中考数学专题：圆.(学生版)
中考数学几何模型重点突破讲练专题28 圆中的定弦定角和最大张角模型(学生版)
（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦 CD 的长；
（2）已知点 E 是“蛋圆”上的一点（不与点 在“蛋
圆”上，求点 E 坐标；
（3）点 P 是“蛋圆”外一点，满足 BPC 60 ，当 BP 最大时，直接写出点 P 的坐标．
【例 2】数学概念
若点 P 在 ABC 的内部，且 APB 、BPC 和 CPA 中有两个角相等，则称 P 是 ABC 的“等角点”，特别地，
若这三个角都相等，则称 P 是 ABC 的“强等角点”.
理解概念
（1）若点 P 是 ABC 的等角点，且 APB 100 ，则 BPC 的度数是
H ，连接 BH ，点 C 在移动的过程中， BH 的最小值是______．
6．如图，已知 C 、 D 在以 AB 为直径的 O 上，若 CAB 30 ，则 D 的度数是_________．
7．如图，直线 l 与⊙O 相交于点 B、D，点 A、C 是直线 l 两侧的圆弧上的动点，若⊙O 的半径为 1，∠A＝
o
.
（2）已知点 D 在 ABC 的外部，且与点 A 在 BC 的异侧，并满足 BDC BAC 180 ，作 BCD 的外接圆
O ，连接 AD ，交圆 O 于点 P .当 BCD 的边满足下面的条件时，求证： P 是 ABC 的等角点.（要求：只选
择其中一道题进行证明！
）
①如图①， DB DC
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有
.
（填序号）
一、单选题
1．如图，C，D 是 O 上直径 AB 两侧的两点，若 ABC 20 ，则 ∠BDC 的度数是（
2020年中考数学压轴专题12 圆的有关性质与计算 (学生版)
决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题12 圆的有关性质与计算【典例分析】【考点1】垂径定理【例1】（2019·湖北中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O 是这段弧所在圆的圆心，40AB m =，点C 是¶AB 的中点，且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．25mB ．24mC ．30mD ．60m【变式1-1】（2019·四川中考真题）如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为（ ）A．25B．4 C．213D．4.8【变式1-2】（2019·四川中考真题）如图，Oe的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，22.5∠=o，CAOOC=，则CD的长为( )6A．62B．32C．6 D．12【考点2】弧、弦、圆心角之间的关系【例2】（2019·四川自贡中考真题）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB CD、.=,连接AD BC求证：⑴»»AD BC=；=.⑵AE CE【变式2-1】（2018·黑龙江中考真题）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．【变式2-2】（2019·江苏中考真题）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．【考点3】圆周角定理及其推论【例3】（2019·陕西中考真题）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【变式3-1】（2019·北京中考真题）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作»PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交»PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【变式3-2】（2019·湖北中考真题）如图，点A，B，C均在⊙O上，当40∠=︒时，AOBC∠的度数是（）A．50︒B．55︒C．60︒D．65︒【考点4】圆内接四边形【例4】（2019·贵州中考真题）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为_______；【变式4-1】（2019·甘肃中考真题）如图，四边形ABCD内接于Oe，若40∠=︒，则CA∠=（）A．110︒B．120︒C．135︒D．140︒【变式4-2】（2019·四川中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为»DE上的一点（点P不与∠的度数为（）点D重合），则CPDA．30°B．36︒C．60︒D．72︒【考点5】正多边形和圆【例5】（2019·山东中考真题）如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．【变式5-1】（2019·山东中考真题）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________． 【变式5-2】（2019·陕西中考真题）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为___.【考点6】弧长和扇形的面积计算（含阴影部分面积计算）【例6】（2019·广西中考真题）如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，AB 为O e 直径，6AB =，AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，交O e 于点D ，连接BD ． （1）求证：BAD CBD ∠=∠；（2）若125AEB ∠=︒，求»BD 的长（结果保留π）．【变式6-1】（2019·湖北中考真题）如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆分别交AB ，AC 边于D ，E ，再以点C 为圆心，CD 长为半径作圆交BC 边于F ，连接E ，F ，那么图中阴影部分的面积为________.【变式6-2】（2019·四川中考真题）如图，在AOC ∆中，31OA cm OC cm ＝，＝，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90o 后得到BOD ∆，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）2cm ．A ．2πB ．2πC ．178π D ．198π 【考点7】与圆锥有关的计算【例7】（2019·湖南中考真题）如图，在等腰ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，且6AD =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，（1）求由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h ．【变式7-1】（2019·广西中考真题）已知圆锥的底面半径是115角是_____度．【变式7-2】（2019·辽宁中考真题）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216︒，母线长为5，该圆锥的底面半径为________．【变式7-3】（2019·西藏中考真题）如图，从一张腰长为90cm ，顶角为120︒的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）A ．15cmB ．12cmC ．10cmD ．20cm【达标训练】一、单选题1．（2019·山东中考真题）如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，119A ∠=︒，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则P ∠的度数为（ ）A ．32°B ．31°C ．29°D ．61°2．（2019·广西中考真题）如图，,,,A B C D 是⊙O 上的点，则图中与A ∠相等的角是（ ）A ．B Ð B ．C ∠C ．DEB ∠D ．D ∠3．（2019·吉林中考真题）如图，在O e 中，»AB 所对的圆周角050ACB ∠=，若P 为»AB 上一点，055AOP ∠=，则POB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°4．（2019·山东中考真题）如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（ ）A ．35︒B ．38︒C ．40︒D ．42︒5．（2019·贵州中考真题）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）A ．13B ．22C ．2 D ．226．（2019·甘肃中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC ＝126°，则∠CDB ＝（ ）A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°7．（2018·贵州中考真题）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）A ．55°B ．110°C ．120°D ．125°8．（2019·浙江中考真题）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．29．（2019·浙江中考真题）如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O e ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒10．（2019·宁夏中考真题）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点,A D 为圆心，以,AB DC 为半径作扇形ABF ，扇形DCE ．则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4633π-B ．8633π-C ．41233π-D ．41233π-11．（2019·江苏中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）A ．63πB ．632πC ．63πD ．632π12．（2019·山东中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（ ）A ．8π-B ．162π-C ．82π-D ．182π-13．（2019·浙江中考真题）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π14．（2019·湖南中考真题）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( ) A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π15．（2019·浙江中考真题）如图，ABC △内接于圆O ，65B ∠=︒，70C ∠=︒，若22BC =，则弧BC 的长为（ ）A ．πB ．2πC ．2πD ．22π16．（2019·山东中考真题）如图，点A 、B ，C ，D 在⊙O 上，AB ＝AC ，∠A ＝40°，BD ∥AC ，若⊙O 的半径为2．则图中阴影部分的面积是（ ）A ．23π3B ．23π3C ．43π3D ．43π2 二、填空题17．（2019·广西中考真题）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道1AB=尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸．18．（2019·江苏中考真题）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为_______．19．（2019·安徽中考真题）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O 的半径为2，则CD的长为_____20．（2019·辽宁中考真题）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则»BC的长为____．21．（2019·湖南中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12=（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB 时，OC平分AB）可以求解．现已知弦8AB=米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．22．（2019·江苏中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O e 上，且弧AB 为50︒，则E C ∠+∠=________．23．（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知D e 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为(0,23)，OC 与D e 交于点C ，30OCA ∠=︒，则圆中阴影部分的面积为_____．24．（2019·湖北中考真题）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S 来近似估计O e 的面积S ，设O e 的半径为1，则1S S -=__________.25．（2019·江苏中考真题）如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n=____ .26．（2019·重庆中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）27．（2019·浙江中考真题）如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰激凌外壳的侧面积等于______2cm （计算结果精确到个位）.28．（2019·山东中考真题）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC=3，AC=3．则图中阴影部分的面积是_____．三、解答题29．（2019·天津中考真题）已知PA ，PB 分别与O e 相切于点A ，B ，80APB ︒∠=，C 为O e 上一点．（Ⅰ）如图①，求ACB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，AE 为O e 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．30．（2019·黑龙江中考真题）图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上；（1）在图1中画出以AC 为底边的等腰直角ABC △，点B 在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以AC 为腰的等腰ACD V ，点D 在小正方形的顶点上，且ACD V 的面积为8.31．（2019·河南中考真题）如图，在ABC ∆中，BA BC =，90ABC ︒∠=，以AB 为直径的半圆O 交AC于点D ，点E 是¶BD 上不与点B ，D 重合的任意一点，连接AE 交BD 于点F ，连接BE 并延长交AC 于点G ．（1）求证：ADF BDG ∆≅∆； （2）填空：①若=4AB ，且点E 是¶BD的中点，则DF 的长为 ； ②取¶AE的中点H ，当EAB ∠的度数为 时，四边形OBEH 为菱形．32．（2019·江苏中考真题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径的⊙O 经过点B ．(1)求⊙O 的半径；(2)点P 为»AB 中点，作PQ ⊥AC ，垂足为Q ，求OQ 的长； (3)在(2)的条件下，连接PC ，求tan ∠PCA 的值．33．（2019·广西中考真题）如图，五边形ABCDE 内接于O e ，CF 与O e 相切于点C ，交AB 延长线于点F ．（1）若,AE DC E BCD =∠=∠，求证：DE BC =； （2）若2,,45OB AB BD DA F ===∠=︒，求CF 的长．34．（2019·辽宁中考真题）如图1，四边形ABCD 内接于圆O ，AC 是圆O 的直径，过点A 的切线与CD 的延长线相交于点P ．且APC BCP ∠=∠ （1）求证：2BAC ACD ∠=∠；（2）过图1中的点D 作DE AC ⊥，垂足为E （如图2），当6BC =，2AE =时，求圆O 的半径．35．（2019·内蒙古中考真题）如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，120ABC ∠=o ，弦23AC =弦BM 平分ABC ∠交AC 于点D ，连接,MA MC ． （1）求⊙O 半径的长；（2）求证：AB BC BM +=．36．（2019·江苏中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥OA ，OC 交于AB 于P ，且CP=CB ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）已知∠BAO=25°，点Q 是弧A m B 上的一点. ①求∠AQB 的度数； ②若OA=18，求弧A m B 的长.37．（2019·江苏中考真题）（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O e ）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的． （实际应用）:观测点A 在图1所示的O e 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ 是O e 的直径，PQ ON ⊥．（1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP =km ，求这两个观测点之间的距离即O e 上»AB 的长．（π取3.1） 38．（2019·湖北中考真题）如图，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线和ABC ∆的外接圆圆O 相交于点D ，过D 作直线//DG BC ． （1）求证：DG 是圆O 的切线；（2）若6DE =，63BC =，求优弧·BAC 的长．39．（2019·湖南中考真题）如图，AB 为O e 的直径，且3AB =C 是¶AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，过点B 作O e 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ． (1)求证：EC 是O e 的切线；(2)当30D ︒∠=时，求阴影部分面积．40．（2019·贵州中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)已知FG＝23，求图中阴影部分的面积.41．（2019·广东中考真题）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，∆的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的»EF与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F. ABC∆三边的长；（1）求ABC（2）求图中由线段EB、BC、CF及»FE所围成的阴影部分的面积.。
中考数学专题复习 圆压轴八大模型题(学生用)(word文档良心出品)
圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。
一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。
把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
类型1 弧中点的运用 在⊙O 中，点C 是⌒AD 的中点，CE ⊥AB 于点E .（1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP ＝CP ＝FP ； ②CH ＝AD ；②AC 2＝AP ·AD ＝CF ·CB ＝AE ·A B .（2）在图2中，你能找出所有与△ABC 相似的三角形吗？【典例】（2018·湖南永州）如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C ，E 在⊙O 上，＝，CD ⊥AB ，垂足为点D ，连接BE ，弦BE 与线段CD 相交于点F ． （1）求证：CF ＝BF ；（2）若cos ∠ABE ＝，在AB 的延长线上取一点M ，使BM ＝4，⊙O 的半径为6．求证：直线CM 是⊙O 的切线．【变式运用】1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若＝，OHP F EDCBA（图1）（图1-2）则＝ ．2.（2018·泸州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC 。
(1)求证：AE ⊥DE ；(2)设以AD 为直径的半圆交AB 于F ，连接DF 交AE 于G ，已知CD ＝5，AE ＝8，求FGAF值。
3. （2017·泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD 的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。
中考数学几何模型专题09阿氏圆问题(学生版) 知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题09阿氏圆问题A 、B ，则所有符合＝k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．模型解读：如图1所示，⊙O 的半径为 r ，点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r ＝k ·OB ．连接 P A 、PB ，则当“P A ＋k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP 、OB ； 2：计算连接线段OP 、OB 长度；3：计算两线段长度的比值OP OB =k ；4：在OB 上截取一点C ，使得OC OP =OP OB 构建母子型相似：5：连接AC ，与圆0交点为P ，即AC 线段长为P A ＋KPB 的最小值．本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC ＝k ·r ，则可说明⊙BPO 与⊙PCO 相似，即 k ·PB ＝PC ．⊙本题求“P A ＋k ·PB ”的最小值转化为求“P A ＋PC ”的最小值，即 A 、P 、C 三点共线时最小（如图 3），时AC 线段长即所求最小值．1，在RT ⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求：BP，⊙AP+12⊙2AP+BP，AP+BP，⊙13⊙AP+3BP的最小值．【例2】（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，与y．轴交于点C，其中点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=32(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点QBQ+FQ的最小值．为⊙C上的一个动点，求√24【例3】（2019秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【例4】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，点E在OA上，且点E也在格点上．（I）的值为；（Ⅱ）是以点O为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°）连接E'A，E'B，当E'A+E'B 的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E′，并简要说明点E'的位置是如何找到的（不要求证明）．一．填空题（共13小题）1．（2022•南召县开学）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．2．（2021秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则P A+PB 的最小值为．3．（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E 分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+ PB的最小值为．。
圆的有关计算与证明(共50题)(学生版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
圆的有关计算与证明(50题)一、单选题1.(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O 中，若∠ACB =30°，OA =6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π2.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB =4,BC =5，则阴影部分的面积是()A.414π-20 B.412π-20 C.20π D.203.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC上一点，OB ⊥AC 于D ．若AC =3003m ，BD =150m ，则AC的长为()A.300πmB.200πmC.150πmD.1003πm4.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()A.14πcm 2 B.13πcm 2 C.12πcm 2 D.πcm 25.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C ，半径为CB 1；C 1D 1 的圆心为D ，半径为DC 1⋯,DA 1 、A 1B 1 、B 1C 1、C 1D 1⋯的圆心依次为A 、B 、C 、D 循环，则A 2023B 2023�的长是()A.4045π2B.2023πC.2023π4D.2022π6.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =22，以点A 为圆心，AC 为半径画弧，交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AB 于点F ，则图中阴影部分的面积是()A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-47.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C ,D 在半圆上，CD=DB，连接OC ,CA ,OD ，过点B 作EB ⊥AB ，交OD 的延长线于点E ．设△OAC 的面积为S 1,△OBE 的面积为S 2，若S 1S 2=23，则tan ∠ACO 的值为()A.2B.223C.75D.32二、填空题8.(2023·重庆·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)9.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，点C 为AB上的一点，将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为．(结果保留π与根号)10.(2023·重庆·统考中考真题)如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB =4,AD =3，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)11.(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．12.(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．13.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm ，母线长为50cm ，则烟囱帽的侧面积为cm 2．(结果保留π)14.(2023·天津·统考中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC 内接于圆，且顶点A ，B 均在格点上．(1)线段AB的长为；(2)若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)．15.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，AB=3+1,BC=2,AH⊥CD，垂足为H,AH=3．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB,AC,AD分别交于点E,F,G．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1-r2=．(结果保留根号)16.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是cm2．三、解答题17.(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．(1)求证：∠OCA =∠ADC ；(2)若AD =2,tan B =13，求OC 的长．18.(2023·四川成都·统考中考真题)如图，以△ABC 的边AC 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，∠B =∠ADE ．(1)求证：AC =BC ；(2)若tan B =2，CD =3，求AB 和DE 的长．19.(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是AC上一点，P 是AB 延长线上一点，连接AD ,DC ,CP ．(1)求证：∠ADC -∠BAC =90°；(请用两种证法解答)(2)若∠ACP =∠ADC ，⊙O 的半径为3，CP =4，求AP 的长．20.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AD 为∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ，连接OD 交BC 于点E ．(1)求∠BED的度数；(2)如图2，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G．若AD= 235,DE=4，求DG的长．21.(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F．(1)若ED=13，求DF的长．(2)求证：AE⋅CF=1．(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG=ED，求ED的长．22.(2023·河北·统考中考真题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．(1)求OC的长．操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与EQ的长度，并比较大小．23.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，OA ,OB ,OC 都是⊙O 的半径，∠ACB =2∠BAC ．(1)求证：∠AOB =2∠BOC ；(2)若AB =4,BC =5，求⊙O 的半径．24.(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，∠ABD =45°，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足∠CFE =45°．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB=DG；①求证：△ABC≌△GDE；②若R=1，CE=32，求四边形ABCD的周长．25.(2023·天津·统考中考真题)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．26.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC= 5,BC=25，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．(1)求证：△DBE∽△ABC；(2)若AF=2，求ED的长．27.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E．(1)求证：AP 是⊙O 的切线；(2)若BE =2，DE =4，∠P =30°，求AP 的长．28.(2023·湖南·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，交⊙O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF =DF ．(2)若AF =52,sin ∠ABD =55，求⊙O 的半径．29.(2023·湖南怀化·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 相切于点A ，点C 为⊙O 上的一点．连接PC 、AC 、OC ，且PC =PA ．(1)求证：PC 为⊙O 的切线；(2)延长PC 与AB 的延长线交于点D ，求证：PD ⋅OC =PA ⋅OD ；(3)若∠CAB =30°，OD =8，求阴影部分的面积．30.(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ．AE 平分∠BAC ，过点E 作ED ⊥AC 于点D ，延长DE 交AB 的延长线于点P ．(1)求证：PE 是⊙O 的切线；(2)若sin ∠P =13,BP =4，求CD 的长．31.(2023·安徽·统考中考真题)已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线BD 是⊙O 的直径．(1)如图1，连接OA ,CA ，若OA ⊥BD ，求证；CA 平分∠BCD ；(2)如图2，E 为⊙O 内一点，满足AE ⊥BC ,CE ⊥AB ，若BD =33，AE =3，求弦BC 的长．32.(2023·吉林长春·统考中考真题)【感知】如图①，点A 、B 、P 均在⊙O 上，∠AOB =90°，则锐角∠APB 的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在AC上(点P 不与点A 、C 重合)，连结PA 、PB 、PC ．求证：PB =PA +PC ．小明发现，延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，通过证明△PBC ≌△EBA ，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，∵四边形ABCP 是⊙O 的内接四边形，∴∠BAP +∠BCP =180°．∵∠BAP +∠BAE =180°，∴∠BCP =∠BAE ．∵△ABC 是等边三角形．∴BA =BC ，∴△PBC ≌△EBA (SAS )请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC =90°，AB =BC ，点P 在⊙O 上，且点P 与点B 在AC的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若PB =22PA ，则PBPC的值为．33.(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AB =210，⊙O 的弦CD ⊥AB 于点E ，CD =6．过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点F ，连接BC ．(1)求证：BC 平分∠DCF ；(2)G 为AD上一点，连接CG 交AB 于点H ，若CH =3GH ，求BH 的长．34.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，MN 为⊙O 的直径，且MN =15，MC 与ND 为圆内的一组平行弦，弦AB 交MC 于点H ．点A 在MC 上，点B 在NC 上，∠OND +∠AHM =90°．(1)求证：MH ⋅CH =AH ⋅BH ．(2)求证：AC =BC．(3)在⊙O 中，沿弦ND 所在的直线作劣弧ND的轴对称图形，使其交直径MN 于点G ．若sin ∠CMN =35，求NG 的长．35.(2023·广东·统考中考真题)综合探究如图1，在矩形ABCD 中(AB >AD )，对角线AC ，BD 相交于点O ，点A 关于BD 的对称点为A ′，连接AA ′交BD 于点E ，连接CA ′．(1)求证：AA ′⊥CA ′；(2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆．①如图2，⊙O 与CD 相切，求证：AA ′=3CA ′；②如图3，⊙O 与CA ′相切，AD =1，求⊙O 的面积．36.(2023·山东·统考中考真题)如图，AB 为⊙O 的直径，C 是圆上一点，D 是BC的中点，弦DE ⊥AB ，垂足为点F ．(1)求证：BC =DE ；(2)P 是AE上一点，AC =6,BF =2，求tan ∠BPC ；(3)在(2)的条件下，当CP 是∠ACB 的平分线时，求CP 的长．37.(2023·山东·统考中考真题)如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD =CB ，BE 切⊙O 于点B ，过点C 作CF ⊥OE 交BE 于点F ，若EF =2BF ．(1)如图1，连接BD ，求证：△ADB ≌△OBE ；(2)如图2，N 是AD 上一点，在AB 上取一点M ，使∠MCN =60°，连接MN ．请问：三条线段MN ，BM ，DN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．38.(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接AC ,AD ,BC ，作CF ⊥AD 于点F ，交线段OB 于点G (不与点O ,B 重合)，连接OF ．(1)若BE =1，求GE 的长．(2)求证：BC 2=BG ⋅BO ．(3)若FO =FG ，猜想∠CAD 的度数，并证明你的结论．39.(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图1，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O于点C ，AB =4，PB =3．(1)填空：∠PBA 的度数是，PA 的长为；(2)求△ABC 的面积；(3)如图2，CD ⊥AB ，垂足为D ．E 是AC 上一点，AE =5EC ．延长AE ，与DC ，BP 的延长线分别交于点F ,G ，求EF FG的值．40.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线与边BC 相交于点F ，与△ABC 的外接圆相交于点D ．(1)求证：S △ABF :S △ACF =AB :AC ；(2)求证：AB :AC =BF :CF ；(3)求证：AF 2=AB ⋅AC -BF ⋅CF ；(4)猜想：线段DF ,DE ,DA 三者之间存在的等量关系．(直接写出，不需证明．)41.(2023·浙江台州·统考中考真题)我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB 是⊙O 的直径，直线l 是⊙O 的切线，B 为切点．P ，Q 是圆上两点(不与点A 重合，且在直径AB 的同侧)，分别作射线AP ，AQ 交直线l 于点C ，点D ．(1)如图1，当AB =6，BP �的长为π时，求BC 的长．(2)如图2，当AQ AB=34，BP =PQ 时，求BC CD 的值．(3)如图3，当sin∠BAQ=64，BC=CD时，连接BP，PQ，直接写出PQBP的值．42.(2023·浙江温州·统考中考真题)如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA=32，AC=1．如图2，连接AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH=x，MN=y．(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．(2)当PH<PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值．(3)延长PN交半圆O于点Q，当NQ=154x-3时，求MN的长．43.(2023·新疆·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C，F是⊙O上的点，且∠CBF=∠BAC，连接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F作FG ⊥AB于点G，交AC于点H．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若tan E=34，BE=4，求FH的长．44.(2023·云南·统考中考真题)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA⋅AC=DC⋅AB．设△ABE的面积为S1,△ACD 的面积为S2．(1)判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若BC=BE,S2=mS1，求常数m的值．45.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，连接BE,CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连接BG,CG，若BC平分∠EBG且∠BCG=∠AFC．(1)求∠BGC的度数．(2)①求证：AF=BC．②若AG=DF，求tan∠GBC的值，(3)如图2，当点O恰好在BG上且OG=1时，求AC的长．46.(2023·四川遂宁·统考中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD= CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M，交BC的延长线于点N，且∠ADM=∠DAC．(1)求证：MN是⊙O的切线；(2)求证：AD2=AB⋅CN；(3)当AB=6，sin∠DCA=33时，求AM的长．47.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．(1)求证：DE是⊙O的切线．(2)若sin C=4,DE=5，求AD的长．5(3)求证：2DE2=CD⋅OE．48.(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD=AB，且CD⊥AB于点H(其中点H在圆内，且AH>BH，CH>DH)．(1)在图1中用尺规作出弦CD 与点H (不写作法，保留作图痕迹)．(2)连结AD ，猜想，当弦AB 的长度发生变化时，线段AD 的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD 的长度；(3)如图2，延长AH 至点F ，使得HF =AH ，连结CF ，∠HCF 的平分线CP 交AD 的延长线于点P ，点M 为AP 的中点，连结HM ，若PD =12AD ．求证：MH ⊥CP ．49.(2023·浙江·统考中考真题)如图，在⊙O 中，AB 是一条不过圆心O 的弦，点C ,D 是AB的三等分点，直径CE 交AB 于点F ，连结AD 交CF 于点G ，连结AC ，过点C 的切线交BA 的延长线于点H ．(1)求证：AD ∥HC ；(2)若OG GC=2，求tan ∠FAG 的值；(3)连结BC 交AD 于点N ，若⊙O 的半径为5①若OF =52，求BC 的长；②若AH =10，求△ANB 的周长；③若HF ⋅AB =88，求△BHC 的面积．50.(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，以AB 为直径的⊙O 上有两点E 、F ，BE =EF，过点E 作直线CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，过C 作CM 平分∠ACD 交AE 于点M ，交BE 于点N ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)求证：EM =EN ；(3)如果N是CM的中点，且AB=95，求EN的长．。
中考一轮复习 数学专题14 圆与正多边形(学生版)
专题14 圆与正多边形一、单选题1．（2022·贵州铜仁）如图，,OA OB 是O 的两条半径，点C 在O 上，若80AOB ∠=︒，则C ∠的度数为（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒2．（2022·四川雅安）如图，已知⊙O 的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG 为（ ）A ．B ．32CD ．33．（2022·四川广元）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，若⊙CAB ＝65°，则⊙ADC 的度数为（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65°4．（2022·浙江嘉兴）如图，在⊙O 中，⊙BOC ＝130°，点A 在BAC 上，则⊙BAC 的度数为（ ） 本号资料皆*来@源于微信：数学A ．55°B ．65°C ．75°D ．130°5．（2022·浙江宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（）A．236πcm B．224πcm C．216πcm D．212πcm6．（2021·广西桂林）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则⊙C的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°7．（2021·内蒙古呼伦贝尔）一个正多边形的中心角为30，这个正多边形的边数是（）A．8B．12C．3D．68．（2021·吉林）如图，四边形ABCD内接于O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若120B∠=︒，则APC∠的度数可能为（）A．30B．45︒C．50︒D．65︒9．（2021·广西贺州）如图，在边长为2的等边ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（）A．π6B．π3C．π2D．2π310．（2021·吉林长春）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，若35BAC ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒11．（2021·湖南长沙）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，54BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A ．27︒B ．108︒C ．116︒D ．128︒12．（2020·广西）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 与⊙O 相切于点A ，连接OA ，OB ，若⊙O ＝130°，则⊙BAC 的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°13．（2020·重庆）如图，AB 是O 的切线，A 切点，连接OA ，OB ，若20B ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°14．（2020·四川巴中）如图，在O 中，点、、A B C 在圆上，45,ACB AB ︒∠==O 的半径OA 的长是（ ）AB ．2C ．D ．315．（2020·四川广安）如图，点A ，B ，C ，D 四点均在圆O 上，⊙AOD =68°，AO //DC ，则⊙B 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．56°D ．68°16．（2020·广西柳州）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若⊙BOC ＝70°，则⊙A 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．55°D ．70°17．（2020·辽宁鞍山）如图，⊙O 是∆ABC 的外接圆，半径为2cm ，若2cm BC =，则A ∠的度数为（ ）A ．30°B ．25°C ．15°D ．10°18．（2020·江苏镇江）如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，⊙ADC ＝106°，则⊙CAB 等于（ ）A ．10°B ．14°C ．16°D ．26°19．（2020·四川雅安）如图，ABC 内接于圆，90ACB ∠=︒，过点C 的切线交AB 的延长线于点28P P ∠=︒，．则∠=CAB （ ）A ．62︒B ．31︒C ．28︒D ．56︒20．（2020·山东淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图⊙滚动（无滑动）到图⊙，再由图⊙滚动到图⊙．若半径OA ＝2，⊙AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A ．2π+2B ．3πC ．52πD ．52π+221．（2021·贵州黔西）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA 和OB 的夹角为150︒，OA 的长为30cm ，贴纸部分的宽AC 为18cm ，则CD 的长为（ ）A ．5πcmB ．10πcmC ．20πcmD ．25πcm22．（2021·山东青岛）如图，AB 是O 的直径，点E ，C 在O 上，点A 是EC 的中点，过点A 画O 的切线，交BC 的延长线于点D ，连接EC ．若58.5ADB ∠=︒，则ACE ∠的度数为（ ）A ．29.5︒B ．31.5︒C ．58.5︒D ．63︒23．（2021·四川内江）如图，O 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ）A ．4B ．C ．3 D24．（2021·山东滨州）如图，O 是ABC 的外接圆，CD 是O 的直径．若10CD =，弦6AC =，则cos ABC ∠的值为（ ）A ．45B ．35C ．43D ．3425．（2021·辽宁鞍山）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若54ABD ∠︒＝，则C ∠的度数为（ ）A ．34︒B ．36︒C ．46︒D ．54︒26．（2021·江苏镇江）如图，⊙BAC ＝36°，点O 在边AB 上，⊙O 与边AC 相切于点D ，交边AB 于点E ，F ，连接FD ，则⊙AFD 等于（ ）A ．27°B ．29°C ．35°D ．37°27．（2021·湖南湘潭）如图，BC 为⊙O 的直径，弦AD BC ⊥于点E ，直线l 切⊙O 于点C ，延长OD 交l 于点F ，若2AE =，22.5ABC ∠=︒，则CF 的长度为（ ）A ．2B ．C ．D ．428．（2022·广西贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm29．（2022·广西河池）如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，⊙ABC ＝25°，OC 的延长线交P A 于点P ，则⊙P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°30．（2022·内蒙古包头）如图，,AB CD 是O 的两条直径，E 是劣弧BC 的中点，连接BC ，DE ．若22ABC ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．44︒31．（2022·辽宁锦州）如图，线段AB 是半圆O 的直径。
中考数学几何最值模型 专题03 辅助圆模型(学生版+解析版)
辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。
二、模型本质：两点之间，线段最短。
例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
2024中考数学新定义及探究题专题 《圆与新定义》 (含解析)
2024中考数学新定义及探究题专题《圆与新定义》（学生版）通用的解题思路：①对于圆中角度之间的等量关系，主要是两个方面：一是同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，二是圆内接四边形中外角等于内角的对角。
②对于求圆中的线段长度，主要从两个方向着手，首先看是否可以用垂径定理构建直角三角形，用勾股定理来求线段的长度；如果勾股定理行不通，则尝试着去找相似三角形，用相似三角形的对应线段成比例来求线段的长度。
1．（长沙中考）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB≠CD ，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①S =1S 2S +；②S 3S 4S +“十字形”ABCD 的周长为10．2．（一中）定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若2AD BD CD=⋅，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，△ABC的顶点是43⨯网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）△ABC中，BC=9，4tan3B=，2tan3C=，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.（3）如图3，△ABC是O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交O于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”.②若O的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出CHDH的值.3．（青竹湖）我们不妨定义：有两边之比为1“勤业三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30︒角的直角三角形；④含120︒角的等腰三角形．(2)如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且2BD AD=，作DE OA⊥，交线段OA于点F，交⊙O于点E，连接BE交AC于点G．试判断△AED和△ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出EDBE的值；如果不是，请说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求BED∠的余弦值．4．（华益）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在ABC 中，AD 为边BC 上的中线，ABD △与ABC 相似，那么称ABC 为关于边BC 的“华益美三角”．(1)如图2，在ABC 中，BC =，求证：ABC 为关于边BC 的“华益美三角”；(2)如图3，已知ABC 为关于边BC 的“华益美三角”，点D 是ABC 边BC 的中点，以BD 为直径的⊙O 恰好经过点A ．①求证：直线CA 与O 相切；②若O 的直径为，求线段AB 的长；(3)已知ABC 为关于边BC 的“华益美三角”，4BC =，30B ∠=︒，求ABC 的面积．5．（华益）约定：三角形的一条中线将三角形分成两个小三角形，如果其中的一个小三角形与原三角形相似，那么称原三角形为“华益三角”，这条中线叫做原三角形的“华益中线”，这条中线所在的边叫做“华益边”，原三角形与小三角形的相似比叫做“华益比”．(1)如图1，已知CD 是ABC 边AB 上的中线，若ABC ACD ∽，那么ABC 就是“华益三角”，中线CD 是ABC 的“华益中线”，边AB 就是ABC 的“华益边”．爱思考的你们一定能发现：“华益三角”的“华益比”总是一个定值，以图1为例，求出“华益比”；(2)如图2，已知在ABC 中，45,1AB A AC ∠=︒+，求证：ABC 是“华益三角”；(3)如图3，已知ABC 是“华益三角”，边AB 是ABC 的“华益边”，ABC 的外接圆O 的半径是2．①若A ∠是一个锐角，求sin BC A的值；②记2,AB x BC ==，若1x =，求y 的值．6．（北雅）如图1，⊙O 的半径为r （0r >），若点P '在射线OP 上，满足2OP OP r '⋅=，则称点P '是点P 关于⊙O 的“反演点”．(1)若点A 关于⊙O 的“反演点”是本身，那么点A 与⊙O 的位置关系为（）A ．点A 在⊙O 内B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 外(2)如图1，若⊙O 的半径为4，点P '是点P 关于⊙O 的“反演点”，且6PP '=，过点P 的直线与⊙O 相切于点Q ，求PQ 长．(3)如图2，若⊙O 的半径为4，点Q 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且2OA =，点Q '、A '分别是点Q 、A 关于⊙O 的“反演点”，过点A '作A B A O '⊥'且A B A O '='，连接BQ '，Q A ''，求12BQ Q A ''+'的最小值．7．（青竹湖）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在△ABC 和DEF 中，若90A E B D ∠+∠=∠+∠=︒，且AB DE =，则△ABC 和DEF 是“青竹三角形”．45BAC ACD ∴∠=∠=︒（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．（2）如图2，△ABC ，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），设AD 、BD 、CD 的长分别为a 、b 、c ，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a 、b 的式子来表示2c ；（3）如图3，⊙O 的半径为4，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且△ABC 和△ADC 是“青竹三角形”．①求22AD BC +的值；②若BAC ACD ∠=∠，75ABC ∠=︒，求△ABC 和△ADC 的周长之差．8．（中雅）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“雅近值”，记为d（M，N），特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0．(1)如图1，⊙O的半径为2，①点A（1，0），B（3，4），则d（A，⊙O）＝______，d（B，⊙O）＝______．②已知直线l：y＝43x+4与⊙O，求直线l与⊙O的雅近值d（l，⊙O）．(2)如图2，C为x轴正半轴上的一点，⊙C的半径为1，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交于点D，与y轴交于点E．①若a，b，线段DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙O）＜12，请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围；②若b＝C的横坐标m DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＝0，求a的取值范围．9．（广益）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形（2）如图1，Rt ABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，3sin5C ，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．10．（雅礼）圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形．我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．(1)若平行四边形ABCD 是“雅系四边形”，则四边形ABCD 是______（填序号）；①矩形；②菱形；③正方形(2)如图，四边形ABCD 内接于圆，P 为圆内一点，90APD BPC ∠=∠=︒，且ADP PBC ∠=∠，求证：四边形ABCD 为“雅系四边形”；(3)在（2）的条件下，3BD =，且AB =．①当DC =时，求AC 的长度；②当DC 的长度最小时，请直接写出tan ADP ∠的值．11．（青竹湖）定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”．(1)如图1，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且对角线BD 平分ABC ∠，四边形ABCD _______（填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若90ABC ∠=︒，且2AD =，则O 的直径为；(2)如图2，四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于E ，AD BE AE +=．求证：四边形ABCD 为“完美四边形”；(3)如图3，在“完美四边形”ABCD 中，AB AD =，8AC =，60BAD ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点P ，设BC x =，CP y =，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最大值．12．（师大附中）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60︒，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．(1)①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD 是“美丽四边形”，且3AB =，则BC =；(2)如图1，“美丽四边形”ABCD 内接于⊙O ，AC 与BD 相交于点P ，且对角线AC 为直径，15AP PC ==，，求另一条对角线BD 的长；(3)如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD 的四个顶点()()3020A C -，、，，B在第三象限，D 在第一象限，AC 与BD 交于点O ，且四边形ABCD 的面积为函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的图象同时经过这四个顶点，求a 的值．2024中考数学新定义及探究题专题《圆与新定义》（解析版）通用的解题思路：①对于圆中角度之间的等量关系，主要是两个方面：一是同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，二是圆内接四边形中外角等于内角的对角。
专题27 涉及圆的证明与计算问题(学生版)备战2021年中考数学专题复习精讲精练
专题27 涉及圆的证明与计算问题圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。
纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。
一、与圆有关的概念1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心是三角形三条边垂直平分线的交点。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
内心是三角形三个角的角平分线的交点。
内心到三角形三边的距离相等。
二、与圆有关的规律1.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．圆内接四边形的特征①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系① 点在圆内点到圆心的距离小于半径② 点在圆上点到圆心的距离等于半径③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径2.直线与圆有3种位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么① 直线和⊙O 相交；② 直线和⊙O 相切；③ 直线和⊙O 相离。
2024年中考数学压轴题型(安徽专用)专题07解答题压轴题(圆的综合)(学生版)
专题07解答压轴题（圆的综合）通用的解题思路：一、切割线定理当出现圆中一条弦和一条切线（或另一条弦）所在直线交于圆外一点时，可利用相似三角形解决线段相关问题。
二、解决三角形外接圆的问题做这类题时可通过连接圆心（外心）和三角形的顶点，或过圆心（外心）作边的垂线，进而应用圆周角定理、垂径定理及勾股定理解决问题。
三、证切线的方法1、已知半径证垂直；2、已知垂直证半径。
1.（2023-安徽•中考真题）已知四边形班CD内接于。
，对角线如是。
的直径.⑴如图1,连接OA,C4,若求证；04平分乙BCD；（2）如图2,E为。
内一点，满足AE±BC,CE±AB,若BD=30AE=3,求弦BC的长.2.（2022.安徽.中考真题）已知AB^jQO的直径，。
为。
上一点，D为BA的延长线上一点，连接CQ.c c图1上AB图2⑴如图1,若COLAB,20=30。
，0A=L求AQ的长;(2)如图2,若OC与。
0相切，E为OA上一点，且ZACD=ZACE,求证：CE±AB.3.(2021.安徽.中考真题)如图，圆0中两条互相垂直的弦AB,CQ交于点E.(1)M是CD的中点，(W=3,CD=12,求圆。
的半径长；(2)点尸在CQ上，＞CE=EF,求证：AF1BD.1.(2024-安徽六安•一模)如图，4ABC内接于O。
，是。
的直径，0D1AB交O。
于点E,交AC于点KDF=DC.D\R(1)求证：CD是。
的切线；(2)若。
F=而,BC=6,求DE的长.2.(2024.安徽•一模)如图，已知点尸为。
外一点，点A为。
上一点，直线P4与。
的另一个交点为点B,AC是。
的直径，APAC的平分线刀。
交。
于点Q,连接CD并延长交直线霹于点M,连接OQ.(1)求证：OD||BM；(2)若tan ZACD-,。
的直径为4,求刀B的长度.3.(2024-安徽合肥•二模)如图，AB为。
的直径，的和吨是。
的弦，连接AD f CD.P(1)若点C为AP的中点，且PC=PD,求ZB的度数；⑵若点。
2023年北京市部分名校中考数学备考——圆综合(学生版)
2023年北京市部分名校中考数学备考——圆综合1．（2023•海淀区清华附中模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC 于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F．（1）求证：∠A＝∠BOF；（2）若AB＝4，DF＝1，求AE的长．2．（2023春•西城区北师大附属实验中学月考）如图，OA是⊙O的半径，AB与⊙相切于点A，点C在⊙O上且AC＝AB，D为AC的中点，连接OD，连接CB交OD于点E，交OA于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．3．（2023•石景山京源实验学校模拟）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线CD，过点B作BE⊥CD于点E，延长EB交⊙O于点F，连接AC，AF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接BC，若⊙O的半径为5，tan∠CAF＝2，求BC的长．4．（2023•石景山首师大苹果园分校模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB 上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．5．（2023•西城区13中模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．6．（2023春•西城区三帆中学月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且点E为CD的中点．点F在弧AD上，过点F作⊙O的切线交CD的延长线于点G，交BA 的延长线于点P，BF与CD交于点H．（1）求证：∠G＝2∠B；（2）若⊙O的半径为4，，求BF的长．7．（2023春•东城区166中学月考）已知：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．（1）求证：∠DAB＝2∠ABC；（2）若tan∠ADC＝，BC＝4，求⊙O的半径．8．（2023春•东城区171中学月考）如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与⊙O相切，切点为A，连接BO并延长，交⊙O于点E，交直线DA于点F．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AF＝4，sin B＝，求⊙O的半径．9．（2023春•海淀区首师大附中月考）如图，AB为⊙O的直径，＝，过点A作⊙O的切线，交DO的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）若AC＝2，tan E＝，求OE的长．10．（2023•西城区北师大二附西城实验学校模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若cos∠CAD＝，AB＝5，求CD的长．11．（2023•西城区铁路第二中学模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD与AB 交于点E，CE＝ED，延长AB至F，连接DF，使得∠CDF＝2∠CAE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）已知BE＝1，BF＝2，求⊙O的半径长．12．（2023•海淀区玉渊潭中学模拟）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG＝AG，连接AC．（1）求证：AC∥DF；（2）若AB＝12，求AC和GD的长．13．（2023春•丰台区北师大实验中学丰台学校月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E，点F在上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HF是⊙O的切线，延长HF交AB的延长线于点M．（1）求证：HG＝HF；（2）连接BF，若sin M＝，BM＝2，求BF的长．14．（2023春•西城区北师大附属实验中学月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB、AC交于点E、F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为5，求EG的长．15．（2023春•顺义区仁和中学月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AF＝4，，求BE的长．16．（2023春•海淀区人大附中月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，交BC于点E，直线AF与⊙O相切于点A，与BC的延长线交于点F，∠F＝∠BAD．（1）求证：BD＝BE；（2）若，BE＝5，求AF的长．17．（2023春•西城区北京四中月考）如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，CB 与⊙O相切于点B，连接OC，过点A作FA∥CO交EC的延长线于F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若FA＝FE＝3，BE＝2，求AD的长．18．（2023•海淀区北师大第三附中一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径．（1）求证：OD⊥CE；（2）若DF＝1，DC＝3，求AE的长．19．（2023•海淀区57中二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于E，交DC于F．（1）求证：∠DCB＝∠DOF；（2）若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的长．20．（2023•东城区广渠门中学模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．21．（2023•东城区宏志中学模拟）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F 点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF＝5，sin F＝时，求BD的长．22．（2023•东城区广渠门中学模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG＝HF，延长HF交AB的延长线于点M．（1）求证：HF是⊙O的切线；（2）若sin M＝，BM＝1，求AF的长．23．（2023•海淀区中关村中学模拟）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．24．（2023•丰台区18中模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l于点D．（1）求证：BC平分∠ABD；（2）连接OD，若∠ABD＝60°，CD＝3，求OD的长．25．（2023•海淀区清华附中开学）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线，交OD的延长线于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点E．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PC＝6，tan E＝，求BE的长．26．（2023春•海淀区101中学月考）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E 是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长EF和BA的延长线交于点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AG＝2，GE＝4，求BF的长．27．（2023•西城区北师大二附模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．28．（2023•海淀区来理工附中模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上的一点，CD为⊙O的切线，D为切点，DE⊥AB于点F，连结BE．（1）求证：；（2）作BG⊥CD交CD延长线于点G，交⊙O点H，若，BG＝10，求GH的长．29．（2023•海淀区首师大附中模拟）如图，AC为⊙O的直径，BD为⊙O的一条弦，过点A 作直线AE，使∠EAB＝∠D．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）若∠ABD＝30°，AB＝2，BC＝6，求BD的长．30．（2023春•丰台区12中月考）已知：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且AD＝DC．（1）求证：AB＝BC；（2）过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F，且CF＝DC，求sin∠CAE的值．31．（2023•海淀区首师大附中开学）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC 与⊙O相交于点D，过点D做DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的长．32．（2023•西城区北师大附属实验中学模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半径．33．（2023•海淀区人大附中开学）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为⊙O外一点，连接AC，BC，BD，CD，满足BC＝BD，∠CBD＝2∠CBA．（1）证明：直线CD为⊙O的切线；（2）射线DC与射线BA交于点E，若AE＝AB＝6，求BD的长．。
圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型(学生版)-2024年中考数学
圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(米勒最大视角(张角)模型、定角定高(探照灯)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。
实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。
而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
模型1.米勒最大张角(视角)模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。
【模型证明】如图1，设C'是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC'B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC'B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC'D中，∠ADB=∠AC D+∠DAC ∴∠ADB>∠AC D又∵∠ACB=∠ADB∴∠ACB>∠AC D【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
1(2023·广东珠海·九年级统考期末)如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好()A.甲B.乙C.丙D.丁2(2023·四川宜宾·校考二模)如图，已知点A 、B 的坐标分别是0,1 、0,3 ，点C 为x 轴正半轴上一动点，当∠ACB 最大时，点C 的坐标是()A.2,0B.3,0C.2,0D.1,03(2023·江苏南京·九年级统考期中)如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =8，M 是CD 的中点，点P 是BC 上一个动点，若∠DPM 的度数最大，则BP =．4(2023·陕西西安·校考模拟预测)足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB 的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD 上行进时，当存在一点Q ，使得∠CQA =∠ABQ (此时也有∠DQB =∠QAB )时，恰好能使球门AB 的张角∠AQB 达到最大值，故可以称点Q 为直线CD 上的最佳射门点．(1)如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，Q1，Q2，Q3为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点；(2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB=3a，BD=a．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示a，若此时守DQ的长度并求出tan∠AQB的值；②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为54门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．(结果用含a的代数式表示)5(2023上·北京东城·九年级校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1,1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为90°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1,2)，直线l:y=kx+b(k>0)经过点D( -23+1,0)，若直线关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=3x+1关于⊙C的“视角"大于120°，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．3模型2. 定角定高模型(探照灯模型)定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值(定高)，∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。
(完整版)中考数学专题复习圆压轴八大模型题(学生用)(最新整理)
2.（2018·云南昆明）如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，∠AC 平分∠BAD，连接 BF． （1）求证：AD⊥ED； （2）若 CD＝4，AF＝2，求⊙O 的半径．
圆压轴题八大模型题（二）
引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用 技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。
直线 CM 是⊙O 的切线．
【变式运用】
1.（2018·四川宜宾）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE⊥AB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G，若 ＝ ，则
＝ ．
（图 1-2）
2.（2018·泸州）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别 平分∠BAD 和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F，连接 DF
求 PA 和 AD.
求 AD、PD、PA 的长.
【典例】 （2018·四川乐山）如图，P 是⊙O 外的一点，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 是切点，PO 交 AB 于点 F，延长 BO 交⊙O 于点 C，交 PA 的延长交于点 Q，连结 AC． （1）求证：AC∥PO；
（2）设 D 为 PB 的中点，QD 交 AB 于点 E，若⊙O 的半径为 3，CQ＝2，求 的值．
专题 最值模型之阿氏圆模型(学生版)
专题28最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA =k ·PB （k ≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图1所示，⊙O 的半径为r ，点A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r =k ·OB ，连接PA 、PB ，则当“PA +k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？如图2，在线段OB 上截取OC 使OC =k ·r ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k ·PB =PC 。
故本题求“PA +k ·PB ”的最小值可以转化为“PA +PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P A 、P 、C 三点共线时，“PA +PC ”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k ·PA +PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．，例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60︒，A与BC相切于点E，在A上任取一点P，则32PB PD+的最小值为___________．例4．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为例5．（2023·浙江·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又∵∠PCD＝∠△∽△∴13=PDBP∴PD＝13BP∴AP+13BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则12AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是CD上一点，求2PA+PB例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +4PC +的最小值，12PD PC -的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值，23PD PC -的最大值，23+PC PD 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值．6+PC PD 的最小值例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A ,B ，所有满足PA PB=k (k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB =4，AB =2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．轴交于课后专项训练＝A．62B．43．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____．内切于的取值范围为5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为最小值为．6．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，已知EC AE＝，G是射线CN上的动点，同时在:2:1为．若点H运动轨迹与射线7．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是_____．9．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为分别是11．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为_____．12．（2023·四川成都·九年级专题练习）在ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是A上一动点，连接PB，PC，则32PC PB+的最小值_____________PB的最小值_______=6014．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：（1）初步思考：如图1，在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC+的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值．图1图2图3的三个顶点的距离分别为(1)如图2，在55⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B 、C 、D 、E 均在小正方形的格点上，则点D 是ABC 关于点______的勾股点；若点F 在格点上，且点E 是ABF △关于点F 的勾股点，请在方格纸中画出ABF △；(2)如图3，菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是平面内一点，且点O 是ABE 关于点E 的勾股点．D17．（2023·重庆大渡口·九年级统考阶段练习）如图线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接并与矩形的两边交于点E和点F已知平面上两点）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称第1步：一般将含有k 的线段PB 两端点分别与圆心O 相连，即连接OB 、OP ；第2步：在OB 上取点C ，使得2OP OC OB =⋅，即OC OP OP OB=，构造母子型相似OCP △∽OPB △（图2）；第3步：连接AC ，与圆O 的交点即为点P （图3）．【问题解决】如图，O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，O 半径为，点()0,2A ，点3,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点的任意一点，为半径画圆，交。
中考数学压轴必刷 专题17函数与圆综合问题(学生版)
【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题17函数与圆综合问题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【例2】如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F 在x轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．1．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．2．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．6．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC ⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．。
圆中的重要模型之圆幂定理模型(学生版)-2024年中考数学常见几何模型
圆中的重要模型之圆幂定理模型圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。
可能是在19世纪由德国数学家施泰纳(Steiner)或者法国数学家普朗克雷(Poncelet)提出的。
圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
模型1.相交弦模型条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：△CAE∼△BDE⇒ECEB=EAED⇒EC⋅ED=EB⋅EA。
1(2023·江苏无锡·校联考三模)如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC=BC，∠ACB=90°．若CD=4，tan∠CBD=13，则AD的长是．2(2023·山东济宁一模)如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点(点A、C除外)，BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证△CED∽△BAD；(2)当DC=2AD时，求CE的长．3(2023·江西宜春·统考模拟预测)阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理(圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等)，下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，⊙O的两弦AB，CD相交于点P．求证：AP⋅BP=CP⋅DP．证明：如图1，连接AC，BD．∵∠C=∠B，∠A=∠D．∴△APC∽△DPB，(根据)∴APDP=@，∴AP⋅BP=CP⋅DP，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：；@：．(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径．模型2.双割线模型条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
中考数学几何模型专题11四点共圆模型(学生版) 知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题11四点共圆模型若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．如图，若OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则A ，B ，C ，D 四点在以点O 为圆心、OA 为半径的圆上．模型2：对角互补共圆模型2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中， 若∠A ＋∠C ＝180°（或∠B ＋∠D ＝180°）则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图，在四边形ABCD 中，∠CDE 为外角，若∠B ＝∠CDE ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．模型3：定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图，点A ，D 在线段BC 的同侧，若∠A ＝∠D ，则A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．12cm 的正方形ABCD 中，点E 从点D 出发，沿边DC 以1cm/s 的速度向点C 运动，同时，点F 从点C 出发，沿边CB 以1cm/s 的速度向点B 运动，当点E 达到点C 时，两点同时停止运动，连接AE 、DF 交于点P ，设点E ．F DDD运动时间为t秒．回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于4√5cm?(2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(①O)上；①是否存在这样的t值，使得问题①中的①O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；①请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．【例2】（2022·吉林白山·八年级期末）（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D=180°，则①AOB+①COD=______°；（直接写出结果）（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.①如图①，如果∠AOB=110°，那么∠COD的度数为_______；（直接写出结果）①如图①，若∠AOD=∠BOC，AB与CD平行吗？为什么？【例3】（2020·四川眉山·一模）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=12∠BAC=60°，于是BCAB=2BDAB=√3；迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；①请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM 的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；①若AE=5,CE=2，求BF的长．【例4】（2022·全国·九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形ABCD是圆美四边形．（1）求美角∠A的度数；（2）如图1，若⊙O的半径为5，求BD的长；（3）如图2，若CA平分∠BCD，求证：BC+CD=AC．一、解答题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）射线AB与直线CD交于点E，①AED＝60°，点F在直线CD 上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作GH⊥AB 于点H．(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______；(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，AE=1，EF=2，请直接写出HG的长．2．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转n°(0<n<90)到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP,DF⊥BP，垂足分别为点E、F．(1)求证：CE=EF；(2)联结CF，如果DPCF =13，求∠ABP的正切值；(3)联结AF，如果AF=√22AB，求n的值．3．（2022·重庆市育才中学九年级期末）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．。
两年中考模拟2020年中考数学：圆的有关位置关系(学生版)
第四篇图形的性质专题23与圆有关的位置关系知识点名师点晴点和圆的位置关系理解并掌握设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d=r；点P在圆内d＜r及其运用．直线和圆的位置关系切线的判定定理理解切线的判定定理,会运用它解决一些具体的题目切线的性质定理理解切线的性质定理,会运用它解决一些具体的题目切线长定理运用切线长定理解决一些实际问题．圆和圆的位置关系理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．归纳1：点和圆的位置关系基础知识归纳：设⊙O 的半径是r ,点P 到圆心O 的距离为d ,则有： d ＜r 点P 在⊙O 内； d =r 点P 在⊙O 上； d ＞r 点P 在⊙O 外．基本方法归纳：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．注意问题归纳：符号“⇔”读作“等价于”,它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端．【例1】如图,在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点）,如果以A为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内,则r 的取值范围为（ ）A ．2217r <<B ．1732r <<C ．175r <<D ．529r <<归纳 2：直线与圆的位置关系 基础知识归纳：直线和圆有三种位置关系,具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,（3）相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离．如果⊙O 的半径为r ,圆心O 到直线l 的距离为d ,那么： 直线l 与⊙O 相交 d ＜r ； 直线l 与⊙O 相切 d =r ；直线l与⊙O相离d＞r；注意问题归纳：直线与圆的位置关系,解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系．【例2】（2019内蒙古通辽市,第23题,8分）如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC=CE,连接AE交BC于点D,延长DC至F点,使CF=CD,连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系,并说明理由．（2）若AC=10,tan∠CAE34=,求AE的长．【例3】（2019四川省遂宁市,第24题,10分）如图,△ABC内接于⊙O,直径AD交BC于点E,延长AD至点F,使DF=2OD,连接FC并延长交过点A的切线于点G,且满足AG∥BC,连接OC,若cos∠BAC13=,BC=6．（1）求证：∠COD=∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：C F是⊙O的切线．归纳3：圆和圆的位置关系基础知识归纳：如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种．如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种．如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交．基本方法归纳：设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么两圆外离d＞R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r＜d＜R+r（R≥r）两圆内切d=R-r（R＞r）两圆内含d＜R-r（R＞r）【例3】（2019上海,第6题,4分）已知⊙A与⊙B外切,⊙C与⊙A、⊙B都内切,且AB=5,AC=6,BC=7,那么⊙C的半径长是（）A．11B．10C．9D．8【2019年题组】一、选择题1．（2019四川省乐山市,第10题,3分）如图,抛物线y14x2﹣4与x轴交于A、B两点,P是以点C（0,3）为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段P A的中点,连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A．3B．412C．72D．42．（2019四川省泸州市,第11题,3分）如图,等腰△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AB=AC=5,BC=6,则DE的长是（）A．31010B．3105C．355D．6553．（2019山东省泰安市,第9题,4分）如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠A=119°,过点C的圆的切线交BO 于点P,则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°4．（2019广西,第12题,3分）如图,AB为⊙O的直径,BC、CD是⊙O的切线,切点分别为点B、D,点E为线段OB上的一个动点,连接OD,CE,DE,已知AB=25,BC=2,当CE+DE的值最小时,则CEDE的值为（）A．910B．23C．53D．555．（2019江苏省连云港市,第8题,3分）如图,在矩形ABCD中,AD2AB．将矩形ABCD对折,得到折痕MN；沿着CM折叠,点D的对应点为E,ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC62=MP；④BP22=AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心,其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．（2019河北,第10题,3分）根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B．C．D．7．（2019湖北省天门市,第10题,3分）如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,弦AD∥OC,直线CD交BA 的延长线于点E,连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC=BO •BE．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．（2019黑龙江省哈尔滨市,第5题,3分）如图,P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点,点C为⊙O上一点,连接AC、BC,若∠P=50°,则∠ACB的度数为（）A．60°B．75°C．70°D．65°二、填空题9．（2019内蒙古包头市,第18题,3分）如图,BD是⊙O的直径,A是⊙O外一点,点C在⊙O上,AC与⊙O相切于点C,∠CAB=90°,若BD=6,AB=4,∠ABC=∠CBD,则弦BC的长为．10．（2019山东省菏泽市,第14题,3分）如图,直线y34=-x﹣3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动点,以点P为圆心,以1个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与直线AB相切时,点P的坐标是．11．（2019江苏省常州市,第17题,2分）如图,半径为3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,连接OC,则tan∠OCB= ．12．（2019江苏省连云港市,第16题,3分）如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以点C为圆心作⊙C与直线BD相切,点P是⊙C上一个动点,连接AP交BD于点T,则APAT的最大值是．13．（2019浙江省宁波市,第17题,4分）如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,点D在边BC上,CD=5,BD=13．点P是线段AD上一动点,当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时,AP的长为．14．（2019湖北省鄂州市,第16题,3分）如图,在平面直角坐标系中,已知C（3,4）,以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上,且OA=OB．点P为⊙C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为．15．（2019辽宁省盘锦市,第17题,3分）如图,△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,OD⊥AC于点D,连接BD,半径OE⊥BC,连接EA,EA⊥BD于点F．若OD=2,则BC=．16．（2019黑龙江省绥化市,第20题,3分）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆,AB=AC,连接OB、OC,延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为．三、解答题17．（2019内蒙古呼和浩特市,第24题,9分）如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D,过点D作⊙O的切线与BC交于点E,弦DM与AB垂直,垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π,两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3,求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．18．（2019北京,第22题,6分）在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示,点O到点A,B,C的距离均等于a（a为常数）,到点O的距离等于a的所有点组成图形G,∠ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD．（1）求证：A D=CD；（2）过点D作DE⊥BA,垂足为E,作DF⊥BC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM．若AD=CM,求直线DE与图形G的公共点个数．19．（2019四川省宜宾市,第23题,10分）如图,线段AB经过⊙O的圆心O,交⊙O于A、C两点,BC=1,AD为⊙O的弦,连结BD,∠BAD=∠ABD=30°,连结DO并延长交⊙O于点E,连结BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．20．（2019广安,第25题,9分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分∠BAC,AD交BC于点D,ED⊥AD交AB于点E,△ADE的外接圆⊙O交AC于点F,连接EF．（1）求证：B C是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．21．（2019四川省成都市,第20题,10分）如图,AB为⊙O的直径,C,D为圆上的两点,OC∥BD,弦AD,BC相交于点E．（1）求证：¶¶AC CD；（2）若CE=1,EB=3,求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQ∥CB交⊙O于F,Q两点（点F在线段PQ上）,求PQ的长．22．（2019四川省雅安市,第23题,10分）如图,已知AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,OE∥AC交BC于E,过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：D C是⊙O的切线；（2）若∠ABC=30°,AB=8,求线段CF的长．23．（2019天津,第21题,10分）已知P A,PB分别与⊙O相切于点A,B,∠APB=80°,C为⊙O上一点．（1）如图①,求∠ACB的大小；（2）如图②,AE为⊙O的直径,AE与BC相交于点D．若AB=AD,求∠EAC的大小．24．（2019宁夏,第23题,8分）如图在△ABC中,AB=BC,以AB为直径作⊙O交AC于点D,连接OD．（1）求证：OD∥BC；（2）过点D作⊙O的切线,交BC于点E,若∠A=30°,求CDBE的值．25．（2019山东省临沂市,第23题,9分）如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点O作OD⊥AB,交BC的延长线于D,交AC于点E,F是DE的中点,连接CF．（1）求证：C F是⊙O的切线．（2）若∠A=22.5°,求证：A C=DC．26．（2019枣庄,第23题,8分）如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O,点D为⊙O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若BE=2,DE=4,求圆的半径及AC的长．27．（2019山东省济南市,第23题,8分）如图,AB 、CD 是⊙O 的两条直径,过点C 的⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ,连接AC 、BD ． （1）求证；∠ABD =∠CAB ；（2）若B 是OE 的中点,AC =12,求⊙O 的半径．28．（2019莱芜区,第23题,10分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,CB ⊥AB ,D 为圆上一点,且AD ∥OC ,连接CD ,AC ,BD ,AC 与BD 交于点M ． （1）求证：C D 为⊙O 的切线； （2）若CD 2=AD ,求CMMA的值．29．（2019济宁,第20题,8分）如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,D 是»AC 的中点,E 为OD 延长线上一点,且∠CAE =2∠C ,AC 与BD 交于点H ,与OE 交于点F ． （1）求证：A E 是⊙O 的切线； （2）若DH =9,tanC 34=,求直径AB 的长．30．（2019山东省烟台市,第22题,9分）如图,在矩形ABCD中,CD=2,AD=4,点P在BC上,将△ABP沿AP折叠,点B恰好落在对角线AC上的E点,O为AC上一点,⊙O经过点A,P（1）求证：B C是⊙O的切线；（2）在边CB上截取CF=CE,点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．31．（2019聊城,第24题,10分）如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,作OD⊥AB交AC于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作⊙O的切线CE,交OF于点E．（1）求证：EC=ED；（2）如果OA=4,EF=3,求弦AC的长．32．（2019山东省菏泽市,第22题,10分）如图,BC是⊙O的直径,CE是⊙O的弦,过点E作⊙O的切线,交CB 的延长线于点G,过点B作BF⊥GE于点F,交CE的延长线于点A．（1）求证：∠ABG=2∠C；（2）若GF3GB=6,求⊙O的半径．33．（2019广西河池市,第25题,10分）如图,五边形ABCDE内接于⊙O,CF与⊙O相切于点C,交AB延长线于点F．（1）若AE=DC,∠E=∠BCD,求证：D E=BC；（2）若OB=2,AB=BD=DA,∠F=45°,求CF的长．34．（2019广西百色市,第25题,10分）如图,已知AC、AD是⊙O的两条割线,AC与⊙O交于B、C两点,AD 过圆心O且与⊙O交于E、D两点,OB平分∠AOC．（1）求证：△ACD∽△ABO；（2）过点E的切线交AC于F,若EF∥OC,OC=3,求EF的值．[提示：（2+1）（2-1）=1]35．（2019广西贵港市,第24题,8分）如图,在矩形ABCD中,以BC边为直径作半圆O,OE⊥OA交CD边于点E,对角线AC与半圆O的另一个交点为P,连接AE．（1）求证：A E是半圆O的切线；（2）若P A=2,PC=4,求AE的长．36．（2019新疆,第22题,10分）如图,AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,与AB的延长线交于点D,CE ⊥AB于点E．（1）求证：∠BCE=∠BCD；（2）若AD=10,CE=2BE,求⊙O的半径．¶AC的中点, 37．（2019江苏省泰州市,第24题,10分）如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,D为过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若⊙O的半径为5,AB=8,求CE的长．38．（2019江苏省淮安市,第24题,10分）如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分∠BAC,DE ⊥AC,垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若⊙O的半径为2,∠BAC=60°,求线段EF的长．39．（2019江苏省盐城市,第24题,10分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,以CD 为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N,过点N作NE⊥AB,垂足为E．（1）若⊙O的半径为52,AC=6,求BN的长；（2）求证：NE与⊙O相切．40．（2019江苏省镇江市,第22题,6分）如图,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC 的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AB=5,⊙O的半径为12,则tan∠BDO= ．41．（2019江西省,第19题,8分）如图1,AB为半圆的直径,点O为圆心,AF为半圆的切线,过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D,连接BC．（1）连接DO,若BC∥OD,求证：C D是半圆的切线；（2）如图2,当线段CD与半圆交于点E时,连接AE,AC,判断∠AED和∠ACD的数量关系,并证明你的结论．42．（2019浙江省温州市,第22题,10分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E 三点的⊙O交AB于另一点F,作直径AD,连结DE并延长交AB于点G,连结CD,CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE=4,CD38=AB时,求⊙O的直径长．43．（2019湖北省十堰市,第22题,8分）如图,△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,点E为C延长线上一点,且∠CDE12=∠BAC．（1）求证：D E是⊙O的切线；（2）若AB=3BD,CE=2,求⊙O的半径．44．（2019湖北省咸宁市,第21题,9分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,以CD为直径的⊙O分别交AC,BC于点E,F两点,过点F作FG⊥AB于点G．（1）试判断FG与⊙O的位置关系,并说明理由．（2）若AC=3,CD=2.5,求FG的长．45．（2019湖北省孝感市,第23题,10分）如图,点I是△ABC的内心,BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D,与AC交于点E,延长CD、BA相交于点F,∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：D G∥CA；（2）求证：A D=ID；（3）若DE=4,BE=5,求BI的长．46．（2019湖北省恩施州,第23题,10分）如图,在⊙O中,AB是直径,BC是弦,BC=BD,连接CD交⊙O于点E,∠BCD=∠DBE．（1）求证：B D是⊙O的切线．（2）过点E作EF⊥AB于F,交BC于G,已知DE=210,EG=3,求BG的长．47．（2019湖北省鄂州市,第22题,10分）如图,P A是⊙O的切线,切点为A,AC是⊙O的直径,连接OP交⊙O 于E．过A点作AB⊥PO于点D,交⊙O于B,连接BC,PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△P AB的内心；（3）若cos∠P AB1010=,BC=1,求PO的长．48．（2019湖北省黄石市,第24题,10分）如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,C、E是⊙O上的两点,CE=CB,∠BCD=∠CAE,延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：C D是⊙O的切线；（2）求证：C E=CF；（3）若BD=1,CD2=,求弦AC的长．49．（2019湖南省常德市,第22题,7分）如图,⊙O与△ABC的AC边相切于点C,与AB、BC边分别交于点D、E,DE∥OA,CE是⊙O的直径．（1）求证：A B是⊙O的切线；（2）若BD=4,EC=6,求AC的长．50．（2019贵州省贵阳市,第23题,10分）如图,已知AB是⊙O的直径,点P是⊙O上一点,连接OP,点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．（1）求证：OP∥BC；（2）过点C作⊙O的切线CD,交AP的延长线于点D．如果∠D=90°,DP=1,求⊙O的直径．51．（2019辽宁省大连市,第23题,10分）如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC=∠BCP．（1）求证：∠BAC=2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC,垂足为E（如图2）,当BC=6,AE=2时,求⊙O的半径．52．（2019辽宁省朝阳市,第22题,8分）如图,四边形ABCD为菱形,以AD为直径作⊙O交AB于点F,连接DB交⊙O于点H,E是BC上的一点,且BE=BF,连接DE．（1）求证：D E是⊙O的切线．（2）若BF=2,DH5=,求⊙O的半径．53．（2019辽宁省本溪市,第24题,12分）如图,点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点,连接BP并延长交CD于点E,交AD的延长线于点F,⊙O是△DEF的外接圆,连接DP．（1）求证：D P是⊙O的切线；（2）若tan∠PDC12=,正方形ABCD的边长为4,求⊙O的半径和线段OP的长．54．（2019辽宁省沈阳市,第22题,10分）如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,直线MN与⊙O相切于点C,过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：∠ABC=∠CBD；（2）若BC=45,CD=4,则⊙O的半径是．55．（2019辽宁省营口市,第23题,12分）如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为点E,以AE为直径的⊙O与边CD相切于点F,连接BF交⊙O于点G,连接EG．（1）求证：C D=AD+CE．（2）若AD=4CE,求tan∠EGF的值．56．（2019辽宁省铁岭市,第24题,12分）如图,在▱ABCD中,AD=2AB,以点A为圆心、AB的长为半径的⊙A 恰好经过BC的中点E,连接DE,AE,BD,AE与BD交于点F．（1）求证：D E与⊙A相切．（2）若AB=6,求BF的长．57．（2019辽宁省锦州市,第22题,8分）如图,M,N是以AB为直径的⊙O上的点,且¶¶AN BN,弦MN交AB于点C,BM平分∠ABD,MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN=3,BN=4,求CM的长．58．（2019辽宁省鞍山市,第23题,10分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上一点,过B,C,D三点的⊙O交AB于点E,连接ED,EC,点F是线段AE上的一点,连接FD,其中∠FDE=∠DCE．（1）求证：D F是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点,∠A=30°,BC=4,求DF的长．59．（2019黑龙江省绥化市,第26题,7分）如图,AB为⊙O的直径,AC平分∠BAD,交弦BD于点G,连接半径OC交BD于点E,过点C的一条直线交AB的延长线于点F,∠AFC=∠ACD．（1）求证：直线CF是⊙O的切线；（2）若DE=2CE=2．①求AD的长；②求△ACF的周长．（结果可保留根号）【2018年题组】一、选择题1．（2018浙江省嘉兴市,第6题,3分）用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆心上D．点在圆上或圆内2．（2018湖北省宜昌市,第12题,3分）如图,直线AB是⊙O的切线,C为切点,OD∥AB交⊙O于点D,点E在⊙O上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°3．（2018江苏省常州市,第7题,2分）如图,AB是⊙O的直径,MN是⊙O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为（）A．76°B．56°C．54°D．52°4．（2018江苏省无锡市,第8题,3分）如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F,给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切．其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．35．（2018河北省,第15题,2分）如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为（）A．4.5B．4C．3D．26．（2018湖北省荆门市,第9题,3分）如图,在平面直角坐标系xOy中,A（4,0）,B（0,3）,C（4,3）,I是△ABC 的内心,将△ABC绕原点逆时针旋转90°后,I的对应点I'的坐标为（）A．（﹣2,3）B．（﹣3,2）C．（3,﹣2）D．（2,﹣3）7．（2018湖北省鄂州市,第8题,3分）如图,P A、PB是⊙O的切线,切点为A、B．AC是⊙O的直径,OP与AB 交于点D,连接BC．下列结论：①∠APB=2∠BAC②OP∥BC③若tanC=3,则OP=5BC④AC2=4OD•OP．其中正确结论的个数为（）A．4 个B．3个C．2个D．1个8．（2018湖南省湘西州,第15题,4分）已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O 的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定9．（2018湖南省湘西州,第18题,4分）如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB,若⊙O的半径为5,CD=8,则弦AC的长为（）A．10B．8C．43D．4510．（2018福建省A,第9题,4分）如图,AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点B,AC交⊙O于点D,若∠ACB=50°,则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°11．（2018重庆市,第9题,4分）如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD与⊙O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若⊙O的半径为4,BC=6,则P A的长为（）A．4B．23C．3D．2.512．（2018重庆市,第10题,4分）如图,△ABC中,∠A=30°,点O是边AB上一点,以点O为圆心,以OB为半径作圆,⊙O恰好与AC相切于点D,连接BD．若BD平分∠ABC,AD=23,则线段CD的长是（）A．2B．3C．32D．33213．（2018黑龙江省哈尔滨市,第5题,3分）如图,点P为⊙O外一点,P A为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为（）A．3B．33C．6D．9二、填空题14．（2018江苏省南京市,第16题,2分）如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD 绕点C旋转,使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切,切点为E,边CD'与⊙O相交于点F,则CF的长为．15．（2018江苏省泰州市,第16题,3分）如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=513,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,P为线段A'B'上的动点,以点P为圆心,P A'长为半径作⊙P,当⊙P与△ABC的边相切时,⊙P的半径为．16．（2018江苏省连云港市,第14题,3分）如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=．17．（2018浙江省台州市,第14题,5分）如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于点D．若∠A=32°,则∠D=度．18．（2018浙江省嘉兴市,第14题,4分）如图,量角器的0度刻度线为AB,将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A,D,量得AD=10cm,点D在量角器上的读数为60°,则该直尺的宽度为cm．19．（2018浙江省宁波市,第17题,4分）如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为．20．（2018湖北省黄石市,第12题,3分）在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=8,CB=6,则△ABC内切圆的周长为．21．（2018湖南省娄底市,第14题,3分）如图,P是△ABC的内心,连接P A、PB、PC,△P AB、△PBC、△P AC 的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）22．（2018湖南省娄底市,第17题,3分）如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切,切点分别为D、E、C,半径OC=1,则AE•BE=．23．（2018湖南省益阳市,第15题,4分）如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=度．24．（2018湖南省长沙市,第18题,3分）如图,点A,B,D在⊙O上,∠A=20°,BC是⊙O的切线,B为切点,OD的延长线交BC于点C,则∠OCB=度．25．（2018黑龙江省大庆市,第14题,3分）在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,则这个三角形的内切圆半径为．26．（2018黑龙江省大庆市,第18题,3分）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12,﹣5）,将直线向上平移m（m ＞0）个单位,若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点）,则m的取值范围为．三、解答题27．（2018广西贵港市,第24题,8分）如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD．（1）求证：B D是⊙O的切线；（2）若AB=10,cos∠BAC=35,求BD的长及⊙O的半径．28．（2018广西贺州市,第25题,10分）如图,AB是⊙O的弦,过AB的中点E作EC⊥OA,垂足为C,过点B作直线BD交CE的延长线于点D,使得DB=DE．（1）求证：B D是⊙O的切线；（2）若AB=12,DB=5,求△AOB的面积．29．（2018新疆,第22题,12分）如图,P A与⊙O相切于点A,过点A作AB⊥OP,垂足为C,交⊙O于点B．连接PB,AO,并延长AO交⊙O于点D,与PB的延长线交于点E．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OC=3,AC=4,求sinE的值．30．（2018新疆乌鲁木齐市,第23题,10分）如图,AG是∠HAF的平分线,点E在AF上,以AE为直径的⊙O 交AG于点D,过点D作AH的垂线,垂足为点C,交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD,设⊙O的半径为r,求BD的长度．31．（2018江苏省南通市,第24题,8分）如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,且交⊙O于点E．连接OC,BE,相交于点F．（1）求证：EF=BF；（2）若DC=4,DE=2,求直径AB的长．32．（2018江苏省宿迁市,第26题,10分）如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长．33．（2018江苏省镇江市,第26题,8分）如图1,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,P A为半径的⊙P与对角线AC交于A,E两点．（1）如图2,当⊙P与边CD相切于点F时,求AP的长；（2）不难发现,当⊙P与边CD相切时,⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点,随着AP的变化,⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围．34．（2018江西省,第20题,8分）如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径做圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D,且∠AOD=∠BAD．（1）求证：A B为⊙O的切线；（2）若BC=6,tan∠ABC=43,求AD的长．35．（2018河南省,第19题,9分）如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F．（1）求证：C E=EF；（2）连接AF并延长,交⊙O于点G．填空：①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形．36．（2018浙江省金华市,第21题,8分）如图,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连结AD．已知∠CAD=∠B．（1）求证：A D是⊙O的切线．（2）若BC=8,tanB=12,求⊙O的半径．37．（2018湖北省十堰市,第23题,8分）如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点D作FG⊥AC于点F,交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2,求GBGA的值．38．（2018湖北省咸宁市,第21题,9分）如图,以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆,∠ABC 的平分线交⊙O于点D,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：D E是⊙O的切线；（2）若AB=25,BC=5,求DE的长．39．（2018湖北省天门市,第22题,8分）如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦．过BC延长线上一点G,作GD ⊥AO于点D,交AC于点E,交⊙O于点F,M是GE的中点,连接CF,CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的长．40．（2018湖北省孝感市,第23题,10分）如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF⊥AC于点F,交AB的延长线于点G．（1）求证：D F是⊙O的切线；（2）已知BD5CF=2,求AE和BG的长．41．（2018湖北省武汉市,第21题,8分）如图,P A是⊙O的切线,A是切点,AC是直径,AB是弦,连接PB、PC,PC 交AB于点E,且P A=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC=3∠BPC,求PECE的值．42．（2018湖北省荆门市,第23题,10分）如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,经过点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC交EC的延长线于点D,AD交⊙O于F,FM⊥AB于H,分别交⊙O、AC于M、N,连接MB,BC．（1）求证：A C平分∠DAE；（2）若cosM=45,BE=1．①求⊙O的半径；②求FN的长．43．（2018湖北省鄂州市,第22题,10分）如图,四边形ABCD内接于⊙O,BC为⊙O的直径,AC与BD交于点E,P为CB延长线上一点,连接P A,且∠P AB=∠ADB．（1）求证：P A为⊙O的切线；（2）若AB=6,tan∠ADB34,求PB长；（3）在（2）的条件下,若AD=CD,求△CDE的面积．44．（2018湖北省随州市,第21题,8分）如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,CN为⊙O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD=MC；（2）若⊙O的半径为5,AC=45,求MC的长．45．（2018湖北省黄冈市,第18题,7分）如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C．（1）求证：∠CBP=∠ADB．（2）若OA=2,AB=1,求线段BP的长．46．（2018湖北省黄石市,第21题,8分）如图,已知A、B、C、D、E是⊙O上五点,⊙O的直径BE3∠¶BE的中点,延长BA到点P,使BA=AP,连接PE．BCD=120°,A为（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．47．（2018湖南省常德市,第24题,8分）如图,已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆,点D在圆上,在CD的延长线上有一点F,使DF=DA,AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：B D=CF．48．（2018湖南省永州市,第24题,10分）如图,线段AB为⊙O的直径,点C,E在⊙O上,¶¶BC CE=,CD⊥AB,垂足为点D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F．（1）求证：C F=BF；（2）若cos∠ABE45=,在AB的延长线上取一点M,使BM=4,⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．49．（2018湖南省郴州市,第23题,8分）已知BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是⊙O 的弦,∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC,垂足为M,⊙O的半径为4,求AE的长．50．（2018湖南省长沙市,第24题,9分）如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE 交BA的延长线于点E,BC=8,AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．51．（2018兰州,第27题,9分）如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,D为BA延长线上一点,∠ACD=∠B．（1）求证：D C为⊙O的切线；（2）线段DF分别交AC,BC于点E,F且∠CEF=45°,⊙O的半径为5,sinB=35,求CF的长．52．（2018甘肃省天水市,第23题,8分）如图所示,AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,BC．（1）求证：∠BAC=∠BCP．（2）若点P在AB的延长线上运动,∠CP A的平分线交AC于点D,你认为∠CDP的大小是否发生变化？若变化,请说明理由；若没有变化,求出∠CDP的大小．53．（2018白银市,第20题,4分）如图,在△ABC中,∠ABC=90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法,保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系,直接写出结果．54．（2018白银市,第27题,8分）如图,点O是△ABC的边AB上一点,⊙O与边AC相切于点E,与边BC,AB 分别相交于点D,F,且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3,sinA=35时,求AF的长．55．（2018贵州省安顺市,第25题,12分）如图,在△ABC中,AB=AC,O为BC的中点,AC与半圆O相切于点D．（1）求证：A B是半圆O所在圆的切线；（2）若cos∠ABC=23,AB=12,求半圆O所在圆的半径．56．（2018贵州省毕节市,第26题,14分）如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AC于点E,过点E作AB的垂线交AB于点F,交CB的延长线于点G,且∠ABG=2∠C．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若tanC=12,AC=8,求⊙O的半径．57．（2018贵州省贵阳市,第23题,10分）如图,AB为⊙O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为点O,P为半圆上任意一点,过P点作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM、PM．（1）求∠OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长．58．（2018贵州省铜仁市,第24题,12分）如图,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作⊙O交AB 于点D,交AC于点G,直线DF是⊙O的切线,D为切点,交CB的延长线于点E．（1）求证：D F⊥AC；（2）求tan∠E的值．59．（2018黔西南州,第22题,12分）如图,CE是⊙O的直径,BC切⊙O于点C,连接OB,作ED∥OB交⊙O于点D,BD的延长线与CE的延长线交于点A．（1）求证：A B是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1,tan∠DEO2求AE的长．60．（2018辽宁省大连市,第23题,10分）如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,点E在BC的延长线上,且∠DEC=∠BAC．（1）求证：D E是⊙O的切线；（2）若AC∥DE,当AB=8,CE=2时,求AC的长．61．（2018辽宁省抚顺市,第23题,12分）如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O,点D为⊙O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由；（2）若BE=4,DE=8,求AC的长．62．（2018辽宁省朝阳市,第22题,8分）如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,OD⊥AB,OD与AC的延长线交于点D,点E在OD上,且CE=DE．（1）求证：直线CE是⊙O的切线；,AC=3,求CD的长．（2）若OA23。
最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型(学生版)-2024年中考数学常见几何模型
最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为圆弧型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k⋅AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。
(常见于动态翻折中)如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
模型1-4. 定边对定角(或直角)模型1)一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2)一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
1(2023·山东泰安·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(-6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.22(2023·四川广元·统考一模)如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为．4(2023·湖南·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB P，连接CB ，则在点P的运动过程中，线段CB 的最小值为．5(2023·山东·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD< BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为．6(2023·浙江金华·九年级校考期中)如图，点A，C，N的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，(4，3)，以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为．7(2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习)已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为．8(2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习)问题提出：(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=43，则AB的长为；问题探究：(2)如图②，已知矩形ABCD，AB=4，BC=5，点P是矩形ABCD内一点，且满足∠APB= 90°，连接CP，求线段CP的最小值；问题解决：(3)如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地ABCD，其中AD∥BC，AD= 40m，BC=60m，点E为CD边上一点，且CE:DE=1:2，∠AEB=60°，为了美化环境，要求四边形ABCD的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值．课后专项训练1(2023·安徽合肥·校考一模)如图，在△ABC中，∠B=45°，AC=2，以AC为边作等腰直角△ACD，连BD，则BD的最大值是()A.10-2B.10+3C.22D.10+22(2023春·广东·九年级专题练习)已知：如图，在△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，△ABC面积的最大值是( )．A.8+43B.83+4C.83D.8+833(2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习)如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为()A.43+4B.4C.43+8D.64(2023·山东济南·一模)正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为()A.25-2B.25+2C.10-2D.10+25(2023上·江苏连云港·九年级统考期中)如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为．6(2023春·广东深圳·九年级专题练习)如图，点G是△ABC内的一点，且∠BGC=120°，△BCF是等边三角形，若BC=3，则FG的最大值为．7(2023·江苏泰州·九年级专题练习)如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=16，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD外部找一点E，使得∠BEC+∠BPC=180°，则线段DE的最大值为．8(2023·陕西渭南·三模)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，点E在BC上，且CE=4BE，点M 为矩形内一动点，使得∠CME=45°，连接AM，则线段AM的最小值为．9(2023江苏扬州·三模)如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB=6，CD=4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是．10(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB= AC=22，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为．11(2023·福建泉州·统考模拟预测)如图，点E是正方形ABCD的内部一个动点(含边界)，且AD= EB=8，点F在BE上，BF=2，则以下结论：①CF的最小值为6；②DE的最小值为82-8；③CE= CF；④DE+CF的最小值为10；正确的是．12(2021·广东·中考真题)在△ABC中，∠ABC=90°,AB=2,BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为．13(2023·广东·深圳市二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为边BC上一动点，F为AE 中点，G为DE上一点，BF=FG，则CG的最小值为．14(2023秋·广东汕头·九年级校考期中)如下图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是以BC为直径的圆上的点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连接CF，则线段CF的最大值与最小值的和．15(2023·陕西渭南·统考一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，Q是矩形ABCD左侧一点，连接AQ、BQ，且∠AQB=90°，连接DQ，E为DQ的中点，连接CE，则CE的最大值为．16(2023·安徽亳州·统考模拟预测)等腰直角△ABC 中，BAC =90°，AB =5，点D 是平面内一点，AD =2，连接BD ，将BD 绕D 点逆时针旋转90°得到DE ，连接AE ，当DAB =(填度数)度时，AE 可以取最大值，最大值等于．17(2023·河北廊坊·统考二模)已知如图，△ABC 是腰长为4的等腰直角三角形，∠ABC =90°，以A 为圆心，2为半径作半圆A ，交BA 所在直线于点M ，N ．点E 是半圆A 上仟意一点．连接BE ，把BE 绕点B 顺时针旋转90°到BD 的位置，连接AE ，CD ．(1)求证：△EBA ≌△DBC ；(2)当BE 与半圆A 相切时，求弧EM的长；(3)直接写出△BCD 面积的最大值．18(2022·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (a ,b ),N .对于点P 给出如下定义：将点P 向右(a ≥0)或向左(a <0)平移a 个单位长度，再向上(b ≥0)或向下(b <0)平移b 个单位长度，得到点P '，点P '关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点M (1,1),点N 在线段OM 的延长线上，若点P (-2,0),点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12 OM;(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t12<t<1，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)19(2023下·广东广州·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．(1)求证：BD=CE；(2)连接CD，延长ED交BC于点F，若△ABC的边长为2；①求CD的最小值；②求EF的最大值．20(2023·江苏常州·统考二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-13x2+bx-3的图像与x轴交于点A和点B9,0，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB=∠BCO，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且cos∠AQB=35，点M在y轴正半轴，∠MBO=45°，线段MQ是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．。
圆中的重要模型之阿基米德折弦(定理)模型、婆罗摩笈多(定理)模型(学生版)
圆中的重要模型之阿基米德折弦(定理)模型、婆罗摩笈多(定理)模型圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(阿基米德折弦(定理)模型、婆罗摩笈多(布拉美古塔)(定理)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.阿基米德折弦模型【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。
一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。
如图1所示，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD 。
图1图2图3图4常见证明的方法：1)补短法：如图2，如图，延长DB 至F ，使BF =BA ；2)截长法：如图3，在CD 上截取DG =DB ；3)垂线法：如图4，作MH ⊥射线AB ，垂足为H 。
1(2023·山西·九年级专题练习)定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB >BC ，M 是弧ABC 的中点，MF ⊥AB 于F ，则AF =FB +BC ．如图2，△ABC 中，∠ABC =60°，AB =8，BC =6，D 是AB 上一点，BD =1，作DE ⊥AB 交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则∠EAC =°．2(2023·浙江温州·九年级校考阶段练习)阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC 为⊙O 的直径，AB 为一条弦(BC >AB )，点M 是ABC上的点，MD ⊥BC 于点D ，延长MD 交弦AB 于点E ，连接BM ，若BM =6，AB =4，则AE 的长为()A.52B.94C.125D.1353(2023·山东济宁·校考二模)阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．在1964年出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．【定理模型】如图①，已知AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是⊙O 的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，那么从M 向弦BC 作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．下面是运用“补短法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程：如图②，延长DB 至点F ，使BF =BA ，连接MF ，AB ，MC ，MA ，AC ，⋯【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．【问题解决】如图③，△ABC 内接于⊙O ，已知AB =AC =22，D 为AC上一点，连接AD ，DC ，∠ABD =45°，∠CBD =15°，求△ABC 的周长．4(2022上·江苏盐城·九年级统考期中)【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ 、QN 组成折线段MQN ．若点P 在折线段MQN 上，MP =PQ +QN ，则称点P 是折线段MQN 的中点．【理解应用】(1)如图2，⊙O 的半径为2，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 是折线段POA 的中点．若∠APO =30°，则PB =；【定理证明】(2)阿基米德折弦定理：如图3，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，点M 是ABC 的中点，从M 向BC 作垂线，垂足为D ，求证：D 是折弦ABC 的中点；【变式探究】(3)如图4，若点M 是AC的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】(4)如图5，BC 是⊙O 的直径，点A 为⊙O 上一定点，点D 为⊙O 上一动点，且满足∠DAB =45°，若AB =8，BC =10，则AD =．5(2023·江苏·九年级期中)小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；(3)如图3，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是优弧ACB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．模型2.婆罗摩笈多(定理)模型【模型解读】婆罗摩笈多(Brahmagupta)是七世纪时的印度数学家。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考数学试题专题复习：圆 【学生版】
一、选择题
1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是
(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切
2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是
A 、相交
B 、外切
C 、外离
D 、内含
3,（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，
过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于
A 、30°
B 、60°
C 、45°
D 、50°
4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1，
AB=AC=AD=2．则BD 的长为 A. 14 B. 15 C. 32 D. 23
5.（内蒙古呼伦贝尔3分）⊙O 1的半径是cm 2，⊙2的半径是cm 5，圆心距是cm 4，则两圆的位置关系为
A. 相交
B. 外切
C.外离
D. 内切
6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点,
则线段OM 长的最小值为.
A. 5
B. 4
C. .3
D. 2
7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上 ，∠BOD=110°，
AC∥OD，则∠AOC 的度数
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
8.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，
如果∠BOC = 700
，那么∠A 的度数为
A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200
17．填空题
1.（天津3分）如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC
于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 ▲ 。
2.（河北省3分）如图，点0为优弧¼
ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D
在AB延长线上，BD=BC，则∠D=▲．
3.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，
B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为▲．
4.（内蒙古呼伦贝尔3分）已知扇形的面积为12 ，半径是6，则它的圆心角是▲。
18．解答题
1.（天津8分）已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB．OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(I) 如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号)；
(Ⅱ)如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形．求OD
OA
的值．
2.（河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．
思考
如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．
当α= ▲度时，点P到CD的距离最小，最小值为▲．
探究一
在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=▲度，此时点N到CD的距离是▲．
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．
（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；
（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．
（参考数椐：sin49°=3
4
，cos41°=
3
4
，tan37°=
3
4
．）
【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离，平行线之间的距离，切线的性质，旋转的性质，解直角三角形。
3.（内蒙古呼和浩特8分）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC
是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，DB DC2 DP DO3
==．
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值．
【考点】切线的判定和性质，平行的判定和性质，全等三角形的判
定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线长定理。
4.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分）如图，等圆⊙O1 和⊙O2 相交于A,B两点，
⊙O2 经过⊙O1 的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M，交AB于点N,连接BM,已知
AB=23。
（1）求证：BM是⊙O2的切线；
（2）求⌒
AM的长。
【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。
1
2
N
M
A B
O
O
5.（内蒙古包头12分）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．
（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；
（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且
使BC=3CD，请说明你的理由．
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，
锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
6.（内蒙古乌兰察布10分）如图，在Rt△ABC中,∠ACB＝900D是AB 边上
的一点，以BD为直径的⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的
延长线交于点 F .
( 1 ）求证： BD = BF ;
( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．。