绝对值的化简求值

初一上学期期中考试重难点分析 ----绝对值的化简求值

进入初一上学期，同学们会发现大部门知识学起来还是比较简单，唯独绝对值的化简和 求值成为了众多学生的拦路虎。

无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a 取任意有理数都有||a ≥0。

经过仔细分析，绝对值的考查无非就三种题型，用到的思想基本上就是分类讨论和数形结合，方法大部分题型考查的就是零点分段讨论，下面我们简单的分析下：

零点分段讨论法：我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做零点，一个代数式里有几个绝对值符号，通常就有几个零点。比如|42||3|-++x x ，有两个绝对值，就有两个零点，分别是-3和2。确定了零点后，再根据两个零点在数轴上把整个数轴分成几段，就进行几类分类讨论。

题型一：含一个绝对值符号的化简

1、已知未知数的取值或取值范围进行化简

典型题型：当x >2时化简||23x x -+（根据绝对值的意义直接化简）

解：原式=-+=-2333x x x 。

2、没有告知未知数的取值或取值范围进行化简

典型题型：化简||x x -+52（此题中零点是5,5把数轴分成了两部分，因此分两类讨论）

解：（1）当5≥x 时，则05≥-x 是一个非负数，则它的绝对值应是它本身，所以原式=-+=-x x x 5235。

（2）当x <5时，则x -<50，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原式=--+=-++=+()x x x x x 52525。

人大附中2009年期中测试真题：化简||2612

x y x y +-+- 此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x ＋y 看作一个整体未知数，找出零点，使260x y +-=的整体未知数的值是26x y +=，我们把6叫做此题的零点，这样又可分两种情况进行讨论。

（1）当62≥+y x 时，

||2612x y x y +-+-

=+-+

-=

-261252

6x y x y x

（2）当26x y +<时

||261

2x y x y

+-+-

=-+-+-=--++-=--+()261

2261

23

226

x y x y

x y x y

x y

题型二：含两个绝对值符号的化简

1、 已知未知数的取值或取值范围

典型题型：当x <-5时，化简||||256x x -+

解：原式=--+-()()256x x

=-+-=-+25685x x

x

2、 没有告知未知数的取值或取值范围

典型题型：化简||||x x ++-321 （此题有两个零点，把数轴分成三段，故应分三类讨论）

解：（1）当21

≥x 时

原式=++-()()x x 321

=++-=+x x x 321

32

（2）当21

3<≤-x 时

原式=++--x x 321[()]

=+-+=-+x x x 321

4

（3）当x <-3时

原式=-++--()[()]x x 321

=---+=--x x x 321

32

北京四中2010年期中测试真题：化简

解： ①当

时, 原式

②当

时， ，

原式

③当

时， ， 原式

题型三：数形结合绝对值化简题 典型题型：有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，试化简：

||||||23a b b c c a -+---。

解：由a 、b 、c 在数轴上的位置可知a b c <><000、、且c a <、c a >3、2a b < 所以原式=--+---()()()23a b b c c a

=-++--+=+-2322a b b c c a a b c

综上所述，含有绝对值符号的化简题，如已确定某些未知数的取值，就按这个未知数的取值根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，进而化简。如没有告诉某些未知数的取值或取值范围，那么就找出这个绝对值（或两个绝对值）符号内的零点，然后进行分类讨论。