结构力学(一)第三版龙驭球第三章3.4三铰拱

三铰拱
100kN
F
右 QD
F Cos D HSin D
0右 QD
MD D 右 FQD A FYA A 0 FYA D
FND
右
(105 100) 0.832 82.5 0.555 41.6kN
H
F
右 ND
F
0右 QD
Sin D HCos D
(105 100) 0.555 82.5 0.832 71.4kN
M
k
0
η
A
FYA FP1
k M K
F0YA F0QK
相应简支 梁的剪力
MK FP1 FNK
τ
（3）轴力计算 求拱轴线上任意点k的剪力， FH 同样取Ak为隔离体：
k
FQ
K
η
0
A
FYA FP1
FNk FYA Sin k HCos k FP1Sin k
FYA FP1 Sin k HCos k
小结：
1) 压力线一定通过铰C。 2) 压力线与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、 C及荷载的相对位置和荷载的大小有关。 3) 合力大小和方向由力多边形确定，合力作用 线由压力线确定。 4) 若荷载是竖向集中力，则压力线为折线；若 为均布荷载，压力线为曲线。
五 三铰拱的合理轴线 （一)、合理拱轴线的概念
如果压力线与拱轴线完全重合，拱的弯矩为零，这 样的拱轴线称为合理拱轴线。
(二)、合理拱轴线的确定
M x M 0 x Hyx
M x 0
M 0 x Hyx 0
∵在荷载、跨度、矢高给 定时，H是一个常数.∴合理拱 轴线与相应的简支梁的弯矩图 形状相似，对应竖标成比例. 在荷载、跨度给定时，合 理拱轴线 随 f 的不同而有多 条,不是唯一的。
如下所示结构在竖向 荷载作用下，水平反力 等于零，因此它不是拱 结构，而是曲梁结构。
下面所示结构在竖向荷 载作用下，会产生水平反 力，因此它是拱结构。
FP FP
曲梁
三铰拱
二、 拱的类型
三铰拱
两铰拱
无铰拱
超静定拱
拉杆拱 静定拱
三、 拱的各部分名称 拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾 A
起拱线
跨度 l
f l
在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。 2）竖向支座反力与拱高无关。 3）当荷载和跨度固定时，拱的水平反力H与拱高f成反比， 即拱高f越大，水平反力H越小，反之，拱高f越小，水平反 力H越大,也就是说：f越小，拱的特性就越突出。 。
（2）弯矩计算 求拱轴线上任意点k的弯矩， 为此取Ak为隔离体：
注： 1）该组公式仅用于两底铰在同一水平线上, 且承受竖向荷载； 2）在拱的左半跨k取正右半跨取负；
三、内力图
（1）画三铰拱内力图的方法
描点法。
（2）画三铰拱内力图的步骤
1）计算支座反力 2）计算拱圈截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面， 也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 注： 1）仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯达极； 2） M、Q、N图均不再为直线； 3）集中力作用处Q图将发生突变； 4）集中力偶作用处M图将发生突变。
D
FRD
A FRA FRB
B
FQD
M D FRD rD FQD FRD sin D FND FRD cos D
rD ——截面D形心到FRD作用线之距离。
。 由此看出，确定截面内力的问题归结为确定截 面一边所有外力的合力之大小、方向及作用线 的问题。 定义：三铰拱每个截面一边所有外力的合力作
例1：图示三铰拱的拱轴线方程为：y 4 f ( L x) x L2 请求出其D点处的内力。 解：a、求反力
100kN y A 3m 3m 6m 20kN/m C 4m
M
B
0
FYA (20 6 3 100 9) /12
D
Y 0
105kN
B
x
FYB 100 20 6 105 115kN
f
B
A
0 FYB
FYB
FPi ai
L
xk
L1 L
FP2 k C
L2
FP3
取左半跨为隔离体：
FP1
M
C
0
A
0 FYA L1 FP1 L1 a1 FP 2 L1 a2 M C FH f f
B
反力计算公式：
F F 0 YA YA 0 FYB FYB 0 MC H A H B H f
0 Qk
FNk F Sin k HCos k
k M K
F0YA F0QK
三铰拱内力计算公式： 0 FQk FQk Cos k HSin k 0 M k M k Hyk 0 FNk FQk Sin k HCos k
内力的计算公式：
M k M k0 Hyk 0 FQk FQk cos K H sin k 0 FNk FQk sin k H cos k
MD D 左 FQC FH
左 0左 FNC FQD FQD Cos D HSin D
左
105 0.832 82.5 0.555 41.6kN
左 0左 FND FQD Sin D HCos D
A
FYA A 0 FYA D
MD
FQD
0左
0
105 0.555 82.5 0.832 127kN
A P
q
B
P C D E F
XC C YC YD YC XC
D XD
XA A
YA
B YB
C
YD
XD
D
E YE
F YF
1 静定结构受力分析的方法 一、单元的形式及未知力 结点：桁架的结点法、刚架计算中已知Q求N时取结点为单元。 杆件：静定梁的计算、刚架计算中已知M求Q时取杆件为单元。 杆件体系：桁架、刚架计算的截面法取杆件体系为单元。
高跨比
f
3-6 三铰拱
拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。 拱结构的优缺点：
a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯 矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就 可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度 b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉 性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。 c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因 此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形 比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大
FP2 FP1 D
E
C
FP3 FP1 FP2 F B
FRA
A
o
FRA
FRB
FP3
FRB
在上图所示力多边形中，射线1－2代表FRA与 FP1合力的大小和方向；射线2－3代表FRA与FP1、 FP2合力的大小和方向。
3）画压力线 过A作FRA的延长线交FP1于D，过D作射线1－2的平 行线交FP2于E，过E作射线2－3的平行线交FP3于F ，则FB必为FRB的作用线。
D
——FRD作用线与截面D轴线切线的夹角
用点的连线，就称为三铰拱的压力线。
作压力线的方法和步骤为：
1）求三铰拱的支座反力FHA、FVA、FHB、FVB，进 而求出反力FRA、FRB的大小和方向。 FHA FRA FVA 2）作封闭的力多边形，以确定拱轴各截面一 边外力合力的大小及方向。作力多边形时应按力 的大小按比例绘制。
四、工程实例
拱桥 （无铰拱）
超静定拱
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥)
万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥
灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称“渭水长虹” “渭水第一桥” 主跨：40 米 建成时间：1368
3-6 三铰拱
2）三铰拱的计算
a2 a1
a3
b3
b2
0 M C ql 2 H f 8f
ql/2
l
ql/2
三铰拱在沿水平均匀分布的 竖向荷载作用下，其合理拱轴线 为一抛物线。
qx l x 4 f yx 2 2 2 xl x ql l 8f
结构力学多媒体课件
城市与环境学院 李荷香
Chapter3－ 7 A Summary of Statically Determinate Structure
相应简支 梁的弯矩
MK FP1 FNK
τ
k
FH
FQ
K
M k FYA xk FP1 xk a1 Hyk （3）剪力计算 求拱轴线上任意点k的剪力， 同样以Ak为隔离体： 0 FQk FYACosk HSink FP1Cosk FYA FP1 Cosk HSink 0 FQk FQk Cos k HSin k
105 6 100 3 FH 82.5kN 4
三铰拱
b、求D点的内力 先求计算参数： 4 4 xD 3m yD 2 (12 3) 3 3m 12 dy 4 f 4 4 tg D 2 ( L 2 x) 2 (12 2 3) 0.667
含一个未知量。
a)根据结构的内力分布规律来简化计算 ①在桁架计算中先找出零杆,常可使简化计算;
②对称结构在对称荷载作用下,内力和反力也是对称的;
b)分析几何组成,合理地选择截取单元的次序 ①主从结构,先算附属部分,后算基本部分; ②简单桁架,按去除二元体的次序截取结点; ③联合桁架,先用截面法求出连接杆的轴力,再计算其它杆。
基本要求：了解静定结构受力分析的方法及简化计算 方法；掌握 静定结构的一般性质；理解 梁、 拱、刚架和桁架的受力特点。 教学内容：﹡静定结构受力分析方法 ﹡静定结构的一般性质 ﹡各种结构型式的受力特点
1 静定结构受力分析的方法 静定结构的受力分析，主要是利用平衡方程确定支座 反力和内力，作出内力图。 对静定结构来说，所能建立的独立的平衡方程的数目= 所含的未知力的数目。为了避免解联立方程应按一定的顺 序截取单元，尽量使一个方程中只含一个未知量。
yx
M 0 x H
M 0 ( x) f 0 MC
例2 设图示三铰拱承受沿水平线均匀分布的竖向荷载q的作用， 示其合理轴线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
y
解:
C
yx
0
M 0 x H
f
A x B
x
l/2
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l/2
1 1 2 M x qlx qx 2 2 qx lห้องสมุดไป่ตู้ x 2
P P P1 P2
P
P
P1
P2
结点单元
杆件单元
杆件体系 单元
1 静定结构受力分析的方法 二、平衡方程的数目 单元平衡方程的数目=单元的自由度数，不一定等 于单元上未知力的数目。
P P1
P2
P
P1
P2
结点单元
杆件体系 单元
1 静定结构受力分析的方法 三、计算的简化与截取单元的次序 计算简化的原则：避免解联立方程，尽量使一个方程中只
结构力学多媒体课件
城市与环境学院 结构力学教研室
Three-Hinged Arch
基本要求：了解拱式结构的分类及各自的特点。掌握三铰拱在竖
向荷载作用下的内力计算。
教学内容：﹡概述
﹡三铰拱的计算
﹡三铰拱的合理轴线
3-6 三铰拱
1）拱的特征及其应用 拱式结构：指的是在竖向荷载作用下，会产生水 平推力的结构。通常情况下它的杆轴线是曲线的。
100 kN MD FQD
0右 0
四、三较拱的压力线
拱与受弯结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯
矩和剪力，还产生轴力。经过合理设计可使其成为以受
压为主的结构体系。
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的合 FP1 r 力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴力 。 D 90 C FP2 D 可按下式计算： FRD rD FND MD FRD
b1
FP2
在研究它的反力、 内力计算时，为了便于 理解，始终与相应的简 支梁作对比。
FP1
k yk
C
FP3
f
B
A
xk
L1
L2 L
FP2
FP1
FP3
k
A B
a3 a2 a1 b1
FP2 FP1
Pi i
b3 b2
（1）支座反力计算
M
FYA
L MA 0
F
B
0
b
0 FYA
k yk
C
FP3
dx L D 3342' 12 Cos D 0.832
MD D 左 FQD
FND
左
求弯矩：
67.5kN m
Sin D 0.555
A
FYA
0 M D M D HyD 105 3 82.5 3 FH
三铰拱
求剪力： 由于D点处有集中力作用，简支梁的剪力有突变， 因此三铰拱在此处的剪力和轴力都有突变。