数列的极限
数列极限的定义与性质
数列极限的定义与性质数列是由一系列按特定规律排列的数字组成的序列。
在数学中，了解数列的极限是非常重要的。
通过研究数列的极限，我们可以揭示数列的性质，并且可以应用到不同的领域中。
本文将探讨数列极限的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用数列。
一、极限的定义数列的极限是指当数列中的项趋近于某个值时，数列的值也趋近于该值。
数列极限可以用以下方式进行定义：设有数列 {a_n}，其中 n 表示数列中的项的索引（在数列中的位置）。
若对于任意给定的正实数ε，都存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n - A| < ε 成立，则称数列 {a_n} 的极限为 A，记作lim(n→∞) a_n = A。
其中，|a_n - A| 表示 a_n 与 A 之间的差的绝对值。
ε (epsilon) 是一个任意小的正实数，N 是一个正整数。
二、极限的性质数列极限具有以下性质：1. 极限的唯一性：设数列 {a_n} 的极限为 A，则数列的极限是唯一的，即不存在另外的极限值。
2. 极限的有界性：若数列 {a_n} 的极限为 A，则对于任意给定的正实数ε，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n| < |A|+ε 成立。
换句话说，当 n 足够大时，数列的值都在 A 的某个邻域内。
3. 极限的保号性：若数列 {a_n} 的极限为 A，且 A > 0 (或 A < 0)，则存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 a_n > 0 (或 a_n < 0) 成立。
也就是说，当 n 足够大时，数列的值与其极限符号一致。
4. 极限的四则运算：设数列 {a_n} 和 {b_n} 的极限分别为 A 和 B，则有以下四则运算定理：- 两个数列的和的极限等于两个数列的极限的和，即lim(n→∞) (a_n + b_n) = A + B。
- 两个数列的差的极限等于两个数列的极限的差，即lim(n→∞) (a_n - b_n) = A - B。
数列极限方法
数列极限方法一、引言数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了一个数列当项数趋于无穷时的行为。
理解数列极限的概念是深入理解数学分析和其他数学领域的基础。
本文将介绍几种常用的数列极限的求解方法。
二、数列极限的基本概念一个数列 {an} 的极限定义为：对于任意小的正数ε，都存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - L| < ε恒成立，其中 L 为常数。
我们记作 lim(n→∞) an = L。
三、求解数列极限的方法1.直接观察法：对于一些简单的数列，我们可以通过观察它们的规律来直接得出极限。
例如，对于数列 {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}，显然有 lim(n→∞) 1/n = 0。
2.夹逼法：对于一个数列 {an}，如果存在两个常数 M 和 m，使得 m ≤ an ≤M 对于所有的 n 都成立，那么 lim(n→∞) an = M（或 lim(n→∞) an = m）。
这是因为对于任意的ε > 0，存在一个 N，使得当 n > N 时，M - ε≤ an ≤M + ε。
由于 m ≤ an ≤ M，我们可以得到 |an - M| < ε，即 lim(n→∞) an = M。
3.收敛的级数法：如果一个级数Σan 收敛到 S，那么其部分和 Sn 必定趋近于S。
因此，对于任何的 n，我们有 lim(n→∞) Sn = S。
特别地，如果级数的每一项都非负（或都非正），且级数收敛，那么该数列必定有界且单调。
4.洛必达法则：洛必达法则是求解极限的一种有效方法，特别适用于0/0型和∞/∞型的极限问题。
如果 f 和 g 在某点 a 的某邻域内可导，且 g' (a)≠0，那么 lim(x→a) f'(x)/g'(x) = f'(a)/g'(a)。
在数列的情境下，这可以被应用于求和公式的展开。
5.斯特林公式：斯特林公式给出了一个非负整数 n 的正整数次幂的阶乘与 n!的近似比。
求数列极限的十五种解法
1
；
0
0 n1
n1
1 x
1 x (1 x)2
而 S(x) x f (x) x ；因此，原式= S(a1) a1 ．
(1 x)2
(1 a1 )2
9．利用级数收敛性判断极限存在 由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此
数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．
求数列极限的十五种方法
求数列极限的十五种方法
1．定义法
N 定义：设{an} 为数列， a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得当 n N 时，
有
an
a
，则称数列
{an
பைடு நூலகம்
}
收敛于
a
；记作：
lim
n
an
a
，否则称{an} 为发散数列．
1
例 1．求证： lim an 1，其中 a 0 ． n
列以外的数 a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．
3．运用单调有界定理
单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．
例 5．证明：数列 xn a a a （ n 个根式， a 0 ， n 1, 2,
证：由假设知 xn a xn1 ；① 用数学归纳法可证： xn1 xn , k N ；② 此即证 {xn} 是单调递增的．
n0
n0
n
令 Sn
xk1 xk
xn1
x0
，∵
lim
n
Sn
存在，∴
lim
n
xn1
x0
lim
n
Sn
l
（存在）；
k 0
对式子：
高等数学 第二节 数列的极限
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
数列极限的知识点总结
数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。
数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。
数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。
1.2 数列极限接着要了解数列的极限。
数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。
如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。
如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。
1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。
这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。
1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。
对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。
1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。
2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。
3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。
以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。
二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。
2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。
2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。
高等数学上册 1.2 数列的极限
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
数列极限的运算法则
数列极限的运算法则
数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列，而数列的极限是指当数列中的项无限接近某个特定值时，该特定值就是该数列的极限。
数列的极限可以通过一些运算法则来求解，这些运算法则包括以下几个方面。
1. 线性运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么对于任意
实数c，数列{can}的极限为cA，数列{an+bn}的极限为A+B，数列{an-bn}的极限
为A-B。
2. 乘法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{anbn}的极限为AB。
3. 除法运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，且B不等于0，那么数列{an/bn}的极限为A/B。
4. 幂运算法则：如果数列{an}的极限为A，且m是一个正整数，那么数列{an^m}的极限为A^m。
5. 复合函数运算法则：如果函数f(x)在x=A处连续，并且数列{an}的极限为A，那么数列{f(an)}的极限为f(A)。
6. 夹逼准则：如果数列{an}，{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且数列{an}和{cn}的极限都为A，那么数列{bn}的极限也为A。
7. 极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么该极限是唯一的。
这些运算法则可以帮助我们计算数列的极限，使得我们能够更加方便地求解数列的极限问题。
但需要注意的是，这些运算法则只适用于满足一定条件的数列，例如乘法运算法则中要求乘积数列的每一项都存在，除法运算法则中要求除数数列的每一项都不为0等。
在应用运算法则时，我们需要仔细分析数列的性质，确保运算的合理性。
第二节数列的极限
一、重点内容
1.数列极限 lim x a的定义。 n
2.函数极限 lim f (x) A的定义以及左极限 lim A,
x x0
x x0
右极限 lim A的定义。 x x0
3.函数极限 lim f (x) A, lim f (x) A, lim f (x) A
x
x
x
的定义和几何意义。
即 a ε xn a ε
所以点列 x1, x2, xn , 有无穷多个点
xN+1, xN+2 , xN+3… 都落在开区间 a ε,a ε
只有有限个点（至多N个）落在区域之外
例题
证明lim n2 1 n 0 n
分析：ε> 0，直接解不等式
n2 1 n 0 ε比较困难。可以不等式左端适当放大证
由于
n2 1 n
n2 1 n
n2 1 n 0
n2 1 n
1
1
n2 1 n 2n
因此要使
n2 1 n 0 ε，只要 1 ε 2n
即n> 1 2ε
于是N=[ 21ε],则当n>N，恒有 n2 1 n 0 ε
从而证得 lim n2 1 n 0 n
4.收敛数列的性质
数列极限的定义：
设有数列x1，x2 ,……,xn，……，如果存在常数a, 使得对任意给定的 正数ε(不论它有多小)，总存在正整数 N 当n>N 时所对应的xn 都满足 不等式
xn a ε
那么称常数a是数列xn的极限，或称数列 xn 收敛于a ，记作
lim n
xn
a 或 xn
a(n
)
如果这样的常数不存在，就说数列xn 没有极限，或称数列xn 是发散的
数列极限及其应用
数列极限及其应用数列是数学中重要的概念之一，数列极限是数学分析中的重要内容。
在本文中，我们将探讨数列极限的定义、性质以及其在数学和现实生活中的应用。
一、数列极限的定义和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列通常表示为{a₁,a₂, a₃, ......, aₙ}，其中a₁、a₂、a₃等是数列中的项。
数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的项趋近于确定的常数L。
这一定义可以表示为：lim{n→∞} aₙ = L数列极限的性质包括：1. 唯一性：数列的极限只有唯一的值。
2. 有界性：若数列存在极限，则数列必定有界，即存在上界和下界。
3. 保号性：若数列存在极限且其极限为正（或负）数，则数列从某项起，总是正（或负）号。
4. 夹挤性：若数列的每项均位于两个收敛数列的中间，则该数列也是收敛的，并有相同的极限。
二、数列极限的应用1. 数学分析中的应用：数列极限在微积分中有着重要的应用。
利用数列极限的概念，我们可以定义导数和积分，并研究函数的连续性和各种变化规律。
数列极限的概念是微积分的基础之一，它为我们理解和深入研究函数的性质提供了便利。
2. 数列极限在无穷级数求和中的应用：无穷级数是由无穷个项按照一定规律排列而成的数列。
利用数列极限的概念，我们可以判断无穷级数是否收敛，以及求出其和。
例如，经典的几何级数可以通过数列极限的方法求和，从而得到其和为有理数的结论。
3. 数列极限在金融投资中的应用：在金融投资中，数列极限可以用于计算投资回报率。
通过考察投资金额随时间增长的趋势，我们可以得到不同投资方案的回报率，并作出合理的投资决策。
4. 数列极限在物理学中的应用：在物理学中，数列极限可以用于描述物体运动的速度和加速度。
例如，通过分析质点在无穷小时间间隔内的位移变化，我们可以定义速度和加速度，并利用数列极限的概念来研究物体的运动轨迹和变化规律。
5. 数列极限在市场预测中的应用：数列极限可以用于分析市场行情和预测未来的趋势。
数列极限的解释
数列极限的解释
在数学中，数列极限是一种重要的概念，用来描述数列中的值如何无限接近某个特定的值。
数列是由一系列按照特定顺序排列的数所组成的列表。
数列极限的定义是：对于给定的数列，如果随着数列项的无限增多，数列中的值趋近于一个特定的值，我们就说这个特定的值是该数列的极限。
可以将这种趋近视为无限接近特定值的过程。
通常，数列的极限可以通过数学表达式或符号来表示。
当我们说数列{1，1/2，1/3，1/4，...}的极限为0时，可以用数学符号表示为lim(1/n) = 0，其中lim代表极限，n代表数列的索引。
数列极限的概念有助于我们研究数列中的趋势和性质。
在数学和应用领域中，数列极限的研究具有重要的意义。
它可以帮助我们预测数列的未来行为，解决各种实际问题，以及推导出其他数学定理。
数列极限的理解与实际生活中一些有趣的现象相似，当我们不断增加一个球的弹跳次数时，每一次弹跳的高度都会趋近于某个极限值。
这个极限值可以被视为数列的极限。
数列极限的性质
数列极限的性质
数列极限的性质如下：
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。
3、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有 xn≥yn。
附：极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题。
开始人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破’只研
究常量‘的传统范围，而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进’极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
理学21数列极限
lim
n
xn
a
或
xn a (n 时)
如不存在这样的常数 a,则称数列{xn }发散，或不收敛，也可
以说极限
lim
n
xn不存在。
例 求以下数列的极限： 数列的项不一定取到它的极限值.
(1) 2, 4, 8, L , 2n , L 2n 无限增大; lim 2n不存在， 记为 lim 2n
数列极限严格的数学定义： N语言
0 , 若 N 0 ,使当 n N 时,
| xn a | 成立, 则称数 a 为数列{xn}当n 时的极限,
记为
lim
n
xn
a,
或
xn a
(n ) .
几何意义： 0,N, 使得 N 项以后的所有项
xN 1, xN 2 , xN 3 ,
3、随着n的无限增大，数列的变化趋势可大致分为两类： 一类，无限接近某个常数， 另一类，不趋近某个常数。
问题 当 n 的无限增大时，数列是否无限接近于某一确定的 数值，如果是，如何描述之？
数列极限的定义：
当n无限增大时,数列xn的通项 xn 无限趋于一个确定
的常数 a,则称数列xn收敛于a，或称 a 为数列xn
(1)n n
无限接近于0;
(5) 1 , 2 , 3 , L , n , L
234
n1
通项 :
n
xn
n
. 1
n
n
1
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
x
0
1 2
2 3
3 4
…
n n 1
…
1
由图可知,当n无限增大时, 表示数列(5)的点逐渐密集
数列的极限(一个引例)
几何级数求和
总结词
几何级数的求和公式是 S = a_1 / (1 - q)，其中 a_1 是首项，q 是公比。
详细描述
对于一个几何级数，例如数列 {1, 2, 4, 8, ...}，其首项 a_1 = 1，公比 q = 2。根据几何 级数的求和公式，该数列的和 S = a_1 / (1 - q) = 1 / (1 - 2) = -1。
这些定理在数学分析中起着重要的作用，它们共同保证了实数域的完备性 ，即实数域上的任何性质都可以通过有限步骤的推理得到证明。
实数完备性定理是数学分析的基础，它们为数学分析中的许多概念和定理 提供了坚实的基础。
THANKS
感谢观看
01 无穷级数是无穷多个数的和，可以表示为无穷多 个项的累加。
02 无穷级数可以分为收敛和发散两类，收敛级数的 和是有限的，而发散级数的和是无穷的。
03 无穷级数具有一些重要的性质，如交换律、结合 律和分配律等。
实数完备性定理
实数完备性定理是一组关于实数的定理集合，包括区间套定理、有限覆盖 定理、聚点定理、闭区间连续函数的性质等。
统计物理
在统计物理中，通过对大量微观粒子状态的统计平均，可以 得到一些宏观物理量的性质，这一过程也涉及到数列极限的 应用。
在经济学中的应用
金融数学
在金融数学中，数列极限被广泛应用于风险评估、资产定价等领域，例如在计 算股票价格的期望收益和方差时，需要用到数列极限的知识。
微观经济学
在研究微观经济学中的问题时，例如在研究消费者行为、生产者行为等问题时 ，需要对离散的经济变量进行连续化处理，这时也需要用到数列极限的知识。
无穷递增等差数列的极限
总结词
无穷递增等差数列的极限值是存在的，且等 于首项加上末项的一半。
§1.3 数列的极限
lim n
xn
a.
22
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1,
n n2 1
n
1
1 n2
子数列(子序列).
数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
点在数轴上依次取点: x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn
数列的几何意义.
数列是整标函数 xn f (n).
3
2、数列的极限
观察数列 {1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
an1 an
0或
an1 an
1
。
• 根据第一、第二项的大小关系，确定单调性，并用归
纳法证明.
21
2. 夹逼准则（P64）
定理 4 如果数列 xn , yn及zn满足下列条件:
(1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn有上界 ;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
xn21
lim(3
数列极限存在的条件
数列极限存在的条件
1. 数列极限的定义：
数列极限是指当一组数的k项的取值趋向于一个值时，此数列的k项称为极限值。
2. 数列极限存在的条件：
(1) 数列项具有确定的规律性：求极限必须有一个已知的数列，该数列必须具有一个确定的规律性或者说，必须是数系。
(2) 导数存在：不存在极限的情况通常是由于数列函数无法在某一点求得它的导数，或者说导数为正无限大、负无限大或无穷大。
(3) 无穷多项式存在：无穷项数列的极限应存在，这样的函数往往可以简化为无穷多项式的形式。
(4) 左右极限存在：左右极限的存在是数列极限存在的充要条件，即对于任意一个数列，其任意一点处必须具有左右极限才能满足数列极限存在条件。
(5) 极限算法存在：若数列满足上述条件，那么就可以通过极限算法来计算极限的值。
(6) 原函数的准确性：在计算极限的值时，数列函数的准确性也非常重要，原函数需要能够准确的表达该数列的趋势。
数列的极限数学归纳法
数列的极限、数学归纳法、知识要点 (一) 数列的极限列中找到一项 aN,使得当n>N 时，|an-A|< 恒成立，则称常数 A 为数列｛a n ｝的极限，记作lim a n A .n2.运算法则：若lim a n 、lim b n 存在，则有lim(a n b n )lim a n lim ；lim( a n b n ) lim a n lim b nnnnnn na lim a nlim —— , (lim b n 0)nb n lim b n nn(a1)3.两种基本类型的极限<1> S= lima nn1(a 1)不存在(a诚a<2>设f (n)、g(n)分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为 a p 、0 (p q)b p 且 g( n) 0(n N),则 limng(n )(二)数学归纳法①验证命题对于第一个自然数 n n 0成立。
②假设命题对 n=k(k > n o )时成立，证明n=k+1时命题也成立 则由①②，对于一切n > n o的自然数，命题都成立。
、例题(数学的极限)1.定义：对于无穷数列｛a n ｝，若存在一个常数 A,无论预选指定多么小的正数 ，都能在数 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：S「q E )无穷数列｛a n ｝的所有项和: a p- (p q) b q 不存在 (p q)S lim S n (当 lim S n 存在时)nn数学归纳法是证明与自然数 n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为:(4) lim( J-3Lnn 1 n 1(5) lim G. n 2 2n n)=;n例2 •将无限循环小数 0.12 ； 1.32 12 化为分数.『1例3•已知lim(an b) 1,求实数a, b 的值;nn 1例 4•数列{a n },{b n }满足 lim (2a n +b n )=1,lim (a n — 2tn)=1，试判断数列{a n },{b n }的极限是否nn存在，说明理由并求lim (a n b n )的值.n例5.设首项为a ，公差为d 的等差数列前-项的和为A,又首项为a,公比为r 的等比数列S例6.设首项为1,公比为q(q>0)的等比数列的前 -项之和为S n ,又设T n =— (n 1,2,L ),S- 1求 lim T n .n21 例7. ｛a n ｝的相邻两项a n ,a n+1是方程x —c -X +(—)n =0的两根，又a 1=2,求无穷等比C 1 ,c 2, (3)C n ,…的各项和.例8在半径为R 的圆内作内接正方形， 在这个正方形内作内切圆， 又在圆内作内接正方形,如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。
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例5 证明数列xn (1)n1是发散的.
证
设
lim
n
xn
a,
由定义, 对于 1 , 2
则N , 即当n
使得当n N时, N时, xn (a
有 1, 2
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
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2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
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三、数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
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二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
例1 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证
xn 1
n (1)n1 1 n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
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例2
证 0, 由 2n 2 6n 2(1 3n)
1 3n 3 3(1 3n)
2 9 1 n 1,
3 9n 9n n
N [ 1 ] , 当n N时，有 2n - 2 .
1 3n 3
2n 2
lim
.
n 1 3n 3
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四、数列极限的性质
1.唯一性
定理1 每个收敛的数列只有一个极限.
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
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定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切xn ,
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
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例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
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确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
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给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
1 xn 1 100 ,
放大的原则： 1、使放大后的式子 n 较为简单,且 n 0 (n ) ，再解不等式 n ，从而确定所要找的 N .
2、在放大过程中，为使式子简单，有时要限定n 必须大于某个正数， 并在最后确定N 的值时，考虑到这个前提条件.
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例4 证明 lim 2n 2 . n 1 3n 3
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , nln q ln ,
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
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注: 有时直接解不等式xn a ，要得到n 关于的式子 很不方便，因此通常将xn a 适当数列
xn的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
2.N与任意给定的正数有关.
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N定义 :
lim
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8,,2n ,;
{2n }
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
1 {2n }
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1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注：该定义并未提供如何求数列极限，但可以去验证数列的极限！ 思考：如何根据极限定义验证数列极限？
用定义验证数列极限,关键是如何由任意给定的ε>0 ，寻找N！
具体方法： 对任意给定的 0 ,从结论“ xn a ”出发解不等式， 得n 关于 的式子，则 N [关于 的式子] .
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证
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b,
由定义,
0, N1 , N2 .使得 当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1 ,
N 2 ,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.