有2个小球（1黑1白），那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为12；如果只有4个小球（2黑2白），那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为13；如果只有6个小球（3黑3白），那么黑球的个数总数不少于白球个数的概率为14；以此类推，可知将10个小球（5黑5白）排成一行，从左边一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数不少于白球个数的概率为1.6方法二 直接从10个小球入手分类讨论．二、解答题（第9、10、11、12题各14分，第13、14题各15分） 9.在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c ，向量()sin sin ,sin ,p A C B =+(),q a c b a =--，且满足p q ⊥．（1）求△ABC 的内角C 的值；（2）若()2,2sin 2sin 2sin c A B C C =++=，求△ABC 的面积．解 （1）由题意p q ⊥，所以()()()sin sin sin 0.a c A C b a B -++-=由正弦定理，可得()()()0.a c a c b a b -++-= 整理得222a cb ab -+=．由余弦定理可得，2221cos ,22a b c C ab +-==又()0,C π∈，所以.3C π= (2)由()2sin 2sin 2sin A B C C ++=可得，()()4sin cos sin sin .A A B A B A π++-=+整理得，()()4sin cos sin sin 2sin cos .A A B A B A B A =++-=当cos 0A =时，2A π=，此时，2cot3b π==，所以△ABC 的面积12ABC S bc ∆==当cos 0A ≠时，上式即为sin 2sin B A =，由正弦定理可得2,b a =又224a b ab +-=，解之得，a b ==所以△ABC 的面积1sin 2ABC S ab C ∆==综上所述，△ABC 的面积1sin 23ABC S ab C ∆==10.已知数列{}n a 满足：2112,2.n n n a a a a +==+（1）求证：数列(){}lg 1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若112n n n b a a =++，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证： 1.n S < 证 （1）由已知得()22112,11.n n n n n a a a a a +-=++=+因为12a =，所以11n a +>，两边取对数得()()1lg 12lg 1,n n a a ++=+即()()1lg 12lg 1n n a a ++=+，故(){}lg 1n a +为以lg 3为首项，2为公比的等比数列，即()1lg 12lg3,n n a -+=即123 1.n n a -=-（2）方法一 由212n n n a a a +=+，两边取倒数得1111122n n n a a a +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以 21122n n n a a a +=-+，即1112n nn b a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故2112,231n n S ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭故 1.n S < 方法二 由于111211222221123313131112,3131n n n nn n n b -----⨯=+=+--⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭则2112 1.231n n S ⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭11.设().xf x e ax a =--（1）若()0f x ≥对一切1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（2）求证：1008122015.2016e -⎛⎫< ⎪⎝⎭解 （1）由()0f x ≥得()1xx a e +≤，即()11xe a x x ≤>-+．令()1x e h x x =+，则()()2.1xxe h x x '=+ 由()()201xxe h x x '=>+得0.x >所以()h x 在()0,+∞上单调递增，()h x 在()1,0-单调递减． 所以()()()011,h x h x ≥=>-由此得 1.a ≤又1x =-时，()1x x a e +≤即为10a e -⨯≤，此时a 取任意值都成立．综上可得 1.a ≤（2）10081220152016e-⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于1201510152016e <等价于1201611.2016e -< 由（1）知，当1a =时()0f x ≥对一切1x ≥-恒成立，即1xe x ≥+（0x =时取等号）．取12016x =-，得1201611.2016e -< 即证得：1008122015.2016e -⎛⎫< ⎪⎝⎭12. 已知：如图，两圆交于A 、B 两点，CD 为一条外公切线，切点分别为C 、D ．过A 任意作一条直线分别交两圆于E 、F ，EC 交FD 于点P ． 求证：PB 平分.EBF ∠证 如图，连结BA 、BC 、,BD 延长CD ．由A 、B 、E 、C 共圆有1CBA ∠=∠，同理，2.DBA ∠=∠又12180EPF ∠+∠+∠=，所以12180.CBD CPD EPF ∠+∠=∠+∠+∠=故P 、C 、B 、D 四点共圆．则34CBP DBF ∠=∠=∠=∠（弦切角等于圆周角）． 同理5.CBE DBP ∠=∠=∠ 所以,EBP EBC PBC DBP FBD FBP ∠=∠+∠=∠+∠=∠此即为PB 平分.EBF ∠13.设正数x 、y 满足33x y x y +=-，求使221x y λ+≤恒成立的实数λ的最大值．解 由正数x 、y 满足33x y x y +=-，知0.x y >> 令 1.xt y=> 不等式221x y λ+≤等价于3322,x y x y x y λ++≤-等价于332322,x y x y y y x x y x yλ++≤-=-- 等价于()232,x y y x y y λ+≤-等价于22221.1x y t xy y t λ++≤=--因为()()212211122t f t t t t +==+-+--≥+=+ 等号仅当211t t-=-，即1t =λ的最大值为2+ 14.已知椭圆22:12x C y +=及点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作C 的切线交于Q ． （1）求Q 的轨迹方程：（2）求△ABQ 的面积的最小值．解 （1）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,Q x y ，则11:12x xQA y y +=过Q ，有 101012x x y y +=； ① 22:12x xQB y y +=过Q ，有202012x x y y +=， ② 故直线AB 为0012x x y y +=，由于直线AB 过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则有00122x y +=，即 00 2.x y += ③故Q 的轨迹方程为 2.x y +=（2）当直线AB 斜率不存在时，即直线AB 的方程为1x=，此时1,2A ⎛⎝⎭、1,2B ⎛- ⎝⎭、()2,0.C 所以1122ABQ S ∆==当直线AB 的斜率存在时，设直线()1:12AB y k x -=-，即1.2y kx k =+-联立2222,1,2x y y kx k ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩消去y 得 ()()222321212220.2kx k k x k k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭于是有()1222122221,213222.21k k x x k k k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩又①-②，得到0002x ky +=与③联立，可解得42,2112kQ k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，则()()12322212443,42121AQB S AB d x k k k k ∆==-++=⋅+-可得 ()()()3222224431.82121AQB k k S k k ∆++=⋅+- 令()()()()322224432121k k f k kk ++=+-，则()()()()()()22233284431843,2121k k k k k f k kk -+++-+'=+-故()f k 在区间(),1-∞-上单调递减，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又()lim 4,k f k →+∞=所以()()min 11.3f k f =-=于是，当1k =-时，△AQB 面积的最小值为min S =。